【文档说明】《精准解析》内蒙古包头市2022-2023学年高三上学期期末教学质量检测文科数学试题（解析版）.docx，共(20)页，1.036 MB，由小赞的店铺上传

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2022—2023学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟

.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写出本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.符合题目要求的.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6

0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合1,2,3,4,5,6U=，1,2,3,4A=，3,4,5,6B=，则UAB=Ið（）A.1,2B.3,4C.{}5,6D.【答案】A【解析】【分析】由交集和补集定义可

得答案.【详解】由题可得1,2UB=ð，则1,2UAB=ð.故选：A2.复数12zi=−，则1z=（）A.15B.5C.3D.55【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算律，共轭复数的概念及复数模的概念计算.【详解】因为12zi=−

，所以12iz=+，所以1112i12i12i(12i)(12i)55z−===−++−，所以221125555z=+=.故选：D..3.已知31log4a=，322b−=，2312c

=，则（）A.abcB.acbC.bcaD.cba【答案】D【解析】【分析】先确定与中间量0的大小关系，再利用指数函数的单调性来比较大小.【详解】331loglog104a==,332232211220cb−===，故cb

a故选：D.4.已知A，B，C三人都去同一场所锻炼，其中A每隔1天去一次，B每隔2天去一次，C每隔3天去一次.若3月11日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（）A.3月22日B.3月23日C.3月24日D.3月25日【答案】B【

解析】【分析】三人各自去锻炼的日期实际上是等差数列，利用等差数列知识进行求解.【详解】由题意，三人各自去锻炼的日期分别是等差数列，公差分别为2,3,4，最小公倍数为12，所以下一次三人都去锻炼的日期是3月23日.故选：B.5.某公司为了解用户对其产品

的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a,b,c,则（）A.abcB

.bacC.acbD.b<c<a【答案】B【解析】【分析】根据众数,平均数,中位数的概念和公式,带入数字,求出后比较大小即可.【详解】解:由频率分布直方图可知众数为65,即65b=,由表可知,组距为10,所以平均数为:450

.15550.2650.25750.2850.1950.167+++++=,故67c=,记中位数为x,则有:()100.015100.02600.0250.5x++−=,解得:66x=,即66a=,所以bac.故选：B.6.若函数()

2sinfxx=与()cos2gxx=都在区间(),mn上单调递增，则nm−的最大值为（）A.π4B.π3C.π2D.π【答案】C【解析】【分析】分析在一个较大区间内(),()fxgx的单调性，找出它们的公共增区间(),

mn，分析出nm−的最大值.【详解】()2sinfxx=的周期为2π，()cos2gxx=的周期为π，分析在5π[0,]2内两个函数的单调性，函数()2sinfxx=在π3π5π0,,222

，上单调递增，函数()cos2gxx=在π3π,π,,2π22上单调递增，所以函数()2sinfxx=与()cos2gxx=都在区间3π,2π2上单调递增，且3π,2π2为(),()fxgx

的最大公共增区间所以则max2πn=，min3π2m=，所以nm−的最大值为3ππ2π22−=.故选：C.7.已知()4,2AB=，()1,4AC=，则ABBC=（）A.8−B.16−C.8D.16【答案】A【解析】

【分析】先求BC再根据数量积的坐标运算求解.【详解】因为()4,2AB=，()1,4AC=，()()()1,44,23,2BCACAB=−=−=−则()()()4,23,243228ABBC=−=−+=−，故选：A8.设a为直线，为平

面，则a⊥的必要不充分条件是（）A.直线a与平面内的两条相交直线垂直B.直线a与平面内任意直线都垂直C.直线a在与平面垂直的一个平面内D.直线a与平面都垂直于同一平面【答案】C【解析】【分析

】根据题意知找一个由a⊥能推出的但反之不成立的一个结论.【详解】根据题意知找一个由a⊥能推出的但反之不成立的一个结论.对A：根据线面垂直的判定定理，若直线a与平面内的两条相交直线垂直，则a⊥；若a⊥，则直线a与平面内

