【文档说明】湖北省高中名校联合体2022-2023学年高三下学期开学诊断性考试数学试题 含解析【武汉专题】.docx，共(34)页，2.919 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★考试结束前湖北省高中名校联合体2022~2023学年第二学期高三诊断性考试数学试题本试题卷共5页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡

上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上相应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.★祝考试顺利★一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在

每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意，错选、不选、多选均不得分.1.已知2()fxxaxb=++，集合{|()0}Axfx=，集合{|[()]3}Bxffx=，若AB=，则实数a的取值范围

是（）A.[6,2]−B.[23,6]C.[2,23]−D.[6,23]−−【答案】B【解析】【分析】可设01|Axxxx=，，()tfx=，则204abt−，再根据AB=可得2,04ab−为()3ft的解集的子集且0=t为方程()3ft=

的解，从而得到,ab满足的条件后解不等式可得a的取值范围.【详解】因为A，故设01|Axxxx=，此时()204abfx−，令()tfx=，则()3ft的解00tt，其中2004atb−故0,0ttt==为23ta

tb++=的两个根，故030tab=−−=，所以2304aa−−，解得236a，故选B.【点睛】本题以集合为载体考查一元二次不等式的解.解题时应令()tfx=把高次不等式转化为一元二次不等式()3ft，注意利用AB=得到()3ft的解集包含了2

,04ab−且0=t为方程()3ft=的解.2.欧拉公式ecossin=+ii（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，e10+=i是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数6e−i的虚部为A.32

−B.32C.12−D.12【答案】C【解析】【分析】利用欧拉公式即可得出．【详解】复数πi6πecos6−=+iπ31sin622−=−i的虚部为12−．故选C．【点睛】本题考查复数的基本概念，考查了

推理能力与计算能力，熟练运用新定义是关键，属于基础题．3.如图，在三棱锥−PABC，PAC△是以AC为斜边的等腰直角三角形，且22CB=，6ABAC==，二面角PACB−−的大小为120，则三棱锥−PABC的外接球表面积为（）A.

5103B.10C.9D.()423+【答案】B【解析】【分析】由题作出图形，易得PAC△外接圆圆心在AC中点，结合正弦定理可求ABC外接圆半径，结合图形知，()()222222RAOAOOO==+，再结合二

面角大小求出2OO，进而得解.【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为PAC△是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以PAC△的外心在AC中点，设为2O，设ABC的外心为1O，BC中点为E，11AOr=，因为6ABAC

==，所以1O必在AE连线上，则123sinABABrAECAC===，即132r=，因为两平面交线为AC，1O为平面ABC所在圆面中心，所以12OOAC⊥，()22121232OOrAO=−=，又因为二面角PACB−−的大小为120，2POAC⊥，所以

2121120,30POOOOO==，所以212213OOOO==，锥体−PABC外接球半径()()222222265122RAOAOOO==+=+=，则三棱锥−PABC的外接球表面积为2410

SR==，故选：B4.已知tan,tan是方程()200axbxca++=的两根，有以下四个命题：甲：()1tan2+=−；乙：tantan7:3=；丙：()()sin5cos4+=−；丁：()()tantant

antan5:3+−+=.如果其中只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】【分析】根据韦达定理可得tantan,tantanbcaa+=−=，对乙､丁运算分析可知乙､丁一真一假，分别假设乙､丁是假命题，结合其他命题检验判断．【详解】因为ta

n,tan是方程()200axbxca++=的两根，所以tantan,tantanbcaa+=−=，则甲：()tantan1tan1tantan21bbaccaa−++====−−−−；丙：()()sin

sincoscossintantan5coscoscossinsin1tantan41bbaccaa−+++====−=−++++.若乙､丁都是真命题，则57tantan,tantan33+=−=，所以()

5tantan53tan71tantan4113baca−−++====−−−，()()5sinsincoscossintantan137coscoscossinsin1tantan21

13baca−−+++=====−−++++，两个假命题，与题意不符，所以乙､丁一真一假，假设丁是假命题，由丙和甲得()()2,54acbacb−=−+=，所以()()25acac−=

−+，即730ac+=，所以:7:3ca=−，与乙不符，假设不成立；假设乙是假命题，由丙和甲得730ac+=，又()2acb−=，所以35ba=，即:5:3ba=与丙相符，假设成立；故假命题是乙，故选：B．

