【文档说明】四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.411 MB，由管理员店铺上传

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南山中学2023年秋季2022级10月月考数学试题命题人：梁泽建审题人：文媛一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10x+=的倾斜角为（）A.0B.45C.90D.不存在【答

案】C【解析】【分析】根据直线的特征结合倾斜角的定义分析求解.【详解】因为直线10x+=与x轴垂直，所以直线10x+=的倾斜角为90.故选：C.2.在空间直角坐标系中，点()1,2,3A关于xOy平面的对称点为点B，则点B的坐标是（）A.()1,2,3−B.()1,2,

3−C.()1,2,3−−D.()1,2,3−−−【答案】B【解析】【分析】根据对称即可求解.【详解】点()1,2,3A关于xOy平面的对称点为点B()1,2,3−,故选：B3.直线:2360lxy−+=在x轴上的截距是（）A.()3,0−B.()3,0C.3−D.3【答案】C【解析】【分

析】根据截距的定义分析求解.【详解】令0y=，则260x+=，解得3x=−，所以直线:2360lxy−+=在x轴上的截距是3−.故选：C.4.已知()1,1,0A，()0,3,0B，()2,2,2C，则向量AB在AC上的投影向量的坐标是（）A.111,,663−B.111,,

663−−C.111,,663−−−D.111,,663【答案】D【解析】【分析】先求,ABAC，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解.【详解】因为

()1,1,0A，()0,3,0B，()2,2,2C，所以()()1,2,0,1,1,2ABAC=−=，所以()2221205AB=−++=，2221126AC=++=，()1121021ABAC=−++=，所以向量AB在AC上的投影向量是11111,,666366AB

ACACACABACABACAC===，所以向量AB在AC上的投影向量的坐标是111,,663，故选：D.5.在同一直角坐标系中，表示直线yax=与yxa=−正确的是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】讨论0a和a<0

，0a=三种情况，判断得到答案.【详解】直线yax=经过原点．直线yxa=−的斜率为1，在y轴上的截距为a−．当0a，则0a−，只有A符合.当a<0，则0a−，没有选项满足.当0a=，则0a−=，没有选项满足.故答案选A．【点睛】本题考查了

一次函数的图像问题，讨论法是一个常规方法，需要熟练掌握.6.如图ABC与BCD△所在平面垂直，且ABBCBD==，120ABCDBC==o，则平面ABD与平面CBD的夹角的余弦值为（）A.55−B.33−C.33D.55【答案】D【解析】【分析】根据线面角的定义，作出平面ABD与平

面CBD所成角的平面角，解三角形求出相关线段的长，即可求得答案.【详解】由题意知平面ABC平面CBDCB=，120ABC=作AOBC⊥交CB的延长线于O，作OEBD⊥于E，连接AE，ABC与BCD△所在平面垂直，且平面ABC平面CBDCB=，AO平面AB

C，AOBC⊥，故AO⊥平面CBD，,BDOE平面CBD，故AOBD⊥，AOOE⊥；,,AOOEOAOOE=平面AEO，故BD⊥平面AEO，AE平面AEO，故BDAE⊥，而AE平面ABD，OE平面

CBD，则AEO即为平面ABD与平面CBD的夹角，设2ABBCBD===，而120ABCDBC==o，故sin603AOAB==，cos601BOAB==，3sin602OEOB==，在RtAOE△中，22315342AEAOOE=+=+=，所以352

cos5152OEAEOAE===，故选：D7.设直线l的方程为sin20xy++=，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.π3π0,,π44B.π3π,44C.πππ3π,,4224D.π3π,24【答案】A【解

析】【分析】根据直线斜率范围求倾斜角的取值范围.【详解】由sin20xy++=得直线l的斜率为sink=，因为sin1,1−，故tan1,1k=−，因为)0,π，所以直线l的倾斜角的取值范围π3π0,,π44.故选：A8.已知正方体111

