【文档说明】信息必刷卷03（乙卷理科）-2023年高考数学考前信息必刷卷（解析版）.docx，共(19)页，3.242 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-106dc218ba518a2f18a535f2194835cf.html

以下为本文档部分文字说明：

绝密★启用前2023年高考数学考前信息必刷卷03全国乙卷地区专用理科数学新课标全国卷乙卷试题结构为12道单选题，4道填空题，6道解答题，其中一道解答题是“二选一”型。2022年数学试卷，稳重求新，重点在想“新”上，试卷落脚数学学科的

特点，更加注重基础考察，突出数学学科能力考察，强调教学与考试的衔接。1.突出对基础概念，基本原理的本质认识与解，强调知识之间的内在联系与应用，要求学生通过学习形成学科知识体系，注重本源性的方法。强调通性通法的深入理解与综合运用，引

导学生通过学习转化为自身的知识结构体系。2.试卷在各种题型都突出了对主干知识的考察，例如理科卷第12题，文科卷第16题，突出重点知识，要求学生在抽象数学（或更复杂的函数）的背景下，理解函数的奇偶性，对称型，单调性，以及它们之间的联系，对数学的抽象性，直观性，逻辑内在联系等核心素养都有更高的

要求和应用能力。3.关注创新题，开放性题，鼓励学生通过学习，运用发散性思维，创造性思维来分析问题和解决问题。结合2022年新课标全国卷乙卷试卷试题，在针对2023年高考复习教学备考，建议从以下几方面加强教学与训练。1.在教学和考练中，要加强和提

高学生的运算能力。特别是常考不衰的立体几何大题的坐标计算，以及圆锥曲线的逻辑推导。如本卷的18,20题。2.注重基础知识与基础能进的学习和训练，培养和增加对问题本质的学习认识与理解，通过复习备考，让学生的知识系统化、机构化，提高理解运用能力，加

强通法通解的学习，更要加强灵活应用能力。3.针对新高考以及全国卷乙卷处于新高考的过渡期，要培养学生的创新思维能力，培养学生思考问题的灵活性，解决问题题的思维发现性，还要做到一题多思维，扩展数学文化背景的积蓄，以适应新教材体系下的数学思

维考察，如本卷第2,11,13,19等题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合1Mxx=或3x，2log1Nxx=，则集合MN=（）A．(,1−B．(0,1C．1,2D．(

,0−【答案】B【分析】利用对数函数性质化简集合N，再结合交集的运算求解即可.【详解】由题知，2log102Nxxxx==，又1Mxx=或3x，则01MNxx=，即(0,1x.故选：B2．欧拉公

式iecosisinxxx=+（其中i为虚数单位，xR）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（）A．ei=0B．i2e为实数C．ie123i

x=+D．复数2ie对应的点位于第三象限【答案】C【分析】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D.【详解】解：对于A：iecosisin1=+=−，故A错误；对于B：2cosisini2e2i=+=，所以2ei为

纯虚数，故B错误；对于C：()ii2222ecosisinecossin123i3i3i31xxxxxx++====++++，故C正确；对于D：2iecos2isin2=+，则复数2ie在复平面内对应的点为()cos2,sin2，因为22

，所以cos20，sin20，所以点()cos2,sin2位于第二象限，即复数2ie对应的点位于第二象限，故D错误；故选：C3．已知变量,iixy具有相关关系，其散点图如图所示，则它们分别对应的相关系数(1

,2,3,4)iri=的大小关系是（）A．1342rrrrB．3124rrrrC．3142rrrrD．1324rrrr【答案】A【分析】利用给定的散点图判断正负相关，再由点的集中

程度判断大小作答.【详解】观察散点图知，第一、三图是正相关，且第一图中点的集中程度高于第三图，1r接近于1，即130rr，第二、四图是负相关，且第二图中点的集中程度高于第四图，2r接近于-1，即240rr，所以有1342rrr

r.故选：A4．设na是首项为1−的等比数列，公比为q，则“1q−”是“对任意*Nn，2120nnaa−+”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必

要条件【答案】C【分析】由等比数列通项公式得到212nnaa−+与公比q的关系式，分别以1q−与2120nnaa−+为条件进行推理判断，从而得解.【详解】因为数列{}na是首项为1−的等比数列，公比为q，则0q，当1q−时，222122212(1)nnnnnaaqqqq−−

