【文档说明】吉林省多校2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.474 MB，由小赞的店铺上传

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2024—2025学年度上学期第一次月考高二数学试题本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共3页.考试时间为20分钟.考试结束后，只交答题卡.第I卷客观题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.1.直线31yx=−+的倾斜角为（）A.30oB.60oC.120D.150【答案】C【解析】【分析】根据直线方程求得直线的斜率，由此求得直线倾斜角.【详解】依题意可知直线的斜率为3−，故倾斜角为120∘.故选：C.【点睛】本题主要考查直线斜率与倾斜角，属于基础题.2.若方程

220xyxym+−++=表示圆，则实数m的取值范围是A.12mB.12mC.1mD.1m【答案】A【解析】【详解】试题分析：由二元二次方程表示圆的充要条件可知：，解得，故选A．考点：圆的一般方程．3.已知直线()00xykk+−=与圆224xy+=交于不同的两点,AB

，O是坐标原点，且有3OAOBAB+，则实数k的取值范围是（）A.()3,6B.)2,6C.)6,22D.)6,23【答案】C【解析】【分析】设AB中点为C，由条件得出AB与OC的关系结合点到直线的距离解不等式即可.【详解】设AB中点为

C，则OCAB⊥，∵3OAOBAB+，∴23OCAB，∴233ABOC，∵222144443OCABOC+=，即23OC，又∵直线()00xykk+−=与圆224xy+=交于不同的两点AB、，∴24OC，故243OC，

则2432k−，0,622kk.故选：C．4.“3a=”是“直线230axya++=和直线3(1)(7)0xaya+−−−=平行且不重合”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分

条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分必要条件的判断，结合直线的位置关系即可求解．【详解】当3a=时，两直线分别为：3290xy++=，3240xy++=，∴两直线斜率相等且12CC，∴两条直线平行且不重合；充分性成

立，若两直线平行且不重合，则31723aaaa=−−，∴3a=，必要性成立，综上所述，3a=是两直线平行且不重合的充要条件，故选：C．5.已知圆22:4640Cxyxy+−−+=关于直线():100laxbyab+−=对

称，则1123ab+的最小值是（）A2B.3C.6D.4【答案】D【解析】【分析】转化为直线l过圆心即231ab+=，再利用基本不等式可得答案.【详解】因为圆()()22:239Cxy−+−=关于直线():100laxbyab+−=对称，所以直线l过圆心()2,3，即231

ab+=，则()111123223232323+=++=++ababababab因为0ab，且231ab+=，所以0,0ab，所以1122242323332232+=+++=abbabababa，当且仅当3232=abab即11,46ab==等号成立，则112

3ab+的最小值是4.故选：D.6.已知mR，直线1l：20mxym++=与2l：20xmym−+=的交点P在圆C：()()22224xyr−+−=()0r上，则r的最大值是（）A.42B.32C.22D.2【答案】A【解析】【分析】根

据两条直线的位置关系和所过的定点，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】()202mxymymx++==−+，所以直线1l恒过点()2,0A−，.()202xmymxmy−+==−，所以直线2l恒过点()0,

2B，由两条直线的方程可以判断直线1l与直线2l互相垂直，因此点P在以AB为直径的圆上，线段AB中点为()11D−,，半径为()2212222−+=，圆C的圆心为()2,4，半径为()0rr，由已知条件可知点P在圆C：()()22224xyr−+−=

()0r上，所以圆C与圆D相交或相切，()()22121432CD=−−+−=，因此有222322rCDrrr−+−+，解得：2242r，所以则r的最大值是42，故选：A【点睛】关键点

睛：通过直线方程判断交点P的位置，根据圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.7.已知1F，2F分别是椭圆()2222:10xyEabab+=的左、右焦点，O是坐标原点，P是椭圆E上一点，1PF与y

轴交于点M．若1OPOF=，156aMF=，则椭圆E的离心率为（）A.59或58B.53或104C.34或14D.32或12【答案】B【解析】【分析】由1OPOF=得12PFPF⊥，则121PFFOFM∽△△求出|𝑃𝐹1|，结合椭圆定义求出2PF，再由12PFPF⊥可得答案.【详

