【文档说明】普通高等学校招生全国统一考试2024届高三上学期青桐鸣大联考试题 数学 含解析.docx，共(11)页，694.695 KB，由小赞的店铺上传

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2024届普通高等学校招生全国统一考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非

选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2,1,0,1,2A=−−，

0Bxx=，则AB的真子集个数为（）A．2B．3C．4D．72．已知i为虚数单位，复数z满足ii1zx−=+，则1z+=（）A．2B．1C．5D．23．已知单位向量a，b的夹角为π3，则56ab+=（）A．9B．91C．10D．310

4．据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y与其花朵凋零时间t（分钟）（在植物学上t表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：102tyb=（b为常数），若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新

鲜程度为110，则当该种玫瑰花新鲜程度为12时，其凋零时间约为（参考数据：lg20.3）（）A．3分钟B．30分钟C．33分钟D．35分钟5．已知某圆台的体积为21π，其上、下底面圆的面积之比为1:4且周长之和为6π，则

该圆台的高为（）A．6B．7C．8D．96．已知抛物线()2:20Cypxp=，过点,02p且斜率为1−的直线l交C于M，N两点，且32MN=，则C的准线方程为（）A．1x=−B．2x=−C．3x=−D．4x=−7．已知数列na是单调递增数列，()221nn

amn=−−，*nN，则实数m的取值范围为（）A．()2,+B．()1,2C．3,2+D．()2,38．已知离散型随机变量X的分布列如下，则()DX的最大值为（）X012Paab+ab−A．13B．23C．89D．1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出

的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则（）A．这五名同学成绩的平均数为78B．

这五名同学成绩的中位数为74C．这五名同学成绩的上四分位数为80D．这五名同学成绩的方差为3210．已知正实数a，b满足22ab+=，则21bab+的可能取值为（）A．2B．12+C．21−D．411．在平面直角坐标系中，O

为坐标原点，()1,0A，()1,0B−，12AM，点M的轨迹为，则（）A．为中心对称图形B．M到直线()20xaya−+=R距离的最大值为5C．若线段OM上的所有点均在中，则OM最大为3D．使π4MBO=成立的

M点有4个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．182(2)x−−的展开式中含21x的项的系数为______．13．已知2tan2=，则tan3=______．14．三个相似的圆锥的体积分别为1V，2V，3V，侧面

积分别为1S，2S，3S，且123VVV=+，123aSSS=+，则实数a的最大值为______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()ln(1)sinfxaxxx=+−．（1）若0a=，求曲线()yfx=在点

ππ,22f处的切线方程；（2）若1a=，研究函数()fx在(1,0x−上的单调性和零点个数．16．（15分）2024年由教育部及各省教育厅组织的九省联考于1月19日开考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中分别随机调研了50名男

同学和50名女同学对计算机专业感兴趣的情况，得到如下2×2列联表．对计算机专业感兴趣对计算机专业不感兴趣合计男同学40女同学20合计（1）完善以上的2×2列联表，并判断根据小概率值0.01=的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关；（

2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差．附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．0.10.050.01x2.7063.8416.63517．（

15分）如图，在四棱锥PABCD−中，平面PCD⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，且112ABCD==，PCD△为等边三角形，平面PAB平面PCD=直线l．（1）证明：l∥平面ABCD；（2）若l与平面PAD的夹角为π6，求四棱锥PABCD−的体积．18．（17分）已知

椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右顶点分别为A、B，且4AB=，点31,2在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若E，F为椭圆C上异于A，B的两个不同动点，且直线AE与BF的斜率满足3BFA

Ekk=−，证明：直线EF恒过定点．19．（17分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：123123123231312321213132123aaabbbabcabcabcabcabcabcccc=+

+−−−．若111222abxzijyxyzk=，则称ab为空间向量a与b的叉乘，其中111axiyjzk=++（111,,xyzR），222bxiyjzk=++（222,,xyzR），,,ijk为单位正交基底．以O为坐标原点、分别以,,ijk的方向为x

轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A，B是空间直角坐标系中异于O的不同两点．（1）①若()1,2,1A，()0,1,1B−，求OAOB；②证明：0OAOBOBOA+=．（2）记AOB△的面积为AOBS△

，证明：12AOBSOAOB=△．（3）证明：()2OAOB的几何意义表示以AOB△为底面、OAOB为高的三棱锥体积的6倍．数学参考答案1．B【解析】由题意可得2,1AB=−−，故AB的真子集的个数为2213−=．故选B．2．A

