【文档说明】江苏省扬州中学2022-2023学年高三下学期3月双周练试题 数学 含答案.docx，共(25)页，1.566 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省扬州中学2022-2023学年度高三数学双周练试卷2023.3.1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数：12izi=−，则z在复平面内

对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设P(A|B)＝P(B|A)＝12，P(A)＝13，则P(B)等于（）A.12B.13C.14D.163．下列说法正确的是（）A．“ab”是“22ambm”的充要条件B．“,4kxk=Z”是“tan

1x=”的必要不充分条件C．命题“0001,2xxx+R”的否定形式是“1,2xxx+R”D．“1xy=”是“lglg0xy+=”的充分不必要条件4.《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“

即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.

”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（）A.23201601−B.1160C.2160801−D.1805．某高中为促进学生的全面发展，秋季学期合唱团、朗诵会、脱口秀、街舞社、音乐社等五个社团面向1200名高一年级同学招新，每名同学依据自己兴趣爱好最多可

参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加音乐社社团的同学有15名，参加脱口秀社团的有20名，则（）A．高一年级同学参加街舞社社团的同学有120名B．高一年级参加这五个社团总人数占全年级人数的12%C．高

一年级同学参加这五个社团的总人数为200名D．脱口秀社团的人数占这五个社团总人数的20%6.已知抛物线22(0)Cypxp=：的焦点为F，点()0010()2pMxx，是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线2px=截得的弦长为3MA，若2M

AAF=，则AF=（）A.2B.1C.52D.57.已知三棱锥−PABC，Q为BC中点，2PBPCABBCAC=====，侧面PBC⊥底面ABC，则过点Q平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）A.

5ππ,3B.π2π,23C.2π,2π3D.π,2π8．已知函数π()sin(),A0,0,||2fxAx=+，两个等式π()02f

xfx−+−=，π()02fxfx−−=，对任意实数x均成立，()fx在π5π,828上单调，则的最大值为（）A．17B．16C．15D．13二、多项选择题：本大题共4小

题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选的错的得0分。9.下列命题中，正确的命题（）A.回归直线ˆˆˆybxa=+恒过样本点的中心(,)xy，且至少过一个样本点B.将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变C.用相关指数

2R来刻画回归效果，2R越接近0，说明模型的拟合效果越好D.若随机变量()23,N，且()60.84P=，则()360.34P=10.已知正数，满足11ee2sin2sin−−++，则下列不等式正确的是（）A.1𝛼+1𝛽>4𝛼+𝛽B

.122−+C.lnln++D.1ee111a++11.折纸是一种高雅的艺术活动.已知正方形纸片ABCD的边长为2，现将ACD沿对角线AC旋转180，记旋转过程中点D的位置为点,,,PACAPBC中点分别为,,OEF，则

（）A.ACBP⊥B.PBPD+最大为42C.旋转过程中，EF与平面BOP所成的角不变D.ACD旋转形成的几何体的体积是22312.在平面四边形ABCD中，ABD△的面积是BCD△面积的2倍，又数列na满足12a=，恒有()()1122nnnnBDaBAaBC−+=−

++，设na的前n项和为nS，则（）A.na为等比数列B.2nna为等差数列C.na为递增数列D.()1326nnSn+=−−非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.在()50axax−

的二项式展开式中2x的系数为90，则=a______.14.已知双曲线2221yxa−=，若过点(2,2)能做该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e取值范围为______.15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆221Oxy：+=，2

2(1)9Cxy++=：，直线l与圆O相切，与圆C相交于A，B两点，分别以点A，B为切点作圆C的切线1l，2l．设直线1l，2l的交点为()Pmn，，则m的最大值为__________．16.已知长方体1111ABCDABCD−的底面是边长为22的正方形，若13cos,3ABAC=，则该长

方体的外接球的表面积为________；记12,ee→→分别是,ABAD方向上的单位向量，且||26a=，1222aeae→→==，则12amene→−−（m，n为常数）的最小值为________．四､解答题