5.如图为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与l＝MA1+MC1+MD之间满足函数关系l＝f（x），则此函数图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】可知点

M沿着1ACB运动，设点P为B1C的中点，分析当M从B1到P时，在平面A1B1CD内，作点A1关于B1B的对称点A′，由MA1+MD＝MA′+MD，MC1221PCPM=+，分析排除即得解【详解】由于点M与平面A1DC1的距离保持不变，且从B1点出发，因此点M沿着

1ACB运动.设点P为B1C的中点，当M从B1到P时，如图所示在平面A1B1CD内，作点A1关于B1B的对称点A′，则MA1+MD＝MA′+MD，由图象可知，当M从B1到P时，MA1+MD是减小的，MC1是由大变小的，所

以当M从B1到P时，l＝MA1+MC1+MD是逐渐减小的，故排除B，D；因为PC1是定值，MC1221PCPM=+，函数是减函数，类似双曲线形式，所以C正确；故选：C6.若正实数a，b满足ab，且lnln0ab，则下列不等式一定成立的是（）A.log0

abB.11abba−−C.122abab++D.11baab−−【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性及lnln0ab得到1ab或01ba，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用

对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.【详解】因为0ab，lnyx=为单调递增函数，故lnlnab，由于lnln0ab，故lnln0ab，或lnln0ba，当lnln0ab时，1ab，此时l

og0ab；()11110ababbaab−−−=−−，故11abba−−；()()()1110ababab+−+=−−，122abab++；当lnln0ba时，01ba，此时log0ab，()111

10ababbaab−−−=−−，故11baab−−；()()()1110ababab+−+=−−，122abab++；故ABC均错误；D选项，11baab−−，两边取自然对数，()()1ln1

lnbaab−−，因为不管1ab，还是01ba，均有()()110ab−−，所以lnln11abab−−，故只需证lnln11abab−−即可，设()ln1xfxx=-（0x且1x），则()()211ln1xxfx

x−−=−，令()11lngxxx=−−（0x且1x），则()22111xgxxxx−=−=，当()0,1x时，()0gx，当()1,x+时，()0gx，所以()()10gxg=，所以()0fx在0x且1

x上恒成立，故()ln1xfxx=-（0x且1x）单调递减，因为ab，所以lnln11abab−−，结论得证，D正确故选：D7.已知||||||1abc===，12ab=，,,3acbc+=．若,Rmn，则||||||manbmacn

bc−+−+−的最小值为（）A.0B.32C.1D.3【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，画出图形，确定点C的位置，再利用向量模的几何意义，借助对称思想求解作答.【详解】令,,OAaOBbOCc===，依题意，1cos2||||abAOBab

==，而0AOB，则3AOB=，因,,3acbc+=，则有点C在半径为1，所含圆心角为3的扇形AOB的弧AB上，如图，因,Rmn，则||manb−表示直线OA上的点Q与直线OB上的点P间距离，|

|mac−、||nbc−分别是点C到点Q，P的距离，因此，||||||manbmacnbc−+−+−表示三点Q，P，C两两距离的和，作点C关于直线OA对称点N，关于直线OB对称点M，连MN交OA，OB分别于点F，E，连FC，EC，ON，OM，则

有,FCFNECEM==，令COA=，则3MOBCOB==−，AON=，于是得222()33NOM=+−=，而1ONOMOC===，由余弦定理得222cos3MNONOMONO

MNOM=+−=，因此，3CFFECENFFEEMNM++=++==，对于直线OA上任意点Q、直线OB上任意点P，连接CQ，NQ，QP，CP，PM，PN，则,CQNQCPPM==，CQQPCPNQQPPMP

NPMMN++=+++，当且仅当点Q与F重合且点P与点E重合时取“=”，从而得||||||3manbmacnbcCQQPCPMN−+−+−=++=，所以||||||manbmacnbc−+−+−的最小值为3.故选：D【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问

题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，数形结合求解作答.8.对于数列na，定义11222−=+++nnnAaaa为数列na“加权和”，已知某数列na的“加权和”12nnAn+=，记

数列+napn的前n项和为nT，若5nTT对任意的Nn恒成立，则实数p的取值范围为（）A.127,53−−B.167,73−−C.512,25−−D.169,74−−【答案】A【解析】【分析】根

