【文档说明】浙江省嘉兴市2024-2025学年高三上学期9月基础测试数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.847 MB，由小赞的店铺上传

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2024年高三基础测试数学试题卷（2024.9）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上

的作答一律无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U{19,},{4,5,6}UxxxA==N∣ð，则（）A.2AB.3A

C.6AD.7A【答案】A【解析】【分析】根据集合补集的定义求出集合A，然后根据元素与集合的关系即可得解【详解】{19,}2,3,4,5,6,7,8Uxxx==N∣，又U4,5,6A=ð，所以2,3,7,8A=，所以2A，3A

，6A，7A，故选：A2.在复平面内，复数1z对应的点和复数212iz=+对应的点关于实轴对称，则12zz=（）A.34i−+B.34i−−C.5D.5【答案】C【解析】【分析】由对称性确定1z，结合乘法运算即可求解.【详解】因为复数1z对应的点和复数212iz=+

对应的点关于实轴对称，所以112iz=−，所以()()1212i12i5zz=−+=故选：C3.已知向量()()()1,2,,1,,1abc==−=−，若()ac+∥b，则+=（）A.2−B.1−C.0D.1

【答案】B【解析】【分析】由向量平行的坐标表示即可求解.【详解】由条件可得()1,1ac+=+因为()ac+∥b，所以()1−+=所以1+=−故选：B4.嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条

均匀､柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线（Catenary）.已知函数()()ee02xxaaafxa−=+的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（）A.()fx为奇函数B.()fx的最大值是a

C.()fx在(),−+上单调递增D.方程()2fxa=有2个实数解【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而确定最值，即可判断ABC；对D解出e23xa=

，再结合指数函数性质即可判断.【详解】对A，∵()()ee2xxaaafxfx−−=+=，则()fx为偶函数，A错误；对BC，又∵1()ee2xxaafx−=−，根据e,exxaayy−==−，在

R上均单调递增，则在()fx在R上单调递增，且(0)0f=，则当0x时，则()0fx，当0x时，则()0fx，∴()fx的单调递减区间为(,0)−，单调递增区间为(0,)+，故C错误；则()()0fxfa=，即()fx的最小值为a，B错误；对D，法一

：因为()fx为偶函数，且最小值为a，20aa，并且根据C中()fx的单调递减区间为(,0)−，单调递增区间为(0,)+，且x→+时，()fx→+，所以()2fxa=有2个实数解，故D正确.法二：令()2,ee22xxaaafxaa−=+=,ee4,

e23xxxaaa−+==，再结合指数函数性质知方程()2fxa=有2个实数根,故D正确.,故选：D5.已知()()1sin3cos,tantan5+=−=−，则tantan+=（）A.15−B.5−C.12

5D.12【答案】C【解析】【分析】先利用切化弦的思想将1tantan5=−、tantan+都进行切化弦的处理，然后利用两角和的正弦公式以及两角差的余弦公式即可得解.【详解】因为1tantan5

=−，所以sinsin1coscos5=−，即1sinsincoscos5=−又()()sin3cos3coscos3sinsin+=−=+所以()112sin3coscos3coscoscoscos55+=+−=

所以()12coscossinsinsinsincoscossin125tantancoscoscoscoscoscoscoscos5+++=+====，故选：C6.已知四面体PABC−每

条棱长都为2，若球O与它的每条棱都相切，则球O的体积为（）A.26πB.2π3C.22π3D.2π【答案】B【解析】【分析】求正四面体的棱切球，转化到正方体中即可.【详解】将正四面体PABC−补成一个正方体球O与正四面体的棱都相切．则球O与正方体

的内切球，正方体边长为a，2223244,2,2,,23aaaarVr+======2π3故选：B.7.将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9随机填入33的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（）A.8

9!B.129!C.249!D.489!【答案】A【解析】【分析】用列举法写出符合题意的填写方法，然后根据概率公式计算．【详解】符合题意的填写方法有如下8种：的而9个数填入9个格子有9!种方法所以所求概率为89!P

=，故选：A．8.《测圆海镜》是金元之际李冶所著中国古代数学著作，这是中国古代论述容圆的一部专著，也是论述天元术的代表作.天元术与现代数学中列方程的方法基本一致，先立“天元一”为…，相当于“设x为…”，再根据问题的已知条件