−−+=−−=−+，因为1q−，0q，所以10q+，220nq−，所以22(1)0nqq−−+，所以2120nnaa−+；当2120nnaa−+时，有22(1)0nqq−−+，因为0q，所以220nq−

，所以10q+，故1q−；则“1q−”是“对任意的*Nn，2120nnaa−+”的充分必要条件，选项C正确.故选：C.5．已知抛物线2:2(0)Cxpyp=的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与

抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，AFBM=()R，则=（）A．32B．43C．2D．3【答案】A【分析】过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为N，E，根据抛物线的定义，又F恰好为AM的中点，可得到比

例||||AFBM，进一步推导得到的值.【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为N，E，根据抛物线的定义得||||AFAN=，||||BFBE=，因为F为AM的中点，所以||||||||1||||||

AFBFBMBFBMBMBM+==+，又||||||||BFBEBMBM==||||1||||2ANAFAMAM==，所以||||1311||||22AFBFBMBM=+=+=，所以32=.故选：A6．如图，在

正方体1111ABCDABCD−中，,,EFM分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则下列结论中错误的是（）A．平面1EFC⊥平面11CAACB．1//MPACC．1MPCD⊥D．//EF平面11ADB【答案】C【分析】根据空间线面位置关系

依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，由,EF分别为所在棱的中点得//EFBD，由正方体的性质易知ACBD⊥，1AA⊥平面ABCD，EF平面ABCD，所以1AAEF⊥，ACEF⊥，1ACAAA=∩，1,ACAA

平面11CAAC，所以EF⊥平面11CAAC，EF平面1EFC，所以平面1EFC⊥平面11CAAC，故A选项正确；对于B选项，P为下底面1111DCBA的中心，故P为1111,ACBD的中点，因为M为所在棱1AA的中点，所以1//MPAC，故B选

项正确；对于C选项，若1MPCD⊥，由B选项知1//MPAC，则有11ACCD⊥，令一方面，由正方体的性质知1ACD△为直角三角形，1ADDC⊥，所以，11ACCD⊥不满足，故C选项错误；对于D选项，

由A选项知//EFBD，由正方体的性质易知11//BDBD，所以11//BDEF，11BD平面11ADB，EF平面11ADB，所以//EF平面11ADB，故D选项正确.故选：C7．在ABC中，已知2ADDC=，33ACBC==，sin3sinBDCBAC=

，则ABC的面积为（）A．16B．13C．23D．52【答案】D【分析】利用诱导公式和正弦定理，由sin3sinBDCBAC=可得3ABBD=，再在ABC和ABD△中分别利用余弦定理列式，结合长度关系解得AB和sinBAC，代入面积公式即可求解.【详

解】由2ADDC=可得13DCAC=，因为33ACBC==，所以1BCDC==，又因为()sinsinπsin3sinBDCBDABDABAC=−==，所以在BDA△中由正弦定理可得3ABBD=，在ABC中，由余弦定理可得22

22cosBCABACABACBAC=+−，即219918cosBDBDBAC=+−①，在ABD△中，由余弦定理可得2222cosBDABADABADBAC=+−，即229412cosBDBDBDBAC=+−②，①②联立

解得63BD=，76cos18BAC=，所以AB6=，30sin18BAC=，所以15sin22ABCSABACBAC==，故选：D8．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,ABC三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有

一名志愿者，且甲不在A小区的概率为（）A．193243B．100243C．23D．59【答案】B【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去A的情况数，从而得到甲不去A小区的情况数，再结合概率公式，即可得到结果.【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，

共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353CA60=;当5人被分为2,2,1时，情况数为2134

5322CCA90A=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A，情况数较多，反向思考，求甲去A的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A，甲若为1，则3242CA8=，甲若为3，则2242CA12=共计81220+=种，当5人被分为2

,2,1时，且甲去A，甲若为1，则224222CA6A=，甲若为2，则112432CCA24=，共计62430+=种，所以甲不在A小区的概率为()1502030100243243−+=故选：B.9．已知函数()()cos04fxxb

=−+的最小正周期为T，23T，且()yfx=的图像关于点3,12中心对称，若将()yfx=的图像向右平移()0mm个单位长度后图像关于y轴对称，则实数m的最小值为（）

A．10B．310C．710D．1110【答案】B【分析】根据周期范围得出范围，根据对称中心得出b的值，并结合范围得出的值，即可得出()fx的解析式，根据函数图像平移后的解析式变化得出()fxm−，即可根据图像关于y轴对称，得出()524mkk−−