：本题共6小题，共70分.解答应写出相应的文宇说明､证明过程或演算步骤.17.（12分）在锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，满足()2cbba=+.（1）求证：2CB=；（2）求113sintantanCBC−+的取值范围.18．（12分）已知

正项数列na，其前n项和nS，满足()12nnnSana=+N．（1）求证：数列2nS是等差数列，并求出na的表达式；（2）数列na中是否存在连续三项12,,kkkaaa++，使得()12111,,kkkkaaa++N构成等差数列？请说明理由．19.三棱台111ABCA

BC-的底面是正三角形，1AA⊥平面ABC，4AB=，112AB=，13AA=，E是AB的中点，平面11ACE交平面ABC于直线l．（1）求证：ACl∥；（2）求直线1BC与平面11ACE所成角的正弦值．20．（12分）2022年冬季奥林匹克运动会在北京胜利举行，北京也成

为了第一个同时举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．为推广普及冰雪运动，深入了解湖北某地中小学学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，随机选取了10所学校进行研究，得到如

下图数据：（1）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作

中至少有2个动作达到“优秀”．则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学滑行，转弯，停止三个动作达到“优秀”的概率分别为311,,223，且各个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

21.已知函数()()eln0xfxaxa=−.（1）若()1fx，求实数a的取值范围.（2）求证：1111ln1232nn+++++.22．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，且

经过点(2,0)M−，12,FF为椭圆C的左右焦点，()00,Qxy为平面内一个动点，其中00y，记直线1QF与椭圆C在x轴上方的交点为()11,Axy，直线2QF与椭圆C在x轴上方的交点为()22,

Bxy．（1）求椭圆C的标准方程；（2）①若21AFBF∥，证明：120111yyy+=；②若123QFQF+=，探究012,,yyy之间关系．江苏省扬州中学高三数学双周练试卷2023.3.1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5

分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数：12izi=−，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】对复数z进行化简，

从而求出其所在的象限即可．【详解】(12i)212(12)(12)5iiiziii+−+===−−+，故z在复平面内对应的点位于第二象限，故选B．【点睛】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．2.设P(A|B)

＝P(B|A)＝12，P(A)＝13，则P(B)等于（）A.12B.13C.14D.16【答案】B【解析】【分析】由已知可求出()PAB，再由()()()PABPBPAB=∣即可求出.【详解】111()()()326PABPAPBA===∣，由()

()()PABPABPB=∣，得()11()2()63PABPBPAB===∣.故选：B.3．下列说法正确的是（）A．“ab”是“22ambm”的充要条件B．“,4kxk=Z”是“tan1x=”的必要不充分条件C．命题“0001,2xxx+R”的否定形式是“1,2

xxx+R”D．“1xy=”是“lglg0xy+=”的充分不必要条件答案：B4.《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，

当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（）A.23201601−B.1160C.2160801−D.180【答案】A【解析】【

分析】根据题意，结合正切的二倍角公式进行求解即可.【详解】由题意可知：180dt=，12tan2160dAOBt==，所以2212tan802tan11tan12160AOBAOBAOB==−−23201601=−.故选：A.5．某高中为促进学生的全面发展，秋季学期合唱团

、朗诵会、脱口秀、街舞社、音乐社等五个社团面向1200名高一年级同学招新，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加音乐社社团的同学有15名，参加脱口秀社团的有20名，则（）A．高一年级同学参加街舞社社团的同学有

120名B．高一年级参加这五个社团总人数占全年级人数的12%C．高一年级同学参加这五个社团的总人数为200名D．脱口秀社团的人数占这五个社团总人数的20%答案：D6.已知抛物线22(0)Cypxp=：

的焦点为F，点()0010()2pMxx，是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线2px=截得的弦长为3MA，若2MAAF=，则AF=（）A.2B.1C.52D.5【答案】C【解析】【分析】根据点在抛物线上及抛物线的定义，利用