列出两个相等的多项式，最后通过合并同类项得到方程10110nnnnaxaxaxa−−++++=L.设()()1011nnnnfxaxaxaxan−−=++++N，若()125238nfn+=−−，则()1f=（）A.2342nn+B.23112nn+C.23542nn++D.237

42nn++【答案】D【解析】【分析】令()2nTf=，结合12nnnaTT−=−得到32nan=+，又()0121nfaaaa=++++，将问题转化为等差数列求和，从而得解.详解】令()1101122225238nnnnnnTfaaaan−+−==++++=−−，

当1n时，111011222252610nnnnnTaaan−+−−=+++=−−，两式相减可得()12321nnnTTann−−==+①，当0n=时，002Ta==，满足①式，【所以()()()20

123413741253222nnnnnfaaaan++++=++++=++++==，故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9

.下列说法正确的是（）A.样本数据20,19,17,16,22,24,26的下四分位数是17B.在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10，平均值为9，第二层的样本量为20，平均值为12，则所抽样本的平均值为11C.若随机变量

15,3XB，则()82243PX==D.若随机变量()()24,0XN，若()20.8Px=，则()60.2Px=【答案】ABD【解析】【分析】对于A由下四分位数的概念即可判断；对于B，由平均数的计算公式即可判断；对于C

由二项分布即可判断;对于D由正态分布的对称性即可判断.【详解】对于A.从小到大排序得：16，17，19，20，22，24，26，由7725%1.754==，所以下四分位数是17正确；对于B，10920121130+=正确；对于C，由二项分布可得：()232512802C33243P

X===，错误；对于D，由正态分布的对称性可得：()()6120.2PxPx=−=，正确故选：ABD10.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左右焦点分别是()()12,0,,0FcFc−，以12FF为直径的圆与C在第一象限交于点

P，延长线段2PF交C于点Q.若222PFQF=，则（）A.211QFPFQF+=B.1PQF△的面积为243aC.椭圆C的离心率为53D.直线1QF的斜率为211−【答案】ACD【解析】【分析】对于A，结合椭圆的定义即可得解；对于

B，设2QFx=，结合椭圆定义，和直角三角形中勾股定理，得出3ax=，从而得出面积；对于C，在12RtPFF中，利用勾股定理得出a与c的齐次方程，从而得解；对于D，在1RtPFQ中，求得1tanPFQ，在1RtPFQ中，求得1tanPFQ，结合两角差的正切公式可以求得21tan

FFQ，从而得到直线1QF的斜率.【详解】对于A，由椭圆的定义可得，122PFPFa+=，122QFQFa+=，又222PFQF=，所以211QFPFQF+=，故A正确；对于B，如图，连接1QF，1PF，设2QFx=（�

�>0），则22PFx=.因为122PFPFa+=，122QFQFa+=，所以122PFax=−，12QFax=−.因为12FF为圆的直径，所以190FPQ=，在1RtPFQ中，22211||PFPQQF+=，即()()()22

22232axxax−+=−，整理得3ax=，所以()121112322223PQFSPQPFxaxa==−=，故B错误；对于C，在12RtPFF中，14223aPFax=−=，223aPF=.所以2221212PFPFFF+=，即()222422c

33aa+=，解得；22259cea==，即53e=，故C正确；对于D，在12RtPFF中，2121213tan423aPFPFFaPF===在1RtPFQ中，113tan443PQaPFQaPF===所以()1122111211231tanta

n242tantan311tantan11142PFQPFFFFQPFQPFFPFQPFF−−=−===++，所以直线1QF的斜率为()21212tan180tan11kFFQFFQ=−=−=−．故D正确；故选：A

CD11.定义在)0,+上的函数()fx满足()23axfxfxa=+，其值域是M.若对于任何满足上述条件的()fx都有(),0,1yyfxxM==∣，则实数a的取值必可以为（）A.14B.12C.34D.1【答案】ABCD【解析】【分析】通过选项逐个验证即

可.【详解】因为(),0,1yyfxxM==∣，设当()1,x+时，()fxN，则NM，当14a=时，()2341xfxfx=+，令()2341xtxx=+，当()1,x+时，()330,0,1154txxx=+满足条件；当12a

=时，()2321xfxfx=+，令()2321xtxx=+，当()1,x+时，()()30,10,112txxx=+满足条件；当34a=或1a=时，对[0,1],x设233()0,2axgxaxa=

+，即对于30,,[0,1],()2xaygyx=，故()()fxfyM=，而对于33,,()0,22zagza+，故存在30,,()2xaxgz=，即()()fzfxM=，故()fzM，C