解】由1OPOF=，得1212OPFF=，则12PFPF⊥，则121PFFOFM∽△△，则11211PFFFOFFM=，即1256PFcac=，解得21125cPFa=，则222211210122255cacPFaPFaaa−

=−=−=，因为12PFPF⊥，所以2221212PFPFFF+=，即222222121012455caccaa−+=，整理得42247285250caca−+=，则427285250ee−+=，解得259e=或258e=，故53e=或104e=．故选：B.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出1290FPF=，利用勾股定理求出答案.8.在平面直线坐标系中,定义()1212maxdABxxyy=−−，，为两点()()1122AxyBxy，、，的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q,称()aPQ，的最小值为点P到直线l的

“切比雪夫距离”记作()dPl，，给出下列四个命题:（）①对任意三点A、B、C，都有()()()dCAdCBdAB+，，，；②已知点P(3,1)和直线:210lxy−−=，则()43dPl=，；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；④定点()()1200FcFc−，、，

，动点()Pxy，满足()()()122220dPFdPFaca−=，，＞＞，则点P的轨迹与直线yk=(k为常数)有且仅有2个公共点．其中真命题的个数是（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】①讨论A，B，C三

点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；②设点Q是直线21yx=−上一点，且(,21)Qxx−，可得(,){|3|dPQmaxx=−，|22|}x−，讨论|3|x−，|22|x−的大小，可得距离d

，再由函数的性质，可得最小值；③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；④讨论P在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．【详解】解：①对任意三点A、B、C，若它们共线，设1(Ax，1)y、2(Bx，2)y，3(Cx，3)y，如右图，结合三角形

相似可得(,)dCA，(,)dCB，(,)dAB为AN，CM，AK，或CN，BM，BK，则(dC，)(AdC+，)(BdA=，)B；若B，C或A，C对调，可得(dC，)(AdC+，)(BdA，)B；若A，B，C不共线，且三角形中C为锐角或

钝角，由矩形CMNK或矩形BMNK，(dC，)(AdC+，)(BdA，)B；则对任意的三点A，B，C，都有(dC，)(AdC+，)(BdA，)B；故①正确；设点Q是直线21yx=−上一点，且(,21)Qxx−，可得(,){|3|dPQmaxx=−，|22|}x−，由

|3||22|xx−−，解得513x−，即有(,)|3|dPQx=−，当53x=时，取得最小值43；由|3||22|xx−−，解得53x或1x−，即有(,)|22|dPQx=−，(,)dPQ的范围是(3，4)(3

+，4)(3+=，)+．无最值，综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为43．故②正确；③由题意，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点设为(),xy，则,1=maxxy，若yx，则||1y=；若||||y

x，则||1x=，故所求轨迹是正方形，则③正确；④定点1(,0)Fc−、2(,0)Fc，动点(,)Pxy的满足|(dP，1)(FdP−，2)|2(220)Faca=，可得P不y轴上，P在线段12FF间成立，可得()2xccxa+−−=，解得xa=，由对称

性可得xa=−也成立，即有两点P满足条件；若P在第一象限内，满足|(dP，1)(FdP−，2)|2Fa=，即为2xcya+−=，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点P的轨迹与直线yk=(k为常数）有且仅有2个公共点．故④正确；综上可得，真命题

的个数为4个，故选:A.【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得

0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.过()()1122,,,xyxy两点的直线方程为112121yyxxyyxx−−=−−B.已知直线l过点(2,4)P，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为60xy+−=C.