=Z，再根据m的范围得出实数m的最小值.【详解】2T=，0，且23T，223，即23，()yfx=的图像关于点3,12中心对称，1b=，且3cos024−=，即()3242kk−=+Z，解得()12

23kk=+Z，23，取3k=，52=，()5cos124fxx=−+，将()yfx=的图像向右平移()0mm个单位长度后得到()55cos1224xmfxm−=−−+的图像，()f

xm−的图像关于y轴对称，()524mkk−−=Z，解得()2105kmk=−−Z，0m，m的最小值，令1k=−，得min2310510m=−+=，故选：B.10．在直三棱柱111ABCABC-中，ABC

是边长为6的等边三角形，D是AB的中点，1DC与平面ABC所成角的正切值为1，则三棱柱111ABCABC-的外接球的表面积为（）A．75πB．68πC．60πD．48π【答案】A【分析】由题知1CDC为1DC与平面ABC所成的角，进而根

据几何关系得133CC=，设直三棱柱上、下底面的中心分别为2O，1O，故三棱柱的外接球的球心为12OO的中点，设为O，则OC为球的半径，再根据勾股定理求解得754CO=，再计算求得表面积即可.【详解】解

：如图所示，在直三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥底面ABC，所以1CDC为1DC与平面ABC所成的角，因为ABC是边长为6的等边三角形，D是AB的中点，所以36332CD==，所以111tan133CCCCCDCCD===，解得133CC=．设直三棱柱上、下底面的中心分别为2

O，1O，所以1O在CD上，且12233COCD==，由对称性可知，三棱柱的外接球的球心为12OO的中点，设为O，则OC为球的半径，因为12133OOCC==，所以2221133751224COCOOO=+=+=，所以直三棱柱的外接球的表面积754π75π4S==．故选：A

．11．下列结论正确的是（）A．202120222023log2022log20232022B．202220212023log2023log20222022C．202220212023log202

3log20222022D．202120222023log2022log20232022【答案】B【分析】运用作差法、对数运算公式及基本不等式可比较2021log2022与2022log2023，再运用构造函数ln()(0)1xfxxx=+研究其单调性可比较2021log20

22与20232022.【详解】∵220212022ln2022ln2023(ln2022)ln2021ln2023log2022log2023ln2021ln2022ln2021ln2022−−=−=，()222222ln20221ln2021

ln2023ln2022ln2021ln2023(ln2022)222−+==，∴20212022log2022log20230−，所以20212022log2022log2023

.∵2021ln2022log2022ln2022l2202220n2022ln2021l1n2022220232023ln2022023202320212220===∴比较2021log2022与20232022的大小，即比较ln20222023与ln20

212022的大小.令ln()(0)1xfxxx=+，则211ln()(1)xxfxx+−=+.令1()1lngxxx=+−，则211()0gxxx=−−.所以()gx在(0,)+上单调递减，所以

当2ex时，()221()e120egxg=+−，所以()0fx，所以()fx在()2e,+上单调递减.又因为220222021e，所以(2022)(2021)ff，即ln2022ln202120232022.所以l

n20222023ln20212022，即20212023log20222022.综上所述，202220212023log2023log20222022.故选：B.【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系

问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.12．在ABC中，3BCAC=，3BAC=，点D与点B分别在直线AC的两侧，且1AD=

，3DC=，则BD的长度的最大值是（）A．3B．33C．3D．32【答案】B【分析】根据已知条件可以判断ABC是直角三角形，且随着ADC的变化ABC三条边的长度也会随着发生改变，因此先根据余弦定理和正弦定理确定ADC与边的变化关系

，再构造一个关于BD边的三角形，根据ADC与边的关系在新构造的三角形中解出BD的表达式，找出最大值.【详解】由33tanBCBCACBACAC===可知，ABC是6ABC=，2ACB=的直角三角形，如图所示：设ACx=，3BCx=，ADC=，则由余弦定理得2

222cosACADCDADCD=+−，即21323cos423cosx=+−=−由正弦定理得sinsinADACACD=，所以sinsinxACD=.连接BD，在BCD△中，由余弦定理，得2222cosBDBCCDBCCDBCD=+−()222233233cos2336s

in336sin3423cos36sin156sin63cos1512sin273BDxxACDxxACDx=+−+=++=++=−++=+−=+−当5236=+=时，BD的长度取得最大值，为33故选:B【点睛】思路点睛：可变动图形与某一变量

