【文档说明】吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高二4月半月考数学试题含答案.docx，共(9)页，455.341 KB，由小赞的店铺上传

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1.设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为()A．9x－y－16＝0B．9x＋y－16＝0C．6x－y－12＝0D．6x＋y－12＝02.已知A为抛物线C:y2=2p

x（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，p=（）A.2B.3C.6D.93.设F为双曲线C:)0,0(12222=−babyax的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P,Q,若060,2==PQFQFPQ,则该双曲线的离心率为()A.3B.31

+C.32+D.324+梅河口市第五中学2020-2021学年下学期高二年级（数学测试卷）半月考考试时间：50min试卷满分：100分选择题选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答注意事

项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；2.请在答题卡的指定位置上填写姓名、考号、并填涂或粘贴条形码；3.第Ⅰ卷（选择题）答案填涂在答题卡相应位置，并注意深浅度一致，饱满、干净。第Ⅱ卷（非选择题

）答案填写在答题卡上；4.请仔细审题，认真做答。4.已知函数()lnafxxax=−+在1,ex上有两个零点，则a的取值范围是()A.e,11e−−B.e,11e−C.e,11e−−D.)1,e−5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)

＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝()A.1B.－1C.－e－1D.－e6.当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A.[－5，－3]B.[－6，－98]C.[－6，－2]D.[－4，－3]7.

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1<x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为()A.3B.4C.5D.68.设抛物线的顶点为O

，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl⊥于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP9.若存在实数x，y满足ln3yyxxee−−++

，则xy+=A.1−B.0C.eD.110.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q在双曲线上，且点()2,1M−为线段PQ的中点，//PQBF，双曲线的离心率为e，则2e=（）A.512+B.312+C.222+D.21

2+11.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左､右焦点分别为1F，2F，点M在C的左支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为N，则当2MFMN+取最小值10时，12FNF△面积的最大值为（）A.25B.252C.509D.100912.定义

在上的函数满足，为函数的导函数，，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.()1,+()fx()210xfx+()fx()fx()433f=x()3loglog31xfx+()3,27()1,27()9,+()27,+13.函数f(x)＝ex·sinx在点(0，f(

0))处的切线方程是.14.已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.15.已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点

的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝.16.已知函数217()(2)ln422fxxxxx=++−+，则函数()fx的所有零点为.17.（20分）已知点1F、2F分别是椭圆C的左、右焦点，离心率

为22，点P是以坐标原点O为圆心的单位圆上的一点，且120PFPF=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率为k的直线l（不过焦点）交椭圆于M，N两点，若x轴上任意一点到直线1MF与1NF的距离均相等，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．非选择题题填空题：本大题共4小题，每小

题5分，共20分，请仔细审题，认真做答解答题：共1题，共20分，请仔细审题，认真做答数学半月考答案1-5ACBAC6-10CABDD11.B12.A1.由题意可得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3是偶函数，则a＝0，所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，则f(2)

＝2，f′(2)＝9，则所求切线方程为y－2＝9(x－2)，即为9x－y－16＝0.2.设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知||122ApAFx=+=，即1292p=+，解得6p=.3.∠PQF=60°,因为|

PQ|=2|QF|,所以∠PFQ=90°,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P，F1Q,由对称性可知,四边形F1PFQ为矩形，|F1F|=2|QF|,|QF1|=3|QF|,所以1313211+=−=−==QFQFFFace.

4.∵221'(),1,eaxafxxxxx+=+=．当1a−时，()'0fx，()fx在1,e上单调递增，不合题意．当ea−时，()'0fx，()fx在1,e上单调递减，也不合题意．当

e1a−−时，则,[)1xa−时，()'0fx，()fx在[1,)a−上单调递减，,e(]xa−时，()'0fx，()fx在(],ea−上单调递增，又()10f=，所以()fx在e[]1,x上有两

个零点，只需(e)10eafa=−+即可，解得e11ea−−.综上，a的取值范围是e,11e−−.故选A.5.依题意得，f′(x)＝2f′(e)＋1x，取x＝e得f′(e)＝2f′(e)＋1e，由此解得f′(e)＝－1e＝－e－1，故选C.6.当x∈(0,1

]时，得a≥－3(1x)3－4(1x)2＋1x，令t＝1x，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，t∈[1，＋∞)，则g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(t＋1)·(9t－1)，显然在[

