【文档说明】北京市第十四中学2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，857.749 KB，由小赞的店铺上传

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北京十四中2023—2024学年度第二学期期中检测高一数学测试卷班级：______姓名：______注意事项：1.本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在

答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若角的终边经过点(1,2)P−，则tan的值为（）A.2−B.2C.12−D.12

【答案】A【解析】【分析】直接由三角函数定义求解即可.【详解】由三角函数定义可知2tan21yx−===−.故选：A.2.sin300的值为（）A.12B.12−C.32D.32−【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式二将

sin300化简为sin120−，计算即可.【详解】由诱导公式二，得3sin300sin(180120)sin1202=+=−=−.故选：D.3.在ABC中，若2a=，23b=，30A=，则B等于（）A.30

B.30或150C.60D.60或120【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，求得sinsinbBAa=，再由ab，且0180B，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在ABC中，由正弦定理可得sinsinabAB=，即233sinsi

nsin3022bBAa===，又由ab，且0180B，所以60B=或120B=，故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与

运算能力，属于基础题.4.已知向量ab，满足(2,3),(2,1)abab+=−=−，则22||||ab−=（）A.2−B.1−C.0D.1【答案】B【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量,ab满足(2,3),(2,1)ab

ab+=−=−，所以22||||()()2(2)311ababab−=+−=−+=−.故选：B5.将函数()sin2fxx=的图象向右平移6个单位长度得到()gx图象，则函数的解析式是（）A.()sin23gxx=+B.()

sin26gxx=+C.()sin23gxx=−D.()sin26gxx=−【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数()sin2fx

x=的图象向右平移6个单位长度，可得()sin2()sin(2)63gxxx=−=−.故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.6.在△ABC中，若coscosaBbA=，则△ABC为A.

等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到tantanAB=，由此得到AB=，进而判断出正确选项.【详解】由正弦定理得sincossincosABBA=，

所以tantanAB=，所以AB=，故三角形为等腰三角形，故选A.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.已知向量m和n都是非零向量，则“0mn”是“,mn

为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先由0mn及向量夹角范围0,π推断充分性，再由数量积定义以及“,mn为锐角”即可推断必要性.【详解】因为0mn，向量m和n都非零向量，则由·c

os,mnmnmn=得cos,0mn，所以由向量夹角范围为0,π，得“,0mn=”或“,mn为锐角”；反之，若,mn为锐角，则·cos,0mnmnmnmn==，故“0mn”是“,mn为锐角”的必要不充分条件.故选：B.是8.函数()co

scos2fxxx=−是A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2C.奇函数，且最大值为98D.偶函数，且最大值为98【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.

【详解】由题意，()()()()coscos2coscos2fxxxxxfx−=−−−=−=，所以该函数为偶函数，又2219()coscos22coscos12cos48fxxxxxx=−=−++=−−+

，所以当1cos4x=时，()fx取最大值98.故选：D.9.底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比512−等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为36°的黄金三角形被认为是最美的三角形．据此可得cos216

的值是（）A.458+B.154+−C.358+−D.1254−【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求出cos72，再根据二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得出答案.【详解】解：如图，ABC为一个黄金三角形，其中,36ABACBAC

==，D为BC的中点，根据题意可知512BCAB−=，则1512cos4BCBDBABAB−===，即51cos724−=，的又2cos722cos361=−，则2512cos3614−−=，解得51cos3

64+=，所以()51cos216cos18036cos364+=+=−=−.故选：B.10.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC+的最小值是()A.2−B.32−C.43−D.1−【答案】B【解析】【分析】根据

条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则(0,3)A，(1,0)B−，(1,0)C，设(,)Pxy，则(,3)PAxy

=−−，(1,)PBxy=−−−，(1,)PCxy=−−，则222233()22322[()]24PAPBPCxyyxy+=−+=+−−当0x=，32y=时，取得最小值332()42−=−，故选：B．第二部分（非选择题共110分）二、填

空题共5小题，每小题5分.11.若一个扇形的圆心角为2弧度，半径为2cm，则这个扇形的弧长是______cm.【答案】4【解析】【分析】由扇形弧长公式lR=即可求解.【详解】由扇形弧长公式得这个扇形的弧长是224lR===.故答案为：4.12.正方形ABCD的边长为2，点P为BC边中点，

则PBPD=______.【答案】1−【解析】【分析】先由题意读出PBPC=−，PBCD⊥，且1PBPC==即可求解PBPD.【详解】由题可得PBPC=−，PBCD⊥，且1PBPC==，所以()2··