的变化关系引出的求边求角类问题（以本题为例）：①确定变动图形的变化规律：如上题ABC的变化是角度不变，边长可等比例变化②确定图形变化与某个变量的联系：ADC变化→AC发生变化→ABC整体变化③找到有直接联系的两个变量的数学关系，然后推广到整体变化上：此处最为困难，需要学生根据已知条件活

用所学的数学知识.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．()532nxy−+展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为___________.【答案】15625【分析】根据题意，令y的指数为0，得()53nx−，再令=1x，得()532nxy−

+的展开式中不含y的项的系数和为()53n−，解得n，再求展开式中的常数项.【详解】()532nxy−+展开式中不含y的项，即展开式中y的指数为0，即()53nx−的展开式，再令=1x，得()532nxy−+展开式中不含y的项的系数和为()

53n−=64，∴=6n，求()6532xy−+展开式中的常数项，由()()66532532xyxy−+=−−，所以展开式中的常数项为066C5=15625.故答案为：1562514．已知点M在直线BC上，点A在直线BC外，

若ABACABAC+=−，且4AB=uuur，2AC=，则AM的最小值为______.【答案】455【分析】根据条件可得出0ABAC=从而得出ABAC⊥，进而得出BC，根据题意知，当AMBC⊥时，AM最小，从而得出可得出AM的最小值．【详解】根据题意，当AMBC⊥时，AM最小；由A

BACABAC+=−，222222ABACABACABACABAC++=+−，∴0ABAC=，即ABAC⊥，∴22224225BCABAC=+=+=，∴当AMBC⊥时，由面积法得2524AM=，455AM=，所以AM的最小值为455.故

答案为：45515．设O为坐标原点，双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别是12,FF，若双曲线C的离心率为3，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则1PFOP=___

___．【答案】6【分析】根据离心率和双曲线,,abc关系可用a表示出,bc，并得到渐近线方程；在2RtOPF和1POF△中，结合余弦定理可用a表示出1,OPPF，进而求得结果.【详解】双曲线C的离心率3==cea，3ca=，222bcaa=−=，双曲线渐近线为：2yx=，不妨设P在2yx=

上，如下图所示，2tan2POF=，23cos3POF=，则123coscos3POFPOF=−=−，在2RtOPF中，223cos3OPOFPOFca===，在1POF△中，由余弦定理得：2222221

111232cos4363PFOFOPOFOPPOFaaa=+−=+=，16PFa=，166PFaOPa==.故答案为：6.16．方程()eln,0xaxxxbab−=−有解，则ab−的取值范围为______．【答案】1,e

−【分析】利用同构思想把方程化为elnexxaxbx+=，令exxt=，()0,t+则lnatbt+=在()0,+上有解，再结合导数的几何意义求解.【详解】elnelnlnexxxaxxxbaxbxxx−

=−+=+=，令exxt=，()0,t+则lnatbt+=在()0,+上有解，令lnyx=，yaxb=+，当直线yaxb=+与曲线lnyx=相切时，a取最大值，为切线的斜率.对lnyx=求导得1yx=，设切点为()00,lnxx，∴切线方程为()000011ln1yxx

xxxx−=−=−，即0011lnyxxx=−+，令0ln1xb−=，∴10ebx+=，∴1011ebax+=，∴11ebabb+−−，因为()11ebgbb+=−关于b单调递减，∴()10eabg−=．所以ab−的取值范围为1,e−.故答案为：1,e−【点

睛】关键点睛：利用同构思想把elnelnlnexxxaxxxbaxbxxx−=−+=+=，从而令exxt=，则lnatbt+=，简化了结构.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必

考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.（12分）已知等差数列na的首项11a=，记na的前n项和为nS，4232140Saa−+=.(1)求数列na的通项公式；(2)若数列na公差1d

，令212nnnnnacaa++=，求数列nc的前n项和nT.【答案】(1)21nan=−或23nan=−+(2)11(21)2nnTn−+=【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式运算求解；（2）根据题意可得21nan=−，12311(21)(21)2(21)2(21)2

nnnnncnnnn−+==−−+−+，利用裂项相消法求和【详解】（1）由题意可得：423111214462()(2)14462(1)(21)140Saaaddadaddd−+=+−+++=+−+++=，整理得24d=，则2d=可得()12121n

ann=+−=−或()12123nann=−−=−+，故21nan=−或23nan=−+.（2）∵1d，由（1）可得2,21ndan==−，则12311(21)(21)2(21)2(21)2nnnnncnnnn−+==−−+−+，故1231