圆的弦长及勾股定理即可求解【详解】由题意可知，如图所示，()010Mx，在抛物线上，则001025pxpx==①易知，02pDMx=−，由02222332MApMAAFMFxAF====+，因为被直线2bx=截得的弦长为3MA，则031223pDEMAx==+，由MAM

Er==，于是在RtMDE△中，222000014()()()32292pppxxxxp++−=+=②由①②解得：05xp==，所以015322pAFx=+=．故选：C.7.已知三棱锥−P

ABC，Q为BC中点，2PBPCABBCAC=====，侧面PBC⊥底面ABC，则过点Q平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）A.5ππ,3B.π2π,23C.2π,2π3D.π,2π【答案】A

【解析】【分析】连接PQ，QA，OA，设三棱锥−PABC外接球的球心为O，设过点Q的平面为，则当OQ⊥时，此时所得截面的面积最小，当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.【详解】连接PQ，QA，

由2PBPCABBCAC=====，可知：ABC和PBC是等边三角形，设三棱锥−PABC外接球的球心为O，所以球心O到平面ABC和平面PBC的射影是ABC和PBC的中心F，E，PBC是等边三角形，Q为BC中点，所以P

QBC⊥，又因为侧面PBC⊥底面ABC，侧面PBC底面ABCBC=，所以PQ⊥底面ABC，而AQ底面ABC，因此PQAQ⊥，所以OFQE是矩形,ABC和PBC是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高2212232h=−=

，在矩形OFQE中，132233333OEFQhAEh=====．，连接OA，所以221415333OAOEEA=+=+=，的设过点Q的平面为，当OQ⊥时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，222211226333333OQOFFQh

hh=+=+===，因此圆Q的半径为：22156199OAOQ−=−=，所以此时面积为2π·1π=，当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：2155ππ33=，所以截面的面积范围为

5ππ,3.故选：A．8．已知函数π()sin(),A0,0,||2fxAx=+，两个等式π()02fxfx−+−=，π()02fxfx−−=，对任意实数x均成立，()fx在π5π,828上单调，则的最大值为（）A

．17B．16C．15D．138．解析：π()02fxfx−+−=，π,()2fxfx−=−−，()fx的一个对称中心为π,04−ππ()0()22fxfxfxfx−−==−，()fx的对称轴方程π4x=，()12112122π

ππ,πππ4,||,42ππ2412π,,42kkkkZkkkkZ+−+==+==+−+=+()fx在π5π,828上单调，3πππ5ππ5π77,1428428425x−+−()

2112,15kk=+−=，故选C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列命题中，正确的命题（）A.回归直线ˆˆˆybxa=+恒过样本点的中心(,

)xy，且至少过一个样本点B.将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变C.用相关指数2R来刻画回归效果，2R越接近0，说明模型的拟合效果越好D.若随机变量()23,N，且()60.84P=，则()360.34P=【答案】BD【解析】【分析】对于A，利用回归

直线的性质即可判断；对于B，利用方差的性质即可判断；对于C，利用相关指数2R的性质即可判断；对于D，利用正态分布的对称性即可求解.【详解】对于A，回归直线ˆˆˆybxa=+恒过样本点的中心(,)xy，不一定过样本

点，故A错误；对于B，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，故方差不变，故B正确；对于C，用相关指数2R来刻画回归效果，2R越接近1，说明模型的拟合效果越好，故C错误；对于D，因为随机变量()23,N，所以()()3660.50.840.50.34

PP=−=−=，故D正确.故选：BD.10.已知正数，满足11ee2sin2sin−−++，则下列不等式正确的是（）A.1𝛼+1𝛽>4𝛼+𝛽B.122−+C.lnln++D.1ee111a+

+【答案】ABD【解析】【分析】构造函数()1e2sinxfxxx=−+，利用导数得出0，由基本不等式判断A；由指数和对数的单调性以及不等式的性质判断BCD.【详解】解：因为正数，满足11ee2sin2sin−−++

