【文档说明】《九年级数学讲义上海专用》专题09 几何证明（基础题）（解析版）.docx，共(42)页，860.979 KB，由管理员店铺上传

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12020年上海市16区中考数学一模汇编专题09几何证明（基础题）一．选择题1.（黄浦区）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②AEDEABBC=；③ADAEACAB=．使△ADE与△ACB一定相

似的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果．【详解】∵∠DAE＝∠BAC，∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，当AEDEABBC=时，∵∠B不一定等于∠AE

D，∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意，当ADAEACAB=时，△ADE∽△ACB．故③符合题意，综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三

角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键2.（杨浦区）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于

点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝(233):3−，其中正确的个数为（）2A.1B.2C.3D.4【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【详

解】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA

＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴DPPHPCDP=，∴DP2＝PH•PC，故③正

确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝33AB＝33BC，在3∵∠DCF＝30°，∴DF＝33DC＝33BC，∴EF＝AE+DF＝23BC3﹣BC，∴FE：BC＝（23﹣3）：3故④正确，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的

关键是熟练掌握性质和定理．3.（长宁、金山区）如果点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、EF，且DEACP，那么下列说法错误的是（）A.如果//EFAB，那么::AFACBDAB=B.如果::ADABCFAC=，那么//EFAB

C.如果~EFCBAC△△，那么//EFABD.如果//EFAB，那么~EFCBAC△△【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A不符合题意；由平行线分线段成比例定理和已知条件得出选项B不符合题意；由

相似三角形的性质得出EF与AB不平行，选项C符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D不符合题意；即可得出答案．【详解】如图所示：A、∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，△B

DE∽△BAC，4∴DE＝AF，DEBDACAB=，∴AF：AC＝BD：AB；选项A不符合题意；B、∵DE∥AC，∴AD：AB＝CE：BC，∵AD：AB＝CF：AC，∴CE：BC＝CF：AC，∴EF∥AB，选项B不符合题意；C、∵△EFC∽△ABC，∴∠CFE＝∠CBA，∴EF与AB不平

行，选项C符合题意；D、∵DE∥AC，EF∥AB，∴∠C＝∠BED，∠CEF＝∠B，∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4.

（崇明区）下列各组图形一定相似的是（）A.两个菱形；B.两个矩形；C.两个直角梯形；D.两个正方形．【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．【详解】A．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；B．任意两个矩形，

对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；故选：D．【点

睛】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．5.（崇明区）如图，在ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且//DEBC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点

N，下列比例式一定成立的是（）5A.ADANANAE=B.DNBMNECM=C.DNAEBMEC=D.DNNEMCBM=【分析】根据相似三角形的判定和性质分析即可．【详解】∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽

△AMC，∴DNANBMAM=，NEANMCAM=，∴DNBMMNEC=，即DNBMNECM=，故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，牢记定理是解决此题的关键．6.（奉贤区）下列命题中，真

命题是（）A.邻边之比相等两个平行四边形一定相似B.邻边之比相等的两个矩形一定相似C.对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D.对角线之比相等的两个矩形一定相似【分析】根据相似多边形的判定定理，逐一判断选项，即可.【详解】∵邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，∴邻

边之比相等的两个平行四边形不一定相似，故A错误；∵邻边之比相等的两个矩形一定相似，的6故B正确；∵对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，∴对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，故C错误；∵对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，∴对角线之比相等的两个矩形不一定相

似，故D错误.故选B.【点睛】本题主要考查相似多边形的判定定理，掌握对应边成比例，对应角相等，是解题的关键.7.（黄浦区）如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A.5米B.53米C.25米D.45米【分析

】如图，斜坡AB的坡度为1：2，可设DE=x，AE=2x，在Rt△ADE中，利用勾股定理列方程求解即可.【详解】如图，斜坡AB的坡度为1：2，设DE=x，AE=2x，在Rt△ADE中，∵AE2+DE2=AD2，∴(2x)2+x2=102，