据nA与na的关系求出na，再根据等差数列的求和公式求出nT，将5nTT化为216(5)06+−++nnpn对任意的nN恒成立，分类讨论n可求出结果.【详解】由1112222nnnnAaaan−+=+++=，∴2n时,212122(1)2nnnaaan−−+++=−

，∴1122(1)2−+=−−nnnnann，∴22nan=+，的1n=时，14a=也成立，∴22nan=+，∴数列+napn的前n项和为：12(12)nnTaaapn=+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+=++nnnnnnpnnp，∵5nTT

对任意的nN恒成立，∴225(1)56353522+++=++nnnnpTp，即225335(1)5(51)022ppnnnn−+−++−+，即22225335(5)(5)022

ppnnnn−+−+−+−，即5(5)(53)0222pnppnn−+++++，即(6)(5)(8)02pnnn+−++，即216(5)06+−++nnpn对任意的nN恒成立，当14n时，216426

6+−=+++npnn对任意的nN恒成立，因为4412226465n++=++，∴125−p，所以125p−，当5n=时，216(5)06nnpn+−+=+恒成立，Rp，当6n时，216426

6+−=+++npnn对任意的nN恒成立，因为447226663n++=++，∴73−p，所以73p−，综上可得：实数p的取值范围为127,53−−．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符

合题意，全选得5分，漏选得2分，错选、不选均不得分.9.已知随机变量X的取值为不大于()nnN的非负整数，它的概率分布列为X0123…np0p1p2p3p…np其中(0,1,2,3,,)ipin=满足[0,1]ip，且0121

npppp++++=．定义由X生成的函数230123()ininfxppxpxpxpxpx=+++++++，()gx为函数()fx的导函数，()EX为随机变量X的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次

，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为1()fx，则（）A.()(2)EXg=B.115(2)2f=C.()(1)EXg=D.1225(2)4f=【答案】CD【解析】【分析】先求出1211123()'()23iningxfxppxpxipxnpx−−==++++++和123()23inEXpp

pipnp=++++++，并判断123()23(1)inEXpppipnpg=++++++=，则排除选项A，判断选项C正确；再求出X的分布列和1()fx的解析式，最后求出1225(2)4f=，则排除选项B；

判断选项D正确.【详解】解：因为230123()ininfxppxpxpxpxpx=+++++++，则1211123()'()23iningxfxppxpxipxnpx−−==++++++，123()23inEXpppipnp=++++++，令1x=时，123()23(1)i

nEXpppipnpg=++++++=，故选项A错误，选项C正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X，则X的分布列为：X2345678p116216316416316216116234567811234321()16161616161616fxxxxxxxx=++++++23456781

1234321225(2)2222222161616161616164f=++++++=故选项B错误；选项D正确.故选：CD.【点睛】本题考查导数的运算、由X生成的函数求数学期望、求随机变量生成的函数与函数值，是基础题.10.已知定义在(0,)+上的

函数满足()212()()3ln1fxxfxxxx+=+−，则下列不等式一定正确的是（）A.9(3)(1)ffB.119423ffC.181(3)3ffD.14(1)2ff【答案】AD【解

析】【分析】利用已知等式构造函数，利用导数判断其单调性，根据函数的单调性即可判断各选项的正误.【详解】由()212()()3ln1fxxfxxxx+=+−，得222()()3ln1xfxxfxxx=++−，设2()()gxxfx=，则22()2()(

)3ln1gxxfxxfxxx=+=+−,设2()3ln1,(0)hxxxx=+−，则()hx在(0,)+上为增函数,且(1)0h=，则当1x时，()(1)0hxh=，此时()()0gxhx=，此时函数()gx为增函数；当01x时，()(1)0hxh=，此时()()0gxh

x=，此时函数()gx为减函数，故由(3)(1)gg，即9(3)(1)ff，A正确；由1132gg，得11119342ff，即114932ff，B错误；13g

与(3)g不在一个单调区间上，C中算式无法比较大小，C错误；由1(1)2gg，得11(1)42ff，即14(1)2ff，D正确．故选：AD11.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，90ACB=，1

2ACBCCC===，E为11BC的中点，过AE的截面与棱1BB、11AC分别交于点F、G，则下列说法中正确的是（）A.存在点F，使得1AFAE⊥B.线段1CG长度取值范围是0,1C.当点F与点B重合时，四棱锥CA

