【文档说明】北京市西城区2024届高三下学期5月模拟测试数学试卷 Word版含解析.docx，共(22)页，1.732 MB，由小赞的店铺上传

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西城区高三模拟测试试卷数学2024.5本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题共40分一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项）.1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(,1)3−，则=zz（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】由复数的几何意义得出z，再运算化简即可.【详解】复数z对应的点的坐标是(,1)3−，所以3iz=−，3iz=+，所以()()()223i3i3i314zz=−+=−

=+=.故选：D．2.已知向量a，b满足()4,3a=，()210,5ab−=−，则（）A.0ab+=B.0ab=C.abD.ab∥【答案】B【解析】【分析】根据向量坐标运算，先求出b，再逐一验证即可.【详解】因为()4,

3a=，()210,5ab−=−，所以()3,4b=−，所以()1,7ab+=，故A错；()43340ab=−+=，故B正确；5ab==，故C错；因为4433−，所以,ab不平行，故D错.故选：B3.已知集合1,0,1A=−，

Bxxc=．若0,1AB=，则c的最小值是（）A.1B.0C.1−D.2−【答案】C【解析】【分析】根据交集结果可确定c的范围，由此可得结果.【详解】0,1AB=，1,0,1A=−，Bxxc=，10c−，即c的最小值为1−.故选：C.4.设

443243210(21)−=++++xaxaxaxaxa，则1234+++=aaaa（）A.1−B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】利用赋值法，令0x=，1x=即可求得正确答案.【详解】依题意，()44324321021xaxaxaxaxa+++=−+，令0x=，得01a=；令1

x=，得012341aaaaa++++=，所以12340aaaa+++=.故选：B.5.已知,RRab．则“1ab”是“222ab+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】当

1ab时，则2222abab+，当且仅当ab=时取等，所以充分性成立，取4,1ab=−=，满足222ab+，但1ab，故必要性不成立，所以“1ab”是“222ab+”的充分不必要条件.故选：A.6.已知双曲线22:

1+=Cmxny的焦点在y轴上，且C的离心率为2，则（）A.30mn−=B.30mn−=C.30mn+=D.30mn+=【答案】C【解析】【分析】由题意可得22112cbneaam==+=−=，化简即可得出答案.【详解】化简双曲线22:1+=Cmxny可得22:111yxCnm−=−，因为双曲线C

的焦点在y轴上，所以2211,abnm==−，所以C的离心率为22112cbneaam==+=−=，则3nm−=，所以30mn+=.故选：C.7.将函数()tanfxx=的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y轴对称，得到函数()gx的图象，则()gx=（）

A.1tan−xB.1tan−−xC.tan(1)−−xD.tan(1)−+x【答案】D【解析】【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数()gx的解析式.【详解】将函数()tanfxx=的图象向右平移1个单

位长度，所得函数为()(1)tan1fxx−=−，则函数()(1)tan1fxx−=−的图象再关于y轴对称得函数()()()()1tan1tan1gxfxxx=−−=−−=−+.故选：D.8.楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，

其中面ABCD为正方形．若6cmAB=，3cmEF=，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该楔体形构件的体积为（）A.318cmB.324cmC.330cmD.348cm【答案】C【解析】【分析】设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，由//EGFB

，//EHFC，//GHBC，可知EGHFBC−为三棱柱，再利用椎体与柱体的体积关系计算该几何体的体积．【详解】如图所示，设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，因为面ABCD为正方形，所以//ABDC，又AB平面EFCD，DC平面EFCD，所以//AB平面EFCD，

又平面EFCD平面ABFEEF=，所以//ABEF，因为G，H分别为AB，DC的中点，6cmAB=，3cmEF=，所以//,EFGBEFGB=，则EGBF为平行四边形，则//EGFB，同理//EHFC，又//GHBC，所以EGHFBC−为

三棱柱，由题意，可得11163212333AGHDEAGHDVShADAGh−====矩形四棱锥；又33EGHFBCBEGHEBGHVVV−−−==三棱柱三棱锥三棱锥13331218222EAGHDEAGHDVV−−====四棱锥四棱锥；所以该多面体的体积

为2121830cmEAGHDEGHFBCVVV−−=+=+=四棱锥三棱柱．故选：C．9.已知{}na是无穷等比数列，其前n项和为nS，1233,2==aS．若对任意正整数n，都有(1)0−−nnSA，则A的取值范围是（）A.(3,1)−B.[2,1