“直线210axy+−=与直线(1)210axay+−+=垂直”是“3a=”的必要不充分条件D.直线12:10,:10lxylxy++=+−=的距离为2【答案】CD【解析】【分析】根据直线的两点式方程的适用范围，直线

方程的求解，以及直线与直线位置关系的判断以及两平行线的距离公式，结合充分性和必要性的判断，对选项进行逐一分析即可判断.【详解】A：若两点的纵坐标或者横坐标相等，则不能用该方程表示直线，故错误；B：直线l过点(2,4)P，且在x，y轴上

截距相等，除直线60xy+−=外，还可以是直线𝑦=2𝑥，故错误；C：直线210axy+−=与直线(1)210axay+−+=垂直的充要条件是()()1220aaa++−=，解得0a=或3a=；故,aRbR，“直线210axy+−

=与直线(1)210axay+−+=垂直”是“3a=”的必要不充分条件，故正确；D：因为直线1:10lxy++=，2:10lxy+−=平行，则两平行直线的距离()1122d−−==，故正确.综上所述，正确的选项是CD.故选：CD.10.已知()11Axy，()22,Bxy是圆O：221xy+=上两

点，则下列结论正确的是（）A.若||1AB=，则π3AOB=B.若点O到直线AB的距离为12，则3||2AB=C.若2π3AOB=，则112211xyxy+−++−的最小值为21−D.若2π3AOB=，则112211xyxy+−++−的最大值为22+【答案】AD【解析】【分析】由题

意，可判断得AOBV为正三角形，即可得π3AOB=，判断A；根据几何法求解弦长即可判断B，将11221122xyxy+−+−+的值转化为单位圆上的,AB到直线10xy+−=的距离之和，取AB中点M，从而转化为点M到直线10xy+−=的距离的2倍求解，数形结合可判

断得M在以点O为圆心，半径为12的圆上，从而求解出点M到直线10xy+−=的距离的最值，即可得,AB到直线10xy+−=的距离之和的最值，从而得112211xyxy+−++−的最值.【详解】因为()11Axy，()22,Bxy是圆O：221xy+=

上两点，当||1AB=时，AOBV为正三角形，所以π3AOB=，A正确；点O到直线AB的距离为12时，21||2132AB=−=，B错误；11221122xyxy+−+−+的值可转化为单位圆上的,AB到直线10xy+−=的距离之和，又2π3AOB=

，所以AOBV为等腰三角形，设M是AB的中点，则OMAB⊥，且1122OMOA==，则M在以点O为圆心，半径为12的圆上，,AB两点到直线10xy+−=的距离之和为点M到直线10xy+−=的距离的2倍，点O到直线10xy+−=的距离为1222−=，所以点M到直线10xy+−=的距离的最大值为21

2+，最小值为212−，则,AB两点到直线10xy+−=的距离之和最大值为21+，最小值为21−.所以112211xyxy+−++−的最大值为22+，最小值为22−，C错误，D正确；故选：AD【点睛】方法点睛：对于圆上任意一点到直线距离的最值计算，需要先计算圆心到直线

的距离d，从而可求解距离的最大值为dr+，最小值为dr−.11.已知1F，2F分别为椭圆22:11612xyC+=的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），12PFF外接圆的圆心为H，半径为R，12PFF内切圆的圆心为I，半径为r，直线PI交x轴于点M，O为坐标原点，则（）A.12PFFS

最大时，33r=B.PHPO的最小值为8C.23PIPM=D.Rr的取值范围为82,3【答案】BCD【解析】【分析】根据焦点三角形的面积12PFFpScy=，可知其最大值，再根据内切圆半径

公式可判断A选项，根据外心的概念及向量的线性运算可判断B选项，根据内切圆的性质可得2PIaIMc==，即可判断C选项，再根据外接圆半径与内切圆半径的求法可判断D选项.【详解】由22:11612xyC+=，得4a

=，23b=，2c=，A选项：设(),Pxy，则44x−，2323y−，1212122PFFSFFycyy===，所以当点P在短轴端点时，面积最大值为43，此时由内切圆性质可知()()1212121122622P

FFSrPFPFFFracr=++=+=，则122363PFFSr==，A选项错误；设1PFm=，2PFn=，则28mna+==，B选项：如图所示，设1PF中点为G，则1GHPF⊥，所以()1212111222PHPPFPFPHPFPHPFHPO=+=+，又()2211111