FEG−的体积为2D.设截面FEG、AEG△、AEF△的面积分别为1S、2S、3S，则2123SSS的最小值为23【答案】BC【解析】【分析】以点C为坐标原点，CA、CB、1CC所在直线分别为x、y、

z轴建立空间直角坐标系，设点()0,2,Fa、(),0,2Gb，其中02a，02b，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；求出b与a的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B选项；利用锥体和台体的体积公式可判断C选项；利用基本不等

式可判断D选项.【详解】因为1CC⊥平面ABC，ACBC⊥，以点C为坐标原点，CA、CB、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，的则()2,0,0A、()0,2,0B、()0,0,0C、()12,0,2A、()10,2,2B、()10,0,2C、(

)0,1,2E、设点()0,2,Fa、(),0,2Gb，其中02a，02b.对于A选项，若存在点F，使得1AFAE⊥，且()12,2,2AFa=−−，()2,1,2AE=−，()142220AFAEa=++−=

，解得1a=−，不合乎题意，A错；对于B选项，设AGmAEnAF=+，其中m、nR，即()()()2,0,22,1,22,2,bmna−=−+−，即2222022mnbmnman−−=−+=+=，可得4

24ba=+−，02a，则442a−−−，所以，420,14ba=+−，B对；对于C选项，当点F与点B重合时，0a=，则1b=，此时点G为11AC的中点，如下图所示：在直三棱柱111ABCABC-中，四边形1

1AABB为矩形，则11//ABAB且11ABAB=，E、G分别为11BC、11AC的中点，则11//EGAB且1112EGAB=，所以，//EGAB且12EGAB=，同理1//CGAC且112CGAC=，1//CEBC且112CE

BC=，所以，1112CECGEGABBCAC===，故几何体1ABCGEC−为三棱台，122ABCSACBC==△，1111122CEGSCECG==△，()1111117723323ABCGECABCGECABCGECVSSSSCC−=++==，11111112332

3CGECGECVSCC−===△，因此，112CAEFGABCGECCGECVVV−−−=−=，C对；对于D选项，()2,1,2AE=−，()2,2,AFa=−，则点F到直线AE的距离为2221524363AEAFaadAFAE

−+=−=，()2,0,2AGb=−，则点G到直线AE的距离为222AGAEdAGAE=−()22548252436334bbaaa−+−+==−，所以，223124SdSda==−，故()22233122323322424222244242SSSSSaaSSSS

SSaa+−−==++=+++=−−，当且仅当2a=时，等号成立，故2123SSS的最小值为4，D错.故选：BC.【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求

解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．12.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于,AB两点（其中A

在B的上方），O为坐标原点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线,,OAOBl于点,,PQN.则（）A.若2AFFB=，则直线AB的斜率为22B.PMNQ=C.若,PQ是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为22D.若,P

Q不是线段MN的三等分点，则一定有PQOQ【答案】ABC【解析】【分析】设直线方程为(1)ykx=−，()()1122,,,AxyBxy，直线方程代入抛物线方程用韦达定理得1212,xxxx+，从而可以表示出M点坐

标，然后求出,,PQN坐标，然后依次判断各项即可.【详解】抛物线焦点为()1,0F，设直线AB方程为()1ykx=−，0k，()()1122,,,AxyBxy，由2(1)4ykxyx=−=得()2222240kxkxk−++=，由韦达定理可知，212224

kxxk++=，121=xx，因为2AFFB=，则可得2AFFB=,且()111,AFxy=−−uuur，()221,FBxy=−，所以12122xx−=−，即21230xx+−=，且121=xx，12xx解得12212xx==，得1225422xx

k+==+，所以22k=，且0k所以22k=，故A正确,又因为122212Mxxxk+==+，()21MMykxk=−=，故直线MN方程为2yx=，又因为,,OPA共线，所以11PPxyxy=，21111111

222PPxyxyyxykykyk====，同理可得22Qyxk=，12222MPQyyyxxkkk++===，222211MNPQxxxxkk+=+−==+，所以，MPQNxxxx−=−,即PMNQ=，

故B正确.若,PQ是线段MN的三等分点，则13PQMN=,12221212112233yykkk−=++=+，()212413kyyk+−=，又1242Myyyk+==，，()()()22121212121114yykxxkxxxx=−−=−−+=−，()212121