)−C.3(3,)2−D.3[2,)2−【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的基本量求得232a=−，从而可得公差2112aqa==−，由等比数列得前n项和公式得nS，分类讨论，结合数列的单调性即可得求得满足不等式(1)0−−n

nSA时A的取值范围.【详解】因为等比数列{}na，由1233,2==aS可得21232Saa=+=，所以232a=−，则公比2112aqa==−，所以13312221212nnnS−−==−−−−，当n为奇数时，1(1)2202nnnSAA−−

=++恒成立，所以1222nA−−，又数列1222n−−为递增数列，所以n→+，12222n−−→−，则此时2A−；当n为偶数时，1(1)2202nnnSAA−−=−−

恒成立，所以1222nA−，又数列1222n−为递增数列，2min1132222222n−=−=，则此时32A；

综上，A的取值范围是3[2,)2−.故选：D.10.一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾

，再考虑人数为6的情况，由此得解.【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：ABCDEFG，每相邻的3人取成一组，则有,,,,ABCBCDCDEDEFEFG5组，因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生，即ABBCCCDDDEEEFFG这15人中至少有1

0名男生；每相邻的5人取成一组，则有,,ABCDEBCDEFCDEFG3组，因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生，即ABBCCCDDDEEEFFG这15人中至多有9名男生；显然矛盾，故人数不可能大于6，当人数6时，用1表示男生

，0表示女生，则可以101101.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解.第二部分非选择题共110分二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）.11.函数3()1log=+fxx的定义域是_______．【答案】1[,

)3+【解析】【分析】由题意可得出31log00xx+，结合对数函数的单调性求解即可.【详解】函数3()1log=+fxx的定义域是：31log00xx+，解得：13x.故答案为：1[,)3+.12.已知圆C经过点()1,0−和()3,0，且

与直线2y=相切，则圆C方程为_______．【答案】()2214xy−+=【解析】【分析】设圆C的方程为()()222xaybr−+−=()0r，进而利用待定系数法求解即可.【详解】设圆C的方程为()()222xaybr

−+−=()0r，则由题意可得()()()()22222210302abrabrbr−−+−=−+−=−=，解得102abr===，为的所以圆C的方程为()2214xy−+=故答案为

：()2214xy−+=13.已知函数()()πsin0,2fxx=+．直线22y=与曲线()yfx=的两个交点,AB如图所示，若π4AB=，且()fx在区间5π11π,1212上单调递减，则=_______；=_

______．【答案】①.2②.π3−【解析】【分析】根据()22fx=和π4AB=，可构造方程求得，并确定5π11π,1212为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得.【详解】设()()1122,,,AxyBxy，由()2

2fx=得：()12π2π43π2π4xkkxk+=++=+Z，()21π2xx−=，又21π4ABxx=−=，ππ42=，解得：2=，此时()fx的最小正周期2ππT==，11π5ππ121222T−==，()fx在区间5π11π,1212

上单调递减，5π12x=和11π12x=分别为()fx单调递减区间的起点和终点，当5π11π,1212x时，5π11π2,66x+++，()5ππ2π6211π3π2π62kkk+=++=+Z

，()π2π3kk=−+Z，又π2，π3=−；综上所述：2=，π3=−.故答案为：2；π3−.14.已知函数()222,21123,21xxxxfxxx+−=−−或，()()gxfxa=−，其中aR．①若函数()gx无零点，则a的一个取值为_______；

②若函数()gx有4个零点(1,2,3,4)=ixi，则1234xxxx+++=_______．【答案】①.1−②.2−【解析】【分析】①结合函数()fx的图象，函数()gx无零点，即()yfx=与ya=

的图象无交点，所以可得到a的一个取值；②由图象对称，即可算出1234xxxx+++的值.【详解】画函数()222,21123,21xxxxfxxx+−=−−或的图象如下：①函数()()gxfxa=−

无零点，即()0fxa−=无解，即()yfx=与ya=的图象无交点，所以a<0，可取1a=−；②函数()gx有4个零点，即()0fxa−=有4个根，即()yfx=与ya=的图象有4个交点，由14xx、关于=1x−对称，所以142xx+=−，23xx、关于0x=对称，所以2