【解析】因为ii1zz−=+，则()1i1iz−−=+，所以21i(1i)i1i(1i)(1i)z++=−=−=−−−+，故2211i1(1)2z+=−=+−=．故选A．3．B【解析】由题意得222π56256036616011co

s913abaabb+=++=+=．故5691ab+=，故选B．4．C【解析】由题意得1210b=，则120b=，令10112220t=，即10210t=，解得1033lg2t=．故选C．5．D【解析】设上、下底面圆的半径分别为r，R，圆台的高为h，

则由题意可得22π1,π42π()6π,rRrR=+=解得1,2,rR==，则221π(1122)21π3Vh=++=，解得9h=．故选D．6．D【解析】设()11,Mxy，()22,Nxy，直线:2plyx=−−，联立2,22,pyxypx=−−

=得22304pxpx−+=，则0，123xxp+=，又l经过C的焦点,02p，则12332MNxxppp=++=+=，解得8p=，故C的准线方程为4x=−．故选D．7．C【解析】由题意可得2(21)nnamn=−−，由于数

列na为单调递增数列，即*nN，1221(21)(1)(21)2210nnnnnaamnmnmn++−=−−+−−−=−−，整理得212nnm+，令212nnnb+=，则1112321120222nnnnnnnnbb+++++−−=−=，*nN，易

得数列nb单调递减，故132b=是数列nb的最大项，则m的取值范围为3,2+，故选C．8．C【解析】()()()01231PXPXPXa=+=+===，故13a=，易得12033b+，12033

b−，则1133b−，故()221EXababb=++−=−，()22221112(1)(1)3333DXbbbbbbb=−+++−+=−−，又因为11,33b−，所以

28(),99DX．故选C．9．CD【解析】A选项，这五名同学成绩的平均数为6872768084765++++=，A错误；B选项，将五名同学的成绩按从小到大排列：68，72，76，80，84，则这五名同学成绩的中位数为76，B错误；C选项

，575%3.75=，故成绩从小到大排列后，第4个数即为上四分位数，即80，C正确；D选项，五名同学成绩的方差为222221(6876)(7276)(7676)(8076)(8476)325−+−+−+−+−=，D正确．故选CD．10．BD【解析】由题意可

得22222111111(22)2()2bbbbabbbbbbb++++===−−−−，令1bt+=，则12t，()()22211232113bttbbtttttt+===−−+−−−−−+，且)222,3tt+，故)21322,bbb+++−，

所以)2112,bab+++．故选BD．11．ABC【解析】由题可得1,2AM，故点M在以A为圆心、半径分别为1，2的两圆之间（包含边界），为内径为1，外径为2的圆环，A正确；直线20xay−+=过定点(2,0)−，故M到直线20

xay−+=的距离最大时为M与点(2,0)−的距离，则max325d=+=，B正确；当OM恰与圆22(1)1xy−+=相切时，OM最大，此时直线OM与y轴重合，故max3OM=，C正确；π4MBO=，则直线BM：()1yx=−+或1yx=+，直线1yx=+与直线()1yx

=−+有无数点在上，故符合的M点有无数个，故D错误．故选ABC．12．1120【解析】182(2)x−−的展开式的通项为8218C2(1)rrrrrTx−−+=−，故令4r=可得含21x项的系数为44480C2(1)112−=．13．52

2−【解析】由2tan2=，可得22tantan2221tan==−，故tantan252tan3tan(2)1tantan22+=+==−−．14．32【解析】设三个圆锥的高分别为123

,,hhh．母线与轴线的夹角为，则2231ππ(tan)tan33Vhhh==，由123VVV=+，得333123hhh=+，同理由123aSSS=+可得222123ahhh=+，则2233632316332123()()hhahahhh+=

=+，则32323233211hhahh+=+．令()()()322311xfxx+=+，()0,x+，得()()()2233611()1xxxfxx+−=+，令()0fx，

解得()0,1x；令()0fx，解得()1,x+，故()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，所以()()max12fxf==，故32a，故3max2a=．15．解：（1）当0a=时，()sinfxxx

=−，则()sincosfxxxx=−−，则ππ22f=−，π12f=−，所以曲线()yfx=在点ππ,22f处的切线方程为yx=−．（2）当1a=时，()()ln1sinfxxxx=+−

