【文档说明】福建省三明市2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.082 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年第二学期高中期中考试高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.若复数()ii2ixy−=+，,Rxy，则复数xy+=（）A.1−B.3C.1D.3−【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及复数的相等，求得,

xy，即得答案.【详解】因为复数()ii2ixy−=+，,Rxy，即1i2i,2,1xyxy+=+==，故3xy+=，故选：B2.若2i(12iz=−），则z=（）A.43i+B.43i−C.43i−+D.43i−−【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法以及除法运

算即可化简求解.【详解】由2i(12iz=−）得()212?i34i43iiiz−−−===−+，故选：C3.如图，平面平面l=，,AB，C，Cl，直线ABlD=（点D不同于,,ABC），过,,ABC三点确定的平面为，则平面，的交线必过（）A.点AB.点BC.点C，但

不过点DD.点C和点D【答案】D【解析】【分析】根据平面的基本性质判断即可.【详解】对于AB，假设A，又A，则A，又l=，所以Al，又AAB，所以AABl，与ABlD=矛盾，则A，即平面，的交线不过点A，故A错误，同理，B错误；对于CD，因,,,CCDlDA

B，所以,CD，即点,CD在与的交线上，故C错误，D正确.故选：D.4.已知向量()2,3a=，()1,3b=−，则a在b上的投影向量为（）A.13,44−B.13,44−C.13,22

−D.13,22−【答案】A【解析】【分析】利用向量a在b方向上的投影乘以与b同向的单位向量bb可得出结果.【详解】()1,3b=−，∴()22132b=+=，又∵向量()2,3a=，∴向量a在b的投影为2133122abb−+==，所以，

向量a在b方向上的投影向量为113,444abbbbb==−.故选：A.【点睛】本题考查投影向量坐标的计算，考查向量投影的定义的应用，考查计算能力，属于基础题.5.已知向量(cos,3)a=，(sin,4)b=−，//ab，则

3sincos2cos3sin+−的值是（）为A.12−B.2−C.43−D.12【答案】A【解析】【分析】根据//ab，可得4tan3=−，再利用同角之间的公式化简3sincos3tan12cos3sin23tan++=−−，代入即可得解.【详解】因为向量(cos,

3)a=，(sin,4)b=−，//ab4cos3sinaa−=，即4tan3=−3sincos3tan1412cos3sin23tan2412++−+===−−+−故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查向量平行的坐标运算，及利用同角之间的公式化简求值

，解题的关键是3sincos3tan12cos3sin23tan++=−−的变形，考查学生的运算求解能力，属于基础题.6.已知()1,0a=，()2,1b=r，若()()2kabab−⊥+，则k值为（）A.12B.125−C.12−D.125【答案】D【解析】【分析】先

求出向量kab−，2ab+的坐标，再利用平面向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因为()1,0a=，()2,1b=r，所以()2,1kabk−=−−，()5,22ab=+,又()()2kabab−⊥+，所以()5220k−−=，解得125k=，所以125k=.故选：D.7.在A

BC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知45B=，22a=，为使此三角形有两个，则b满足的条件是（）A.222bB.02bC.022bD.22b或2b=的【答案】A【解析】【分析】作出图形可得出关于b的不等式，

由此可解得b的取值范围.【详解】如下图所示：因为ABC有两解，且45B=，22a=，则sinaBba，即222b.故选：A.8.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定

理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形ABC拼成的一个大等边三角形ABC，若112,cos14ABABB==，则AB=（）A.5B.6C.7D.8

【答案】C【解析】【分析】由同角关系求sinABB，由两角差正弦公式求sinBAB，设BBt=，由正弦定理求t，由余弦定理求AB.【详解】因为11cos14ABB=，()0,πABB，所以253sin1cos14ABBABB=−=，

而()i,s4in33120sn601ABBBABABB==−=，在ABB中，设BBt=，则2ABt=+，由正弦定理得2sinsinttBABABB+=，解得3t=，由余弦定理2222cos49ABBBABB

BABABB=+−=，所以7AB=.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．部分选对的得2分．9.下列关于复数21iz=−的四个命题，其中为真命题的是（）A.2z=B.22iz=C.z的共轭

复数为1i−+D.z是关于x的方程2220xx+=−的一个根【答案】BD【解析】【分析】根据复数的除法运算求得1iz=+，根据模的计算可判断A；根据复数的乘方判断B；根据共轭复数的概念判断C；计算2(221i1i())+−++，判断D.【详解】由题意得