30xx+=，所以12342xxxx+++=−.故答案为：1−；2−.15.在数列{}na中，1163=a，1134(2,3,)7−−+==−+nnnaana．给出下列三个结论：①存在正整数N，当nN时，2na；②存在正

整数N，当nN时，1nnaa−；③存在正整数N，当nN时，112−++nnnaaa．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】②③【解析】【分析】根据递推关系求出2312,8aa==−，用差比较法可判定各选项.【详解】对于①：由1163=a，1134(2,3,)

7−−+==−+nnnaana，可得2312,8aa==−，又()111152342277nnnnnaaaaa−−−−−+−=−=−+−，当12na−时2na，因为38a=−，所以3n时2na，故①错误；对于②：()211111123477nnnnnnnaaaaaaa−−−

−−−−+−=−=−+−，又443a=−，结合①的结论3n时2na，所以当4n时，1nnaa−，故②正确；对于③：111347473nnnnnnaaaaaa−−−+−==−++，()()()31122743423773nnnnnnnnnnn

naaaaaaaaaaaa−+−−++−=−+−=+−−+，所以当4n时，420,70,330nnnaaaa−−++，所以1111202nnnnnnaaaaaa−+−+++−

，故③正确；故答案为：②③.【点睛】关键点睛：本题关键在于求出2312,8aa==−，根据递推关系分析出当12na−时2na，进而判定①，利用差比较法结合结论①可判定②③.三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.16.已知函数2()3

sin2cos2xfxx=+．在ABC中，()()fAfB=，且ab¹．（1）求C的大小；（2）若5c=，且ABC的面积为23，求ABC的周长．【答案】（1）π3（2）12【解析】【分析】（1）化简函数π()2sin()16fxx=++，根据题意，得到ππsi

n()sin()66+=+AB，进而求得2π3AB+=，即可求解；（2）由（1）和ABC的面积取得8ab=，利用余弦定理得2225+−=abab，进而求得ab+的值，即可求得ABC的周长.【小问1详解】解

：由函数2π()3sin2cos3sincos12sin()126xfxxxxx=+=++=++，因为()()fAfB=，可得ππsin()sin()66+=+AB，在ABC中，因为,(0,π)AB，所以ππ7πππ7π(,),(,)666666AB++，又因为ab¹，所以A

B，所以ππ()()π66+++=AB，解得2π3AB+=，因为πABC++=，所以π3C=.【小问2详解】解：由（1）知π3C=，因为ABC的面积为1sin232ABCSabC==V，所以8ab=，在ABC中，由余弦定理得222

2coscababC=+−，即22π252cos3abab=+−，整理得2225+−=abab，所以2()325abab+−=，即2()25349+=+=abab，所以7ab+=，所以ABC的周长为12abc++=.17.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱

长为2，E为BC的中点，点M在1BD上．再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题．条件①：MAMC=；条件②：EMAD⊥；条件③：//EM平面11CDDC．（1）求证：M为1BD的中点；（2）求直线E

M与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离．注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）30；22【解析】【分析】（1）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系判定定理和性质定理，即可得证；（2

）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得向量(,,)011=−EMuuur和平面MCD的法向量为(1,0,1)m=−，利用向量的夹角公式，求得1sin2=，结合sindEM=，即可求解.【小问1详解】证明：选条件①：由MAMC=，根据正方体1111ABCDABCD

−的对称性，此时点M为1BD上的任意一点，所以不成立；选条件②：EMAD⊥．连接1CD，在正方体1111ABCDABCD−中，由BC⊥平面11CDDC，因为1CD平面11CDDC，所以1BCCD⊥，又因为EMAD⊥，//AD

BC，所以EMBC⊥，因为1,EMCD平面1BCD，所以1//EMCD，又因为E为BC的中点，所以M为1BD的中点．的选择条件③：//EM平面11CDDC．连接1CD，因为//EM平面11CDDC，EM平面1BCD，且平面1BCD

平面111CDDCCD=，所以所以1//EMCD，因为E为BC的中点，所以M为1BD的中点．【小问2详解】解：在正方体1111ABCDABCD−中，1,,DADCDD两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(0,2,0),(1,2,

0),(1,1,1)DCEM，所以(0,2,0)DC=，(1,1,1)DM=，(,,)011=−EMuuur，设平面MCD的法向量为(,,)mxyz=ur，则00mDCymDMxyz===++=，令1x=