解之得x=25，或x=-25（舍去）.故选C.7【点睛】此题主要考查坡度的意义，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度h和水平宽l的比，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示坡角，可知坡度与坡角的

关系是tanhil==．8.（杨浦区）如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM:MN:NB的值是（）A.3:5:4B.3:6:5C.1:3:2D.1:4:2【分析】过A点沿网格线作AE⊥BE，交于点E，

C,D为两个格点，连接MC、ND，根据已知条件得出MC∥ND∥BE，再根据平行线分线段成比例即可得出答案．【详解】解：如图，过A点作AE⊥BE，交于点E，C,D为两个格点，连接MC、ND，∵正方形网格中

均为小正方形，AE⊥MC,AE⊥ND,∴MC∥ND∥BE，∴AM：MN：NB=AC：CD：DE=1：3：2，故选：C．8【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，作出辅助线，找准对应关系是解决本题的关键．9.（虹口区）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如

果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（）A．15B．10C．7.5D．5【分析】首先证明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积．【解答】解：∵∠BAD＝∠C，∠

B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∵AC＝2AD，∴＝（）2＝，∴＝，∵△ACD的面积为15，∴△ABD的面积＝×15＝5，故选：D．910.（嘉定区）下列选项中的两个图形一定相似的是.()A.两个等腰三角形B.两个矩

形C.两个菱形D.两个正五边形.【分析】根据相似图形的概念逐一判断即可.【详解】A.两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确;B.两个矩形虽然角度相等，但是边不一定对应成比例，故不一定相似，故B不正确;C.

两个平行菱形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故C不正确；D.两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故D正确;故选择D.【点睛】本题主要考查相似图形的概念，掌握相似图形的判定是解题的关键.11.（闵行区）如果把Rt△ABC的各边长都

扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值()A.都缩小到原来的n倍B.都扩大到原来的n倍；C.都没有变化D.不同三角比的变化不一致.【分析】根据题意易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角比值不变．【详解】∵各边都扩大n倍，∴新三角形与原三角形的对应边的

比为n：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角比值不变，故答案为C.【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，用到的知识点有：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．

12.（闵行区）如图，在正三角形ABC中，分别在AC，AB上，且13ADAC=，AEBE=，则有（）10A.AEDBED∽B.AEDCBD∽C.AEDABD∽D.BADBCD∽【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在A

C、AB上，13ADAC=，AE＝BE，我们可以分别得到：△AED、△BCD为锐角三角形，△BED、△ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．【详解】由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，13ADAC=，

AE＝BE，易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；故选B．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定，其中在解答选择题时，我们可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相

同，排除错误答案，得到正确结论．13.（静安区）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是（）A.45DEBC=B.94BCDE=C.45AEAC=D.54ECAC=【分析】根据平行线分线段成比例，相

似三角形性质，以及合比性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=4∶5，则11∴△ADE∽△ABC，∴49DEADADBCABADDB===+，故A错误；

则94BCDE=，故B正确；则49AEADACAB==，故C错误；则59ECDBACAB==，故D错误.故选择：B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行线分线段成比例，合比性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质.14.（浦东新区）如图，点DE、分别在ABC的边AB、

AC上，下列各比例式不一定能推得//DEBC的是（）A.ADAEBDCE=B.ADDEABBC=C.ABACBDCE=D.ADAEABAC=【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得答案.【详解】解：A、∵ADAE

BDCE=，∴DE∥BC，不符合题意；B、由ADDEABBC=，不一定能推出DE∥BC，符合题意；12C、∵ABACBDCE=，∴DE∥BC，不符合题意；D、∵ADAEABAC=，∴DE∥BC，不符合题意.故选：B.【点睛】本题考查对应线段成比例，两

直线平行，理解对应线段是解答此题的关键.15.（浦东新区）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A.310米B.210米C.10米D.9米【分析】根据坡比定义求出AC的长度，再根据勾股