.D正确.故选：ABCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若52345012345(1)xaaxaxaxaxax−=+++++，则2a=__________.【答案】10−【解析】【分析】根据二项式定理中的二项展开式通项公式即可求

解【详解】5(1)x−的展开式通项是：()55C1kkkx−−，依题意得，52−=k，即3k=，所以()3325C110a=−=−，故答案为：10−13.已知直线2yxm=−与圆22:()4Cxmy−+=交于,AB两点，写出满足“23AB=”的实数m的一个值

：__________.【答案】5−或5（写出其中一个即可）【解析】【分析】利用勾股定理求弦长的方法求解．【详解】圆心为(,0)Cm，C到直线2yxm=−的距离为2055mmmd−−==，又23AB=，圆半径为2，则22(3)45m+=，解

得5m=，故答案为：5或5−．14.在长方体1111ABCDABCD−中，12,1===ABADAA，点M满足()11101AMAC=，平面MAB与底面ABCD的夹角为，平面MBC与底面ABCD的夹角为，当+最小时，=__________.【答案】102

2−【解析】【分析】由面面的定义做出平面角，再结合两角和的正切公式即可求解.【详解】作MNAC⊥，垂足N，则MN⊥底面ABC，再作,NEABNFBC⊥⊥，垂足分别为,EF，则,MENMFN==，又正方体中12,1===ABADAA，

设01NExx=，，则()21NFx=−，当0x=，易知2=，1tan2=，此时()tan2+=−，0=，当1x=，易知2=，tan1=，此时34+=，1=，当0x且1x时，()11tan,tan21

xx==−，所以()()()()21121tantan22tan111tantan211221121xxxxxxxxxx+−+−−+====−−−−+−−−，设21,2tx=−，则()211310tan52652621026ttttt++===−

−+−−−−+，当且仅当102t=，即1022x=−时，()tan+取到最小值，1t=时()tan1+=−，2t=时()tan2+=−，且101,2t时()tan+递减，10,22t时()tan+递增，综上，()tan0+恒成立

，即ππ2+，所以当1022x=−时，+取到最小，此时1111022AMxAC===−.综上可知当1022x=−时，+取到最小.故答案为：1022−四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字

说明､证明过程或演算步骤.15.记ABCV的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知()()bcabcabc+−++=.（1）求A；（2）若D为BC边上一点，3,4,3BADCADACAD===，求sinB.【答案】（1）2π3A=（2）217【解析】【分析】（1）等价变形已知条件，得到

222bcabc+−=−，结合余弦定理即可得解.（2）法①：由余弦定理求出7CD=，结合正弦定理即可求得3sin27C=，最后根据()sinsinBAC=+即可得解；法②：由法①得7CD=，在ACD中由正弦定理得2sin7ADC=，又π2ADCB=+，从而得解21s

in7B=；法③：由法①得7CD=，在直角ABD△中237ac=++，由（1）问知222abcbc=++，代入建立关于c的方程，解方程得2c=，从而得出217,sin7ADBDBBD===；法④：由等面积法

得ABCABDACDSSS=+，建立关于c的方程，求得2c=，代入222abcbc=++求得a，最后结合正弦定理即可得解.【小问1详解】()()22222()2bcabcabcabbccabc+−++=+−=++−

=，则222bcabc+−=−，所以2221cos22bcaAbc+−==−，因为0πA，所以2π3A=.【小问2详解】法①：由（1）得，2π3A=，因为3BADCAD=，所以π6CAD=，如图在ACD中，由余弦定理2222cosCDAD

ACADACDAC=+−331623472=+−=，即7CD=，在ACD中由正弦定理sinsinCDADDACC=，即731sin2C=，所以3sin27C=，因为π03C，故25cos1sin27CC=−=，在ABCV中()351321sinsinsincoscossin22

72727BACACAC=+=+=−=.法②：同解法①7CD=，在ACD中由正弦定理sinsinCDACDACADC=，即741sin2ADC=，所以2321sin,cos777ADCADC

==−=−，又因为π2ADCBADBB=+=+，即π21cos27B+=−，所以21sin7B=.法③同上7CD=，在直角ABD△中23BDc=+，所以237ac=++，由（1）问知222abcbc=++，所以()22237416ccc++=++，即2

