【文档说明】浙江省杭州第十四中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.248 MB，由小赞的店铺上传

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杭十四中二〇二三学年第一学期期中测试高二年级数学学科试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合0,1,2,3,4,5U=，13,5A=,，2,3,4B=，则()UBA

=ð（）A.3B.0,2,4C.2,4D.0,2,3,4【答案】D【解析】【分析】应用集合并补运算求集合.【详解】由题设{0,2,4}UA=ð，则()UBA=ð0,2,3,4.故选：D2.复数34i2iz+=+，则z=（）A.2B.5C.5D.3【答案】

C【解析】【分析】由复数的运算求解即可.【详解】()()()()34i2i34i105i2i2i2i2i5z+−++====+++−，415z=+=.故选：C3.幂函数()()22121mfxmmx−=−+在()

0,+上为增函数，则实数m的值为（）A.1B.0或2C.0D.2【答案】D【解析】【分析】根据函数为幂函数求出m，再验证单调性可得.【详解】因为()fx是幂函数，所以2211mm−+=，解得0m=或2，当0m=时，()1fxx−=在()0,+上为减函数，不符合题意，当2m=时，()3fxx=

在()0,+上为增函数，符合题意，所以2m=.故选：D.4.过定点M的直线20txy++=与过定点N的直线240xtyt−+−=交于点A（A与M，N不重合），则AMN面积的最大值为（）A.22B.42

C.8D.16【答案】C【解析】【分析】根据题意分析可得点A在以MN为直径的圆上，结合圆的性质求AMN面积的最大值.【详解】对于直线20txy++=，即()20txy++=，可得直线20txy++=过定点()0,2M−，对

于直线240xtyt−+−=，即()()420xty−−−=，可得直线240xtyt−+−=过定点()4,2N，∵()110tt+−=，则直线20txy++=与直线240xtyt−+−=垂直，即AMAN⊥，∴点

A在以MN为直径的圆上，且()()22402242MN=−++=，由圆的性质可知：AMN面积的最大值为218224MNMNMN==.故选：C.5.2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年1

2月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A，B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（）A.12B.18C.36D.48【答案】C【解析】分析】先按3，1，1或2，2，1分组，再安排到球场.【详解】将5人按3

，1，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有13C种，将5人按2，2，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有23C种，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为()123333CCA36+=．【故选：C6.若过双曲线()222210,0xyabab−=

的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交y轴于点()0,2c（c为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（）A.3B.5C.52D.2【答案】C【解析】【分析】记点()0,2Ac、(),0Fc，分析可知直

线AF与直线byxa=垂直，可得出1AFbka=−，求出ba的值，利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率的值.【详解】双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线方程为byxa=，记点()0,2Ac，由题意可知，点

(),0Fc为双曲线()222210,0xyabab−=的右焦点，易知直线AF与直线byxa=垂直，且2020AFckc−==−−，所以，21AFbbkaa=−=−，可得12ba=，因此，该双曲线的离心率为22151122==+=+=cbeaa.故选：C.7

.已知函数()()1221,2log2,2xxfxxx−+=−，若关于x的方程()()()230fxafxa−+−=有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A.B.)1,0−C.()2,0−

D.()2,1−−【答案】A【解析】【分析】画出()fx的图象，设()fxt=，可知关于t的方程()230tata−+−=在(1,3有两个不同的实数根，根据二次函数图象的性质即可求解.【详解】作函数()fx的图象如下：由函数图象可知：要使关于x的方程()(

)()230fxafxa−+−=有6个不同的实数根，设()fxt=，则关于t的方程()230tata−+−=在(1,3有两个不同的实数根，因此()()()()2341031321309330aaaaaaa−+−−

+−+−−+−，解得a，所以实数a的取值范围为.故选：A.8.已知平面向量a，b，c满足4b=，2ab+=，cab=+rrr且21+=，若对每一个确定的向量a，记cr的最小值为m，则当a变化时，m的最大值为（）A.1B.23C.12D.14【答案】B【

解析】【分析】设(),OAaxy==，()4,0OBb==，OCc=.根据已知得出A点的轨迹方程为()2244xy++=.然后表示出()22,cxy=+−，平方根据,以及,xy之间的关系，化简可得()()2212