定理求出AB长度即可.【详解】解：设BC⊥AC,垂足为C，∵i=BC：AC=1：3∴3：AC=1:3,∴AC=9在Rt△ACB中，由勾股定理得，222293310ABACBC=+=+=∴AB=310米.故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形，明确坡比的概念是解答此题的关键.1

6.（青浦区）如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应高之比是（）A.1∶2；B.1∶4；C.1∶6；D.1∶8．【分析】根据相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比作答即可．,13【详解】∵两个相似三角形对应边之比是1∶2，又

∵相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比，∴它们的对应高之比是：1∶2，故选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比．17.（青浦区）如图，DE∥AB，如果CE∶AE=1∶2，DE=3，那么AB等

于（）A.6；B.9；C.12；D.13．【分析】根据比例的性质得CE∶CA=1∶3，根据平行线分线段成比例定理的推论，即可求得答案.【详解】∵CE∶AE=1∶2，∴CE∶CA=1∶3，∵DE∥AB，∴13DE

CEABCA==∵DE=3，∴AB=3DE=9故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论及比例的性质，熟练运用“平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”是解题的关键.18.（松江区）下列两个三角形不一定相似的是（）

A.两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形B.腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形14C.有一个内角为50的两个直角三角形D.有一个内角为50的两个等腰三角形【分析】根据图形相似的定义判定，用排除法求解．【详解】解：A.两条直角

边的比都是2:3的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；B.腰与底比都是2:3的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；C.有一个内角为50的

两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；D.有一个内角为50的两个等腰三角形，内角是50的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似.故选：D.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是

解答此题的关键．19.（徐汇区）如图，////ABCDEF，2AC=，5AE=，1.5BD=，那么下列结论正确的是（）A.154DF=B.154EF=C.154CD=D.154BF=【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】∵AB∥CD∥FF，AC

=2，AE=5，BD=1.5，=ACBDCEDF即21.552DF=−的15解得：94DF=9315424BFBDDF=+=+=故选：D．【点睛】本题考查是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．20.（徐汇区）

跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）A.200米B.400米C.20033米D.40033米【分析】已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．【详解】根据题意

，此时小李离着落点A的距离是2004003sin303=，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．21.（徐汇区）下列命题中，假

命题是（）A.凡有内角为30°的直角三角形都相似B.凡有内角为45°的等腰三角形都相似C.凡有内角为60°的直角三角形都相似D.凡有内角为90°的等腰三角形都相似【分析】根据相似三角形的判定定理对各小题分析判断即可判断．【详解】A、凡有内角为30°的直角三角形都相似，所以A选项的命题为真命题；

B、凡有内角为45°的等腰三角形不一定相似，所以B选项的命题为假命题；C、凡有内角为60°的直角三角形都相似所以C选项的命题为真命题；D、凡有内角为90°的等腰三角形都相似，所以D选项的命题为真命题．故选：B．【点睛】题

考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分的16组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的

，这样的真命题叫做定理．二．填空题1.（长宁、金山区）如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等

于_____．【分析】设直线l与AB、CD分别交于点E、D，由“完美分割线”的定义可知，S△AED＝S四边形BCDE，设AE＝AD＝x，证△AED∽△ABC，可求x的值，进一步可求出BC的长．【详解】解：如图，设直线l与AB、

CD分别交于点E、D，则由“完美分割线”的定义可知，S△AED＝S四边形BCDE，∴12ABCSS=△ADE△，∵l∥BC，∴△AED∽△ABC，∴1222AEADABAC===，设AE＝AD＝x，则222x=，∴x＝2，∴BE＝CD＝2﹣2，∴BC＝22﹣2（2﹣

2）＝42﹣4．17【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够领悟新定义的性质，并进行运用．2.（崇明区）如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是__________