22(1i)1i1i2z+===+−，故22112z=+=，A错误；22(1i)2iz=+=，B正确；1iz=+的共轭复数为1i−，C错误；2(2(201i)i221(i)1i2)+=++++−=−，即z是关于x的方程2220xx+=−的一个根，D正确，故选：BD

10.如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（）A.//ABCDB.GH与CD相交C.//EFCDD.AB与GH异面【答案】BCD【解析】【分析】根据正方体平面展开图，画出原正方

体，标出各顶点，找平行线、相交直线、异面直线，逐一判断即可.【详解】画出原正方体如图所示，,ABCD不平行，所以A错；GH与CD相交，所以B正确；由正方体的性质知//EFCD，所以C正确；AB与GH即不平行也不相交，所以AB与GH是异面直线，所以D正确.故选：BCD.11.设非零向量,ab

的夹角为c，为任意非零向量，定义运算sinabab=，则下列结论正确的是（）A.若0ab=，则//abB.()abcabac+=+C.()()222sin2ababab=D.若1ab==，则

ab的最大值为1【答案】ACD【解析】【分析】根据ab的定义，以及向量运算规则逐项分析.【详解】对于A，因为sinabab=，并且0,0ab，所以sin0=，解得0=或=，所以//ab，故选项A正确；对于B，不妨取()()()1,0,0,1,0,1abc===−，设

a与b的夹角2=，a与bc+的夹角为，a与c的夹角为2=，则()sin10sin0abcabc+=+==，sinsin2abacabac+=+=，此时()abcabac++，

故选项B错误；对于C，()()()()222222sincos2sincossin2abababababab===，故选项C正确；对于D，当1ab==时，sinsin1abab==，当且仅当2=时取等

号，所以()max1ab=，故选项D正确；故选：ACD.12.在锐角ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，外接圆半径为R，若3a=，3A=，则（）A.1R=B.32bC.bc的最大值为3D.223bcbc++的取值范围为(11

,15【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理求外接圆半径；由题设知1sin(,1)2B，结合2sinbRB=即可求范围；由余弦定理及基本不等式求bc的最大值，注意取最大的条件；由C分析有222234()9bcbcbc++=+−，结合正弦定理边角关系

及,BC的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围.【详解】由题设，外接圆直径为22sinaRA==，故1R=，A正确；锐角ABC中3090B，则1sin(,1)2B，故2sin(1,2)bRB=，B错误；

22222313cos12222bcabcAbcbcbc+−+−===−，则3bc，当且仅当3bc==时等号成立，C正确；由C分析知：222234()9bcbcbc++=+−，而2sin,2sinbBcC==，又2(,)3

62BC=−且(,)62C，则22224(sinsin)42(cos2cos2)bcBCBC+=+=−+=42cos[()()]2cos[()()]BCBCBCBC−++−−+−−44cos()cos()BCB

C=−+−242cos(2)3C=+−，而22(,)333C−−，所以21cos(2)(,1]32C−，则242cos(2)(5,6]3C+−，所以223(11,15]bcbc++，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项22223

4()9bcbcbc++=+−，应用边角关系及角的范围，结合三角恒等变换将22bc+转化为三角函数性质求范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.复数20231iz=+（其中i是虚数单位）的虚部是__________.【答案】1−【解析】【分析】根据复数的

乘方运算求解.【详解】因为()1011202321i1ii1iz=+=+=−，所以复数z的虚部为1−.故答案为：1−.14.已知点()11,3P，()24,6P−，P是直线12PP上的一点，且122PPPP=，那么点P的坐标为_________．【答案】()3,3−

【解析】【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可得12,PPPPuuuruuur，再由122PPPP=即可得出()3,3P−.【详解】设点P的坐标为(),Pxy，则()()121,3,4,6PxyPPxyP=

−−=−−−uuuruuur，又122PPPP=，即()()124326xxyy−=−−=−−，解得33xy==−；所以点P的坐标为()3,3P−.故答案为：()3,3−15.如图，已知A，B，C共线，且向量

4ACBC=，OBOAOC=+，则=________．【答案】3【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可得解．【详解】因为4ACBC=，所以()4OCOAOCOB−=−，则1344OBOAOC=+，因