，则0,1yz==−．于是(1,0,1)m=−，设直线EM与平面MCD所成的角为，则1sincos,2mEMmEMmEM===，所以直线EM与平面MCD所成角的大小为30，点E到平面MCD的距离

为2sin2sin302dEM===.18.为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023−年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份201520162017201820192020202120222023产量万台3.37.213.11

4.818.723.736.644.343.0销量万台6.98.713.815.414.015.627.129.731.6记20152023−年工业机器人产量的中位数为a，销量的中位数为b．定义产销率为“100%=销量产销率产量”．（1）从20152023−年

中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；（2）从20202318−年这6年中随机取2年，这2年中有X年工业机器人的产量不小于a，有Y年工业机器人的销量不小于b．记ZXY=+，求Z的分布列和数学期望()EZ；（3）从哪年开始的连续5年中随机

取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明【答案】（1）49（2）分布列见解析；()103EZ=（3）2018年和2019年【解析】【分析】（1）按古典概型的概率计算求解.（2）先根据中位数的概念确定a，b的值，在确定

X，Y的所有可能值，进一步得Z的所有可能的取值，再求Z的分布列.（3）计算产销率，可直接得到结论.【小问1详解】记事件A为“工业机器人的产销率大于100%”．由表中数据，工业机器人的产销率大于100%的年份为2015年，2016年，2017年，2018年，共4年．所以

()49PA=．【小问2详解】因为18.7a=，15.4b=，所以X的所有可能的取值为1,2；Y的所有可能的取值为1,2．所以Z的所有可能的取值为234,,．2226C1(2)C15===PZ，112426CC8(3)C15===

PZ，2426C2(4)C5===PZ．所以Z的分布列为：Z234P11581525故Z的数学期望()18210234151553EZ=++=．【小问3详解】2018年和2019年．19.已知函数22()4sin(1)

=++fxaxax，其中0a．（1）若()fx在0x=处取得极小值，求a的值；（2）当1a=时，求()fx在区间π[,π]2上最大值；（3）证明：()fx有且只有一个极值点．【答案】（1）0a=（2）22π（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利

用可导函数的极小值点是导数值为0的充分不必要条件来解题需要检验；（2）一阶导函数()4(cos)fxxx=+不能够判断正负，需要借助二阶导函数来进一步研究一阶导函数的取值恒为正，从而来判断原函数2()4sin

2=+fxxx在区间π[,π]2是单调递增的，即可得到最大值；（3）一阶导函数2()4cos2(1)=++fxaxax看不出零点及取值的正负，但可以对参数0a分两类讨论，当0a=时，2()fxx=是二次函数易得证，当0a，则需要二阶导函数21()4(sin

)2agxaxa+=−−，此时联想到不等式可证2112aa+，则可判断()0gx，从而得到2()4cos2(1)=++fxaxax的单调性，然后判断函数()fx零点的存在性，问题即可得证.【小问1详解】由2()4cos2(1)=++fxaxax，因为()fx在

0x=处取得极小值,所以(0)0f=，的即2(0)4cos02(1)040faaa=++==，解得0a=，检验：当0a=时，2()fxx=，由二次函数的性质可得：()fx在(,0)−上单调递减，在(0,)+

上单调递增，满足题意，所以0a=．【小问2详解】当1a=时，2()4sin2=+fxxx，()4cos44(cos)=+=+fxxxxx．令()()4(cos)gxfxxx==+，则()4(sin1)gxx=−+，因为ππ2≤≤x，所以()4(sin1)0

gxx=−+，即()4(cos)gxxx=+在区间π[,π]2上单调递增，所以min()4(cos)2022gx=+=，即()0fx，所以()fx在区间π[,π]2上单调递增，即()fx的最

大值为222(π)4sin2π402π2πf=+=+=．【小问3详解】由2()4cos2(1)=++fxaxax，当0a=时，2()fxx=，由二次函数的单调性可得：()fx在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增，所以()fx恰

有一个极值点；当0a时，设24cos2((()1))axaxgxfx+==+，则221()4sin2(1)4(sin)2+=−++=−−agxaxaaxa．因为2111122222aaaaaa+=+=2，且sin1x，所以()0gx，即()gx

在(,)−+上单调递增．因为2π()(1)π02−=−+ga，(0)40ga=，所以存在0π(,0)2x−，使00()()0gxfx==，根据()gx在(,)−+上单调递增，可知当0xx时，()()