121111111323252(21)2(21)1(2)2211nnnnnnTccccnn−=+++=−+−++−=−+−+LL所以11(21)2nnTn−+=.18．如图，在三棱柱111ABCABC-中，底面ABC为等腰直角三角形，侧面11AAC

C⊥底面,ABCD为AC中点，12,5ABBCAA===.(1)求证：1BDAD⊥；(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角1ACCB−−的余弦值.条件①：111ACBC⊥；条件②：11AABC=.【答案】(1)证明见解析(

2)23【分析】（1）根据面面垂直的性质可得BD⊥平面11AACC，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）选①，取11AC的中点E，连接1,BECE，证明1ACAD⊥，再以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.选②，取11AC的中点E，连接1,,BECEDE，利用勾股定理证明1AD

AD⊥，再以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为ABBC=，D为AC中点，所以BDAC⊥，又因为面11AACC⊥面ABC，面11AACC面ABCAC=，BD面ABC，所以BD⊥平面11AACC，又1AD平面11AACC，所以1BDAD⊥；（2）选①，取

11AC的中点E，连接1,BECE，则1AEDC∕∕且1AEDC=，所以四边形1ADCE为平行四边形，所以1ADCE∕∕，因为1111ABBC=，E为11AC的中点，所以111ACBE⊥，又11111111,,,AC

BCBCBEBBCBE⊥=平面1CBE，所以11AC⊥平面1CBE，又11ACAC∕∕，所以AC⊥平面1CBE，又CE平面1CBE，所以ACCE⊥，因为1ADCE∕∕，所以1ACAD⊥，如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，由12,5ABBCAA===，得12,2AC

AD==，则()()()()10,0,0,0,1,0,1,0,0,2,0,2DBCC−−，则()()11,1,0,1,0,2CBCC==−，因为BD⊥平面11AACC，所以()0,1,0DB=即为平面11AACC的一条法向量

，设平面1BCC的法向量为(),,nxyz=，则有1020nCBxynCCxz=+==−+=，可取()2,2,1n=−，则22cos,133nDBnDBnDB−===−，由图可知，二面角1ACCB−−为锐二面角，所以二面角1ACCB−−的余弦值为23.选②，取11AC的中点E

，连接1,,BECEDE，则1AEDC∕∕且1AEDC=，所以四边形1ADCE为平行四边形，所以1ADCE∕∕且1ADCE=，因为1CEDC∕∕且1CEDC=，所以四边形1ADCE为平行四边形，所以1BDBE∕∕且1BDBE=，又因为1BDAD⊥，所以1CEBE⊥，又115AABC=

=，11BDBE==，所以2CE=，则12ADCE==，在1ADA△中，因为22211ADADAA+=，所以1ADAD⊥，如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，下同选①的答案.19．强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所

大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为12；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为16，23，m，其中01m．(1)若23m=，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围．【答案】(1)38，718(2)2,13【分析】（1）根据二项分布概率的计算公式，以及独立事件求概率的方法，

即可求解恰好通过一门科目的概率；（2）考生报考甲大学通过的科目数X服从二项分布，期望可直接利用公式()EXnp=求解，而考生报考甲大学通过的科目数Y需求出分布列，再求期望，根据()()EYEX即可求出m的取值范围【详解】（1）

解：设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件A，该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件B，根据题意可得213113()C228PA==，211521217()2636335418PB=+==.（2）设该考生

报考甲大学通过的科目数为X，报考乙大学通过的科目数为Y，根据题意可知，1~3,2XB，则13()322EX==，515(0)(1)(1)6318PYmm==−=−，115251111(1)(1)(1)63636318

3PYmmmm==−+−+=−，12115211(2)(1)63636392PYmmmm==−++=+，121(3)639PYmm===，则随机变量Y的分布列为Y0123P5(1)18m−111183m−1192m+19m111215()183936EYmmmm=−++

+=+，若()()EYEX，则5362m+，故213m，即m的取值范围是2,13.20．已知椭圆()2222:10xyCabab+=，离心率22e=，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为22．(1)求椭圆C的方程；(2)M，N，A，B为椭圆上不同的四点，且均与椭圆右

