【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.5 诱导公式-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(8)页，598.605 KB，由小赞的店铺上传

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专题5.5诱导公式-重难点题型精讲1．诱导公式(1)诱导公式(2)诱导公式的作用2．一组重要公式(1)(n∈Z).①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).(

2)(n∈Z).①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).类似地，有：(3)(n∈Z).(4)(n∈Z).【题型1利用诱导公式求值】【方法点拨】利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，口诀：负化正，

大化小，化到锐角再查表.【例1】（2022·山东·高二阶段练习）已知cos(𝜋6-𝛼)=45，则sin(𝛼+𝜋3)=（）A．±35B．35C．-35D．45【解题思路】结合(𝜋6-𝛼)+(𝛼+𝜋3)=𝜋2，根据诱导公式求解即可.【解答

过程】解：因为(𝜋6-𝛼)+(𝛼+𝜋3)=𝜋2，cos(𝜋6-𝛼)=45，所以sin(𝛼+𝜋3)=sin[𝜋2-(𝜋6-𝛼)]=cos(𝜋6-𝛼)=45故选：D.【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理

））已知sin(𝛼+𝜋12)=13,则cos(𝛼+712𝜋)的值为（）A．13B．2√23C．-13D．-23√2【解题思路】由三角函数的诱导公式，化简得cos(𝛼+7𝜋12)=-sin(𝛼+𝜋12)，代入即可

求解，得到答案.【解答过程】由三角函数的诱导公式，可得cos(𝛼+7𝜋12)=cos[(𝛼+𝜋12)+𝜋2]=-sin(𝛼+𝜋12)，又sin(𝛼+𝜋12)=13，所以cos(𝛼+7𝜋12)=-13.故选：C.【变式1-2】（2022·北京朝阳·高三阶段练习）若tan(π−�

�)=12，则cos(π2+𝑥)=（）A．±1√5B．±2√5C．−1√5D．2√5【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.【解答过程】因tan(π−𝑥)=12，则tan𝑥=−12，即cos𝑥=−2sin𝑥，而sin2𝑥+cos2𝑥=1，于是得sin

2𝑥=15，所以cos(π2+𝑥)=−sin𝑥=±√55.故选：A.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知cos(π3−𝛼)=35，则sin(𝛼+π6)=（）A．±45B．45C．−45D．35【解题思路】根据𝛼+π6=π2−(𝛼+π6)及诱导公

式即可求解.【解答过程】∵cos(π3−𝛼)=35，∴sin(𝛼+π6)=cos[π2−(𝛼+π6)]=cos(π3−𝛼)=35.故选:D．【题型2利用诱导公式化简】【方法点拨】在对给定的式子进行化简时，要注意给定

的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称搞错.【例2】（2022·全国·高一课时练习）化简sin(π2−𝛼)cos(−𝛼)=（）A．tan𝛼B．−tan𝛼C．1D．

−1【解题思路】利用诱导公式化简可得结果.【解答过程】sin(π2−𝛼)cos(−𝛼)=cos𝛼cos𝛼=1.故选：C.【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）cos(𝜋−𝑥)+sin(𝑥+3𝜋2)=（）A．−2cos𝑥B．0C．−

2sin𝑥D．cos𝑥−sin𝑥【解题思路】由诱导公式直接化简可得.【解答过程】cos(𝜋−𝑥)+sin(𝑥+3𝜋2)=−cos𝑥−cos𝑥=−2cos𝑥故选：A.【变式2-2】（2

022·北京高一期中）化简cos(2𝜋−𝛼)sin(−𝛼)sin(𝜋2+𝛼)的结果为（）A．tan𝛼B．cos𝛼C．sin𝛼D．−sin𝛼【解题思路】应用诱导公式化简即可得结果.【解答过程】cos(2𝜋−𝛼)sin(−𝛼)sin(𝜋2+𝛼)

=cos𝛼⋅(−sin𝛼)cos𝛼=−sin𝛼.故选：D.【变式2-3】（2022·天津市高一期末）若𝑓(𝛼)=sin(𝜋2−𝛼)cos(10𝜋−𝛼)tan(−𝛼+3𝜋)tan(𝜋+𝛼)sin(5𝜋2+𝛼)，则化简𝑓(𝛼)=（）A．cos𝛼B．s

in𝛼C．−sin𝛼D．−cos𝛼【解题思路】根据诱导公式化简即可得答案.【解答过程】解：𝑓(𝛼)=sin(𝜋2−𝛼)cos(10𝜋−𝛼)tan(−𝛼+3𝜋)tan(𝜋+𝛼)sin(5𝜋2+𝛼)

=cos𝛼cos(−𝛼)tan(−𝛼)tan𝛼sin(𝜋2+𝛼)=−cos𝛼cos𝛼tan𝛼tan𝛼cos𝛼=−cos𝛼.故选：D.【题型3利用互余（互补）关系求值】【方法点拨】诱导公式的应用中，

利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一，也是高考考查的重点、热点，一般解题步骤如下：(1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系.(2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式.(3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到

结果.【例3】（2022·全国·高一单元测试）已知cos(𝛼−𝜋6)=2√23，𝛼∈（𝜋6,𝜋），则cos(𝛼+𝜋3)=（）A．−13B．13C．−2√33D．2√33【解题思路】根据同角三角函数基本

关系及诱导公式求解即可.【解答过程】∵cos(𝛼−𝜋6)=2√23，𝛼∈（𝜋6,𝜋），∴0<𝛼−π6<5π6，∴sin(𝛼−π6)=√1−cos2(𝛼−π6)=13，∴cos(𝛼+𝜋3)=cos[(𝛼−π6)+π2]=−sin(𝛼