1ABCDABCD−的棱长为2，点P为线段1BC上的动点，则点P到直线1AC的距离的最小的值为（）A.63B.263C.66D.64【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出一个与11,ACBC都垂直的向量的坐

标，根据空间距离的向量求法即可求得答案.【详解】以A为坐标原点，以1,,ADABAA为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(2,2,0),(0,2,2),(2,2,2)ACBC，故11(2,2,2),(2,0,2)ACBC==−，设11(2,0,2),[0

,1]BPBC==−，则1111(22,0,2)CPCBBP=+=−−；设(,,)mxyz=为与11,ACBC都垂直的向量，则112220220mACxyzmBCxz=++==−=，令1

xz==，则(1,2,1)m=−，因为由题意点P到直线1AC的距离的最小值可认为是异面直线1AC和1BC的之间的长度，故点P到直线1AC距离的最小值为1||263||6mCPdm===，故选：A二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给

出的四个选项中，有多项的符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知平面0|0pnpp==，其中点0(1,2,3)p，法向量(111)n=，，，则下列各点在平面内的是（）A.(

3,2,1)B.(2,5,4)−C.(3,4,5)−D.(2,4,8)【答案】AC【解析】【分析】设(,,)pmnt，根据题意，列出方程，得到6mnt++=，逐个选项代入验证，可得答案.【详解】设(,,)

pmnt，可得0(1,2,3)ppmnt=−−−，由00npp=，得到1230mnt−+−+−=，整理得，6mnt++=，分别代入各个选项，可得A与C选项符合题意.故选：AC10.已知直线1l：10mxym++−=，2l：4340xmym++−=，下列命题中正确的是

（）A.若12ll⊥，则0m=B.当0m=时，(1,0)n=是直线1l的一个方向向量C.若12ll∥，则2m=或2m=−D.若直线2l在两坐标轴上的截距相等，则实数4m=【答案】AB【解析】【分析】根据两直线垂直可求出m的值判断A；根据方向向量的含义可判断B

；根据直线的平行求出m判断C；根据直线的一般式求出在坐标轴上的截距，列式求得m，判断D.【详解】对于A，12ll⊥，则410,0mmm+==，A正确；对于B，当0m=时，直线1l：10y−=，故(

1,0)n=是直线1l的一个方向向量，B正确；对于C，当0m=时，1l：10y−=，2l：10x−=，12ll,不平行；故0m，则12ll∥，可得12llkk=，即4mm−=−，则2m=或2m=−，当2m=时，1l：210xy+

+=，2l：4220xy++=，两直线重合，当2m=−时，1l：230xy−+=，2l：250xy−−=，即12ll∥，符合题意，故12ll∥，则2m=−，C错误；对于D，直线2l在两坐标轴上的截距相等

，可知0m，对于4340xmym++−=，令0x=，则43mym−=，令0y=，则434mx−=，则43434mmm−−=，解得4m=或43m=，D错误，故选：AB11.已知四面体ABCD的所有棱长均为2，M，N分别为棱AD，BC的

中点，F为棱AB上异于A，B的动点．下列结论正确的是（）A.若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线B.线段MN的长度为2C.异面直线MN和CD所成的角为π4D.FMFN+的最小值为2【答案】BCD【解析】【分析】对于A，取AB的中

点为F，CD的中点为E，说明四边形FNEM为平行四边形，直线FG与直线CD相交于E，即可判断；对于B，解三角形求得线段MN的长度即可判断；对于C，取BD的中点为H，找到HNM即为异面直线MN和CD所成的角或其补角，求得其大小，即可判断；对于D，将面ABD，面ABC展开为一个平面，即可求得F

MFN+的最小值，进行判断，由此可得答案.【详解】对于A，取AB的中点为F，CD的中点为E，连接FM，ME，EN，NF，则1,2FMBDFMBD=∥，1,2NEBDNEBD=∥，所以,FMNEFMNE=∥，故四边形FNEM为平行四边形，