··1PBPDPBPCCDPBPCPBCDPB=+=+=−=−.故答案为：1−.13.若点(cos,sin)A关于y轴对称点为(cos(),sin())66B++，写出的一个取值为___．【答案】512（满足

5,12kkZ=+即可）【解析】【分析】根据,AB在单位圆上，可得,6+关于y轴对称，得出2,6kkZ++=+求解.【详解】(cos,sin)A与cos,sin66B++关于y轴对称

，即,6+关于y轴对称，2,6kkZ++=+，则5,12kkZ=+，当0k=时，可取的一个值为512.故答案为：512（满足5,12kkZ=+即可）.14.已知()πsincos3f=+

，则π3f=______；若()32f=且0,π，则的取值为______.【答案】①.34②.0，π6，π【解析】【分析】先化简()f，接着将π3x=代入()f即可求解；令()32f=结合0,π即可求出的取值.【详解】由题(

)2π13sincossincoscos322f=+=+()1313sin21cos2sin244234=++=++，故π133sin2323344f=++=，令()3

2f=，即133sin22342++=，3sin232+=，2233k+=+或()222Z33kk+=+，即k=或()Z6kk=+，又0,π

，所以π0,,π6=.故答案为：34；π0π6=，，15.已知函数()()sin0,2fxx=+的部分图象如图所示，设()()gxfx=，给出以下四个结论：①函数()gx的最小

正周期是3；②函数()gx在区间75,189上单调递增；③函数()gx的图象过点30,2；④直线1318x=为函数()gx的图象的一条对称轴．其中所有正确结论的序号是_________

___．【答案】①②④【解析】【分析】根据函数()fx图象求出()sin(3)6fxx=−，结合三角函数的性质进而求出函数()sin(3)6gxx=−的零点，作出()gx图象，利用数形结合的思想依次判断结论即可.

【详解】由图象得，2223491863TTT=−====，又函数()fx图象过点2(1)9，，所以2322926kk+=+=−，由2，得6=−，所以()sin(3)6fxx=−，所以()()sin(3)6gxfxx==−，令36

183kxkx−==+，所以函数()gx的零点有571318181818−，，，，作出图象，如图，由图象可得，()gx的最小正周期为3，故①正确；函数()gx在710[]1818，上单调递增，即()gx在75()189，上单调递增

，故②正确；令0x=，得1()sin()62gx=−=，即函数图象过点1()20，，故③错误；由函数图象知直线1318x=是()gx图象的一条对称轴，故④正确.故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤

或证明过程.16.已知0,2，且3sin5=.（1）求sin4−的值；（2）求2costan24++的值.【答案】（1）210−；（2）7910.【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，（2）根

据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出.【详解】（1）因为0,2，3sin5=，所以24cos1sin5=−=.所以22sin(sincos)4210−=−=−.（2）因为

3sin5=，4cos5=，所以sin3tancos4==.所以21cos1tan79costan2421tan10++++=+=−.17.已知平面向量a，b满足4a=，8b=，

2π,3ab=.（1）求ab；（2）求2ab−；（3）当实数k为何值时，()()akbkab+⊥−.【答案】（1）16−（2）83（3）3132−【解析】【分析】（1）由数量积定义即可求解.（2）根据模长公式结合数量

积运算律即可求解.（3）根据向量的运算律以及垂直关系的向量表示即可求解.【小问1详解】由题2π1··cos481632abab==−=−.小问2详解】由（1）16ab=−，【所以()()2222244644166483ab

abaabb−=−=−+=−−+=【小问3详解】因为()()akbkab+⊥−，所以()()()()2222·1?16161640akbkabkakabkbkkk+−=+−−=−−−=，整理得2310kk+−=，解得3132k

−=.18.在ABC中，sin23sinCC=．（1）求C；（2）若6b=，且ABC的面积为63，求ABC的周长．【答案】（1）6（2）663+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得co

sC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得ABC的周长.【小问1详解】解：因为()0,C，则sin0C，由已知可得3sin

2sincosCCC=，可得3cos2C=，因此，6C=.【小问2详解】解：由三角形面积公式可得13sin6322ABCSabCa===，解得43a=.由余弦定理可得22232cos48362436122cababC=+−=+−=，23c=，所以，ABC的周

长为636abc++=+.19.如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点..的（1）若点A的横坐标是35，点B的纵坐标是1213，求()cos+的值；（2）若32AB=，求·OAOB的值.【答案

】（1）6365−（2）18−【解析】【分析】（1）先由题意求出点A、B的坐标，进而由三角函数定义以及两角和余弦公式即可求解.（2）根据已知用余弦定理求出向量夹角，再结合数量积定义公式即可求解.【小问1详解】由题点A、B在单位圆上，且分别在第