，则1()sincos1fxxxxx=−−+，当(1,0x−时，101x+，sin0x−，cos0xx−，则()0fx，故()fx在(1,0x−上单调递增．又因为()00f=，所以()fx在(1,0x−上的零点个数为1．16．解：（1）完善2×2列联表如下：

公众号：高中试卷君对计算机专业感兴趣对计算机专业不感兴趣合计男同学401050女同学302050合计7030100则22100(40201030)1004.7626.6355050307021−==

，故根据小概率值0.01=的独立性检验，不能认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关．（2）由（1）知，对计算机专业感兴趣的样本频率为700.7100=，设抽取的30名学生中对计算机专业感兴趣的学生的人数为X，所以

随机变量()~30,0.7XB，故()300.721EX==，()()300.710.76.3DX=−=．17．解：（1）证明：由题可知ABCD∥，AB平面PCD，CD平面PCD，AB∥平面PC

D．又AB平面PAB，平面PAB平面PCDl=，lAB∥．又l平面ABCD，AB平面ABCD，l∥平面ABCD．（2）以D为原点，平面ABCD内垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，垂直于

平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设等腰梯形ABCD的高为()0aa，则()0,0,0D，1,,02Aa，3,,02Ba，()0,2,0C，()0,1,3P，设(),,nxyz=为平面PAD的法向量，则0,0,nDAnDP

==即10,230,axyyz+=+=令1y=−得13,1,23na=−为平面PAD的一个法向量．又lAB∥，则可得直线l的一个平行向量()0,1,0m=，设为l与平面PAD的夹角，由11si

ncos,12nmn===，解得68a=．116323(12)32816PABCDV−=+=．18．解：（1）由题意可得42ABa==，则2a=，又点31,2在C上，所以213144b+=，解得1b=，故椭圆C的标准方程为2214xy+=

．（2）证明：由（1）可得，()2,0A−，()2,0B，易知直线AE与直线BF的斜率一定存在且不为0，设直线AE的方程为())2(0ytxt=+，直线BF的方程为()32ytx=−−．由()222,1,4y

txxy=++=得()222241161640txtxt+++−=，所以2216441AEtxxt−=+，故228241Etxt−+=+，则2441Etyt=+，故222824,4141ttEtt−+++

．由()2232,1,4ytxxy=−−+=得()222236114414440txtxt+−+−=，所以221444361BFtxxt−=+，故22722361Ftxt−=+，则212361Ftyt=+，故22272

212,361361ttFtt−++．若直线EF过定点，则根据椭圆的对称性可知直线EF所过定点必在x轴上，设定点为()0,0Px．则22220022412413612872241361PEP

Fttttkkttxxtt++===−−−−++，即()()2222004122841722361tttxttxt=−−+−−+，所以()()222200624341722361txttxt−−+=−−+，化简可得()()2041210xt−−=，故04x=，即直线EF过定点()4,0．19

．解：（1）①因为()1,2,1A，()0,1,1B−，则()()()1212010133,1,1011ijkOAOBikjiijk==++−−−−−=−−=−−−．②证明：设()111,,Axyz

，()222,,Bxyz，则121212212121122112211221(,,)OAOByzizxjxykxykxjyziyyzzzxzxxxyzy=++−−−=−−−，将2x与1x互换，2y与1y互换，2z与1z互换，可得211221122112,,()OBOAyzyzzxzxxyx

y=−−−，故()0,0,00OAOBOBOA+==．（2）证明：因为2222222()()sin1cos1OAOBOAOBOAOBAOBAOBOAOBOAOB−=−=−=，故22211sin()22AOBSOA

OBAOBOAOBOAOB==−△，故要证12AOBSOAOB=△，只需证222()OAOBOAOBOAOB=−，即证2222()OAOBOAOBOAOB=−．由（1）111(,,)OAxyz=，()222,,OBxyz=，()122112211221,

,OAOByzyzzxzxxyxy=−−−，故()2222122112211221()()OAOByzyzzxzxxyxy=−+−+−，又2221121OAxyz=++，2222222OBxyz=++，()()22121212OAOBxx

yyzz=++，则2222()OAOBOAOBOAOB=−成立，故12AOBSOAOB=△．（3）证明：由（2）12AOBSOAOB=△，得221()222AOBOAOBOAOBOAOBOAOB

SOAOB===△，故261()3AOBOAOBSOAOB=△，故2()OAOB的几何意义表示以AOB△为底面、OAOB为高的三棱锥体积的6倍．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com