_．【分析】根据DE∥BC，即可求得△ADE∽△ABC，得出426AFAFDEAGAFBC===+，求出AF＝4，即可得出答案．【详解】在梯形BCED中，作AG⊥BC于G，交DE于F，如图所示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴4

26AFAFDEAGAFBC===+，解得：AF＝4，∴AG＝AF＋GF＝4＋2＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中根据DE、BC的比值求AF的值是解题的关键．183.（崇明区

）如图，在ABCV中，，点D在BC上，且BDBA=，ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF.若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为____.【分析】首先利用等腰三角形的性质得

到点E是AD的中点，可得EF是△ACD的中位线，则EF∥CD，EF=12CD，进而可证明△AEF∽△ADC，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得△ADC的面积，由点E是AD的中点得△BDE和△BAE面积相等，利用ABCBDEBAEADCS=S+S+S△

△△△即可求解．【详解】解：∵BE平分∠ABC，BD=BA，∴BE是△ABD的中线，∴点E是AD的中点，又∵F是AC的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF∥CD，EF=12CD，∴△AEF∽△ADC，∴S△AEF：S△ADC=1：4，∴S△AEF：S四边形DCFE=1：3，

∵四边形DCFE的面积为3，∴S△AEF=1，∴S△ADC=S△AEF+S四边形DCFE=1+3=4，∵点E是AD的中点，△BDE的面积为3，∴BDEBAES=S△△=3，∴ABCBDEBAEADCS=S

+S+S△△△△=3+3+4=10.故答案为10.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AEF：S△ADC=1：4．194.（黄浦区）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，A

B=AC=5，cos∠C=45，那么GE=_______．【分析】过点E作EF⊥BC交BC于点F，分别求得AD=3，BD=CD=4，EF=32，DF=2，BF=6，再结合△BGD∽△BEF即可.【详解】过点

E作EF⊥BC交BC于点F.∵AB=AC，AD为BC的中线∴AD⊥BC∴EF为△ADC的中位线.又∵cos∠C=45，AB=AC=5，∴AD=3，BD=CD=4，EF=32，DF=2∴BF=6∴在Rt△BEF中BE=22BFEF+=3172，又∵△BGD∽△B

EF∴BGBD=BEBF，即BG=17.GE=BE-BG=172故答案为172.【点睛】本题考查的知识点是三角形的相似，解题的关键是熟练的掌握三角形的相似.5.（杨浦区）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线

为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不20为1），那么△DEF的面积为______．【分析】根据小正方形的边长，分别求出ABCV和DEF

V三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可.【详解】如图，∵12ABBC==，，5AC=∴:?:?1:2:5ABBCAC=∵2DE=，2EF=，10DF=∴::2:2:101:2:5DEEFDF==∴:?:?::ABBCACDEEFDF=

∴~ABCDEFVV∴12112DEFS==V故答案为：1【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.6.（奉贤区）已知ABC中，点,DE分别在边AB和AC的反向延长线上，若13ADAB=，则当AEEC

的值是______时，//DEBC.21【分析】易得：∆ADE~∆ABC，从而得到：13ADAEABAC==，即可得到答案.【详解】∵点,DE分别在边AB和AC的反向延长线上，若//DEBC，则∆ADE~∆ABC，∴13ADAEABAC==，∴

AEEC=14.故答案是：14【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键.7．（虹口区）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12、A1C1＝8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1

D1长为．【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应高的比进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AC＝12、A1C1＝8，∴相似比为：＝，∵△ABC的高AD为6，∴△A1B1C1的高A1D1长为：6×＝4．故答案为

：4．8．（虹口区）如图，在梯形AEFB中，AB∥EF，AB＝6，EF＝10，点C、D分别在边AE、BF上且CD∥AB，如果AC＝3CE，那么CD＝．22【分析】连接BE交CD于点M，由平行线分线段成比例定理先证＝，＝，再证△ECM∽△E

