【文档说明】湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.059 MB，由小赞的店铺上传

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2024年下学期长大附中高二入学考试数学数学考试范围：必修部分；考试时间：120分钟，满分120分.注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（共40分）1.命题：2,310xx

Rx−+的否定是（）A.xR使得020310xx−+B.xR使得020310xx−+C.xR都有2310xx−+D.xR都有020310xx−+【答案】B【解析】【分析】利用全称命

题的否定是特称命题写出结果即可。【详解】命题：2,310xxRx−+的否定是xR使得020310xx−+.故选：B【点睛】本题考查全称命题的否定，是基础题。2.若p：2|4xx，q：()|lg1xyx=−，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要

不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】解出命题为真时对应x的范围，结合充分、必要性定义分析即可得答案.【详解】由240x−，得22x−，即:{|22}pxx−，由10x−，

得1x，即:{|1}qxx，所以p是q的既不充分也不必要条件，故选：D3.函数()(3)(1)fxxx=+−的定义域为（）A.(,1][3,)−−+B.[1,3]−C.[3,1]−D.(,3][1,)−−+【答案】C【解析】【分析】

运用偶次根式被开方数非负，求得()fx的定义域.【详解】解：()(3)(1)fxxx=+−(3)(1)0xx+−解得31x−即函数()fx的定义域为[3,1]x−故选：C【点睛】本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力，属

于基础题．4.已知函数()sin()(0)6fxx=+，且函数()yfx=的最小正周期为2，则下列关于函数()yfx=的说法，①12=；②点2(,0)3是()yfx=的一个对称中心；③直线23x=是函数()yfx=的一条对

称轴；④函数()yfx=的单调递增区间是22,2,33kkk−+Z.其中正确的（）A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④【答案】D【解析】【分析】由题得24=，所以12=，所以①正确；函数1|()|sin26f

xx=+没有对称中心，对称轴方程为23x=，故②不正确，③正确；令1,()262kxkkZ++，得()fx单调递增区间是22,2,()33kkkZ−+，故④正确

.【详解】因为函数()yfx=的最小正周期为2，所以12=，所以①正确；函数1|()|sin26fxx=+没有对称中心，且对称轴方程为1,262kxkZ+=，所以当𝑘=1时，对称轴方程为23x=，故②不正确，③正确；令1,(

)262kxkkZ++，解得22,233xkk−+，所以()fx的单调递增区间是22,2,()33kkkZ−+，故④正确.故选：D5.已知实数135a=，5log3b=，15l

og3c=，则a，b，c这三个数的大小关系是（）A.cabB.bcaC.cbaD.acb【答案】C【解析】【分析】利用指数对数函数的单调性即可判断大小.【详解】由于103551a==，即1a，由5550

log1log3log51b===，即01b，由1155log3log10c==，即0c，故cba.故选：C6.在直三棱柱111ABCABC−中，底面ABC是以B为直角的等腰三角形，且3

AB=，123AA=.若点D为棱1AA的中点，点M为面BCD的一动点，则11BMCM+的最小值为（）A.33B.6C.35D.66【答案】C【解析】的.【分析】利用直三棱柱、等腰直角三角形的性质易证⊥BC面11ABBA，由面面垂直的判定

有面BCD⊥面11ABBA，进而可确定1B关于平面BCD对称点E的位置，则有111BMCMEC+，应用勾股定理即可求11BMCM+的最小值.【详解】由题意知，BCAB⊥，111ABCABC−为直三棱柱，即面ABC⊥面11ABBA，面ABC面

11ABBAAB=，BC面ABC，∴⊥BC面11ABBA，又BC面BCD，∴面BCD⊥面11ABBA.∴易得1B关于平面BCD对称点E落在1AA的延长线上，且3AE=，即133AE=，如下图所示，11BMCM+的最小时，1C、M、E三点共线.∴221111111||992735B

MCMEMCMECACAE+=+=+=++=.故选：C【点睛】关键点点睛：利用面面垂直确定1B关于平面BCD对称点位置，根据111BMCMEC+知当1C、M、E三点共线时11BMCM+的最小.7.已知ABCV