−π6)=−13，故选：A.【变式3-1】（2022·广西梧州·高二期末（理））已知sin(π4+𝛼)=13，则cos(𝛼−π4)的值为（）A．13B．2√23C．−13D．−2√23【解题思路】整体代换法用诱导公式进行计

算【解答过程】cos(𝛼−π4)=cos(π4−𝛼)=cos[π2−(𝛼+π4)]=sin(𝛼+π4)=13，故选：A.【变式3-2】（2022·北京市高一期中）已知cos(𝜋6−𝛼)=23，

则sin(𝛼+𝜋3)=（）A．−23B．−12C．23D．12【解题思路】找出(𝛼+𝜋3)与(𝜋6−𝛼)之间的关系，进行整体转换即可.【解答过程】sin(𝛼+𝜋3)=sin(𝜋2−(𝜋6−𝛼))=cos(𝜋

6−𝛼)=23.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知sin(𝜃−𝜋6)=12，则cos(𝜃+𝜋3)=（）A．−√32B．−12C．12D．√32【解题思路】利用题目条件结合诱导公式即可得出答案.【解答过程】c

os(𝜃+𝜋3)=cos(𝜃−𝜋6+𝜋2)=−sin(𝜃−𝜋6)=−12故选：B.【题型4诱导公式在三角形中的应用】【方法点拨】利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系

式，还要注意三角形的隐含条件——三角形内角和等于的灵活运用.【例4】（2022·全国·高一课时练习）在△𝐴𝐵𝐶中，sin(𝜋2+𝐴)+sin(2𝜋+𝐴)=713，则tan𝐴的值是（）A．−125B．125C．−512D．512【解题思路】利用三角函数诱导公式对原

式进行化简可得sin𝐴+cos𝐴的值，利用平方关系得到sin𝐴cos𝐴的值，再结合三角形的内角，求解sin𝐴−cos𝐴的值，进而得到sin𝐴,cos𝐴的值，即可求解tan𝐴.【解答过

程】解：在△𝐴𝐵𝐶中，sin(𝜋2+𝐴)+sin(2𝜋+𝐴)=sin𝐴+cos𝐴=713，平方得1+2sin𝐴cos𝐴=49169，2sin𝐴cos𝐴=−120169，因为A为三角形的一个内角，所以sin

𝐴>0，cos𝐴<0，所以sin𝐴−cos𝐴>0，(sin𝐴−cos𝐴)2=1−2sin𝐴cos𝐴=289169，所以sin𝐴−cos𝐴=1713，结合sin𝐴+cos𝐴=713，可得sin𝐴=1213，cos𝐴=−513，所以tan𝐴=sin𝐴co

s𝐴=−125.故选：A.【变式4-1】（2022·全国·高一专题练习）在△𝐴𝐵𝐶中，下列等式一定成立的是（）A．sin(𝐴+𝐵)=−sin𝐶B．cos(𝐴+𝐵)=cos𝐶C．cos𝐵+𝐶2=sin

𝐴2D．sin𝐵+𝐶2=sin𝐴2【解题思路】由已知可得𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，结合三角函数的诱导公式逐一核对四个选项即可得出答案.【解答过程】在△𝐴𝐵𝐶中，有𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，∴sin(𝐴+𝐵)=sin𝐶，故A错误；cos(𝐴+

𝐵)=−cos𝐶，故B错误；cos𝐵+𝐶2=cos(𝜋−𝐴2)=sin𝐴2，故C正确；sin𝐵+𝐶2=sin(𝜋−𝐴2)=cos𝐴2，故D错误．∴等式一定成立的是C．故选：C．【变式4-2】（2022·上海高一阶段练习）已知𝐴、𝐵、𝐶是△𝐴𝐵𝐶的内角

，对于①sin(𝐴+𝐵)=sin𝐶；②cos(𝐴+𝐵)=−cos𝐶；③tan(𝐴+𝐵)=−tan𝐶；④sin𝐵+𝐶2=cos𝐴2；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解

题思路】直接利用诱导公式判断每一个命题即得解.【解答过程】解：①sin(𝐴+𝐵)=sin(𝜋−𝐶)=sin𝐶,所以正确；②cos(𝐴+𝐵)=cos(𝜋−𝐶)=−cos𝐶，所以正确；③tan(𝐴+𝐵)=tan(𝜋−𝐶

)=−tan𝐶，所以正确；④sin𝐵+𝐶2=sin𝜋−𝐴2=cos𝐴2，所以正确.故选：D.【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）设𝐴，𝐵，𝐶为△𝐴𝐵𝐶的三个内角，则不管三角形的形状如何变化，表达式：①sin(𝐴+𝐵)+sin𝐶；②cos(𝐴

+𝐵)+cos𝐶；③tan(𝐴+𝐵2)tan𝐶2；④sin2(𝐴+𝐵2)+sin2𝐶2始终是常数的有（）个．A．1B．2C．3D．4【解题思路】直接利用三角形的内角和，诱导公式化简四个选项，求出数值即可．【解答过程】解：𝐴，𝐵，𝐶为△𝐴𝐵𝐶的三个

内角，所以𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，则不管三角形的形状如何变化，表达式：①sin(𝐴+𝐵)+sin𝐶=sin(𝜋−𝐶)+sin𝐶=2sin𝐶不是常数；②cos(𝐴+𝐵)+cos𝐶=cos(𝜋−𝐶)+cos

𝐶=−cos𝐶+cos𝐶=0是常数；③tan(𝐴+𝐵2)tan𝐶2=tan(𝜋2−𝐶2)tan𝐶2=1tan𝐶2⋅tan𝐶2=1是常数；④sin2(𝐴+𝐵2)+sin2𝐶2=sin2(𝜋2−𝐶2)+sin2𝐶2=cos

2𝐶2+sin2𝐶2=1是常数；所以始终是常数的是3个．故选：C．