8424cxx=−−+−+.根据圆的范围得出x的范围，研究的二次函数，即可得出2281232xxmx++=+.令281232xxtx++=+，根据判别式法得出t的范围，结合x的范围检验，即可得出答案.【详解】根据题意，4b=，设

(),OAaxy==，()4,0OBb==，OCc=.由2ab+=，可得()2242xy++=,所以，A点的轨迹方程为()2244xy++=.因为21+=，所以，()()4,22,cabxyxy=+=+=+−，所以，()()22222cxy=+−+()()2222424

xyx=−++−+.又()2244xy++=，所以有()()22128424cxx=−−+−+.因为()22444xy+=−，所以62x−−，所以，1280x−−，关于的二次函数开口向上，则当()422241664xxxx−−==++时，2c有最小值281232xxx+

++，所以，2281232xxmx++=+.令281232xxtx++=+，整理可得()2831220xtxt+−+−=，由0可得，()()2283412294040tttt−−−=−+，解得49t或4t.当4

t时，有2812432xxtx++=+，化简可得()22032xx−+，所以，23x−，不在62x−−范围之内，舍去；当49t时，有28124329xxtx++=+，化简可得()()231009

32xx++，所以，23x−.且当103x=−时，有21010812433109323t−+−+==−+，所以，249m.又0mc=，所以23m.故选：B.

【点睛】关键点睛：将,ab放到坐标系中，将已知条件转化为坐标关系，进而根据坐标研究.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.）9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的

方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1B.已知一组数据1，2，m，1m+，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5C.已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩的百分位数是20D.若样本数据1210,,,xxx

的方差为8，则数据121021,21,,21xxx−−−的方差为15【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用概率对于判断即可．对于B，根据平均数求得m的值，然后利用中位数公式求解即可.对于C，根据百分位数的概念求解判断即可对于D，利

用方差的性质求解即可.【详解】对于A，一个总体含有60个个体，某个个体被抽到的概率为160，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为6的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为1166010=，故A正确．对于B，数据1，2，

m，1m+，8，9的平均数为5，故()11218956mm++++++=，解得92m=，故这组数据的中位数是152mm++=，故B正确.对于C，将全班成绩从小到大排列，小明的成绩在第37个，故小明成绩的百分位数不是20，故C错误.对于D，依题意，()8Dx=，则()()223221DxDx−=

=，故数据121021,21,,21xxx−−−的方差为32，D错误；故选：AB.10.已知函数()fx是定义域为R的偶函数，()11fx+−是奇函数，则下列结论正确的是（）A.()11f=B.()00f=C.()fx是以4为周期的函数D.()fx的图象关于6x=对称【答案】

ACD【解析】【分析】根据已知求出函数的对称中心，即可得出A项；根据对称中心以及偶函数的性质，即可得出函数的周期；根据函数的对称性，推导即可判断D项.【详解】对于A项，由()11fx+−是奇函数，可得函数()fx关于点()1,1对称

，所以有()11f=，故A项正确；对于B项，无法求出()0f的值，故B项错误；对于C项，函数()fx是定义域为R的偶函数，所以有()()fxfx−=.又函数()fx关于点()1,1对称，所以()()22fxfx−++=，所以有()()22fxfx++=，所以，

()()242fxfx+++=，所以有()()4fxfx+=，所以()fx是以4为周期的函数，故C项正确；对于D项，因为()()()4fxfxfx+==−,所以2x=也是函数()fx的对称轴.又()fx是以4为周期的函数，所以()fx的图象关于6x=对称，故D项正确.故选：ACD.11.（多选）已

知0a，0b，221abab+−=，则下列不等式恒成立的是（）A.112ab+B.2ab+C.222ab+D.332ab+【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式222abab+，可得1ab，又112abab+可判断A正确；利用基本不等式()24ab

ab+，化简221abab+−=得()213abab+−=解得()24ab+，可判断B错误；利用基本不等式222abab+，得222212ababab=++−解得222ab+，可判断C错误；利用33

22()()ababaabbab+=+−+=+，由B选项结果可判断D正确；【详解】对于A，由0a，0b，利用基本不等式222abab+，可得12abab+，解得1ab，又112abab+（当且仅当1ab==时，等号成立），而1ab，所以22ab，所以112ab+，故A正

确；对于B，由0a，0b，利用基本不等式()24abab+，化简221abab+−=得()()223134ababab++−=（当且仅当1ab==时，等号成立），解得()24ab+，即2ab+，故B错误；对于C，由0a，0b，利用基本不等式222abab+化简221abab+−