2216416yyyyyyk−=+−=+，所以()224116163kkk++=，解得22k=，()0k，故C正确.由()2222240kxkxk−++=，得221,22221kkxk++=，即2222221kkxk+−+=，所以()2222211kykx

k−+=−=，222112Qykxkk−+==，又2QMyyk==，所以22222221122521kkkOQkkk−++−+=+=，2122212yykPQkk−+==，所以()

222224522141kkkOQPQk+−+−+−=()()2241113kkk+++−=，当22k时，OQPQ,故D错误.故选:ABC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.正三角形ABC中，M为BC中点，P为三角

形内满足2PAPM=的动点，则PAPB最小值为______.【答案】32【解析】【分析】设正三角形ABC边长为2，以M为坐标原点建立平面直角坐标系，根据2PAPM=可求得P点轨迹方程为()2234033xyy++=，从而可将22PAPB化简

为4132132xy+−−；当12x=−时，可直接求得2PAPB=；当12x−，将问题转化为(),Pxy与13,22−连线的斜率的求解问题，利用圆的切线的求法可求得临界值，从而得到3212yx−+的范围，

进而确定此时PAPB的最小值；综合两种情况可得最终结果.【详解】不妨设正三角形ABC的边长为2，以M为坐标原点，,MCMA正方向为,xy轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则()0,3A，()0,0M，()1,0B−，设(),Pxy，则()

2223PAxy=+−，222PMxy=+，2PAPM=，224PAPM=，()2222344xyxy+−=+，即223433xy++=，P点轨迹为：()2234033xyy++=，()()()222222222222224444421

21211112313xyxyPAPMxxPBPBxyxxyxyy++=====++++++++++−4132132xy=+−−；当12x=−时，224PAPB=，2PAPB=；当12x−时，令3212ytx−=+，则t表示(),Pxy与13,22−连线的

斜率，设直线3122ykx−=+与圆223433xy++=相切，则圆心到直线距离253323344kdk+==+，解得：3313k=−或3k=，)33,3,13t−−+，则当3313t=−时，22PAPB取得最小值34，min32

PAPB=；综上所述：PAPB的最小值为32.故答案为：32.14.已知双曲线2222:1,(0,0)xyabCab−=的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线yx=有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得21123PFFPFF

=，则双曲线离心率取值范围范围为___________.【答案】(2,2)【解析】【分析】由直线yx=与双曲线有交点，得在一三象限的渐近线的斜率大于1，得出e的一个范围．双曲线上存在不是顶点的P，

使得21123PFFPFF=，1PF与y轴交于点Q，由平面几何的知识及双曲线定义得12QFa=，在直角三角形1QFO中由边的关系得不等式，得出e的范围，同时由12PFF的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围．【详解】双曲线C与直线yx=有交点，则1ba，222221bcaaa

−=，解得2cea=，双曲线上存在不是顶点的P，使得21123PFFPFF=，则P点在右支上，设1PF与y轴交于点Q，由对称性12QFQF=，所以1221QFFQFF=，所以221211222PFQPFFQFFPFFPQF=−

==，2PQPF=，所以12112PFPFPFPQQFa−=−==，由11QFOF得2ac，所以2cea=，又12PFF△中，1221124180PFFPFFPFF+=，1245PFF，所以122cos22cPFFa=，即2ce

a=，综上，22e．故答案为：(2,2)．15.已知集合()*1,2,,,2UnnNn=，对于集合U的两个非空子集A，B，若AB=，则称(),AB为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为()fn（视(),AB与(),BA为同一组“互斥子集

”）.那么()fn=______.【答案】()113212nn+−+【解析】【分析】根据任意一个元素只能在集合(),,UABCCAB=之一中，以及,AB非空子集个数，即可求得.【详解】根据题意，任意一个元素只

能在集合(),,UABCCAB=之一中，则这n个元素在集合,,ABC中，共有3n种；其中A为空集种数为2n，B为空集的种数为2n个，故可得,AB均为非空子集的种数为1321nn+−+，又因为(),AB与(),BA为同一组“互斥子集，故()()1132

12nnfn+=−+.的的故答案为：()113212nn+−+.【点睛】本题考查集合新定义，涉及排列组合的求解，属综合中档题.16.已知关于x的不等式()-1eln2(0)xaaaxaa+−恒成立