1，＋∞)上，g′(t)<0，g(t)单调递减，所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈[－2,0)时，得a≤－2.由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立．故实数a的取值范围为[－6，－2]．7.f′(x)＝3x2＋2ax＋b，原题等价于方程3x2＋2ax＋b

＝0有两个不等实数根x1，x2，且x1<x2，x∈(－∞，x1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)

单调递增．∴x1为极大值点，x2为极小值点．∴方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等实根，f(x)＝x1或f(x)＝x2.∵f(x1)＝x1，∴由图知f(x)＝x1有两个不同的解，f(x)＝x2仅有一个解．8.如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到,FQ的距

离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQPF=，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.9.令函数()ln3fxxx=−+，可得11()1xfxxx−=−=，当(0,1)x时，()0fx，()fx单调递增；当(

1,)x+时，()0fx，()fx单调递减，所以当1x=，可得max()(1)ln1132fxf==−+=，令函数()yygyee−=+，则2yyee−+，当且仅当0y=时取等号，又由ln3yyxxee−−++，所以ln32yyxxee−−+=+=，所

以1,0xy==，所以1xy+=．10.由题意知(),0Fc，()0,Bb，则PQBFbkkc==−.设()11,Pxy，()22,Qxy，则2211222222221,1,xyabxyab−=−=

两式相减，得()()2121221212bxxyyxxayy+−=−+.因为线段PQ的中点为()2,1M−，所以124xx+=−，122yy+=，又1212PQyybkxxc−==−−，所以2242bbca−−=，整理得22abc=，所以()4222224

4abccca==−，即424410ee−−=，得2212e+=.11.由题意得212MFMFa−=，故212MFMFa=+，如图所示，则211222MFMNMFaMNFNaba+=+++=+，当且仅当M，1F，N三点共线时取等号，∴2MFMN+的

最小值为210ba+=，∴1022ab，即252ab，当且仅当25ba==时，等号成立，而()1,0Fc−到渐近线0bxay+=的距离1bNbFcc==，又1OFc=，故ONa=，∴12111252222FNFFNOSSNFNOab===△△，即12FNF△面积的

最大值为252.12.构造函数，，所以在上递增．注意到，所以，结合的定义域可知，所以不等式的解集为．填空题13.y＝x∵f(x)＝ex·sinx，f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴函数f(x)的图象在点(0,0)处的

切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.14.2()()1Fxfxx=−()2221()1()0xfxFxfxxx+=+=()Fx()1,+()()13313Ff=−=()3loglog31xfx+()()3311log3log3fxf

x−−()()33log3log3027FxFxx()fx3log13xx()3loglog31xfx+()3,27【解析】依题可得，3BFAF=，而2bBFa=，AFca=−，即23baca=−，变形得22233caaca−

=−，化简可得，2320ee−+=，解得2e=或1e=（舍去）．故答案为：2．15.12取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝12|AN|，|GF2|＝12|BN|，所以|

AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝4a＝12.16.1=x【解析】函数)(xf的定义域为),0(+，且()2ln3fxxxx=++−．设()2ln3gxxxx=++−，则()()222221122()1xxxxgxxxxx+−+−=−+==()0x．当01x时，()0gx

；当1x时，()0gx，即函数()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以当0x时，()()10gxg=（当且仅当1=x时取等号）．即当0x时，()0fx（当且仅当1=x

时取等号）．所以函数()fx在),0(+单调递增，至多有一个零点.因为(1)0f=，1=x是函数)(xf唯一的零点.综上，函数()fx的所有零点只有1=x．17.(1)设椭圆的标准方程为()22221,,xyPxyab+=由题意可得

22222221(,)(,)0caxyxcyxcybca=+=−+=+=解得：222211abc===即椭圆C的标准方程：22121xy+=.（6分）(2)设直线l：1122,(,),(,)ykxmMxyNxy=+则1111221122,1111MFNFykxmyk

xmkkxxxx++====++++有22121xyykxm+==+，消去y得：222(12)4220kxmkxm+++−=，所以2221222122168(1)(12)04122212kmmkmkxxkmxxk=−−+−+=+−=+（

12分）因为x轴上任意一点到直线1MF与1NF的距离均相等，所以x轴为直线1MF与1NF的角平分线，所以111212011MFNFkxmkxmkkxx+++=+=++，即12122()()20kxxmkxxm++++=所以2222242()201212mmkkmkmkk−−+++=++（

16分）整理化简得：2mk=即直线l：2(2)ykxmkxkkx=+=+=+故直线恒过定点（-2,0）.（20分）