=得222212ababab=++−（当且仅当1ab==时，等号成立），解得222ab+，故C错误；对于D，3322()()ababaabb+=+−+，又221abab+−=，即33abab+=+，由B选项知2ab+，所以332ab

+，故D正确；故选：AD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定

值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12.已知正四棱台1111ABCDABCD−中，3AB=，112AB=，高为2，,EF分别为11DC，11AD的中点，G是对角

线BD上的一个动点，则以下正确的是（）A平面//EFD平面1ACBB.点E到平面1ACB的距离是点B到平面1ACB的距离的12C.若点G为BD的中点，则三棱锥1GEFD−外接球的表面积为6D.异面直线EG与AC所成角的正

切值的最小值为22【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据线线平行证明线面平行，进而证明面面平行；对于B，利用面面平行和点到平面距离的概念进行判断即可；对于C，利用球的表面积公式，直接求解即可；对于D，根据异面直线所成角的概念，作出相应的辅助

线，进而利用勾股定理和锐角三角函数即可求解.【详解】选项A：设ACBDO=，11EFBDP=，如图1所示.选项A：1//BPOD，1322BPOD==，则四边形1BPDO为平行四边形，1//BOPD，所以//PD平面1ACB，又因为11EF

//AC//AC，所以//EF平面1ACB，因为EFPDP=，所以平面//EFD平面1ACB，故正确；选项B：因为平面//EFD平面1ACB，所以点D到平面1ACB的距离与点E到平面1ACB的距离相等，又点D到平

面1ACB的距离与点B到平面1ACB的距离相等，所以点E到平面1ACB的距离与点B到平面1ACB的.距离相等，故不正确；选项C：如图2所示，在梯形11BDDB内过点P作1PPBD⊥于点1P，所以1PP⊥面ABCD，取线段1P

P的中点L，因为1122PDPFPEPG====，所以L为球心，22223122R=+=，球的表面积为6，故正确；选项D：如图3所示，因为//EFAC，AC⊥平面11BDDB，所以EF

⊥平面11BDDB，又PG平面11BDDB，所以EFPG⊥，所以GEF（或其补角）为EG与AC所成的角，所以tanPGGEFPE=，若tan222PGPGGEFPGPE===最小，则PG最小，当点G在点1P时，PG取最小值2，所以tanGEF的最小值为2

2，故正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知()()()()()2345501234511111xaaxaxaxaxax=++++++++++，则4a=______.【答案】5−【解析】【

分析】利用二项展开式的通项可知()441ax+为二项式()511x+−展开式的第二项，即可求得45a=−.【详解】根据题意可知()()5551111xxx=++−=−，根据题意可知，4a

为()41+x项的系数，利用二项展开式的通项可知()()()()414411554C11C11xxax+−=−+=+可得145C5a=−=−；故答案为：5−14.已知点()(),0Mxyy满足方程()()2222114

xyxy+++−+=，点()2,0A−，()2,0B，若直线MA的斜率为1k，MB斜率为2k，则12kk的值为______.【答案】34−##0.75−【解析】【分析】将方程转化为12124MFMFFF+=，利用椭圆定义法求标准方程，将方程变形代入斜率关系可得定

值22ba−.【详解】已知动点(),Mxy满足方程()()2222114xyxy+++−+=，设1(1,0),(1,0)FF−，且122FF=，则有12124MFMFFF+=，故点M的轨迹是以12,FF为焦点，长轴长为4的椭圆，且中心在原点，焦点在x轴，即点M轨迹

轨迹方程为椭圆的标准方程，则24,22ac==，222413bac=−=−=，故所求轨迹方程为22143xy+=，则22443xy−=，又()2,0A−，()2,0B，则2212223422443yyyykk

xxxy====−+−−−.故答案为：34−.15.设圆1C：()()22511xy−++=，圆2C：()()227225xy−++=，点A、B分别是圆1C，2C上的动点，P为直线yx=上的动点，则PAPB+的最小值为______.【

答案】1136−##6113−+【解析】【分析】根据已知求出圆1C，2C的圆心、半径，判断直线与圆的位置关系，求出圆1C关于直线yx=的对称圆.进而结合图象，结合对称性，即可得出答案.【详解】由已知可得，圆心()15,1C−，半径11r=，圆心(