设MN与EF交于点G，故此时直线FG与直线CD相交于E，因此此时直线FG与直线CD不是异面直线，故A错误；对于B，连接AN，DN，四面体ABCD的所有棱长均为2，故3ANDN==，因为M为AD中点，故MNAD⊥，所以312MN=−=，故B正确；对于C，取BD的中点

为H，连接HN，HM，因为M，N分别为棱AD，BC的中点，故111,1,//22MHABHNCDNHCD====，则HNM即为异面直线MN和CD所成的角或其补角，因为2222MHNHMN=+=，故MHN为等腰直角三角形，则π4HNM=，故C正确；对于D，将平面ABD，平

面ABC展开为一个平面，如图示：当M，F，N三点共线时，FMFN+最小，因为M，N分别为棱AD，BC的中点，所以此时四边形AMNC为平行四边形，故2MNAC==，即FMFN+的最小值为2，故D正确，故选：BCD12.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为

2，点O为底面ABCD的中心，点P为侧面11BBCC内（不含边界）的动点，则（）A.1DOAC⊥B.存在一点P，使得11//DOBPC.三棱锥1ADDP−的体积为43D.若1DOPO⊥，则11CDP面积的最小值为455【答案】ACD【解析】【分析】以点D为

坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点(),2,Pxz，利用空间向量数量积可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用锥体体积公式可判断C选项；求出点P的坐标满足的关系式，利用二次函数的基本性质可求得11

CDP面积的最小值，可判断D选项的正误.【详解】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A、()0,2,0C、()0,0,0D、()10,0,2D、()12,2,2B、()10,2,2C、()1,1,0O，设

点(),2,Pxz，其中02x，02z.对于A选项，()2,2,0AC=−，()11,1,2DO=−，则1220ACDO=−+=，所以，1DOAC⊥，A对；对于B选项，()12,0,2BPxz=−−，若11//BPDO，则202112xz−−==−，解得2xz

==，不合乎题意，所以，不存在点P，使得11//BPDO，B错；对于C选项，121222ADDS==△，点P到平面1ADD的距离为2，所以，11142233ADDPPADDVV−−===，C对；对于D选项，()1,1,OPxz=−，若1DOPO

⊥，则111220DOOPxzxz=−+−=−=，可得2xz=，由02022zz可得01z，()()222221216452225445555CPxzzzz=+−+−=−+=−+，当且仅当25z=时，等号成立，因为11CD⊥平面11B

BCC，1CP平面11BBCC，111CDCP⊥，11111114525CDPSCDCPCP==△，D对.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）13.一条光线从点(6,0)P射出，经直线y轴反

射后过点(2,8)Q，则反射光线所在的直线方程为_________________．【答案】60xy−+=【解析】【分析】(6,0)P关于y轴的对称点为(6,0)P−，反射光线所在的直线即为经过,PQ的直线，求PQ的直线方程即可.【详解】(6,0)P关于y轴的对称点为(6

,0)P−，根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过,PQ的直线，由两点式得直线PQ的方程为：068026yx−+=−+，即60xy−+=.故答案为：60xy−+=14.直线1:320−−=laxy和直线2:2(1)ylax−=−分别过定点

A和B，则AB=_________．【答案】17【解析】【分析】通过直线1:320−−=laxy和直线2:2(1)ylax−=−分别计算定点坐标A和B，从而计算AB的大小.【详解】直线1:320−−=lax

y经过的定点坐标为()0,2−，直线2:2(1)ylax−=−经过的定点坐标为()1,2，从而计算()()22012217AB=−+−−=.故答案为：17.15.二面角l−−的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内,并且垂直于棱l

,若4AB=,6AC=,8BD=,217CD=,则平面与平面的夹角为________.【答案】60°##π3【解析】【分析】先设平面与平面的夹角为,因为ACAB⊥,BDAB⊥,所以=0CAAB,=0BDAB,根据空间向量得CD

CAABBD=++,两边平方代入数值即可求出答案.【详解】设平面与平面的夹角为,因为ACAB⊥,BDAB⊥,所以=0CAAB,=0BDAB,由题意得CDCAABBD=++,所以22222222CDCABDCABABABDCA