，所以11ee2sin2sina−−++，构造函数()1e2sinxfxxx=−+，0x，令()2singxxx=+，()2cos0gxx=+恒成立，所以()gx在()0+，上单调

递增，由复合函数的单调性可知()12singxxx=−+在()0,+上单调递增，所以()1e2sinxfxxx=−+在()0+，上单调递增，由()()ff，可得0，对于A，()112224++=+++=，所以114++，故A正确

；对于B，由0，可得11−+，所以122a−+，故B正确；对于C，由0，可得lnln，则lnln++，故C错误；对于D，由0，可得ee0，11，所以11eea，所以1ee111a++，故D

正确．故选：BD．11.折纸是一种高雅的艺术活动.已知正方形纸片ABCD的边长为2，现将ACD沿对角线AC旋转180，记旋转过程中点D的位置为点,,,PACAPBC中点分别为,,OEF，则（）A.ACBP⊥B.PBPD+最大为42C.

旋转过程中，EF与平面BOP所成的角不变D.ACD旋转形成的几何体的体积是223答案：AD12.在平面四边形ABCD中，ABD△的面积是BCD△面积的2倍，又数列na满足12a=，恒有()()1122n

nnnBDaBAaBC−+=−++，设na的前n项和为nS，则（）A.na为等比数列B.2nna为等差数列C.na为递增数列D.()1326nnSn+=−−【答案】BD非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.在()5

0axax−的二项式展开式中2x的系数为90，则=a______.【答案】3【解析】【分析】利用展开式的通项35215()CrrrrTax−+=−，令3522r−=求出r，进而求解.【详解】因为()50axax−的二项式展开式的通项为35

52155C()()CrrrrrrraTxaxx−−+=−=−，令3522r−=，解得：2r=，所以2222235()C10Taxax=−=，又因为()50axax−的二项式展开式中2x的系数为90，则21090a=，所以3

a=，故答案为：3.14.已知双曲线2221yxa−=，若过点(2,2)能做该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e取值范围为______.【答案】21(1,2)(2,)3e【解答】解：过(2,2)能作两条切线说

明该点在双曲线外部，且不在该双曲线渐近线上，临界情况时，点(2,2)在双曲线上，代入2221yxa−=，可得233a=，213c=，得213e=．当渐近线经过点(2,2)时，2e=综上，21(1,2)(2,)3e，15.在平面直角坐标系xOy中，已知

圆221Oxy：+=，22(1)9Cxy++=：，直线l与圆O相切，与圆C相交于A，B两点，分别以点A，B为切点作圆C的切线1l，2l．设直线1l，2l的交点为()Pmn，，则m的最大值为__________．【答案】72【解析】全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》【分析】设()11Ax

y，，()22Bxy，，由相切关系，建立点A，B坐标所满足的方程，即弦AB所在直线的方程，由直线AB与圆O相切，得26318nm=−，求出m的最大值.【详解】设点()Pmn，，()11Axy，，()22Bxy，，(

)10C−，，因为分别以点A，B为切点作圆C的切线1l，2l．设直线1l，2l的交点为P，所以CAAP⊥，则0CAAP=，即()()()111110xmxyny+−+−=，所以22111110xxmxmyn

y+−−+−=，因为2211(1)9xy++=，所以()11180mxnym+++−=，即()11xy，是方程()180mxnym+++−=的解，所以点()11Axy，在直线()180mxnym+++−=上，同理可得()22

Bxy，在直线()180mxnym+++−=上，所以弦AB所在直线的方程为()180mxnym+++−=，因为直线AB与圆O相切，所以()2210081(1)mnmmn+++−=++，解得263180nm=−，得72m，即m的最大值为72．故答案为：3.516.已知长方体1111A

BCDABCD−的底面是边长为22的正方形，若13cos,3ABAC=，则该长方体的外接球的表面积为________；记12,ee→→分别是,ABAD方向上的单位向量，且||26a=，1222aeae→→==，则12amene→−−