AB，△BMD∽△BEF，由相似三角形的性质可分别求出CM，DM的长，可进一步求出CD的长．【解答】解：如图，连接BE交CD于点M，∵AC＝3CE，∴＝，∵AB∥EF，CD∥AB，∴AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴＝，＝，∵

CM∥AB，∴△ECM∽△EAB，∴＝，即＝，∴CM＝，∵MD∥EF，∴△BMD∽△BEF，∴＝，即＝，∴MD＝，23∴CD＝CM+MD＝+＝9，故答案为：9．9（虹口区）．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角

形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为，那么大正方形的面积是．【分析】由题意知小正方形的边长为7．设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，运用正切函数定义求解．【解答】解：由题意知，小正方形

的边长为7，设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，则tanθ＝短边：长边＝a：b＝5：12．所以b＝a，①又以为b＝a+7，②联立①②，得a＝5，b＝12．所以大正方形的面积是：a2+b2＝25+144＝169．故答案是：169．2410．（虹口区）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

AC＝1，BC＝2，点D为边AB上一动点，正方形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB＝．【分析】设DE与BG交于点O，根据题意可得△BDE∽△ABC，可得，由正方形的性质可得GF＝DE＝EF，进而得出，再证明△DOG∽△EOB∽△FGB，可得．【解答】解：如图，DE与BG

交于点O，∵正方形DEFG，∴∠DEB＝∠EDG＝∠GFB＝90°，GF＝DE＝EF，∴△BDE∽△ABC，∴，∴，∵∠DOG＝∠EOB，∴△DOG∽△EOB∽△FGB，∴，∴tan∠DGB＝．故答案为：11.（静安区）如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个

三角形的面积比是_____．25分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：45k=，∴这两个三角形的面积比22416()525k===；故答案为：16

∶25.【点睛】本题考查了相似三角形性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质.（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．12.（静安区）如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一

栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为_____米．（结果保留根号）【分析】由解直角三角形，得tanABACBAC=，即可求出AB的值.【详解】解：根据题意，△ABC是直角三角形，∠A=90°，∴tanABACBAC=，∴tan15tan6

0153ABACACB=•==；∴大楼AB的高度为153米.故答案为：153.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．【2613.（嘉定区）如果将一个三角形保持形状不变但周长扩大为原三角

形周长的9倍，那么扩大后的三角形面积为原三角形面积的_______倍.【分析】利用相似三角形的性质可得出相似比等于周长比，面积比等于相似比的平方则可得出答案.【详解】相似三角形面积比等于相似比的平方21122()81SCSC==.所以周长扩大9倍，面积扩大81倍故答案为81【点睛】本

题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.14.（嘉定区）在某一时刻测得一根高为1.8m的竹竿的影长为0.9m，如果同时同地测得一栋的影长为27m，那么这栋楼的高度为_________m【

分析】根据题意画出图形，利用相似三角形的性质解题即可.【详解】解：如图∵BEDEBCAC=BE=0.9,DE=1.8，BC=270.91.827AC=∴AC=54故答案为27【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键.15.（嘉定区）在△ABC中，D、

E分别是边AB、AC上的点，如果AD=2，DB=1，AE=4，EC=2，那么DEBC的值为____________【分析】先利用2ADAEDBEC==，得出DE//BC，从而得出23ADAEDEABACBC===即可.【详解】2ADAEDBEC==Q，∴

DE//BC,∴23ADAEDEABACBC===故答案为23【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.16.（嘉定区）如图，有一个斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度i=1:2.5,那么

该斜坡的水平距离AC的长____m【分析】根据坡度的定义解题即可.【详解】坡度tanA=i=BCAC=301:2.5AC=,解得AC=75故答案为7528【点睛】本题主要考查坡度的概念，掌握坡度的概念是解题的

关键.17.（闵行区）如果两个相似三角形的相似比为2︰3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为_______cm.【分析】首先设两个三角形的周长分别为,xy，然后根据相似三角形的相似比等于周长比，列出二元一次方程组，求解即可.【详解】设两个三角