的两条相交直线垂直，故A错误；对B：根据线面垂直的定义，直线a与平面内任意直线都垂直是a⊥的充要条件，故B错误；对C：若a⊥，设a，由面面垂直的判定知⊥，故直线a在与平面垂直的一个平面内；若直线a在与平面垂直的一个平面内，不妨设平面⊥，若取a=，则a⊥不成

立，故C正确；对D：若a⊥，又a⊥，则//，不可能有平面与平面垂直，故D错误.故选：C9.记nS为等差数列na的前n项和.已知55S=，610a=，则（）A.312nan=+B.520nan

=−C.2314nSnn=−D.231322nSnn=−【答案】D【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式和求和公式列方程求出1,ad，进而可得等差数列的通项公式及求和公式，对照选项可得答案.【详解】设等差数列na的公差为d，51615105510Sadaad=+==+=，解得

135da==−()()1153138naandnn=+−=−+−=−，()()2153132221132nSnnnnnnnadn−+=−=+=−−，故选：D.10.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，斜率为2的直线l与C的交点为A，B.若10AFBF+=，则l的方程

为（）A.27yx=+B.21yx=+C.27yx=−D.21yx=−【答案】C【解析】【分析】设斜率为2的直线l方程为2yxb=+，与抛物线进行联立可得()224440xbxb+−+=，设11(,)Axy，22(,)Bxy，所以121xxb+=−，接

着利用抛物线的定义即可求解【详解】由抛物线C：24yx=可得焦点()1,0F，准线为=1x−，设斜率为2的直线l方程为2yxb=+，所以242yxyxb==+消去y得()224440xbxb+−+=，()224

4160bbD=-->，解得12b，设11(,)Axy，22(,)Bxy，所以121xxb+=−，利用抛物线的定义可得121110AFBFxx+=+++=，即1210b−+=，解得7b=−，所以l的方程为27yx=−故选

：C11.已知π0,2，22sin2cos21cos=++，则tan2=（）A.127B.1225C.247D.2425【答案】C【解析】【分析】先利用倍角变形求得tan，再利用二倍角的正切公式求tan2即可.【详解】22sin2cos21cos=

++222224sincoscossincossincos=−+++即24sincos3cos=，π0,2，cos0，4sin3cos=，即3tan4=222tan24tan21tan7134916==−−=.

故选：C12.已知三棱锥−PABC的四个顶点都在球O的球面上，4PA=，2PBPC==，E，F分别是PA，AB的中点，90CEF=，PBAC⊥，PCPA⊥，则球O的体积为（）A.106πB.86πC.66πD.46π【答案】B【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理

证得PB⊥面PAC，再推到,,PBPAPC两两垂直，进而将三棱锥−PABC补形成长方体，从而求得球O的半径，由此得解.【详解】因为E，F分别是PA，AB的中点，所以//EFPB，又90CEF=，即EFEC⊥，所以PBEC⊥，因为PBAC⊥，,,ACECCACEC=面PAC，所以PB⊥面

PAC，因为,PAPC面PAC，所以,PBPAPBPC⊥⊥，又PCPA⊥，所以,,PBPAPC两两垂直，故将三棱锥−PABC补形成长方体−ADHGPCTB，如图，则长方体−ADHGPCTB的外接球与

三棱锥−PABC的外接球O相同，设球O的半径为R，则2222164426RPAPBPC=++=++=，即6R=，所以球O的体积为34π86π3VR==.故选：B..【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确

切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，

共20分.13.曲线()()224exfxxx=++在点()()0,0f处的切线方程为______.【答案】540xy−+=【解析】【分析】先求导，然后求出()0f和()0f，再利用点斜式求直线方程即可.详

解】由已知()()()()2241e24e255exxxfxxxxxx+=+++++=，()05f=，又()04f=，所以曲线()()224exfxxx=++在点()()0,0f处的切线方程为45yx−=，即540xy−+=故答案为：540xy−+=14.记nS为等比数列na

的前n项和.112a=，246aa=，则5S=______.【答案】312##15.5【解析】【分析】根据等比数列的性质可得21a=，从而求解出公比q的值，再利用等比数列求和公式代入求解即可得答案.【

详解】由等比数列的性质可得，2246aaa=，结合题意246aa=，得21a=，又112a=，所以212aqa==，所以()55112312122S−==−.故答案为：31215.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，……，1000，从这些新生中用系统抽样的方法等距抽取