，则实数a的取值范围为________.【答案】()20,e【解析】【分析】将已知不等式变形整理，构造新函数h（t）=tet，求导分析单调性，将原不等式通过单调性转化为含a的恒成立问题，求解即可.【详解】易知0a，将原不等式变形：(

)-1eln2(0)xaaxaaa−−，()-2eln2exaaxalne−−，可得()()-2222elneexaxaxax−−−，即()()2ln-2e22elneeaxx

axax−−−，其中2x.设()ethtt=，则()()'1ethxt=+，原不等式等价于()22lneaxahxh−−.当2ln0eaxa−时，原不等式显然成立；当

2ln0eaxa−时，因为()ht在[0,)+上递增，12e2lne2xaxaxax−−−−恒成立，设()1e2xxx−=−，则()()123e2xxxx−−−=，所以()x在()2,3递减，()3,

+递增，所以()x的最小值为()23e=，故20ea.故答案为：()20,e【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题

，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的

思路，有着非凡的功效.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足()2abbc+=.（1）求证：2CB

=；（2）求4cosabbB+的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）43【解析】【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cosbabC=−,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sinsinBCB=−，即可证明结论；（2）利用（1）的结论将4cosa

bbB+边化角，结合三角恒等变换可得43=4coscoscosabBbBB++，由基本不等式可求得答案.【小问1详解】证明：在ABC中，由已知及余弦定理，得()2222cosabbcababC+==+−，即2

cosbabC=−,由正弦定理，得sinsin2sincosBABC=−，又()πABC=−+，故()sinsin2sincossincoscossin2sincosBBCBCBCBCBC=+−=+−cossinsincosBC

BC=−()sinCB=−.∵()0sinsinBCB=−，∴0πCBC−,∵()πBCBC+−=，∴BCB=−，故2CB=.【小问2详解】由（1）2CB=得()30,πBCB+=，∴π0

,3B，1cos,12B，由（1）()12cosabC=+，2CB=得()2522cos1452cos52cos2coscoscoscosBabCBbBBBB+−+++===334cos24cos43co

scosBBBB=+=，当且仅当ππ0,63B=时等号成立，所以当π6B=时，4cosabbB+的最小值为43.18.如图，在几何体ABCDEF中，平面CDEF⊥平面ABCD，60EAD

=.四边形CDEF为矩形.在四边形ABCD中，ADBC∥，ADAB⊥，2ABBCAD==.（1）点G在线段BE上，且BGBE=，是否存在实数，使得∥AGDF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（2）点P在线段DF上，求直线BP与平面ABE所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）存在

实数，使得∥AGDF，且的值为12（2）21186,1431【解析】【分析】（1）由题知DE⊥平面ABCD，进而建立空间直角坐标系，利用向量共线求解即可；（2）结合（1）得平面ABE的法向量()3,0,1m=，设DPDF=，

0,1，进而结合空间向量求线面角即可.【小问1详解】解：因为四边形CDEF为矩形，所以CDDE⊥.因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD=，DE平面CDEF，所以DE⊥平面ABCD不妨设22ABBCAD===，则tan3DEADEAD==.以D为原

点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴，过D与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，则()0,0,0D，()1,0,0A，()1,2,0B，()0,0,3E，()1,2,3F−，所以，()1,2,3BE=−−，()0,2,0AB=，()1

,2,3DF=−，所以，(),22,3AGABBGABBE=+=+=−−.因为∥AGDF，所以123223−==−−，解得12=.故存在实数，使得∥AGDF，且的值为12【小问2详解】解：设平面AB

E的法向量(),,mxyz=，则00ABmBEm==，即20230yxyz=−−+=，不妨取1z=，则()3,0,1m=.设()()1,2,3,2,3DPDF==−=−，0,1，则(),2,3P−，