形的周长分别为,xy由已知，得23100xyxy=+=解得40,60xy==∴较小的三角形的周长为40cm.【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，利用相似三角形周长比等于相似比，求解即可.18.（闵行区）某人从地面沿着坡度为1:3i=的山坡走了100米，这时他离地面的高度是____

____米．【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．【详解】∵坡度为1:3i=，∴设离地面的高度为x,那么水平距离为3.x∵222(3)10

0xx+=,解得x=50.即这时他离地面的高度是50米.故答案为50.【点睛】考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据勾股定理列出方程是解题的关键.19.（浦东新区）如果两个相似三角形对应边之比是2

:3，那么它们的对应中线之比是___________．【分析】29根据相似三角形的性质，即相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于相似比.【详解】解：∵两三角形相似，且对应边比为2:3，∴相似比k=2:3∴它们对应中线的比为2:3.故

答案为：2：3.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应中线的比等于相似比的性质.20.（浦东新区）如图，在ABC中，AE是BC边上的中线，点G是ABC的重心，过点G作//GFAB交BC于点F

，那么EFEB=___________．【分析】根据三角形重心的性质，即三角形的重心到一个顶点的距离等于它到这个顶点的对边中点距离的2倍可得EG和AG的比值，再根据平行线分线段成比例定理可得.【详解】解：∵G是△ABC的重心，∴12EGAG=,∵//GFAB,∴12EFEGBFAG==

，∴13EFEB=.故答案为：13.【点睛】本题考查三角形重心的概念和性质及平行线分线段成比例定理，结合两个定理得出成比例线段是解答此题的关键.21.（浦东新区）如图，已知////,6,3,7ABCDEFADDFBC===，那么线段CE

的长度等于30____________【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.【详解】解：∵AB∥CD∥EF∴ADBCDFCE=,∵AD=6，DF=3，BC=7，∴673CE=,∴CE=72.故答案为：72.【点

睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键.22.（浦东新区）如图，将ABC沿射线BC方向平移得到DEF，边DE与AC相交于点G，如果6BCcm=，ABC的面积等于29cm，GEC的面积等于24cm，那么CF=______

______cm．【分析】根据平移性质得AC∥DF，易证△EGC∽△EDF，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，求得EC的长，即可求CF的长．【详解】解：∵ABC沿射线BC方向平移得到DEF，31∴AC∥DF，△ABC≌△DEF,∴EF=BC=6cm，S△A

BC=S△DEF=9cm2,∵AC∥DF，∴∠ACB=∠F,∠EGC=∠D,∴△EGC∽△EDF,∴EC=4cm，∴CF=2cm.故答案为：2【点睛】本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方列

式求解是解答此题的关键.23.（青浦区）小明沿着坡度i=1∶2.5的斜坡前行了29米，那么他上升的高度是______米．【分析】根据垂直高度：水平宽度12.5=：，可用未知数表示出垂直高度和水平宽度的值，进而可用勾

股定理求得垂直高度的值．【详解】如图．29AB=米，12.5BCAC=：：．设BCx=米，则2.5ACx=米．在RtABCV中，222ABBCAC=+，即()2222.529xx+=，化简得：2229294x=，解得：229x=．∴上升高度是:229米．故答案为：229．【点睛

】本题考查了坡度的定义以及直角三角形中三角函数值的计算以及勾股定理在直角三角形中的32运用，注意构造直角三角形，并借助解直角三角形的知识求解是关键.24.（青浦区）如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、

AD的中点，联结OE．如果AB=3，AC=4，那么cot∠AOE=______．【分析】根据O、E分别是AC、AD的中点，知OE是中位线得AOEACD=，连接BD，根据菱形的性质知AC与BD垂直平分，在Rt