2227310416cccc+++=++，得27323,cc+=+即2440cc−+=，所以2c=，217,sin7ADBDBBD===.法④如图由（1）知2π3A=，则π6CAD=，因为ABCABDACDSSS=+，所以12π11π4sin343sin2

3226cc=+，即3332cc=+，解得2c=，所以222164828abcbc=++=++=，即27a=，在ABCV中，由正弦定理sinsinabAB=，即274sin32B=，解得321sin77B==.16.如图，已知四棱锥PA

BCD−的底面ABCD是边长为6的正方形，侧面PCD⊥底面,5ABCDPCPD==，点,EG分别是,DCDP的中点，点F在棱AB上且3AFFB=.（1）求证：FG∥平面BPE；（2）求直线FG与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）635【解析】【分析】（1）解法一：取PE

的中点H，连接,GHBH，证明四边形BHGF是平行四边形，得线线平行，然后得证线面平行；解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法证明线面平行；（2）解法一：过点H作HKPC⊥，垂足为K，连接BK，证得HBK为直线BH与平面PBC所成的角，在三角形中求出此角的正弦值后可得；的解

法二：由空间向量法求线面角．【小问1详解】解法一：取PE的中点H，连接,GHBH，因为点G是DP的中点，所以GH∥DE，且12GHDE=，正方形中，点E是CD的中点，3AFFB=，所以1142BFABDE==，且AF∥DE，所以GH∥BF，

且GHBF=，所以四边形BHGF平行四边形，所以GF∥BH，又GF平面,BPEBH平面BPE，所以FG∥平面BPE.解法二：5PCPD==，点E是DC的中点，所以PECD⊥，又侧面PCD⊥底面ABCD，侧面PCD底面,ABCDCDPE=平面PCD，所以PE⊥

平面ABCD，如图以点E为坐标原点，直线,ECEP为y轴和z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()30,0,0,0,0,4,6,,0,0,3,0,6,3,0,0,3,02EPFDBC−所以30,,22G−，所

以()()()6,3,2,0,0,4,6,3,0FGEPEB=−−==是设平面BPE的一个法向量为(),,mxyz=，则40630nEPznEBxy===+=，取2y=得1,0xz=−=，所以()1,2,0n=

−，所以()()16230FGn=−−+−=，即FG⊥n，又FG不在平面BPE内，所以FG∥平面BPE.【小问2详解】解法一：过点H作HKPC⊥，垂足为K，连接BK，由题意知BCDC⊥，又侧面PCD⊥底面ABCD，侧面PCD底面,ABCDDCBC=平面ABCD，所以⊥BC底面PCD，又H

K平面PCD，所以BCHK⊥，又,,BCPCCBCPC=平面PBC，所以HK⊥底面PBC，所以HBK为直线BH与平面PBC所成的角，记直线FG与平面PBC所成的角为，由（1）知GF∥BH，所以HB

K=，又由题意知，122EHPHPE===，所以36sin255HKPHHPK===，又2235BEBCEC=+=，所以224547BHBEEH=+=+=，所以6sinsin35HKHBKBH===，所以直线FG与平面PBC所成

的角的正弦值为635.解法二：由（1）知()()()6,3,2,6,3,4,6,0,0FGBPBC=−−=−−=−设𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)是平面PBC的一个法向量，则606340nBCxnBPxyz

=−==−−+=，取3z=得0,4xy==，所以()0,4,3n=，所以1266cos,3536945nFGnFGnFG−+===−++，设直线FG与平面PBC所成的角为，则66sincos,3

535nFG−===，所以直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为635.17.已知函数()()()22ln,fxxaxagxxx=−=−−R.（1）讨论()fx的单调性；（2）若存在()1,x+，使得函数()()fxgx成立，求证：5ea

.参考数据：237.3e7.4,20e20.1.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，然后结合导数，分0a与0a两类进行讨论即可得解；（2）法一：

先进行参变量分离，将问题转化为最值问题，构造函数()()231lnxxrxxx+=，求()minrx即可得证，在求最小值过程中，再此构造函数()()()23ln3pxxxx=+−+，结合零点存在定理和单调性，判断出存在()

02,ex，使得()00px=，即()()00023ln30xxx+−+=，则0003ln23xxx+=+，从而得出()()min000()23145erxrxxx==+，得证；法二：构造函数()()2ln31

hxaxxxx=−−，结合导数求()maxhx，求最大值过程中，结合零点存在定理和单调性，存在()()200000231,,0axxxhxx−−+==，即20023axx=+，得到()()()22000000max23ln3hxhx

xxxxx==+−−，又()0yhx=单调递增，又()()20,e0hh，得出02ex，所以20023145eaxx=+得证.【小问1详解】函数()2lnfxxax=−的定义域为(0,+∞)，则()2afxx=−当0a时，()20afxx=−，所以()fx单调递增，即