（m，n为常数）的最小值为________．【答案】①.24π②.22【解析】【分析】根据长方体外接球直径为长方体体对角线即可求出球半径，得出球的面积，由所给条件可取a→与1AC→的方向相同或与1AC→的方向相同，问题可转化为求平面ABCD上一点E与1C的距离的最小值，即求1C到平面ABCD

的距离得解.【详解】在1RtABC中，122,cos,ABABAC==33，所以1222633AC==，13cos,3ADAC=，所以该长方体的外接球的半径为1162AC=，所以该长方体的外接球的表面积为24π(6)24π.=由||26a→=及1222aeae→→→→==可得1

2223cos,cos,326aeae→→→→===，所以a→与1AC→的方向相同或与1AC→的方向相同，不妨取a→与1AC→的方向相同，由平面向量基本定理可得12mene+必与21,ee共面，在平面ABCD上取一点E，故可设12meneAE+=

，则1211||||ameneACAEEC−−=−=，所以其最小值为点1C到平面ABCD的最小值，即最小值为221||(26)422CC=−=.故答案为：24π；22四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出相应的文宇说明､证明过程或演算步骤.17.（12分）在

锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，满足()2cbba=+.（1）求证：2CB=；（2）求113sintantanCBC−+的取值范围.17.解（1）由22cbab=+由余弦定理2222coscababc=+−得()2cos1abc=+由正弦

定理得：()sinsin2cos1ABc=+又ABC++=()sinsinsincoscossin2incossinABCBCBCBCB=+=+=+cossinsincossinBCBCB−=()

sinsinCBB−=,,ABC都是锐角2CBBCB−==（2）令113sintantanyCBC=−+coscos3sinsinsinBCCBC=−+sincoscossin3sinsinsinCBCBCBC−=

+()sin3sinsinsinCBCBC−=+由（1）2CB=得13sinsinyCC=+在锐角三角形ABC中020202ABC0()20202BCBC−+32C

3sin,12Cy令3sin,12tC=()133,,12yftttt==+在3,12上单调递增()13311133,4,3sin,46tantan6yftCBC=−+而的

取值范围是18．（12分）已知正项数列na，其前n项和nS，满足()12nnnSana=+N．（1）求证：数列2nS是等差数列，并求出na的表达式；（2）数列na中是否存在连续三项12,,kkkaaa++，使得()12111,

,kkkkaaa++N构成等差数列？请说明理由．(1)𝑎𝑛=√𝑛−√𝑛−1;(2)不存在19.三棱台111ABCABC-的底面是正三角形，1AA⊥平面ABC，4AB=，112AB=，13AA=，E是AB的中点，平面11ACE交平面

ABC于直线l．（1）求证：ACl∥；（2）求直线1BC与平面11ACE所成角的正弦值．【19题答案】【答案】（1）证明略（2）10520．（12分）2022年冬季奥林匹克运动会在北京胜利举行，北京也成为了第一个同时举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲

运动会三项国际赛事的城市．为推广普及冰雪运动，深入了解湖北某地中小学学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，随机选取了10所学校进行研究，得到如下图数据：（1）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人

的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”．则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明

同学滑行，转弯，停止三个动作达到“优秀”的概率分别为311,,223，且各个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？21.已知函数()(

)eln0xfxaxa=−.（1）若()1fx，求实数a的取值范围.（2）求证：1111ln1232nn+++++.【答案】（1）1,e+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件得()11f，进而得出1ea，利用不等式

的性质及构造函数，利用导数法求函数的最值即可求解；（2）根据（1）的结论及已知条件，只需证当()1,2x时，11e2xx−−成立即可，转化成求函数的最值，利用不等式的性质构造函数及法求函数的最值即可求解.【小问1详解】因为()1fx，则()11f，即1ea，反之当1ea