为OBOAOC=+，,OAOC不共线，故13,44==,所以3=.故答案为：316.在平面四边形ABCD中，BCD△是等边三角形，2AD=，27BD=，120BAD=，则cosABD=________；ABC

的面积是________．【答案】①.5714##5714②.63【解析】【分析】在ABD△中，由余弦定理可得AB，从而求得ABD的余弦值和正弦值，由两角和的正弦公式，可得sinABC，再在ABC中，运用三角形面积公式即可得

解．【详解】由BCD△为等边三角形，可得60DBC=，在ABD△中，2AD=，120BAD=，27BD=，由余弦定理可得22844cos120ABAB=+−，整理得22240ABAB+−=，解得4AB=（负值舍去）

，设ABD=，则2224(27)2557cos14242727+−===，易知060，则253sin12827=−=，所以()1335363sinsin60sincos22474747ABC=+=+=+=，则ABC的面积为1163sin4

27632247ABBCABC==．故答案为：5714；63．四、解答题：本小题共6小题，共70分．17.已知复数()()2223232izmmmm=−−+−+，其中i为虚数单位，Rm.（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围.【答案】

（1）12m=−；（2）1,12m−【解析】【分析】（1）z是纯虚数需要满足实部等于0，虚部不等于0，即可求出结果；（2）z在复平面内对应的点在第二象限，需要满足实部小于0，虚部大于0.【小问1详解】因为z是纯虚数，所以2

22320320mmmm−−=−+，解得12m=−.【小问2详解】因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以222320320mmmm−−−+，解得112m−，所以m的取值范围为1,12m−.

18.已知4a=，2b=，且a与b夹角为120，求：（1）2ab−；（2）a与ab+的夹角．【答案】（1）221；（2）π6.【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律，求出()22ab−的值，即可得出答案；（2）先根据数量积的运算律，求出()2ab+的值，即可得出ab+的值，进而根据数量积的

运算得出()aab+的值.然后根据夹角公式，即可得出结果.【小问1详解】由已知可得，1cos1204242abab==−=−orrrr.所以有()2224246844164abaabb−+=−=++=，所

以2221ab−=.【小问2详解】因为()2222168412abaabb+=++=−+=，所以23ab+=.又()216412abaaab=+=−+=，所以()123cos,2423aabaabaab++===+，所以a与

ab+的夹角为π6．19.如图，长方体1111ABCDABCD−的底面是正方形，E，F分别是1BB，11BC上的点，且112CFBF=，12BEBE=．（1）证明：点F平面1ADE内；（2）若124AAAB==，求

三棱锥1−DADE的体积．【答案】（1）证明见解析（2）83【解析】【分析】（1）利用长方体的性质得到11//ADBC，利用对应线段成比例和相似三角形得到1//EFBC，再利用基本事实4得到1//ADEF，即证明四点共面；（2）利用等体积法和三棱锥的体积

公式进行求解.【小问1详解】证明：如图，连接1BC，EF，长方体1111ABCDABCD−中，11//CDAB，且11CDAB=，所以四边形11ABCD是平行四边形，则11//ADBC．在在因为112CFBF=，12BEBE=，所以1111113BFBEBCBB==，所以11BEFBBC△∽

△，所以1//EFBC，所以1//ADEF，所以1,,,ADEF四点共面，即点F在平面1ADE内．【小问2详解】解：在长方体中，点E到平面1ADD的距离即为点B到平面1ADD的距离，即为BA；所以11111182423323

DADEEADDADDVVSBA−−====．20.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosbacBc+=，2c=．（1）求A；（2）若10a=，点D在边BC上，2CDDB=，求AD．【答案】（1）π4A=（2）823A

D=【解析】【分析】（1）根据余弦定理或者正弦定理边角互化求解得π4A=；（2）利用π4A=根据余弦定理解得4b=，然后解ABD，根据余弦定理222822cos=9ADABBDABBDB=+−或者向量表示221282339ADABAC=+=解得

823AD=【小问1详解】方法一：因为2cos,2bacBcc+==，由余弦定理得，2222222abbaa+−+=，整理得2222abb=−+，所以222222222cos2222bcabbbAbcb+−+−+−==

=，因为()0,πA，所以π4A=方法二：因为2cos,2bacBcc+==，所以2cos2baBc+=，由正弦定理得，sin+2sincos2sinBABC=，因为πABC=++，所以()πCAB=−+，所以()sin+2sincos2sin2sincos