一象限和第二象限.故由点A的横坐标是35，点B的纵坐标是1213，得34,55A，512,1313B−，所以3sin,cos,si43125551ns3co1,====−，所以()35

41263coscoscossinsin51351365+=−=−−=−.【小问2详解】因为32AB=，所以222114cos228OAOBABAOBOAOB−+−===−，所以1·cos8OAOBOAOBAO

B==−.20.设函数()πsincoscossin0,2fxxx=+.（1）若()302f=−，求的值；（2）已知()fx在区间π2π,33−上单调递增，2π13f=，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作

为已知，使函数()fx存在，求，的值.条件①：π23f=；条件②：π13f−=−；条件③：()fx在区间ππ,23−−上单调递减.【答案】（1）π3=−（2）答案见解析【解析】【分析】（1）直接用两角和的正弦公式

化简，然后代入0x=计算即可；（2）选择①，函数()fx不存在；选择②，根据π13f−=−，2π=13f计算即可；选择③，根据π13f−=−，2π=13f计算即可.【小问1详解】因为()sincoscossinfxxx=+，所以()

()sinfxx=+.由()302f=−，得3sin2=−.又因为π2，所以π3=−；【小问2详解】选择条件①：π23f=，因为()()sinfxx=+，所以ππsin233f=+=，不可能；

选择条件②：π13f−=−，且2π13f=，因为()()sinfxx=+，所以()fx的最小值为1−，最大值为1，又因为()fx在区间π2π,33−上单调递增，且π13f

−=−，2π=13f，所以由三角函数的性质得2πππ233T=+=，故2πT=.因为0，所以2π1T==，()()sinfxx=+.由πsin13−+=−，得()π=2π6kk−Z.又因为π2

，所以π6=−.选择条件③：()fx在区间ππ,23−−上单调递减，且在区间π2π,33−上单调递增，因为()()sinfxx=+，所以()fx的最小值为1−，最大值为1.由题意得π13f−=−，又因为()fx在区间π2π,33−

上单调递增，且2π13f=.所以由三角函数的性质得2πππ233T=+=，故2πT=.因为0，所以2π1T==，()()sinfxx=+.由πsin13−+=−，得()π=2π6kk−Z.又因为π2，所以

π6=−.21.若点()00,xy在函数()fx的图象上，且满足()000yfy，则称0x是()fx的点．函数()fx的所有点构成的集合称为()fx的集．（1）判断43是否是函数()tanfx

x=的点，并说明理由；（2）若函数()()()sin0fxx=+的集为R，求的最大值；（3）若定义域为R的连续函数()fx的集D满足DRÜ，求证：()0xfx=．【答案】（1）不是，理由见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）直接求出03y

=，再判断出()00fy，即可得到()000yfy，即可得到结论；（2）先说明，若，则2T，由题设得到2T，推出矛盾即可证得；再说明的值可以等于，令0=，利用三角函数的值域加以证明即可；（3）由题设知，必存在0xR，

使得()()000fxfy，结合零点存在定理说明函数()fx必存在零点，即可证明.【小问1详解】43不是函数()tanfxx=的点，理由如下：设043x=，则04tan33y==，()0tan3fy=，因为32，所以()0tan30fy=，所以()000yfy，所以43

不是函数()tanfxx=的点；【小问2详解】先证明，若，则函数()fx的最小正周期22T=，因为函数()()()sin0fxx=+的集为R，所以对0xR，0x是()fx的点，令()0

0yfx=，则()000yfy，因为函数()()()sin0fxx=+的值域为1,1−，所以当00,1y时，必有()00fy，即()()sin0fxx=+对于0,1x恒成立，所以102T−，

即()fx的最小正周期2T，与2T矛盾；再证明的值可以等于，令()sinfxx=，对0xR，当()000,1yfx=时，()00,1fy，()000yfy；当()001

,0yfx=−时，()01,0fy−，()000yfy，所以0x是()fx的点，即函数()()()sin0fxx=+的集为R；综上所述，的最大值是；【小问3详解】因为函数()fx的集D满足DRÜ，所以存在0xR，使得()00yfx=且()000yf

y，即()()000fxfy，因为若00xy=，则()()()()20000fxfyfy=，所以00xy，因为函数()fx的图象是连续不断的，不妨设00xy，由零点存在定理知，必存在()100,xxy使得()10fx=，所以()fx存在零点，即()

0xfx=.【点睛】本题的第二小问关键点在于先假设，利用周期推出矛盾，进而证得，再利用三角函数的值域说明的值可以等于即可；第三小问的关键点在于得到存在0xR，使得()()000fxfy，结合零点存在定理即可证明.