100名学生进行体质测验.若53号学生被抽到，则810号至820号中间被抽到的学生号是______.【答案】813【解析】【【分析】根据已知条件，结合系统抽样的定义，即可求解.【详解】由题意知，系统抽样

的抽样间隔为100010100=，若53号学生被抽到，则被抽到的学生的编号为5310(1)k+−，[1,100]k，Zk，所以8105310(1)820k+−，解得76.777.7k，所以77k=.所以810号至820号中间被抽到的学生号是5310

(771)813+−=.故答案为：813.16.已知双曲线()2222:10xyCbaab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过1F且倾斜角为4的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若2//BFOA，则C的离心率为______.【答案】10【解析】【分析】首先根据题意，设出直

线的方程，之后与双曲线的渐近线联立，分别求出A，B两点的坐标，之后根据题中条件2//BFOA，得出A是1FB的中点，根据中点坐标公式，得出其坐标间的关系，借助双曲线中,,abc的关系，求得该双曲线的离心率.【详解】设直线

l的方程为yxc=+，两条渐近线的方程分别为byxa=−和byxa=，分别联立方程组，求得(,),(,)acbcacbcABababbaba−++−−，由2//BFOA，O为12FF的中点得A是1FB的中点，所以

有2acaccbaab−+=−−+，整理得3ba=，结合双曲线中,,abc的关系，可以的到22210cabeaa+===，故答案为：10.三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为

选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知()22sinsinsin3sinsinACBAC+=+.（1）求B；（2）若623abc=+，求()sin60A+.【答案】（1）60B=（2）()22

sin603A+=【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角结合余弦定理即可求得B.（2）由正弦定理边化角，将623abc=+化为6sin2sin3sinABC=+，利用两角和差的正余弦公式，可求得()1

cos603A+=−，根据同角的三角函数关系即可求得答案.【小问1详解】由已知得222sinsinsinsinsinACBAC+−=，故由正弦定理得222acbac+−=，由余弦定理得2221cos22acbBac+−==，因0180B

，所以60B=.【小问2详解】由（1）知120CA=−，由623abc=+及正弦定理得6sin2sin3sinABC=+，即()6sin2sin603sin120AA=+−，化简整理得3

33sincos223AA−=，所以131cossin223AA−=−，所以得()1cos603A+=−，由于0120A，0616080A+，所以()2122sin601()33A=+−=.18.9年来，某地区第x年的第三产业生产总值

y（单位：百万元）统计图如下图所示.根据该图提供的信息解决下列问题.为（1）求这9个生产总值中超过其平均值的概率；（2）由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.（附：对于一组数据

11(,)xy，22(,)xy，(),nnxy，其回归直线ˆˆˆybxa=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()()1122211ˆnniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，ˆˆaybx=−.）【答案】（1）13（2）1

34.6百万元.【解析】【分析】（1）计算9年的生产总值的平均值，根据古典概型的概率公式即可求得答案.（2）利用最小二乘法求得回归直线的方程，将11x=代入，即可求得答案.【小问1详解】根据统计图提供的信息，9年的生产总值的平均值为()1141620263342607898439+++

+++++=（百万元）,所以第三产业生产总值不低于43百万元的有第7,8,9年，共3个，所以这9个生产总值中超过其平均值的概率为3193P==.【小问2详解】从第6年开始，根据第x年的第三产业生产总值为y（单位：百万

元）及统计图，得x6789y42607898所以56+7+8+.947x==，42+60+78569.4+98y==，9i66427608789982178iixy==+++=，962230iix==，()9696226ˆ42

17820859318.23022554iiiiixyxyxbx==−−====−−，故69.5139.570ˆaybx=−=−=−，所以从第6年开始，产值y关于年数x的线性回归方程为18.670=−yx，当11x=时，18.61

170134.6=−=y，答：第11年的第三产业生产总值约为134.6百万元.19.如图，直四棱柱1111ABCDABCD−的底面是平行四边形，14AA=，2ABBC==，60BAD=，E，F，H分别是1AD，1B