122PHPFPGGHPFPGPFPFm=+===，同理2212PHPFn=，所以()22212111111224442PnPHPFPHPFmnmnHPOm=+=+=+−()22118422mnmn++−=，当且仅当mn=时，等号成立，B选项正确；C选项

：设PI与12FF交于点M，由角分线定理可知1212PIPFPFIMFMFM==，即1212222PIPFPFaaIMFMFMcc+====+，即2PIIM=，所以3PMIM=，所以23PIPM=，C选项正确；D选项：设12FPF=，由正弦定理得1

242sinsinFFR==，即2sinR=，由余弦定理得()()222222424cos1122mncmncmnmnmn+−+−==−=−，则24cos1mn=+，且2162mnmn+=，即1cos2，当且仅当m

n=时取等号，所以1cos,12，12112sinsin2cos1PFFSmn==+，所以122sin6cos1PFFSr==+，则482,cos13Rr=+，D选项正确；故选：BCD.

【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．第II卷主观题三､填空题：本题共3小题，

每小题5分，共15分.12.与圆224630xyxy+−++=同圆心，且过点()1,1-的圆的方程是________.【答案】224680xyxy+−++=【解析】【分析】设所求圆的方程为22460xyxym+

−++=，代入点()1,1-求出m即可得所求圆的方程.【详解】依题意，设所求圆的方程为22460xyxym+−++=，由于所求圆过点()1,1-，所以11460m+−−+=，解得8m=.所以所求圆的方程为224680xyxy+−

++=．故答案为:224680xyxy+−++=.13.圆221:1Cxy+=与圆222:2210Cxyxy+−−+=的公共弦所在直线被圆3C：2225(2)(1)4xy−+−=所截得的弦长为________

__．【答案】17【解析】【分析】根据圆与圆相交得公共弦所在直线方程，再根据直线与圆相交弦长公式可得结论.【详解】圆221:1Cxy+=与圆222:2210Cxyxy+−−+=的两方程作差得2220xy+−=，即公共弦所在直线方程为1

0xy+−=，又圆2225(2)(1)4xy−+−=的圆心为()2,1，半径52r=，所以圆心()2,1到直线10xy+−=的距离21122d+−==，则圆3C被直线10xy+−=所截得的弦长为2225222174rd−

=−=.故答案为：17.14.如图，椭圆2212xy+=的左、右焦点分别为1F，2F，过点()2,0A作椭圆的切线，切点为T，若M为x轴上的点，满足1ATMAFT=，则点M的坐标为______.【答案】（32，0）或（72，0）【解析】【分析

】通过联立椭圆和切线方程，可解出T坐标，进而利用1ATMAFT=，建立等式条件，解出点M的坐标【详解】设AT的方程等于()2ykx=−,不妨设T在x轴上方，即0k.则联立与椭圆的方程，得222(2)12xkx+−=,整理得2222(21)8820kxkxk+−+−=，令()()422

64482210kkk=−−+=，解得22k=−,此时方程为22420xx−+=,解得1x=因此可知21,2T,由椭圆方程可知，()11,0F−所以1222tan1(1)4AFT==−−,又

因1ATMAFT=，所以2tan4ATM=，1sin3ATM=，（如图）过T做x轴的垂线，记垂足为N，为则可知()1,0N,因此3sin3TATAMNA==,设(),0Mm,则2AMm=−,()2

2212MTm=−+,在TAM中，由正弦定理，sinsinAMMTATMTAM=,即()2221221333mm−+−=，解得32m=或72m=故答案为：（32，0）或（72，0）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤

.15.（1）已知直线2l经过点(1,1)且与直线1:210lxy+−=垂直，求直线2l的方程.（2）已知直线3l与x轴，y轴分别交于,AB两点，AB的中点为()2,1，求直线3l的方程.【答案】（1）21yx−＝；（2）240

xy+−＝．【解析】【分析】（1）由垂直关系可得直线2l的斜率，进而由点斜式得到方程；（2）设出()(),0,0,AaBb，利用中点坐标公式得到两点坐标，从而得到直线方程.【详解】（1）直线1l的斜率112k=−，则22k=，故直线2l的方程为21yx−＝；（2）设()(),0,0,AaBb，AB