中，设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，ABCV的面积为S，若()223sin2sinsinsin2sinsinBCAABC+=+，则2Sb的值为（）A.14B.12C.1D.2【答案】B【解析】【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：222322sinbcabcA+=+，通过

余弦定理可将等式化简整理为sincos2sin24bcAAAcb+=−=−，通过三角函数图像可知22bccb+，同时通过基本不等式可知22bccb+，即得22bccb+=，通过取等条件可知34A=，2c

b=，将其代入问题中即可求解答案.【详解】已知()2223sin2sinsinsin2sinsinBCAABC+=+由正弦定理可知：222322sinbcabcA+=+，222322sinbcabcA+−=，整理得：()22

22222sinbcabcbcA+−++=，两边同除2bc得：222222sin22bcabcAbcbc+−++=，根据余弦定理得：cossin2bcAAcb++=，即sincos2sin24bcAAA

cb+=−=−，0b，0c，2222bcbccbcb+=，当且仅当2bccb=，即2cb=时等号成立.又sincos2sin224bcAAAcb+=−=−，当且仅当34A=时，等号成立.综上所述：22bccb

+且22bccb+，故得：22bccb+=，此时2cb=且34A=，132sin244Sbcbc==，22222124442Sbccbbb====.故选：B8.已知锐角三角形ABC中，角,

,ABC所对的边分别为,,,abcABC的面积为S，且()22sin2bcBS−=，若akc=，则k的取值范围是（）A.()1,2B.()0,3C.()1,3D.()0,2【答案】A【解析】【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到2coscacB=−，结合正弦定理得到2BC=，由ABCV为

锐角三角形，求出ππ,32B，从而求出111cos0,2222acBkc−==−，求出k的取值范围.【详解】因为1sin2SacB=，所以()22sin2sinbcBSacB−==，即22bcac−=，所以2222cosa

ccacacB+=+−，整理得：22cosacaacB=−，因为0a，所以2coscacB=−，由正弦定理得：sinsin2sincosCACB=−，因为()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，所以()sinsincosc

ossinsinCBCBCBC=−=−，因为ABCV为锐角三角形，所以BC−为锐角，所以CBC=−，即2BC=，由π0,2π0,22ππ0,22BBCBAB==−−，解得：ππ,32

B，因为akc=，所以111cos0,2222acBkc−==−，解得：()1,2k，故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值

范围，或利用基本不等式进行求解.二、多选题（共18分）9.已知平面向量()1,1a=，()3,4b=−，则下列说法正确的是（）A2cos,10ab=rrB.b在a方向上的投影向量为22aC.与b垂直的单位向量的坐标为43,55D.若向量ab+与向

量ab−共线，则0=【答案】AD【解析】【分析】根据向量的坐标运算求||,abrr，ab，对于A：根据向量的夹角公式运算求解；对于B：根据投影向量的定义分析运算；对于C：根据向量垂直的坐标运算求解；对于D：根据向量共线的判定

定理分析运算.【详解】由题意知()2222||112,345ab=+==−+=rr，()13141ab=−+=，对于选项A：12cos,1025ababab===rrrrrr，故A正确；对于选项B：b在a方向上的投影向量为212abaaa=rrrrr，故B错误

；对于选项C：设与b垂直的单位向量的坐标为()00,xy，可得2200001340xyxy+=−+=，解得4535xy==或4535xy=−=−，所以与b垂直的单位向量的坐标为43,55或43,

55−−，故C错误；对于选项D：因为向量ab+与向量ab−共线，所以若存在tR，使得()abtabtatb+=−=−rrrrrr，则1tt==−，解得10t==，故D正

确．故选：AD..10.已知函数()222,02,0xxxfxxxx−+=−，若关于x的不等式()()20fxafx+恰有1个整数解，则实数a的取值可以为（）A.-2B.3C.5D.8【答案】C

D【解析】【分析】由解析式可作出()fx图象，将所求不等式变为()()0fxafx+，分别在0a=、0a和0a三种情况下得到不等式的解，通过图象观察可确定1个整数解的值，由此确定临界状态得到取值范围.【详解】由()fx解析式可得()fx图象如下图所示，由()()20fxafx+

得：()()0fxafx+，当0a=时，()20fx，不等式无解；当0a时，由()()0fxafx+得：()0afx−，若不等式恰有1个整数解，则整数解为3，又

()33f=−，()48f=−，83a−−−，所以38a；当0a时，由()()0fxafx+得：()0fxa−，此时有多个解，故舍去；综上所述：实数a的取值范围为(3,8.故选：CD.11.对于定义

域为D的函数()yfx=,若同时满足下列条件:①()fx在D内单调递增或单调递减;②存在区间,abD,使()fx在,ab上的值域为,ab.那么把()()yfxxD=称为闭函数.下列结论正确的是A.函数21yx=+是闭函数B.