B，BC的中点.（1）证明：//EF平面1CDH；（2）求点1D到平面1CDH的距离.【答案】（1）证明见解析（2）41717【解析】【分析】（1）连接FH，1BC，证明四边形EFHD是平行四边形，得//EFHD，证

明//EF平面1CDH；（2）利用等体积法计算点1D到平面1CDH的距离.【小问1详解】连接FH，1BC，因为F，H分别是1BB，BC的中点，所以1//FHBC，且112FHBC=，又因为11//ABCD，且11ABCD=，所以四边形11

ABCD是平行四边形，所以11//BCAD，且11BCAD=，故1//FHAD，且112FHADED==，所以四边形EFHD是平行四边形，所以//EFHD，又EF平面1CDH，HD平面1CDH，所以

//EF平面1CDH.【小问2详解】因为1111DCDHHCDDVV−−=，设点1D到平面1CDH的距离为1d，点H到平面11CDD的距离为2d，则111121133CDHCDDSdSd=△△，即11112CDHCDDSdSd=△△.在平面ABCD内，过点H作CD的垂线，垂足为R，则

因为四棱柱1111ABCDABCD−是直四棱柱，所以2dHR=，在RtHCR△中，因为1CH=，60HCR=，所以232dHR==.又在1RtCCH△中，221117CHCCCH=+=，在RtCHD中，223HDCDCH=−=.又因为平行四边形ABCD中，ABBC=，60BAD

=，H为BC的中点，所以DHBC⊥，因为四棱柱1111ABCDABCD−是直四棱柱，所以DH⊥平面11BCCB，因为1CH平面11BCCB，所以1DHCH⊥.所以1115122CDHSCHHD==△，又11111142CDDSCDDD==△，所以由11112CDHCDDSdSd=

△△，得151342322d==，故141717d=.所以点1D到平面1CDH距离为41717.20.已知点()0,3M−，()0,3N，动点(),Pxy满足直线PM与PN的斜率之积为3−，记P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么

曲线；（2）过坐标原点的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，ADy⊥轴，垂足为D，连结BD并延长交C于点H.证明：直线AB与AH的斜率之积为定值.【答案】（1）22193yx+=（3y），所以C是中心在坐标原点

，焦点在y轴上的椭圆，不含上下顶点（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据斜率公式结合已知即可得出答案；（2）设直线AB的斜率为k，则其方程为ykx=，联立方程求得交点的横坐标为233xk=+，记2303mk=+，从而可得,,ABD的坐标，从而可得直线BD的方程，联立方程，利

用韦达定理可得H点的坐标，再根据斜率公式即可得出结论.【小问1详解】由题设得333yyxx+−=−，化简得22193yx+=（3y），所以C是中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆，不含上下顶点；【小问2详解】的设直线AB的斜率为k，则其方程为ykx=（0k

），由22193ykxyx=+=，解得233xk=+，记2303mk=+，则(),Ammk，(),Bmmk−−，()0,Dmk，于是2BDmkmkkkm−−==−，故直线BD的方程为2ykxmk=+，由222193ykxmkyx=

++=，得()2222234490kxmkxmk+++−=，①设(),HHHxy，则由题设可知m−和Hx是方程①的解，故2334Hmxk=+，由此得329434Hmkmkyk+=+，从而直线AH的斜率32HA

AHHAyykxxk−==−−，所以32AHkk=−，所以直线AB与AH的斜率之积为定值32−.【点睛】本题考查了平面图形的轨迹方程，考查了椭圆与直线的位置关系的应用，考查了椭圆中的定值问题，有一定的难度.21.已

知函数()()ln11fxxax=−−+.（1）若()fx存在极值，求a的取值范围；（2）当2a=，且()0,πx时，证明：函数()()singxfxx=+有且仅有两个零点.【答案】（1）()1,a+（2）证明见解析【解析

】【分析】（1）根据存在极值的充分条件，求导，利用分类讨论，可得答案；（2）利用导数，研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案.【小问1详解】()()()1111axfxaxx−−=−−=，()0,x+，当10a−，即1a时，()0fx¢>，()fx在()0,+

单调递增，无极值；当10a−，即1a时，10,1xa−，()0fx¢>；1,1xa+−，()0fx，()fx在10,1a−单调递增，在1,1a+

−单调递减，此时，()fx在11xa=−处取得极大值，无极小值.综上，若()fx存在极值，则()1,a+.【小问2详解】当2a=时，()ln1singxxxx=−++，()11cosgxxx=−