的中点为()2,1，知4,2ab＝＝，则直线3l的方程为240xy+−＝．16.为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度AB为32米，拱桥顶点C离河面8米，（1）如果以跨度AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立如图的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程

；（2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米．问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由．【答案】（1）22(12)400xy++=（2）船可以通

过，理由见解析【解析】【分析】（1）利用圆过点B、C可解出圆的方程；（2）只需判断点P（4，7.5）与圆的位置关系即可.【小问1详解】B（16，0），C（0，8），设圆心（0，b），圆的方程为：222()xybr+−=由圆过点B、C可得()22228256brbr−=+=，解得12

b=−，20r=∴拱桥所在的圆方程是：22(12)400xy++=小问2详解】可设船右上角竖直方向0.5米处点为P（4，7.5），代入圆方程左端得396.25＜400，所以点P在圆内，故船可以通过17.已知椭

圆C的焦点为()11,0F−和()21,0F，且椭圆C经过点31,2M.（1）求椭圆C的方程；（2）过点()21,0F的直线l与椭圆C交于,PQ两点，则在x轴上是否存在定点N，使得NPNQ的值为定值？若存在，求出点N的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.【答案】（

1）22143xy+=（2）存在，11,08N，定值为13564−【解析】【分析】（1）根据椭圆C的焦点设椭圆C的方程为222211xyaa+=−，代入点31,2，即可得a的值，从而求得椭圆标准方

程；（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1xmy=+，设定点(),0Nt，联立直线与椭圆求得交点【坐标关系，再根据向量的坐标运算求NPNQ，消参即可确定定值，再检验直线l的斜率为0时是否符合即可得结论.【小问1详解】已知椭圆C的焦点为()11,0F−和()21,0F，设椭圆C的方程

为222211xyaa+=−，将点31,2代入椭圆方程，得()()224410aa−−=，解得214a=（舍去），24a=，所以椭圆C的方程为22143xy+=.【小问2详解】当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1xmy=+，设定点(),0Nt.联立方程组22

1,3412,xmyxy=++=，消掉x可得()2234690mymy++−=，0恒成立.设()()1122,,,PxyQxy，可得12122269,3434myyyymm+=−=−++，所以()()()()1212121211=−−+=+−+−+NPNQx

txtyymytmytyy()()()()221212111myymtyyt=++−++−()()()()()22222226159961111343434−−−−=++−+−=+−+++tmmmmtttmmm.要使上式为定值，则6

15934t−−=，解得118t=，此时291113514864=−+−=−NPNQ.当直线l的斜率为0时，()()2,0,2,0PQ−，此时，13564=−NPNQ也符合.所以存在点11,08N

，使得NPNQ为定值13564−.18.已知平面直角坐标系上一动点(,)Pxy到点(2,0)A−的距离是点P到点(1,0)B的距离的2倍.（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P与点Q关于点(2,

1)对称，点(3,0)C，求22QAQC+的最大值和最小值；（3）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于,EF两点，点(2,0)M，则是否存在直线l，使EFMS△取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若53不存在，请说明理由.【答案】（1）()2224

xy−+=（2）53；13（3）存在，720xy−+=或720xy++=【解析】【分析】（1）根据条件列方程求解即可；（2）根据对称性求出Q点的轨迹方程，再利用三角换元即可求解；（3）联立直线与圆的方程求得k的范围，再利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式求得EFMS△取得最大值时k的值，从而得

解.【小问1详解】由已知()()()()222220210xyxy++−=−+−，化简得2240xxy−+=，即()2224xy−+=，所以点P的轨迹方程为()2224xy−+=；【小问2详解】依题意，设(),Qmn，因为点P与点Q关于点(2

,1)对称，，所以点P坐标为()4,2mn−−，因为点P在圆上运动，所以()()224224mn−−+−=，即点Q的轨迹方程为()()22224mn−+−=，不妨设()22cos,22sin02πmn=+=+，()()2222222