函数3yx=−是闭函数C.函数()1=+xfxx是闭函数D.2k=−时,函数2ykx=++是闭函数E.2k=时,函数2ykx=++是闭函数【答案】BD【解析】【分析】依次判断每个选项：根据单调性排除AC；3yx=−在1,1−上的值域为1,1−B正确；

根据闭函数定义得到9,24k−−，故D正确，E错误，得到答案.【详解】因为21yx=+在定义域R上不是单调函数，所以函数21yx=+不是闭函数，A错误；3yx=−在定义域上是减函数，由题意设,abD，则33baabba=−=−

，解得11ab=−=因此存在区间1,1−，使3yx=−在1,1−上的值域为1,1−，B正确；()1111xfxxx==−++在(),1−−上单调递增，在()1,−+上单调递增，所以函数在定义域上不单调递增或单调递减

，从而该函数不是闭函数，C错误；若2ykx=++是闭函数，则存在区间,ab，使函数()fx的值域为,ab，即22akabkb=++=++，所以a，b为方程2xkx=++的两个实数根，即方程()()2221202,xkxkxxk−++

−=−有两个不等的实根.当2k−时，有()0202122fk−+−，解得924k−−；当2k−时，有()00212fkkk+，此不等式组无解.综上所述，

9,24k−−，因此D正确，E错误；故选：BD【点睛】本题考查了函数的新定义，单调性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.三、填空题（共15分）12.若函数()fx具有性质：①()fx为偶函数，

②对任意xR，都有ππ()()44fxfx−=+，则函数()fx的解析式是_____________．（只需写出满足条件的一个解析式即可）【答案】()fxa=，()cos4fxx=，()cos4fxxb=+，()s

in2fxx=（答案不唯一）【解析】【分析】若函数()fx具有性质：①()fx为偶函数，说明()()fxfx−=−②对任意xR，都有ππ()()44fxfx−=+，说明()2fxfx+=，是周期函数.【详解】若函数()fx具有性质：①()f

x为偶函数，说明()()fxfx−=−②对任意xR，都有ππ()()44fxfx−=+，说明()2fxfx+=，()fx是周期函数.所以()fxa=，()cos4fxx=或()cos4fxxb=+或

()sin2fxx=，故答案为：()fxa=，()cos4fxx=，()cos4fxxb=+，()sin2fxx=（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了抽象函数的周期性、对称性、以及奇偶性，属于开放性题，属于中档题.13.若正实数x，y满足2xyxy+=，则2xy

+的最小值为______．【答案】9【解析】【分析】首先将2xyxy+=化为211yx+=，再利用基本不等式进行求解.【详解】由2xyxy+=得211yx+=，又因0x，0y，所以()212222225259xyxyxyxyyxyxyx+=++=+

++=，当且仅当3xy==时等号成立，故2xy+的最小值为9．为故答案为：9.14.已知三棱锥SABC−外接球直径为SC，球表面积为36π，且3ABBCCA===，则三棱锥SABC−的体积为______.【答案】922##922【解析】【分析】求出外接球半径，得到6SC=，9

0SACSBC==，作出辅助线，求出AB⊥平面SDC，由勾股定理求出各边长，由余弦定理得到1cos33SDC=−，进而得到42sin33SDC=，求出922CDSS=，利用锥体体积公式求出答案.【详解】设

外接球半径为r，则24π36πr=，解得3r=，故6SC=，由于,AB均在球面上，故90SACSBC==，由勾股定理得226333SASB==−=，取AB的中点D，连接,SDDC，则SD⊥AB，DC⊥AB，2

2933942CDACAD=−=−=，又SDDCD=，,SDDC平面SDC，故AB⊥平面SDC，其中32DADB==，由勾股定理得2293112742SDSAAD=−=−=，在SCD中，由余弦定理得22299279361442cos2311339333322