0fxgx=，所以()fx在0(,)−x上单调递减，可知当0xx时，()()0fxgx=，所以()fx在0(,)+x上单调递增，即()fx恰有一个极值点．综上所述，当0a时，()fx有且只有一个极值点

．20.已知椭圆2222:1(0)+=xyEabab的一个顶点为(2,0)D，焦距为22．（1）求椭圆E的方程；（2）设点P是第一象限内椭圆E上一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q．点P关于原点的对称点为A，直线DQ与椭圆的另一个交点为B

，直线DP与y轴的交点为C．求证：,,ABC三点共线．【答案】（1）22142xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得a、c的值，从而求出2b，即可得解；（2）设(),Pmn()0,0mn，表示

出直线DP的方程，即可求出C点坐标，联立直线DQ的方程与椭圆方程，消元，设(,)BBBxy，利用韦达定理求出Bx，从而表示出By，计算出0ACBCkk−=，即可得证.【小问1详解】依题意可得2222222acabc==−=，解得2242ab

==，所以椭圆E方程为22142xy+=．【小问2详解】[方法一]：设而不求设(),Pmn，则()0,Qn，(),Amn−−，其中2224mn+=，0,0mn．则直线DP的方程为(2)2nyxm=−−，令0x=，可得22nym−=

−，所以20,2nCm−−，又直线DQ的方程为(2)2nyx=−−，由22(2)224nyxxy=−−+=，消去y整理得2222(2)4480+−+−=nxnxn，的所以()()422Δ164248640n

nn=−+−=，设(,)BBBxy，所以22482BDnxxn−=+，解得22242Bnxn−=+．所以24(2)22BBnnyxn=−−=+，所以222244,22nnBnn−++．由题意，点,AB均不在y轴上，

所以直线,ACBC的斜率均存在，且222242222242ACBCnnnnmnmkknmn−++−+−−=−−+2244(2)2(2)(2)(24)(2)mnnnmnnmmnm−−++=−−−−222[(4)(24)2(22)](2)(24)nmnmn

mmmn=−−−+−−−2224(24)(2)(24)nnmmmn−=+−−−0=，即ACBCkk=，所以A、B、C三点共线．[方法二]：转化思想设()(,)0,0Pmnmn则2224mn+=，且(0,

)Qn，(,)Amn−−，(2,0)D，则DPl:(2)2nyxm=−−，令0x=，则22nym−=−，20,2nCm−−，又BDl:2nyxn=−+，ACl:2222nnnmyxmm−−=−−，设BDl与ACl交于点E，由

22222nyxnnnnmyxmm=−+−−=−−，解得2222888EEmxmnym−=−=−，若A、B、C三点共线，则点E为点B，即点E在椭圆上，则只需证明2224EExy+=

，2222228288mnmm−+−−()()()424222224164412888mmmnmm+−+==−−()()42224166448mmm−+==−，所以点E在椭圆上，所以A、B、C三点共线.[方法三]：设()()0000

,02,0Pxyxy且220024xy+=，则()00,Qy，()00,Axy−−，∵(2,0)D，所以DQl:0(2)2yyx=−−，由022(2)224yyxxy=−+=，消去y整理得(

)()222200024420yxyxy+−+−=，所以()4400Δ16164640yy=−−=，设()11,Bxy，则()201204222yxy−=+，所以()20120222yxy−=+，则()200120

22222yyyy−=−+02042yy=+，()2002200224,22yyByy−++，又DPl:()0022yyxx=−−，令0x=，则0022yyx=−，0020,2yCx−，()0023000222000000204

26442222AByyyyykyxyxyxy+++==−++−++，又00000020002242ACyyxyxykxxx+−−==−，所以()()20000222000000644422ABACyyyxkk

yxyxxx+−−=−−++−()()()()()()22220000000002220000006244424422yyxxxyxyxyxyxxx+−−−−++=−++−()()()()23220000000002220000006224824222044

22xxyxxxxxxyxyxxx+−−−−−−+−+==−++−ABACkk=，∴A、B、C三点共线.[方法四]：依题意DP的斜率存在且不为0，设DP的方程为2xmy=+()0m，222142xmyxy=+

+=，消去x整理得()22240mymy++=，显然0，所以242PQmyym−+=+，0Dy=，242Pmym−=+，22224422222PPmmxmymm−−+=+=+=+，则240,2mQm−+，所以222422