)27,2C−，半径25r=.所以，圆心()15,1C−到直线yx=，即0xy−=的距离116322dr==，圆心()27,2C−到直线yx=，即0xy−=的距离2299222dr==，的所以，直线与两圆均相离.设()15,1C−关于直线yx=对称点为()030,Cxy

，则有00001522115yxyx−+=+=−−，解得0015xy=−=，()31,5C−，所以，圆1C：()()22511xy−++=关于直线yx=对称的圆3C的方程为()()22151xy++−=.如图，连接23CC，分别交圆3C于1A点，交圆2C于B点，

交直线yx=于Q点，连接1QC交圆1C于点A，则1QAQA=.又11ABAQQBQAQB=+=+，所以当P点位于点Q处时，PAPB+有最小值1AB.又()()22231752113CC=−−++=，所以，123121136ABCCrr=−−=−.故答案为：1136−.16.已知函数()222

0232022fxaxx=−−，对任意Rt在区间1,1tt−+上总存在两个实数1x，2x，使()()121fxfx−成立，则a的取值范围是______.【答案】11,0,22−−+

【解析】【分析】根据已知转化为求解函数在1,1tt−+上()()maxminfxfx−的最小值.当0a时，直接求解即可；当0a时，根据二次函数的性质可知20234ta=，进而求解化简即可得出答案.【详解】由已知可得，设()fx在1,1t

t−+上的最大值为()maxfx，最小值为()minfx，只需()()maxmin1fxfx−即可当0a=时，()20232022fxx=−−在R上单调递减，此时()()()()12114046fx

fxftft−+−−=，显然满足条件；当0a时，()2220232022fxaxx=−−为二次函数，要使()()maxminfxfx−最小，则应有2023202344taa−−==，此时有()()()()maxmin1fxfxft

ft−=+−20232023144ffaa=+−.又20232023144ffaa+−222023202320232023212023120222202320224444aaaaaa=

+−+−−−−2a=，所以，只需满足21a即可，即12a或12a−.综上所述，12a或12a−或0a=.故答案为：11,0,22−−

+.四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在[65，90)内)分组如下：第一组[65，70)，第二组[70，75)

，第三组[75，80)，第四组[80，85)，第五组[85，90)．得到频率分布直方图如图.(1)求测试成绩在[80，85)内的频率；(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队

，求第四组至少有1名学.生被抽中的概率．【答案】（1）0.2；（2）35【解析】【分析】（1）由所有频率的和为1，易得测试成绩在[80，85）内的频率；（2）先分别求出第三组、第四组、第五组的人数，再由分层抽样方

法得各组应该抽取的人数．用字母表示所研究的事件，用列举法得基本事件的总数以及所研究事件含多少个基本事件，最后利用古典概型公式求得概率．【详解】（1）测试成绩在[80，85）内的频率为：()10.010.070.060.02

5−+++0.2=（2）第三组的人数等于0.065100=30,第四组的人数等于0.2100=20，第五组的人数等于0.025100=10，分组抽样各组的人数为第三组3人，第四组2人，第五组1人.设第三组抽到的３人为123,,AAA，第四组抽到的２人为12BB，,第五组抽到的

１人为C.这6名同学中随机选取2名的可能情况有15种，如下：()()()()()()()()121311121232122,AAAAABABACAAABAB，，，，，，，，，，，，，，，()()()()()()()2313231212

,,,ACABABACBBBCBC，，，，，，，，，，.设“第四组2名同学至少有一名同学被抽中”为事件M,事件M包含的事件个数有9种，即：()11AB，，()12AB，，()21AB，,()22AB，,()31AB，,()()3212ABBB，，，，()

1BC，,()2BC，.所以,事件M的概率即第四组至少有一名同学被抽中的概率为()93=155PM=．考点：1、考查频率分布；2、频率分布直方图；3、古典概型．18.已知函数()()2ππ63sin2sin10,0π62xfxx

+=++−，且()fx图象的相邻两对称轴间的距离为π2.（1）求()fx的解析式和单调递增区间.（2）将函数()fx的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()ygx=的

图象，当ππ,126x−时，求函数()gx的值域.【答案】（1）()2sin2fxx=，单调递增区间为πππ,π,Z44kkk−++（2）2,3−【解析】【分析】（1）根据二倍角的余弦以及辅助