3QmnmnAQC=+++−++()()()()222222cos22sin22cos22si3n2=+++++++−+()228cos12cos8sin16sin253320sin=++++=++，其中123tan164==，则当()sin1

+=时，22QAQC+取得最大值332053+=；当()sin1+=−时，22QAQC+取得最小值332013−=；【小问3详解】由题意知l的斜率一定存在，不妨假设存直线l的斜率为k，且1122(,),(,)ExyFxy，则:(2)lykx=+，联立方程：()2

22222(2)(1)4(1)4024ykxkxkxkxy=+++−+=−+=，所以22223316(1)4(1)4033kkkk=−−+−，又因为直线l不经过点(2,0)M，则33(,0)(0,)33k−，因为点(2,0)M到直线l

的距离241kdk=+，224EFd=−，所以22214(2)42EFMSEFdddd==−=−−+，因为22222216161,(0,)(0,4)1131kdkdkk==++，所以当22d=时，EFMS△取得最大值2，此时22

216172177kkkk===+，所以直线l的方程为720xy−+=或720xy++=.19.已知椭圆C：22221xyab+=（0a，0b）的左、右焦点分别为1F、2F，离心率为12，经过点1F且倾斜角为02的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方

），2ABF△的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面12AFF）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面12BFF）互相垂直．①若3=，求异面直线1AF和2BF

所成角的余弦值；②是否存在02，使得折叠后2ABF△的周长为152？若存在，求tan的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143xy+=；（2）①1328；②存在；335tan14=．【解析】【分析】（1）由2ABF△的周长可求出a的值，从而由离心率的

值可求得1c=，进而由椭圆中222abc=+的关系求出b的值，即可得椭圆的标准方程.（2）①直线l的方程为33yx=+，与椭圆方程联立求出点,AB的坐标，再建立空间直角坐标系，求出点12,,,FABF的坐标，从而可得21,FABF，再利用空间向量的夹角公式即可求解.②由222215,2AFBF

ABAFBFAB++=++=8，可得12ABAB−=，设折叠前𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，直线l的方程1myx=+与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式化简整理即可求出m的值，从而可得直线l的斜率，进而可得tan的值.【详解】解：（1）由椭圆的定义知：12

122,2AFAFaBFBFa+=+=，所以2ABF△周长48La==，所以2a=，又椭圆离心率为12，所以12ca=，所以1c=，2223bac=−=，由题意，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为2214

3xy+=；（2）①由直线l：()031yx−=+与22143xy+=，联立求得()0,3A，（因为点A在x轴上方）以及83,355B−−，再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则()10,1,0F−，()0,0,3A，3

83,,055B−，()20,1,0F，的()10,1,3FA=，23133,,055BF=−．记异面直线1AF和2BF所成角为，则21121213coscos,28FABFFABFFABF===；②设折叠前𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2

)，折叠后A，B在新图形中对应点记为A，B，()11,,0Axy，()22,0,Bxy−，由22152AFBFAB++=，228AFBFAB++=，故12ABAB−=，将直线l方程与

椭圆方程联立221143myxxy=++=，得()2234690mymy+−−=，122634myym+=+，122934yym−=+，在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原x轴仍

然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原y轴负半轴为z轴）；()2221212ABxxyy=−++，()()221212ABxxyy=−+−，所以()()()222221212121212ABABxxyyxxyy−=−+−−−++=，（i）又()()()122222212

121212212yyxxyyxxyy−=−+−+−++，所以()()()2222212121211124xxyyxxyyyy−+−+−++=−，（ii）由（i）（ii）可得()()22121212124xxyyyy−+−=−，因为()()()()22221212121xxyy

myy−+−=+−212124yy=−，所以()222263613434mmmm++++22118434m=++，即2222111814434434mmm+=

+++，所以222121211834434mmm+=+++，解得22845m=，因为02，所以1335tan14m==．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形2ABF△周长的变化，得到12ABAB−=，进而根据两点间的距

离公式及韦达定理进行求解.