22SDCDSCSDCSDCD+−−+−====−，故142sin13333SDC=−=，故11333114292sin2222233CDSSCDSDSDC===，故三棱锥SABC−的体积为11

929233322CDSSAB==的故答案为：922【点睛】关键点点睛：取AB的中点D，连接,SDDC，证明出AB⊥平面SDC，从而利用13CDSSAB求出三棱锥的体积.四、解答题（共77分）15.已知函数1()cos(3sincos)

2fxxxx=−+，xR.（1）求函数()fx的最小正周期和对称轴；（2）设ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，满足4c=，()1fC=，且ABCV的面积为43，求,ab的值.【答案】（1）最小正周期

为，对称轴为：,32kxkZ=+；（2）4ab==.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数式可得()sin(2)6fxx=−即可求()fx的最小正周期和对称轴；（2）利用三角形面积公式、余弦定理有16ab=

，2232ab+=即可求,ab的值.【详解】（1）解：1()cos(3sincos)2fxxxx=−+21=3sincoscos2xxx−+31sin2cos222xx=−πsin(2)6x=−，∴函数()fx的最小正周期为T=

；而对称轴为262xk−=+，∴函数()fx的对称轴为：,32kxkZ=+.（2）()sin(2)16fCC=−=且0C，则3C=，由1sin432SabC==，可知16ab=①，由余弦定理2222coscababC=+−及4,3cC==，可知2

232ab+=②；结合①②：4ab==.【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，利用三角恒等变换化简函数式，结合三角函数的性质求周期、对称轴，并应用三角形面积公式、余弦定理解三角形，属于中档题.16.如图，在五

面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，ADDE⊥，4=AD，2DEEF==.（1）求证：平面ADE⊥平面CDEF；（2）设M是CF的中点，棱AB上是否存在点G，使得//MG平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，3

AG=.【解析】【分析】【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，可得ADDC⊥，又ADDE⊥，DCDED=，DC，DE平面CDEF，所以AD⊥平面CDEF，又AD平面ADE,所以平面ADE⊥平面CDEF.

（2）解：因为//ABDC，DC平面CDEF，AB平面CDEF，所以//AB平面CDEF，又平面CDEF平面ABFEEF=，AB平面ABFE，所以////ABEFCD，分别取DC，AB上的点N，G使得1CNBG==，又因为//CNBG，故四边形CNGB是平行四边形，所以////BCN

GAD，又因为NG平面ADE，AD平面ADE，所以//NG平面ADE，取DC中点H，则2DHEF==，又//DHEF，故四边形EFHD是平行四边形，所以//DEHF，又因为11142CNDCCH===，M是CF的中点，故MN是CFH△的

中位线，所以////DEHFMN，又由MN平面ADE，DE平面ADE，所以//MN平面ADE，MNNGN=，,MNNG平面MNG所以平面//MNG平面ADE，又由MG平面MNG，所以//MG平面ADE，此时3AG=.【点睛】方法点睛：对于这类探索

性问题，通常是利用面面平行，证得线面平行，并确定点的位置.17.已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手

机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）若临界值60K=，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数；（2）设Kx=且50,55x

，现有足够多的芯片I级品､Ⅱ级品，分别应用于A型手机､B型手机各1万部的生产：方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应

用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元；方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；请求出按方案一，芯片生产商损失费用的

估计值()fx（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．【答案】（1）1030（2）()5768fxx=−，应选择方案二【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，即可求解频率，进而

可求解，（2）分别计算两种方案的费用，即可比较作答.【小问1详解】临界值60K=时，I级品中该指标大于60的频率为()10.0020.005100.93−+=，II级品中该指标大于60的频率为0.1故该公司生产的1000个该

型号芯片I级品和1000个II级品中应用于A型手机的芯片个数估计为：10000.9310000.11030+=【小问2详解】当临界值Kx=时，若采用方案一：I级品中该指标小于或等于临界值K的概率为()0.002100.00

5500.0050.23xx+−=−，可以估计10000部A型手机中有()100000.0050.23502300xx−=−部手机芯片应用错误；II级品中该指标大于临界值K的概率为()0.01100.03600.031.9xx+−=−+，可以估计10000部B型手机中有()100000.0