OCD△中，根据勾股定理可求得OD，继而求得答案.【详解】如图，连接BD，在菱形ABCD中，O是AC的中点，∴O也是对角线的交点，且AC与BD垂直平分，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴OECDP，∴AOEACD=在RtOCD中，114222OCAC==

=，3CDAB==,∴2222325ODCDOC=−=−=∴cot∠AOE=cot22555OCACDOD===故答案为：255【点睛】本题考查了求角的正切余切函数，涉及的知识有：菱形的性质，中位线的性质以及勾股定理，33利用中位线的性质证得AOEACD=是解题的关键.25.（松江区

）若两个相似三角形面积比为3:4，则它们的相似比为．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可【详解】解：∵两个相似三角形面积的比为3:4，∴它们的相似比=3342=故答案为：32【点睛】本题考查了相似三角形的性质

：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．26.（松江区）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，

宽度为30厘米.那么斜面AB的坡度为．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【详解】解：斜面AB的坡度为：202303=，故答案为：23．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度

h和水平宽度l的比是解题的关键．27.（徐汇区）如果两个相似三角形的对应高比是3:2，那么它们的相似比是__________．的34【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比解答．【详解】∵两个相似三角形的对应高比是3:2，∴它们的相似比是3:2，故答案为：3:2．【点睛】本题考查的是相似三角

形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．28（徐汇区）.四边形ABCD和四边形''''ABCD是相似图形，点,,,ABCD分别与',',','ABCD对应，已知3BC=，2.4CD=，''2BC=，那么''CD的长是___

_______．【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴CD：C′D′=BC：B′C′，∵BC=3，CD=2.4，B'C′=2，∴C′D

′=1.6，故答案为：1.6．【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．29.（徐汇区）同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是______米.【分析】根据成比例关系可知，旗杆高比上旗杆

的影长等于铁塔的高比上铁塔的影长，代入数据即可得出答案．【详解】设铁塔高度为x，有12921x=，解得：x=28，答：铁塔的高是28米，35故答案为：28．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知

道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．30.（徐汇区）一山坡的坡度1:3i=，小刚从山坡脚下点P处上坡走了5010米到达点N处，那么他上升的高度是________米.【分析】设坡面的铅直高度为x米，根据坡度的概念用x表示出坡面的水平

宽度，根据勾股定理计算即可．【详解】设坡面的铅直高度为x米，∵山坡的坡度i=1：3，∴坡面的水平宽度为3x米，由勾股定理得，（3x）2+x2=（5010）2，解得，x=50，则他上升的高度是50米，故答案为：50．【点睛】本题考查

的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．31.（徐汇区）在ABC中，点,DE分别在边,ABAC上，6AB=，4AC=，5BC=，2AD=，3AE=，那

么DE的长是_______.【分析】通过证明△AED∽△ABC，可得12DEADBCAC==，即可求解．【详解】∵2131,4262ADAEACAB====，∴ADAEACAB=，且∠DAE=∠BAC，∴△AED

∽△ABC，∴12DEADBCAC==，36∴1522DEBC==，故答案为：52．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．32.（徐汇区）如图，在RtABC中，90C=o∠，2AC=，1BC=，正方形DEFG内接于ABC，点G、F分别在边

,ACBC上，点,DE在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是_______.【分析】作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理得出22215AB=+=，由面积法求出235ACBCCMAB==，证明△CGF∽△CAB，得出CNGFCMAB=，即可得

出答案．【详解】作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，∴22215AB=+=∴212555ACBCCMAB===∵正方形DEFG内接于△ABC，∴GF=EF=MN，GF∥AB，∴△CGF∽△CA

B，37∴CNGFCMAB=，即2552555EFEF−=，解得：257EF=;故答案为：257.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．33（徐汇区）.如图，在ABC中，点

D在边BC上，ADAC⊥，BADC=，2BD=，6CD=，那么tanC=_________.【分析】证明△ABD∽△CBA，得出ADABBDACBCAB==，求出AB=4，由三角函数定义即可得出答案．【详解】∵BD=2，CD=6，∴