()1,22,3BP=−−−.直线BP与平面ABE所成的角为，则()()22223333sincos,286521223BPm−−+===−+++−+.…令()2865f=−+，当38=时，()

min318f=；当1=时，()max7f=.所以2321186sin,14312865=−+.故直线BP与平面ABE所成角的正弦值的取值范围为21186,1431.19.若正项数列na的前n项和nS满足()*4N2nnn

anSna=+.（1）求数列na的通项公式；（2）若对于任意的,Zkt，都有nkat成立，求kt−的最大值.【答案】（1）()222nannnn=+−−（2）1−【解析】【分析】（1）根据条件()*4N2nnnanSna=+可推得2218n

nSSn−−=，由此利用累加法求得2244nSnn=+，即可求得数列na的通项公式；（2）利用（1）的结论，化简并结合基本不等式可推出2na，继而判断数列na的单调性，可得222na，结合对于任意的,Zk

t，都有nkat成立，即可求得答案.【小问1详解】1n=时，111142aaSa==+，且0na，解得122a=，（122a=−舍去），2n，114422nnnnnnnaSSnnSaSS−−−=+=+−，化简可得2n时，2218nnSSn−−=，

2218nnSSn−−=，()2n，()221281nnSSn−−−=−，L，222182SS−=，累加可得，()()()()()221128818284122nnnSSnnnn−+−=+−++==−+，又218S=，故2n时，2244nSn

n=+，当1n=时，1122aS==上式也成立，所以()22*44,NnSnnn=+，又因为0na，所以0nS，所以22nSnn=+，2n，()()2222122(1)12nnnaSSnnnnnnnn−=−=+−

−+−=+−−，1n=时，122a=适合该式，,故()222nannnn=+−−.【小问2详解】由（1）得()211nannn=+−−()()()()22111111111nnnnnnnnnn==++−+−−

+−−++−222(11)1111111112222122nnnnnnnnnnn====++−+−++−+++−，（此处不等关系是因为：222222222,2()(),()22abababababab+++++，故

2222abab++，当且仅当ab=时取等号，而1111nn+−，故上式中等号取不到），()211nannn=+−−411nnann=++−，1412nnann++=++，1414211nnnnaannn

n++−=−++++−()()()()411142211nnnnnnnnnn+++−−++=++++−()()()221124211nnnnnnnnn++−−+−=++++−()()221124211nnnnnnn+−−+=++++−因为21nn−，所以()()222

2222112122nnnnnnn+−=+−+=+，即221120nnn+−−+，所以10nnaa+−，即1nnaa+，所以数列na是递减数列，所以1222naa=，因为,Zkt，都有nkat成立，所以max()231kt−

=−=−.【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推关系和数列的函数特性，属于较难题，解答时要注意：（1）利用累加法求出nS，再由nS与na的关系求解；（2）利用基本不等式得2na，再证明数列是单调递减数列，根据单调性求解.20.某企业计划新购买100台设备，并将购买

的设备分配给100名年龄不同（视为技术水平不同）的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量x表示不同技工的年龄，变量y为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且y关于x的线性回归方程为ˆ1.240

.6yx=+.（1）试预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益；（2）试根据r的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱（0.75||1r，则认为y与x线性相关性很强；||0.75r，则认为y与x线性相关性

不强）；（3）若这批设备有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增

加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.求这批设备增加的生产成本的期望.参考数据：()()1001002211121225iiiixxyy==−=−=；参考公式：回归直线ˆˆˆyabx=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为，1221ˆniiiniixynxybxnx==−

=−，ˆˆaybx=−，()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−.【答案】（1）103元（2）很强（3）0.13万元【解析】【分析】（1）将52x=代入线性回归方程,

即可求解.（2）结合相关系数的公式,即可求解.（3）设增加的生产成本为（万元），则所有可能取值为0,2,3,5,分别求出对应的概率,再结合期望公式，即可求解.【小问1详解】当52x=时，ˆ1.25240.6103y=+=.

所以预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益为103元.【小问2详解】由题得()()()121ˆ1.2niiiniixxyybxx==−−==−，()()11.2121niiixxyy=−−

=所以()()11211.2niiixxyy=−−=，所以()()()()122111211.21211.20.881115121225niiinniiiixxyyrxxyy===−−====−−.因为0.750.881

，所以y与x线性相关性很强.所以使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强.【小问3详解】设增加的生产成本为（万元)，则的可能取值为0，2，3，5.()()()10.0210.0300.9506P==−=−，()()20.020.010.19

403P−===，()()310.020.030.0294P==−=，()50.020.030.0006P===.所以()00.950620.019430.029450.00060.13E++

+==（万元)，所以这批设备增加的生产成本的期望为0.13万元.21.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=一个顶点(0,2)A−，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆

E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．【答案】（1）22154xy+=；（2）[3,1)(1,3]−−．【解析】【分析】（1）根据椭圆所过的点