31.919000300xx−+=−部手机芯片应用错误；故可以估计芯片生产商的损失费用()()()0.085023000.0419000300fxxx=−+−5768x=−50,55x()136,176fx又采用方案二需要检

测费用共130万元故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二18.设A是符合以下性质的函数()fx组成的集合，对任意的()0,(1,4]xfx且()fx在[0,)+上是减函数。（Ⅰ）判断函数1()2fxx=−及21()13

(0)2xfxx=+是否属于集合A，并简要说明理由；（Ⅱ）把（Ⅰ）中你认为是集合A中的一个函数记为()gx，若不等式()()2gxgxk++对任意的0x总成立，求实数k的取值范围。【答案】（Ⅰ）1()fx不在集合A中，21()13()2xfx=+在集合A中；（Ⅱ）2

3[,)4+．【解析】【分析】（Ⅰ）根据集合A的性质检验；（Ⅱ）求出()(2)gxgx++的最大值，可得k的范围．【详解】（Ⅰ）因为1()2fxx=−在0x时是减函数，且1()(,2]fx−，所以1()fx不在集合A中，又因为0x时，110()

1,113()422xx+，所以2()(1,4]fx且21()13()2xfx=+在[0,)+上是减函数，21()13()2xfx=+在集合A中，（Ⅱ）当0x时，()15123(2)2()424xgxgx++=+，又由()(2)gxg

xk++对任意的0x恒成立，所以234k，所以所求的实数k的取值范围是23[,)4+．【点睛】本题考查函数的单调性与值域，考查不等式恒成立问题．不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．如()fxm恒成立max()mfx，()fxm恒成

立min()mfx．19.已知函数()()2,,fxaxbxcabcR=++.（1）若0a，0b，0c=且()fx在0,2上的最大值为98，最小值为2−，试求a，b的值；（2）若1c=，102a，且(

)2fxx对任意1,2x恒成立，求b的取值范围.（用a来表示）【答案】(1)2,3ab=−=；(2)当104a时，5212aba−−−；当1142a时，221aba−−−.【解析】【分

析】（1）求得二次函数的对称轴，根据对称轴和区间的位置关系，分类讨论，待定系数即可求得,ab；（2）对参数a进行分类讨论，利用对勾函数的单调性，求得函数的最值，即可容易求得参数范围.【详解】（1）由题可知2yaxbx=+是开口向下，

对称轴为02ba−的二次函数，当22ba−时，二次函数在区间0,2上单调递增，故可得0miny=显然不符合题意，故舍去；当122ba−，二次函数在0,2ba−单调递增，在,22ba−单调递减，且当𝑥=0

时，取得最小值，故0miny=，不符合题意，故舍去；当012ba−时，二次函数在𝑥=2处取得最小值，在2bxa=−时取得最大值.则422ab+=−；29228bbabaa−+−=，整理得292ba−=；则24990bb−−=，解得3b=或34b

=−（舍），故可得2a=−.综上所述：2,3ab=−=.（2）由题可知()21fxaxbx=++，因为()2fxx对任意1,2x恒成立，即12axbx++对任意1,2x恒成立，即122axbx−++对任意1,2x恒成

立，令()1gxaxbx=++，则()2maxgx，且()2mingx−.因为102a，故可得12a.①当12a，即104a时，()gx在区间1,2单调递减，故()()11maxgxgab==++，()()1222ming

xgab==++则112,222abab++++−，解得51,22baba−−−.此时，()5721022aaa−−−−=−−，也即5212aa−−−，故5212aba−−−.②当122a，即1142a时，()gx在11,a单调递减

，在1,2a单调递增.()122mingxgaba==+−，即22ba−−又因为()11gab=++，()1222gab=++，则()()11202gga−=−+，故()gx的最大值为()11gab=++，则12ab++，解得1ba

−，此时()()()222123140aaaaa−−−−=−−=−−，故可得221aba−−−.综上所述：当104a时，5212aba−−−；当1142a时，221aba−−−.【点睛】本题考查二次函数动轴定区间问题的处理，以及由恒成立问题求参数范围，涉

及对勾函数的单调性，属综合中档题.