()fx的单调递增区间是(0,+∞)，当0a时，令()20afxx=−，又0x，解得02ax，所以()fx的单调递减区间是0,2a，令()20afxx=−，解得2ax，所以()f

x的单调递增区间是,2a+，综上所述，当0a时，()fx的单调递增区间是(0,+∞)，无单调递减区间；当0a时，()fx的单调递减区间是()0,,2afx的单调递增区间是,2a+.【小问2详解】方法一：由()()fxgx得22lnxaxxx−−−，

所以2ln3axxx+，因为𝑥∈(1,+∞)，所以23lnxxax+，由题意知2min3lnxxax+，记函数()()231lnxxrxxx+=，则()()()223ln3lnxxxrxx−++=，记()()()23ln3pxxxx=+−+，

则当1x时，()2332ln12ln10xpxxxxx+=+−=++所以函数()()()23ln3pxxxx=+−+在(1,+∞)上单调递增，又()()()e2e3e3e0p=+−+=，因为75232128,eee720140==

=，所以()27ln250p=−所以存在()02,ex，使得()00px=，即()()00023ln30xxx+−+=，则0003ln23xxx+=+，所以当𝑥∈(0,𝑥0)时，()()0,rxrx单调递减；当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，(

)()0,rxrx单调递增；所以()()()()2200000min000003233()23145eln3xxxxxrxrxxxxx+++====++，所以min()5earx，证毕.方法二：存在𝑥∈(1,+∞)，使得函数()()fx

gx成立存在𝑥∈(1,+∞)，使得函数2ln30axxx−−成立，记()()2ln31hxaxxxx=−−，则()()223231aaxxhxxxxx−−=−−=，当5a时，()0hx，所以ℎ(𝑥)单调递减，则()()140hxh=−，不合题意；当5

a时，存在()()200000231,,0axxxhxx−−+==，即20023axx=+，所以ℎ(𝑥)在区间()01,x上单调递增，在()0,x+上单调递减，所以()()()()2220000000000maxln323l

n31hxhxaxxxxxxxxx==−−=+−−，所以()()()000000043ln232343ln0hxxxxxxx=+++−−=+，则()0yhx=单调递增，又()()7252214ln2102ln0,ee0e

hh=−==，所以02ex，所以20023145eaxx=+.【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键在于分类讨论的标准：0a与0a，第（2）小问，方法一的关键是参变量分离转化为最值问题，结合零点存

在定理和导数判断单调性，通过构造函数求出最值即可得证，方法二的关键是直接移项构造函数，结合导数进行两次构造函数，同样求出最值即可得证.18.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，点(),2Mt是C上的一点，且2MF=.（1）求抛物线C的方程；（2）设点()()11

22,,,AxyBxy（其中12xx）是C上异于M的两点，AMB的角平分线与x轴垂直，N为线段AB的中点.（i）求证：点N在定直线上；（ii）若MAB△的面积为6，求点A的坐标.【答案】（1）24yx=（2）（i）证明见解析；（ii）()0,0A或11313,

1332A−−【解析】【分析】（1）由抛物线焦半径公式即可求解；（2）（i）由题意得到,MAMB的斜率互为相反数，构造方程即可求解；（ii）写出AB直线方程，由点到线的距离公式求得高，代入三角形面积公式求解即可.【小问1详解】因为2MF=，由抛物线的定义得22p

t+=，又24pt=，所以2tp=，因此222pp+=，即2440pp−+=，解得2p=，从而抛物线的方程为24yx=.【小问2详解】（i）由（1）知点M的坐标为()1,2M，因为AMB的角平分线与x轴垂直，所以可知,MAMB的倾斜角互补，即,MAMB的斜率互为相反数，112111

2241214MAyykyxy−−===−+−，同理242MBky=+，则1244022MAMBkkyy+=+=++，化简得124yy+=−，则1222Nyyy+==−，所以点N在定直线2y=−上.（ii）121222

1212124144AByyyykyyxxyy−−====−−+−，则直线()11:AByyxx−=−−，即21104yxyy+−−=线段AB的长度：122AByy=−，点()1,2M到直线AB的距离211342yyd−−=，可得MAB的面积为2111234112222MAByySABdyy−−