及四个顶点围成的四边形的面积可求,ab，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,BxyCxy，求出直线,ABAC的方程后可得,MN的横坐标，从而可得PMPN+，联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PMPN+

，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A−，故2b=，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452ab=，即5a=，故椭圆的标准方程为：22154xy+=.（2）设()()1122,,,BxyCxy，因为直线BC的斜率存在，故120

xx，故直线112:2yAByxx+=−，令=3y−，则112Mxxy=−+，同理222Nxxy=−+.直线:3BCykx=−，由2234520ykxxy=−+=可得()224530250kxkx+−+=，故()22900100450kk=

−+，解得1k−或1k.又1212223025,4545kxxxxkk+==++，故120xx，所以0MNxx又1212=22MNxxPMPNxxyy+=++++()()2212121222212121222503024545=52530111145

45kkkxxxxxxkkkkkkxkxkxxkxxkk−−++++===−−−++−+++故515k即3k，综上，31k−−或13k.22.已知函数2()e,2xmxfxm=−R.（1）讨论()fx极值点的个数；（2）若()fx有两个极值点12,xx，且12xx，证

明:()()122efxfxm+−.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）分类讨论导函数e()xfxxmx=−的实数根即可求解极值点，（2）构造函数()()(2),(0,1)Fxgxgxx=−−和2e()(3)ee,(

0,1)xxxGxxxx−=−+−，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性.【小问1详解】2()e2xmxfx=−,则()exfxmx=−

,0x=显然不是()fx的零点,e(),xfxxmx=−令e()=xgxx,则2e(1)()−=xxgxx,()gx在(,0)−单调递减,在（0,1）单调递减,在(1,)+单调递增.当0x时，()0gx，当0x时，()0

gx，且()(1)egxg==极小值(,0)m−时,e=xmx只有一个实数根，所以此时()fx有1个极值点,)0,em时,e=xmx没有实数根，故()fx有0个极值点,当em=时，e=xmx，有一个实数根1x=，但1x=不是极值点，故此时()fx没有极值点，(e,)m

+时,e=xmx有两个不相等的实数根，故()fx有2个极值点.【小问2详解】由（1）知,(e,)m+,且()()121201,,()xxgxgxmgx==在（0,1）单调递减,在(1,)+单调递增,先证:122xx+,即证:212xx−，1201xx121x

−即证:()()212gxgx−.即证:()()112gxgx−.令()()(2),(0,1)Fxgxgxx=−−,即证:(0,1),()0xFx,2'22ee()(1)()(2)xxFxxxx−

=−−−令2(1,2)tx=−则xt令2e()h=,则4)(e(2)h−=,则()h在(0,2)单调递减()()(2)hxhthx=−,()0Fx,即()Fx在(0,1)x单调递减,()(1)0FxF=,证毕

.再证:()()122efxfxm+−,1201xx,且122xx+1122xxx−.()fx在()10,x单调递增,在()12,xx单调递减,在()2,x+单调递增,()()122fxfx−

.即证:()()1122efxfxm+−−,又11exmx=,即证:()()()11121111e23ee2exxxfxfxmxx−+−+=−+−.令2e()(3)ee,(0,1)xxxGxxxx−=−+−,()23

222222e21ee(1)()(2)eeexxxxxxxxxxGxxxx−−+−+−−=−−−=.令()23222()e21expxxxxx=−+−+−,()2322()e2212expxxxxx

=−+++−,令()()qxpx=()2322()2e22322exxqxxx=−+−−−,令()()rxqx=()232()2e41027xxxxrx=−+−−令32()41027,(0,1)mxx

xxx=+−−,2()12202mxxx=+−,11(0,1),()xmx在()110,x单调递减,在()11,1x单调递增.(0)7,(1)5mm=−=,12(0,1)x,当()120,xx时,()()0,rxqx单调递增;当()12,1xx时,()()0,rx

qx单调递减.()()2042e0,10qq=−=,13(0,1),()xpx在()130,x单调递减,在()13,1x单调递增.(0)10,(1)0pp==,14(0,1),()xpx在()140,

x单调递增,在()14,1x单调递减.(0)1,(1)0pp==,()0px,()0Gx,()Gx在(0,)xx单调递增,()(1)2eGxG=,所以原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离

出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.