+，因为()0,πx，令()()hxgx=，则()21sin0hxxx=−−，所以()()hxgx=在()0,π单调递减，又因为π3131103π2π2g=−+=−，π210π2g=−

，所以()gx在ππ,32有唯一的零点，()0,x，()0gx；(),πx，()0gx，于是()gx在()0,单调递增，在(),π单调递减，可知()gx在()0,π存在唯一的极大值点（ππ32），由()ππππln2202222gg

=−+−，22222eee0e1111121sinsin1eg=−−++=−+−，()()πlnππ1lnππ1g=−+=−−，令()()ln1Fxxx=−−

，()111xFxxx−=−=，由()0,1x，()0Fx；()1,x+，()0Fx，则()Fx在()0,1上单调递增，在()1,+单调递减，即()()max10FxF==，故()()π10FF=，即()()πlnππ10g=−−

，可知()gx在()0,和(),π分别恰有一个零点.所以当()0,πx时，()gx有且仅有两个零点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22222,142.1sxssys−=+=+（s为参数），直线l的参数方程为1cos2sinxtyt=−+=+（t为参数）.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲

线C截直线l所得线段AB的中点坐标为()1,2-，求OAB的面积.【答案】（1）22148xy+=()2x−;当cos0时，直线l的直角坐标方程为tan2tanyx=++，当cos0=时，直线l的参数方程为=1x−.（2）6【

解析】【分析】(1)将22222,142.1sxssys−=+=+中的参数s消去得曲线C的直角坐标方程;根据代入消元法将直线l的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分cos0与cos0=两种情况.(2)将直线l参数方程C代入曲线的直角坐标方

程，根据参数几何意义得sin,cos之间关系，得l的方程，设l与x轴的交点为M，以OM为底AByy−为高求OAB的面积.【小问1详解】由22222,142.1sxssys−=+=+得()()()()2222222221214

811ssxyss−+=+=++，而24221xs=−−+，即曲线C的直角坐标方程为()221248xyx+=−，由1cos(2sinxttyt=−+=+为参数），当cos0时，消去参数t，可得直线l的直角坐标方程为t

an2tanyx=++，当cos0=时，可得直线l的参数方程为=1x−.【小问2详解】将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理可得：22(1cos)4(sincos)20tt++−−=．①曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)−在椭圆内，则方程①有两解，设为1t，2t，

则1224cos4sin01costt−+==+，故cossin0−=，解得tan1=．l的倾斜角为45．所以直线方程3yx=+，直线与x轴的交点为()3,0M−，12221costt−=+，()222112121cos81643ABtttttt+−=+=−==，13162s

in4562232AOBSOMAB===，故OAB的面积为6.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知()()4fxxmxxxm=−+−−（1）当2m=时，求不等式()0fx的解集；（2）若(),2x−时，()0fx，求m的取值范围.【答案】（1）)2,

+（2）)2,+【解析】【分析】（1）根据2m=，将原不等式化为()|2||4|20xxxx−+−−，分别讨论2x，24x，4x三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论2m和2m两种情况，即可

得出结果.【小问1详解】解：当2m=时，()()242fxxxxx=−+−−，原不等式可化()|2||4|20xxxx−+−−；当2x时，原不等式可化为(2)(4)(2)0xxxx−+−−，即22(2)0x−，解

得2x=，此时解集为；当24x时，原不等式可化为(2)(4)(2)0xxxx−+−−，解得2x，此时解集为)2,4；当4x时，原不等式可化为(2)(4)(2)0xxxx−+−−，即22(2)0x−，显然成立；此时解集为)4,+；综上，原不等式的解集

为)2,+；【小问2详解】解：当2m时，因为(,2)x−，所以由()0fx可得()(4)()0mxxxxm−+−−，即2()(2)0xmx−−，显然恒成立，所以2m满足题意；当2m时，4(),2()2()(2),xmmxfxxmxxm−

=−−，因为2mx时，()0fx显然不能成立，所以2m不满足题意；综上，m的取值范围是)2,+.为