==−，因为124yy+=−，且122y−，化简得()()2211111124112421626244MAByySyyy−−=+=+−+=，令()120,4ty=+，则316240tt−+=，即()()222120ttt−+−=.解

得2t=或113t=−，由()120,4ty=+知2t=或113t=−+，所以110,0,yx==或11133,11313,2yx=−−=所求点A的坐标为()0,0A，或者11313,1332A−−

.19.当*12,,,knnnN，且12knnn时，我们把12,,,knnnaaa叫做数列na的k阶子数列，若12,,,knnnaaa成等差（等比）数列，则称12,,,knnnaaa为数列na

的k阶等差（等比）子数列.已知项数为(4nn，且)*nN的等差数列nb的首项12b=，公差2=d.（1）写出数列126,,,bbb的所有3阶等差子数列；（2）数列nb中是否存在3阶等比子数列，

若存在，请至少写出一个；若不存在，请说明理由；（3）记数列nb的3阶和4阶等差子数列个数分别为,AB，求证：2AB.【答案】（1）123234345456135246,,,,,,,,,,,,bbbbbbbbbbbbbbbbbb；；；；；（2）不存，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分

析】（1）根据题干中数列{𝑎𝑛}的k阶等差子数列的定义，直接写出所有三阶等差子数列即可；（2）先假设存在三阶等比子数列，结合等比中项的定义，得到一个方程，解方程的解与条件矛盾，假设不成立，从而得出结论；（3）分别求出A与B的值，得出当()*6nkk=N时，21132BAn

−=+−，构造函数()21132fxx−=+−，结合单调性()()1fxf，得出231342BA=，即2AB；同理可以证出当61nk=−，62nk=−，61nk=+、

62nk=+、63nk=+时，2AB同样成立，从而得证.【小问1详解】所求三阶等差子数列为123234345456135246,,,,,,,,,,,,bbbbbbbbbbbbbbbbbb；；；；；.【小问2详解】由题意得等差数列{𝑏𝑛}的通项为()221nbn=+−，在假设存在三阶等比子

数列111,,(01)xyzbbbxyzn+++−，则2111yxzbbb+++=，即()()2(22)2222yxz+=++，化简得()()222240yxzyxz−−+−=，所以22,,yxzyxz=+=消y得22xzxz+=，即2()0xz−=，

所以xz=与01xyzn−矛盾，故假设不成立，因此数列{𝑏𝑛}不存在三阶等比子数列.【小问3详解】先求A的值当n为奇数时，()()()211(1)2243124nnnAnn−−−=−+−+++==；当n为偶数时，()()()222244224nnnnAnn−−=−+

−+++==，所以()()21*11(1),21,42,22,4nnkAknnnk−=+=−=+N.再求B的值当()*223nkk=N时，()()()33336326nnnnBnn−−=−+−

++==，当231nk=+时，()()()()()12123364126nnnnBnn−−−−=−+−+++==，当232nk=+时，()()()()()21123365226nnnnBnn−−−−=−+−+++==，所以()()()()()()2*2223,3,612,31,,612,32

,6nnnknnBnkknnnk−=−−==+−−=+N所以当()*6nkk=N时，()()3232161232324nnBnnnAnn−−−===+−−−，因为()21132fxx−=+−在(1,+∞)上单调递增，所以()()1fxf，即此时2

31342BA=，即2AB成立；同理当61nk=+时，222551313692BnAn−==−，即2AB成立；当62nk=+时，212771338122BnAn−==，即2AB成立；当6

3nk=+时，()2323(1)nnBAn−=−，要证2AB成立，只需证明()()2243321nnnn−−+2630nn−−，因为()*63nkk=+N，故263240nn−−，即2AB成立；当62nk=−时，21231133422BnAn−

==，即2AB成立；当61nk=−时，222311313422BnAn−==−，即2AB成立，综上2AB成立.【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键在于理解新定义，结合等差数列的知识即可列出所求三阶等差子数列；第

（2）小问的关键在于假设存在，结合等比中项公式建立方程，发现方程的解与条件矛盾，从而得出假设不成立；第（3）小问的关键是分别求出分别求出A与B的值，然后按照当61nk=−，62nk=−，6nk=，61nk=+、62

nk=+、63nk=+时分类讨论，分别得出2AB成立，从而得证.