角公式化简，即可得出()2sinfxx=.然后由已知推得πT=，即可得出2=，得出解析式；整体代换，即可得出函数的单调递增区间；（2）先根据图象平移得出()ygx=的解析式，然后根据已知x的范围得出

2πππ4333x−−，结合正弦函数的性质，即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，()ππ3sincos66fxxx=+−+ππ2sin2sin66xx=+−=.又()fx图象的相邻两对称轴间的距离为

π2，所以π22T=，πT=，即2ππ=，所以2=，所以，()2sin2fxx=.由ππ2π22π,Z22kxkk−++可得，ππππ,Z44kxkk−++，所以，()fx的单调递增区间为πππ,π,Z

44kkk−++.【小问2详解】由（1）知，()2sin2fxx=，将函数()fx的图象向右平移π6个单位长度，可得ππ2sin22sin263yxx=−=−的图象.再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()π2sin43gxx

=−的图象.因为ππ,126x−，所以2πππ4333x−−.因为函数sinyx=在2ππ,32−−上单调递减，在ππ,23−上单调递增，且2π3sin32−=−，12πsin−

=−，π3sin32=，所以，当ππ,126x−时，π31sin232x−−，所以，π22sin233x−−，所以，函数()gx的值域为2,3−.19.在ABC中，角,,ABC所对边分别为,,abc，已知coscos2cosaB

bAcC+=．（1）求C；（2）若1c=，求ABC面积的取值范围．【答案】（1）π3C=；（2）3(0,]4.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.（2）由（1）的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答.【小问1详解】在ABC中，由已知及正弦

定理得：sincossincos2sincosABBACC+=，即有()sin2sincosABCC+=，即sin2sincosCCC=，而0πC，sin0C，则1cos2C=，所以π3C=．【小问2详解】在ABC中，由余

弦定理2222coscababC=+−得：221abab=+−，因此12abab−，即01ab，当且仅当ab=时取等号，的又11333sin(0,]22244ABCSabCabab===△，所以ABC面积的取值范围是3(0,]4．20.已知圆O：

222xy+=，直线l：2ykx=−．（1）若直线l与圆O相切，求k的值；（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当AOB为锐角时，求k的取值范围；（3）若12k=，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线

PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点，若过定点，则求出该定点．【答案】（1）1；（2）31k−−或13k；（3）直线CD过定点112−（，）．【解析】【分析】（1）由圆心到切线距离等于半径求参数值；（2）只要圆心到

直线的距离大于弦长的一半即可．（3）利用P点坐标，求出直线CD的方程，由方程确定是否过定点．【详解】（1）原点O到直线l的距离为222211dkk−==++，由2221k=+，解得1k=；（2）因为OAOB=，AOB为锐角时等价于22rdrd−，即22

222rdr，∴244221k+，解得31k−−或13k；（3）P在直线1:22lyx=−上，设00(,)Pxy，则以OP为直径的圆方程为00()()0xxxyyy−+−=，即22000xyxxyy+−−=，同22220020xyxyxxyy+=+−−=

，相减得002xxyy+=，这就是直线CD的方程．又00122yx=−，∴001(2)22xxxy+−=，01()2202xyxy+−−=，由102220xyy+=−−=得121xy==−，∴直线CD过定点112−（，）．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系

，考查圆中定点问题．直线与圆的位置关系一般用几何方法求解，即求出圆心到直线的距离d，由d与半径r的关系确定直线与圆位置关系，而求直线与圆相交弦长就利用垂径定理得垂直后由勾股定理计算．直线过定点问题，采取基本方法，设动点P的坐标为参数，由这个参

数求出直线CD方程，分析方程，得定点．21.椭圆2222:1xyEab+=（0ab）离心率为12，P是椭圆E上的任意一点，1F、2F分别是椭圆E的左右焦点，且12PFF△的周长为6.（1）求椭圆E的方程；

（2）若Q是椭圆的左顶点，过Q的两条直线1l，2l分别与E交于异于Q点的A、B两点，若直线1l，2l的斜率之和为4−，则直线AB是否经过定点？如果是，求出定点，如果不是，说明理由.【答案】（1）2214

3xy+=（2）是，定点32,4−−【解析】【分析】（1）由题意得12226caaa=+=求出,ac，再结合222bac=−求出2b，从而可得椭圆方程；（2）设直线AB为ykxt