ABCABDABBD=++=+++++2222CAABBDCABD=+++()()2361664268cos180217=+++−=,所以()1cos1802−=−,即1cos2=,所以60=,即平面与平面的夹角为60.故答案为:60.16.若空间两个单位

向量(,0,)OAmn=、(0,,)OBpn=与(1,1,1)OC=的夹角都等于θ，则当θ取最小值时，cosAOB=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列

方程组，结合不等式求解最值，再由2cos,OAOBn=即可求结果．【详解】由题意可得222211cos,cos3cos,cos3mnnpmnOAOCnpOBOC+=+=+==+==，则222211mnnpmp+=+=

=，由()()2222112124mnmnmnmn++=+=++，故22mn−+，当且仅当22mn==或22mn==−时等号成立，故22cos,333mn+−=，由于0,π，故当2cos33mn+==时，此时θ取最小值时，

故22cos,1OAOBOAOBnOAOB===，故答案为：12四．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知平面直角坐标系内三点()()()2,4,2,0,1,1ABC−−−．（

1）求直线AB的斜率和倾斜角；（2）若,,,ABCD可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标及CD所在直线方程；（3）若(),Exy是线段AC上一动点，求2yx−的取值范围．【答案】（1）1，π4（2）()3,5，20xy−+=（3）1,13−【解析】【分析】（1）根据直

线的斜率公式以及倾斜角的定义即可求得答案;（2）根据平行四边形性质结合直线的斜率公式即可求得答案；（3）根据2yx−的几何意义结合斜率公式即可求得答案.【小问1详解】由题意得直线AB的斜率为4122−=−−，所以直线AB的倾斜角为π4；【小问2详解】点D在第一象限时，,ABCDACBDkkkk

==.设(),Dxy，则11114212yxyx−=++=−−+，解得35xy==，故点D的坐标为()3,5；故CD所在直线方程为：(1)513(1)1xy−−−−=−−，即20xy−+=；【小问3详解】由

题意得2yx−为直线BE的斜率，当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小，11123BCk==−−−；当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，1ABk=；故直线BE的斜率的取值范围为1,13−，即2yx−的取值范围为1,13−.18.

已知空间三点(2,0,2)A−、(1,1,2)B−、(3,0,4)C−，设aAB=，bAC=．（1）设3c=，c//BC，求c．（2）若kab+与2kab−互相垂直，求k．【答案】（1）(2,1,2)c=−−或(2,1,2)−（2）=2k或52−．【解析】【分析

】（1）利用向量共线定理，结合3c=即可得出；（2）利用向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系()()20kakabb−+=即可得出.【小问1详解】由于(1,1,0)aAB==，(1,0,2)bAC==−，则()2,1,2BCACAB=−=−−，由于c//

BC，设()2,1,2ck=−−，由3c=，则()29414k=++，即有1k=，则()2,1,2c=−−或()2,1,2−．【小问2详解】kab+与2kab−互相垂直，则()()20kakabb−+=，则22220kabkab−−=，由（1）(1,1,0)a=，(1,0,2)b=−，

即有22250kk−+=，解得=2k或52−．19.已知ABC的顶点()2,0B−，AB边上的高所在的直线方程为3260xy+−=．（1）求直线AB的方程；（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．①角

A的平分线所在直线方程为20xy+−=；②BC边上的中线所在的直线方程为3y=．若________________，求直线AC的方程．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）360xy−+=（2）3100xy−+=【解析】【分析】（1

）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案；（2）联立直线方程，求得点A的坐标，分别利用角平分线的对称或中线的对称，可得答案.【小问1详解】因为AB边上的高所在的直线方程为3260xy+−=，

所以直线AB的斜率3k=，又因为ABC的顶点()2,0B−，所以直线AB的方程为：()32yx=+，即360xy−+=；【小问2详解】若选①，角A的平分线所在直线方程为20xy+−=，由2036xyyx+−==+，解得13xy=−=，所以点A坐标为()1,3A−，设点B关