顶点P不重合，1MNABkk=−，1PMPNkk=，2PAPBkk+=，证明：直线MN和直线AB的交点在一个定圆上．【答案】(1)22142xy+=(2)证明见详解【分析】（1）由条件列关于,,abc的方程，解方程可得,,abc，由此可得椭圆方程；（2）方法一：设直线:MNykxm=+，:AB

ykxm=+，联立方程组利用设而不求法证明直线MN和直线AB过定点，结合条件证明结论.方法二：直线:MNykxm=+，:ABykxm=+，通过齐次化变形，证明()222PMPNmkkkmk−=+，()422PAPBkkm

k+=−+，由此证明直线MN和直线AB过定点，结合条件证明结论.【详解】（1）由22cea==，222abc=+，三角形面积12222Sabab===，解得24a=，22b=，所以椭圆C的方程为22142xy+=．（2）由（1）得()2,0P，设()11,Mxy

，()22,Nxy，()33,Axy，()44,Bxy，直线:MNykxm=+，:ABykxm=+．联立221,42,xyykxm+==+消去y整理得()222124240kxkmxm+++−=，方程(

)222124240kxkmxm+++−=的判别式22321680km=+−，则12221224,1224.12kmxxkmxxk+=−+−=+，因为1PMPNkk=，所以1212122yyxx=−−，所以()()()2212121240kxxkmxxm−

++++−=，所以()()2222224412401212mkmkkmmkk−−++−+−=++，整理得()()260mkmk++=．若2mk=−，则()22ykxkkx=−=−，则直线MN过定点()2,0P，与题意矛盾；若6m

k=−，则()66ykxkkx=−=−，则直线MN过定点()6,0．同理可得34223424,1224,12kmxxkmxxk+=−+−=+又因为343400222PAPByykkxx−−+==+−−，所以

()()()343443342222xxxyxyyy−−=+−+，所以()()()()343434433424822xxxxxkxmxkxmkxxm−++=+++−++，所以()()()34342224480kxxmkxxm

−+−++−−=，所以()()()22224422244801212mkmkmkmkk−−+−+−−+=++，整理得()()2120kmkm+++=．若2mk=−，则()22ykxkkx=−=−，则直线AB过定点()2,0

P，与题意矛盾；若21mk=−−，则()2121ykxkkx=−−=−−，则直线AB过定点()2,1-．又因为1ABMNkk=−，所以ABMN⊥，所以直线AB与MN的交点在以()6,0和()2,1-所连线段为直径的定圆上．方法二：设()11,Mxy，()2

2,Nxy，()33,Axy，()44,Bxy，直线:MNykxm=+，:ABykxm=+．椭圆方程22142xy+=变形为()()2222420xyx−++−=，直线:MNykxm=+变形为()212ykxmk−−

=+，代入椭圆方程得()()()222224202ykxxyxmk−−−++−=+，即()()()()222242220mkxyxmky−−+−++=，左右两边同时除以()22x−得，()22242022yym

kmkxx+++−=−−，则PMk，PNk为方程的两个根，则()2122PMPNmkkkmk−==+，所以6mk=−，直线MN过定点()6,0．同理可得()22242022yymkmkxx+

++−=−−，则PAk，PBk为方程的两个根，则()4222PAPBkkmk+=−=+，所以21mk=−−，直线AB过定点()2,1-．又因为1ABMNkk=−，所以ABMN⊥，所以直线AB与MN的交点在以()6,0和()2,1-所连线

段为直径的定圆上．【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦

长、斜率、三角形的面积等问题．21．已知函数()elnxfxaxaxx=−−．(1)若不等式()0fx恒成立，求实数a的取值范围；(2)若函数()yfx=有三个不同的极值点1x，2x，3x，且()()()21233eefxfxfx++−，求实数a的取值范围．【答案】(1)ea(2)

2eea【分析】（1）由()0fx分离常数a，利用构造函数法，结合导数来求得a的取值范围.（2）首先根据()fx有3个不同的极值点求得a的一个范围，然后化简不等式()()()21233eefxfxfx++−，利用构造函数法，结合导数求得a的取值范围.【详解】（1）函数(

)fx的定义域为()0,+，不等式()0fx恒成立，即()elnxaxxx−在()0,+上恒成立，记()lnuxxx=−，则()111xuxxx−=−=，得到()ux在区间()0,1上()()0,uxux单调递减，在()1,+