=+，代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，然后由124kk+=−可求得834kt−=，则得直线AB为3(2)4ykx=+−，从而可得直线恒过定点.【小问1详解】由题意得12226caaa=+=，解

得21ac==，所以2223bac=−=，所以椭圆的方程为22143xy+=，【小问2详解】由（1）(2,0)Q−，由题意得直线AB的斜率存在，设直线AB为ykxt=+，由223412ykxtxy=++=，得

()223412xkxt++=，化简得222(34)84120kxktxt+++−=，由2222644(34)(412)0ktkt=−+−，得22430kt−+，设1122(,),(,)AxyBxy，则21212228412,3434kttxxxxkk−−+==++，所以12121

222yykkxx+=+++12211212()(2)()(2)2()4kxtxkxtxxxxx+++++=+++121212122(2)()42()4kxxktxxtxxxx++++=+++22222241282(2)4343441

28243434tktkkttkktktkk−−+++++=−−++++2222228241681216412161216ktkktkttkttktk−−−++=−−++226344kttktk−+=−+23(2)34(2)2tktktk−===−−−，所以834kt−=，

所以直线AB：833(2)44kykxkx−=+=+−，所以直线AB恒过点32,4−−.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解（2）问解题的关键是由124kk+=−结合根与系数的得到的式子

可得834kt−=，代入直线方程化简可得答案，考查数学计算能力，属于较难题.22.已知函数2()1,()1fxxgxax=−=−．（1）若关于x的方程()()fxgx=只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当xR时，不等式(

)()fxgx恒成立，求实数a的取值范围；（3）探究函数()()()hxfxgx=+在区间[2,2]−上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．【答案】（1）a<0（2）2a−（3）当0a时，()hx在[2,2]−

上的最大值为33a+；当30a−时，()hx在[2,2]−上的最大值为3a+；当3a−时，()hx在[2,2]−上的最大值为0.【解析】【详解】试题分析：（1）方程()()fxgx=，即211xax−=−，变形得1(1)0xxa−+−=，显

然，1x=已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程1xa+=有且仅有一个等于1的解或无解，结合图形得a<0.……4分（2）不等式()()fxgx对xR恒成立，即2(1)1xax−−（*）对xR恒成立，①当1x=时，（*）显然成立，此时aR；②当1x时

，（*）可变形为211xax−−，令21,(1),1(){(1),(1).1xxxxxxx+−==−+−因为当1x时，()2x，当1x时，()2x−，所以()2x−，故此时2a−.综合①②，得所求实数a的取值范围是2a−.……8

分（3）因为2()()()11hxfxgxxax=+=−+−=2221,(1),{1,(11),1,(1).xaxaxxaxaxxaxax+−−−−++−−+−−……10分①当1,22aa即时，结合图形可知()hx在[2,1]−上递减，在[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h

aha−=+=+，经比较，此时()hx在[2,2]−上的最大值为33a+.②当01,022aa即时，结合图形可知()hx在[2,1]−−，[,1]2a−上递减，在[1,]2a−−，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3haha−=+

=+，2()124aaha−=++，经比较，知此时()hx在[2,2]−上的最大值为33a+.③当10,202aa−−即时，结合图形可知()hx在[2,1]−−，[,1]2a−上递减，在[1,]2a−−

，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3haha−=+=+，2()124aaha−=++，经比较，知此时()hx在[2,2]−上的最大值为3a+.④当31,3222aa−−−−即时，结合图形可知()h

x在[2,]2a−，[1,]2a−上递减，在[,1]2a，[,2]2a−上递增，且(2)330ha−=+,(2)30ha=+，经比较，知此时()hx在[2,2]−上的最大值为3a+.当3,322aa−−即时，结合图形可知()hx在[2

,1]−上递减，在[1,2]上递增，故此时()hx在[2,2]−上的最大值为(1)0h=.综上所述，当0a时，()hx在[2,2]−上的最大值为33a+；当30a−时，()hx在[2,2]−上的最大值为3a+；当3a−时，()hx在[2,2]−上的最大值为

0.……15分考点：本小题主要考查由方程根的情况求参数的取值范围、恒成立问题的求解和含参数的二次函数的最值问题，考查学生数形结合思想和分类讨论思想的应用.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com