BC=BD+CD=8，∵∠B=∠B，∠BAD=∠C，∴△ABD∽△CBA，∴ADABBDACBCAB==，∴AB2=BD×BC=2×8=16，∴AB=4，∵AD⊥AC，∴41tan82ADABCACBC====；38故答案为：12．【点睛】本题考

查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．34（黄浦区）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC＝_____．【分析

】根据平行四边形的性质可得出DE∥AB、DC＝AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得出3=4DEBA，再结合EC＝CD−DE即可求出结论．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，DC＝

AB，∴△DEF∽△BAF．∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，∴3=4DEBA，∵3=343DEDEECCDDE==−−．故答案为3：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据相似三角形的性质

求出DE、BA之间的关系是解题的关键．三．解答题1.（宝山区）某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB的长度；39（2）现有一个侧面图为矩

形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．【分析】（1）根据坡度定义以及勾股定理解答即可；（2）证出∠GDM＝∠HBM，根据，得到GM＝

1m，利用勾股定理求出DM的长，然后求出BM＝5m，进而求出MH，然后得到DH．【解答】解：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，∴BC＝4×2＝8m．∴AB＝＝＝（米）；（2）∵∠DGM＝∠BHM，∠DMG＝∠BMH，∴∠GDM＝∠HBM，∴，∵DG＝EF＝2m，∴

GM＝1m，∴DM＝，BM＝BF+FM＝3.5+（2.5﹣1）＝5m，设MH＝xm，则BH＝2xm，∴x2+（2x）2＝52，∴x＝m，∴DH＝＝m．2.（浦东新区）如图，在ABC中，点DE、分别在边AB、AC上，且3,6,4,8ADACAE

AB====．40（1）如果7BC=，求线段DE的长；（2）设DEC的面积为a，求BDC的面积（用a的代数式表示）．【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等证明△ADE∽ACB，利用相似三角形对应边成比例列式求解；（2）根据三角形面积公式及底边的关系

求出△ADE的面积，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方列式求解.【详解】解：（1）∵3,6,4,8ADACAEAB====,∴12ADAEACAB==,∵∠A=∠A,∴△ADE∽ACB,∴12DEBC=,∵7BC

=∴DE=72；（2）∵4264AEEC==-∴2ADEEDCSAESEC==VV,∵DECSa=V，∴2ADESa=V∵△ADE∽ACB∴2124BDCaSaa=++V，41∴5BDESa=V.【点睛】本题考查相似三角形的

判定与性质，利用相似三角形对应边成比例解决线段问题，利用相似三角形面积比等于相似比的平方解决面积问题是解答此类问题的重要思路.3（普陀区）如图10，在ABC△中，点P、D分别在边BC、AC上，PAAB⊥，垂足为点A，DPBC⊥，垂足为点P，APBPPDCD=.（1）求证：APDC=；（2）

如果3AB=，2DC=，求AP的长.【解析】（1）易得ABPPCD△∽△∴CB=又∵BAPD=∴CAPD=（2）易得ADPAPC△∽△∴2133APADAC===∴3AP=4.（松江区）如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝AB＝13，B

D＝24，.求边DC的长.【分析】由AD∥BC得出∠ADB=∠DBC，再由AB=AD得出∠ADB=∠ABD，从而∠ABD=∠DBC，另外AE⊥BD，故∠AEB=∠C=90°，可证△ABE∽△DCB，可得ABAEBDCD

=，即可求DC的长．【详解】42解：如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠ABD=∠DBC，∵AE⊥BD，AB=AD，∴∠AEB=∠C=90

°，BE=DE=12，∴221691445AEABBE=−=−=，∵∠ABD=∠DBC，∠AEB=∠C=90°，∴△ABE∽△DCB，∴ABAEBDCD=即：13524CD=∴12013CD=.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定

理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．