2DQmmmkm−+==+−，则DQ的方程为22(2)2myxm=−+，由2222(2)2142myxmxy=−++=，所以()()()224222222228324161610222mmmmxxmmm−+

−+−+=+++，显然0，()()()222242222324482BDmmxxmmmm++=++++24232124mmm=++，所以2424242322882124124Bmmmxmmmm−+−=−=++++，则()42242461622124B

mmmymmm−+−=+++()24282124mmmm−+=++，所以()()22426282248288BCmmmmkmmm−++++=−+−()4242428162248244mmmmmmm−−+++=

−−+()22322mmm+=−，又222422242ACmmmkmm++=−+()22322mmm+=+，所以BCACkk=，∴A、B、C三点共线.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步

骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx的形式；（5）代入韦达定理求解.2

1.已知数列12:,,,nAaaaL，从A中选取第1i项、第2i项、…、第ki项12kiii构成数列12,,,:kiiiaaaBL，B称为A的k项子列．记数列B的所有项的和为()TB．当2k时，若B满足：对任意{1,2,,1}−sk，11+−=

ssii，则称B具有性质P．规定：A的任意一项都是A的1项子列，且具有性质P．（1）当4n=时，比较A的具有性质P的子列个数与不具有性质P的子列个数的大小，并说明理由；（2）已知数列:1,2,3,,(2)≥AnnL．（ⅰ）给定正整数2nk，对A的k项子列B，求所有()TB的算术平均值；（ⅱ

）若A有m个不同的具有性质P的子列12,,,mBBBL，满足：1≤≤ijm，iB与jB都有公共项，且公共项构成A的具有性质P的子列，求m的最大值．【答案】（1）A的具有性质P的子列个数大于不具有性质P的子列个数；理由见解析（2）（ⅰ）(1)2kn+；（ⅱ）见解析.

【解析】【分析】（1）根据定义得出4n=时，A共有15个子列，结合性质P的内容即可判断；（2）（ⅰ）根据12,,,kiiiaaaL是A的()2≤nkk项子列，121,1,,1kiiinanana+−+−+−L也是A的

()2≤nkk项子列，可得11(1)(1)()()==++−=++=jjkkiijjanaknTBTB，又A有Ckn个k项子列，即可求出结果；（ⅱ）设(1,2,,)=kBkmL的首项为kx，末项为ky，记0max{}kkxx=，则可得对任意1,2,,jm=，都有0

jkxy≥，故共有00(1)kkxnx+−种不同的情况，又00(1)kkxnxm+−≥，所以分n为奇数或者偶数两种情况进行分析即可.【小问1详解】当4n=时，A共有42115−=个子列，其中具有性质P的子列有432110+++=个，故不具有性质P的子列有5个，所以A的具有性质P的

子列个数大于不具有性质P的子列个数．【小问2详解】（ⅰ）若12,,,:kiiiaaaBL是A的()2≤nkk项子列，则12:1,1,,1+−+−+−kiiinananaBL也是A的()2≤nkk项子列

．所以11(1)(1)()()==++−=++=jjkkiijjanaknTBTB．因为给定正整数2nk，A有Ckn个k项子列，所以所有()TB的算术平均值为11(1)C(1)C22++=knknknkn．（ⅱ）设(1,2,,)=kBkmL的首项为kx，末项为ky，记0ma

x{}kkxx=．若存在1,2,,jm=，使0jkyx，则jB与0kB没有公共项，与已知矛盾．所以，对任意1,2,,jm=，都有0jkxy≥．因为对于1,2,,km=，0{1,2,,}kkxxL，00{,1,,}kkkyxxn+L，所以共有0

0(1)kkxnx+−种不同的情况．因为12,,,mBBBL互不相同，所以对于不同的子列,ijBB，ijxx=与ijyy=中至多一个等式成立．所以00(1)kkxnxm+−≥．当n是奇数时，取1{1,2,,}2+knxL

，13{,,,}22knnyn++L，共有211(1)(1)224++++−=nnnn个满足条件的子列．当n是偶数时，取{1,2,,}2knxL，{,1,,}22+knnynL，共有22(1)224++−=nnnnn个满足条件的子列．综上，n为奇数时，m的最大值为2(1)4n+；n

为偶数时，m的最大值为224nn+．【点睛】方法点睛：（1）阅读理解能力考查；（2）分类讨论思想；（3）数列和集合概念的理解.