时，()1elnelnxxfxaxx−=−−，令()1elnxgxx−=−，则()111e1exxxgxxx−−−=−=，设()1e1xhxx−=−，由于()hx在()0,+单调递增，且()10h=，所以当()0,1x时，()0hx，即

()0gx，当()1,x+时()0hx，即()0gx，所以()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增.所以()min()11gxg==，即()1gx，所以()1fx.【小问2详解

】由（1）可知：11eln1,e1lnxxxx−−−−①下面证明当()1,2x时，11e2xx−−②等价于()12e10xx−−−，设()()()()112e1,1exxxxxx−−=−−=−，当()0,1x时，()

0,x当()1,2x时，()0x，所以()x在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减,所以()()max10x==，所以②式成立，由①､②可得：11ln2xx−−，当1x=时取到“=”，取21kxk+=+有，()(

)()1ln2ln11,2,,kkknk+−+=，所以()1111ln2ln2ln1232nnn+++++−=+，不等式成立.22．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，且经过点(2,0)M−，12,

FF为椭圆C的左右焦点，()00,Qxy为平面内一个动点，其中00y，记直线1QF与椭圆C在x轴上方的交点为()11,Axy，直线2QF与椭圆C在x轴上方的交点为()22,Bxy．（1）求椭圆C的标准方程；（2）①若21AFBF∥，证明：120111yyy

+=；②若123QFQF+=，探究012,,yyy之间关系．22．解析：（1）由题意得：213221acebaac======，因此，椭圆C的标准方程为22143xy+=（2）①（解法一）12111221002122

1211,11,,111111,AFBFxxyyyyxxkkyyxxxyyxyy+=−−+==+=−−+−=+()()12120012211201122,11xxyyyyxyxyyyy+−−=+−−=，即121221120

2yyxyxyyyy−++=又()()()()12221121121,,1,,110FBxyFAxyxyxy=+=−+−−=，即2112120xyxyyy−++=12121221120,yyyyxyxyyyy+=−+=，即120111yyy+=①（解法二）1121221212

2100,~,,,QFAFBFyyQBAFBFQAFQFBQAQFQAQFyyy===−∥△△101202yyyyyy=−，因此120111yyy+=①（解法三）证明：显然Q在椭圆内，Q为1AF与2BF的交点，21121211:1,:1AFBFxxl

xylxyyy−+=+=−，得02121211xxyy=+−−，又12211211yyAFBFxx=+−∥，故只需证明：2121211212122112111111112xxyyxxxxyyyyyyyy+−−+

−+=+=−=成立．②（解法一）设02201:11xQFxytyy−=+=+（令0201xty−=）2221143xtyxy=++=，消去x得：()22231412tyy++=，22222363412tytyy+++=，()222

234690tyty++−=，()22221196340ttyy−−+=，22222113tty++=，()()2200002002021112133xyxxQFyyyy−+−+−+==设01101:11xQFxytyy+=−=−，（令0101xty+=）

，1221143xtyxy=−+=，消去x得：()22131412tyy−+=，22211363412tytyy−++=，()221134690tyty+−−=，()22111196340ttyy

+−+=，21112113tty−++=，()()22200001001012112133xxyxQFyyyy+−+++−++==()()()12010212000002212121122343

3333QFQFxQFxQFyyyyyyy−++−++−+−++=+===．②（解法二）22:1(0)9544xyQy+=，设1221,QFFQFF==，则11534,32coscos2QFAF

==−−，221122533sin3sin4,,sin,sin32cos2cos2coscos2QFBFyAFyBF======−−−−．055sinsinsinsin244sinsinsin()3332cos32cos3coscos2

2y===−=−−−−−42cossinsincos3cos2cos(*)2232222+−−−+−==于是112sincoscossinsin3si

nsin222coscossincossincos22sincoscossinsin222+−−++====+++++0111coscos111325sins

insinsin3sinsiny=+−+=+1211111coscos41123sinsinsinsin9sinsinyy+=+

−+=+0120121911411334yyyyyy=+=+．