上()()0,uxux单调递增，则()()min11uxu==，即()1ux在区间()0,+上恒成立，分离变量知：()2lnexagxxxx=−在()0,+上恒成立，则()minagx，()()()()()()222222ln2

ln1ln2ln1lnelneexxxxxxxxxxxxxgxxxxxxx−−−−−−++==−−()()()()()()2222211ln11lnlneelnxxxxxxxxxxxxxx−−−−−−==−−，由前面可知，当()()0,11,x+时，()ln1ux

xx=−恒成立，即1ln0xx−−，所以()gx在区间()0,1上()()0,gxgx单调递减，在区间()1,+上()()0,gxgx单调递增，所以()()min1egxg==，所以ea．（2）()()()()()()2222e1

e11e1xxxaxxxaxxxafxaxxxxx−−−−−=−−=−=，设曲线exy=图象上任意一点()(),e,eetxxt=，所以曲线exy=在点(),ett处的切线方程为()eettyxt−=−，将()0,0代入得()0ee0,1tttt−=

−=，故切点为()1,e，过()0,0的切线方程为()ee1,eyxyx−=−=，所以直线eyx=和曲线exy=相切，并且切点坐标为()1,e，所以当且仅当ea时，方程e0xax−=有两个不相等的实根1x，3x，

并且1301xx，从而当ea时，()fx有三个极值点1x，2x，3x，并且12301xxx=，11exax=，33exax=，取对数知：11lnlnaxx+=，33lnlnaxx+=，即11lnlnaxx=−，33lnlnaxx=−，则()()()()()31123113313ee

lnelnxxfxfxfxaxxaaxxxx++=−−+−+−−2lneln2lne3eeaaaaaaaaaa=−+−+−=−−−．构造()()2lneegaaaaa=−−，()()2ln112ln10gaaa=+−=+在ea时恒成立，则()ga在区间()e,a

+上单调递增，且()22222eee2ln3eeeeg=−−=−，从而()()()()21232lne3eefxfxfxaaaga++=−−=−的解为2ea，综上所述2eea．【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，然后构造函数

，利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.当一次求导无法求得单调区间时，可考虑二次求导等方法来进行求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos2sinxbtybt==+（t为参数，0b）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为4cos=−．(1)说明1C是什么曲线，并将1C的方程化为极坐标方程；(2)直线3C的极坐标方程为sincos

10++=，是否存在实数b，使1C与2C的公共点都在3C上，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)曲线1C是以(0,2)为圆心，b为半径的圆，224sin40b−+−=；(2)存在，

22b=.【分析】（1）将1C的参数方程化为普通方程即可得曲线形状，再利用极坐标与直角坐标互化关系求出极坐标方程作答.（2）联立曲线1C与2C的极坐标方程消去，联立曲线2C与直线3C的极坐标方程消去，求出b值作答.【详解】（1）由cos2sinxbtyb

t==+消去参数t得到1C的普通方程为222(2)xyb+−=，因此曲线1C是以(0,2)为圆心，b为半径的圆；将cossinxy==代入1C的普通方程中，得1C的极坐标方程为224sin40b−+−=，所以

曲线1C是以(0,2)为圆心，b为半径的圆，其极坐标方程为224sin40b−+−=.（2）曲线12,CC的公共点的极坐标满足方程组224sin404cosb−+−==−，消去整理得2216cos16sincos40b++−=，把4cos=

−代入3C的方程sincos10++=中，得24cossin4cos1+=，把24cossin4cos1+=代入2216cos16sincos40b++−=，得28b=，而0b，解得22b=，所以存在实数22b=，使1C与2C的公共点都在

3C上．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()2|1||1|fxxx=−−+，()|1|gxx=−．(1)在给出的坐标系中画出函数()yfx=的图像；(2)若关于x的不等式()()fxagx恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)作图见解析(2))2,+

．【分析】（1）根据绝对值函数分区间去绝对值后，写成分段函数，即可作出图像；（2）设()()hxagx=，由关于x的不等式()()fxhx恒成立，则()()33hf且0a，得出0a，画出()

hx的大致图像，则满足()1(1)hf−−即可，解得不等式即可求得答案．【详解】（1）由题得，3,1()21131,113,1xxfxxxxxxx−+−=−−+=−+−−，画出()fx的图像如图所示：（2）设,1()()1,1axaxhxagxaxa

xax−+==−=−，()()fxagx，()()330hf=，且0a，0a，画出()hx的大致图像，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com