2cossinBABABABAB=+=+，整理得sin2cossinBAB=因为()0,πB，所以sin0B，所以2cos2A=，又()0,πA，所以π4A=.小问2详解】因为π,2,104Aca===，由余弦定理得：22102222bb=+−，整理得2

280bb−−=，又0b，所以4b=.方法一：所以222210165cos252210acbBac+−+−===−.因为点D在边BC上，2CDDB=，【所以D为BC边上靠近C的三等分点，所以21010,33BDDC==.在ABD中，222402105822cos2

22-=9359ADABBDABBDB=+−=+−，又0AD，所以823AD=.方法二：22221211248223393399ADABACABABACAC=+=++=，又0AD，所以823AD=.

21.从以下三个条件中选一个，补充到下面问题中，并解答．已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足________（填写序号即可）．①2sincoscos0aBbCcB−−=，②222sinsinsin3sinsin0ABCA

C−+−=，③sinsin3sincoscos0ACBAC−−=（1）求B；（2）若1a=，求bc+的取值范围．【答案】（1）π6B=（2）13,32+【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与余弦定理，结合三角函数的和差公式，逐一分析求解各条件即可；（2）利用正弦定

理与余弦函数和倍角公式将,bc转化为关于角A的函数，再由锐角ABC确定角A的范围，从而得解.【小问1详解】选①：因为2sincoscos0aBbCcB−−=，所以由正弦定理得2sinsinsincossincossin()sinABBCCB

BCA=+=+=，因为sin0A，所以1sin2B=，又因为π0,2B，所以π6B=.选②：因为222sinsinsin3sinsin0ABCAC−+−=，所以由正弦定理得22230abcac−+−=，即2223acbac+−=，故由余弦定理得2223cos22a

cbBac+−==，又因为π0,2B，所以π6B=.选③：因为sinsin3sincoscos0ACBAC−−=，所以3sincoscossinsincos()cosBACACACB−=−=+=−，则3tan3B=，又因为π0,2B，所以π6B=.【小问2详解】

由（1）知π6B=，又1a=，所以由正弦定理sinsinsinabcABC==，得sin1sin2sinaBbAA==，sinsin()sincoscossinsinsinsinaCABABABcAAA++===3cos22sinAA=+，则22cos31cos33

1222sin224sincos2tan222AAbcAAAA++=+=+=+，由锐角ABC得π02A且5ππ062CA=−，所以ππ32A，则ππ624A，所以3tan,123A，从而113,222tan2A，故bc+的取值范围为13

,32+.22.在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足90BAD=），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且120ABC=，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD=，路宽12m

AD=．设灯柱高()mABh=，()3045ACB=．（1）当30=时，求四边形ABCD的面积；（2）求灯柱的高h（用表示）；（3）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值．【答案】（1）2483m（2）()8si

n23045h=（3）()()8sin260433045S=++，S最小值为2443m+【解析】【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由ABCACDABCDSSS=+四边形△△

可得解；（2）分别在ACD与ABC中由正弦定理化简即可得解；（3）根据正弦定理分别表示各边长及S，再根据三角函数求值域的方法可得最值.【小问1详解】当30=时，1801203030BAC=−−=，所以ABBC=，又9060CADBAC==

−所以ACD是等边三角形，所以12ACAD==，所以在ABC中，sinsinsinABBCACACBBACABC==，即43ABBC==，所以114343sin1201212sin6048322ABCACDABCDSSS=+=+=四边形；【小问2详解】18012060BAC

=−−=−，9030CADBAC−=+=，()180630900ADC=−=−+−，在ACD中，由正弦定理得sinsinADACACDADC=，所以()12sin60sin90AC=−所以83cosAC=在ABC中，由正

弦定理得sinsinACABABCACB=，所以sin120sinACh=，所以383cos2sinhAC==，所以()8sin23045h=；【小问3详解】在ABC中，由正弦定理得sinsinACBCABCBAC=，所以()83cossin120s

in60BC=−，所以()216cossin6016cossin60coscos60sin83cos8sincosBC=−=−=−1cos2834sin24343cos24sin22+=−=+−所以()

8sin24343cos24sin24343cos24sin2SABBC=+=++−=++()13438sin2cos28sin2604322=++=++，因为3045，所以120260150+，所以当260150+=，即45

=时，S取最小值443+，故S关于的函数表达式为()()8sin260433045S=++，S最小值为2443m+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com