于20xy+−=的对称点为()00,Bxy，则000001222022yxxy−=+−+−=，解得0024xy==，即B坐标为()2,4，又点()4,2B在直线AC上，所以AC的斜率431213ACk

−==+，所以直线AC的方程为()1423yx−=−，即3100xy−+=．若选②：BC边上的中线所在的直线方程为3y=，由336yyx==+，解得13xy=−=，所以点()1,3A−，设点()11,

Cxy，则BC的中点在直线3y=上，所以1032y+=，即16y=，又点()1,6Cx在直线3260xy+−=上，所以()8,6C，所以AC的斜率631813ACk−==+，所以直线AC的方程为()1683yx−=−，即直线AC的方程为3100xy−+=．20.空间中，两两互相垂直且有

公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,ijk分别为“

斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量nxiyjzk=++，则n与有序实数组(),,xyz相对应，称向量n的斜60°坐标为[,,]xyz，记作[,,]nxyz=．（1）若1,2,3a=，[1,1,2]b=−

，求ab+的斜60°坐标；（2）在平行六面体11ABCDABCD−中，12,3ABADAA===，1160BADBAADAA===，N为线段D1C1的中点．如图，以1,,ABADAA为基底建立“空间斜60°坐标系”．①求BN的斜60°坐标；②若2,2,0AM=−，求AM与BN

夹角余弦值．【答案】（1）0,3,5（2）①[1,2,3]−；②1510−的【解析】【分析】对于小问（1），因为1,2,3a=，[1,1,2]b=−，可以通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为23aijk=++，2bijk=−++，再计算ab+的斜60°坐标.对于小

问（2），设i，j，k分别为与AB，AD，1AA同方向的单位向量，则2ABi=，2ADj=，13AAk=，①中，通过平行六面体11ABCDABCD−得到11CBCCNBCN++=，从而得到BN的斜60°坐标；

②中，因为2,2,0AM=−，所以22AMij=−，结合①中的BN的斜60°坐标，并通过cos||||BNMBANBNAAMM=，，计算AM与BN夹角的余弦值.【小问1详解】由1,2,3a=，1,1,2b=−，

知23aijk=++，2bijk=−++，所以()()232abijkijk+=+++−++35jk=+，所以0,3,5ab+=；【小问2详解】设i，j，k分别为与AB，AD，1AA同方向的单位向量，则2ABi=，2ADj=，13AAk=，①111122323BNNABCCC

CAAADjkiikBj==−+++=+−=−++，[1,2,3]BN=−.②因为2,2,0AM=−，所以22AMij=−，则()22222224484442AMijijijij=−=−=+−=+−=，∵2||(23)15jkBNi=+−=，.∴2223)(2

2)4624623(AMijkijijiBNkijkjij=−++−=+−−−+=−，315cos10||||152BNAMANMNAMBB−===−，，所以AM与BN的夹角的余弦值为1

510−21.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥面ABCD，ADCD⊥，//ADBC，2PAADCD===，3BC=．E为PD的中点，点F在棱PC上，且3PCPF=，点G在棱PB上，且PGPB=．（1）求证：CD⊥面PAD；（2）当12=时，求点G到平

面AEF的距离；（3）是否存实数，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）63（3）存在，23=【解析】【分析】（1）由PACD⊥，ADCD⊥得CD⊥面PAD

；（2）求出面AEF的一个法向量为m，点G到平面AEF的距离为||||AGmm；（3）若A，E，F，G四点共面，则0mAG=，由此求得.【小问1详解】由PA⊥面,ABCDCD面ABCD，则PACD⊥，又ADCD⊥且

PAADA=，,PAAD面PAD，可得：CD⊥面PAD.【小问2详解】以A为原点，面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，,ADAP方向为y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，易知：(0,0

,0),(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,1,0)APCDB−，由13PFPC=可得：()()112240,0,22,2,2,,33333AFAPPC=+=+−=，由12PEPD=可得：(0,1,1)E，则(0,1,1)AE=，设平面AEF的法向量为：(

,,)mxyz=，则22403330mAFxyzmAEyz=++==+=，令1y=得1,1xz==−，∴面AEF的一个法向量为(1,1,1)m=−，因为12PGPB=，则1(1,,1)2G−

，1(1,,1)2AG=−，∴点G到平面AEF的距离为：1|11|||326||3AGmm−−==，即点G到平面AEF的距离为63．【小问3详解】存在这样的.由PGPB=可得：(2,1,2)(2,,2)PG=−−=−−，则()0,0,2(2,,2)(2,,22)AG

APPG=+=+−−=−−，若A，E，F，G四点共面，则AG在面AEF内，又面AEF的一个法向量为(1,1,1)m=−，∴0mAG=，即2220−+−=，可得23=.∴存在这样的23=，使得四点共面.22.如图，圆台12OO的轴截面为等腰

梯形11AACC，111224ACAAAC===，B为底面圆周上异于A，C的点．（1）若P是线段BC的中点，求证：1CP∥平面1AAB；（2）设平面1AAB平面1,CCBlQl=，1BC与平面QAC所成角为，当四棱锥11BAACC−的体积最大时，求

sin的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）144【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）作出平面1AAB和平面1CCB的交线，确定四棱锥11BAACC−的体积最大时B点位置，从而建立空间直角坐标系，利用空间角

的向量求法求出1BC与平面QAC所成角的正弦值，利用换元法结合二次函数性质即可求得其最大值.【小问1详解】取AB中点H，连接1,AHPH，因P为BC中点，则有1//,2PHACPHAC=，在等腰梯形11AACC中，1112ACAC=，故有1111,HPACHPAC=∥，则四边形

11ACPH为平行四边形，为即有11//CPAH，又1AH平面1AAB，1CP平面1AAB，所以1//CP平面1AAB.【小问2详解】延长11,AACC交于点O，作直线BO，则直线BO即为直线l，如图，过点B作BOAC⊥

于O，因为平面11AACC⊥平面ABC，平面11AACC平面ABCAC=，BO平面ABC，因此BO⊥平面11AACC，即BO为四棱锥11BAACC−的高，在RtABC△中，90ABC=，22122BABCBABC

BOACACAC+==，当且仅当BABC=时取等号，此时点O与2O重合，又梯形11AACC的面积S为定值，四棱锥11BAACC−的体积1113BAACCVSBO−=，于是当BO最大，即点O与2O重合时四棱锥11BAACC−的体积

最大，此时22,2BOACBO⊥=，以2O为原点，射线2221,,OAOBOO分别为,,xyz轴的非负半轴建立空间直角坐标系，在等腰梯形11AACC中，111224ACAAAC===，此梯形的高22111()32ACAChAA−=−=，因为11111,2

ACACACAC∥=,故11AC为OAC的中位线，则1(0,0,23),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,3)OABC−，12(1,2,3),(2,2,0),(0,2,23),(2,0,0)BC

ABBOOA=−−=−=−=，设,RBQBO=，则(2,22,23)AQABBQABBO=+=+=−−，设平面QAC的一个法向量(,,)nxyz=，则()220222230nOAxnAQxyz

===−+−+=，令3y=，得(0,3,1)n=−，则有11222221|||233(1)|sin|cos,|||||(3)(1)(1)(2)(3)nBCnBCnBC−+−===+−−+−+23|1|22421

+=−+，令1t=+，则23||sin224107ttt=−+，当0=t时，sin0=；当0t时，2233sin710153224227()77ttt==−+−+，21537()77t−+在157t=时取到最小值37，此时sin取到最大值43322714即当75t=，即

2=5时sin取到最大值，所以sin的最大值为144.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于1BC与平面QAC所成角的正弦值的最大值，解答时要确定四棱锥11BAACC−的体积最大时B点位置，从而建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www

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