【文档说明】辽宁省沈阳市重点高中联合体2023-2024学年高三上学期期中考试+数学+含解析.docx，共(23)页，902.886 KB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年度（上）联合体高三期中检测数学（满分：150分考试时间：120分钟）审题人：22中学张海丽注意事项：1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必

须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小

题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.复数()i1i+在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若全集Z4Uxx=，3,

2,1,0,1A=−−−，则UA=ð（）A.4,2,3,4−B.2,3,4C.3,2,1,0−−−D.3,2,1,0,1−−−3.已知等差数列na的前n项和为nS，且3456aaa++=，则7S=（）A.21B.18C.14D.

124.若1.212=a，ln2b=，12c=，则（）A.abcB.bacC.cabD.bca5.已知单位向量a，b，且()()23+⊥−abab，则,ab=（）A180B.120C.60

D.306.已知直线30xy−+=是曲线31yxmx=++的一条切线，则实数m=（）A.2B.1C.1−D.2−.7.已知,为锐角，且310tan2,cos()10=+=−，则tan()−=（）A.913−B.913C.7

12−D.7128.已知定义在R上的函数()fx满足()()3fxfx+−=，且函数()1fx+是偶函数，当4,0x−时，有()21fxx=+，则()2023f=（）A.6−B.2C.5−D.10二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9已知向量()1,3a=，()2,4b=−，则（）A.10ab=B.向量a，b的夹角为3π4C.172ab+=D.向量()6,2=−c与a垂直10.函数()()π2sin0,2fxx=+的部分图象如图所

示，则（）A2=B.π3=C.点π,06是函数()fx图象的一个对称中心D.直线11π12x=是函数()fx图象的对称轴11.若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是（）A.0B.1C.2D.312.已知正实数x，y满足1xy

+=，则（）..A.40xyxy+−B.221xy+C.111112xy++D.14912xy++第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若命题“0,3x，

240xxa−−”为真命题，则实数a的取值范围是________.14.已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量(),=+mcba，()3,=+−nabcb，且//mnurr，则角C的度数为______

__.15.已知等比数列na中，2512,4aa==，则满足12231858nnaaaaaa++++成立的最大正整数n的值为_________．16.已知偶函数()fx是在R上连续的可导函数，当0x时，()()0fxfxx+，则

函数()()21Fxxfx=−的零点个数为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数()21sin2sin2fxxx=+.（1）求()fx最大值及相应x的取值；（

2）若把()fx的图象向左平移π3个单位长度得到()gx的图象，求()gx在0,π上的单调递增区间.18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，33sin14A=，11cos14B=.（1）求角

C；（2）若14c=，求ABC的面积.19.已知nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，2a是1a与4a的等比中项，945S=.（1）求数列na的通项公式；（2）已知1213nannba−−=，求数列nb的前n项和nT.2

0.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台()*Nx的收入函数为2()300020Rxxx=−（单位：元），其成本函数为()5004000Cxx=+（单位：元），利润是收入与成本之差．的（1）求利润函数()Px及利润

函数()Px的最大值；（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为()Qx，求()Qx的最大值及此时x的值．21.设函数()32132afxxxbxc=−++，其中0a，曲线()=yfx在点()()0,0Pf处切线方程为=1y.（1）确定b，c的值；（2）

若过点(0,2)可作曲线()=yfx的三条不同切线，求a的取值范围.22.已知函数()()212ln1R2fxxmxm=−+.（1）当1m=时，证明：()1fx；（2）若关于x的不等式()()2fxmx−恒成立，求整数m的最小值.的2023-2024学年度（上）联合

体高三期中检测数学（满分：150分考试时间：120分钟）审题人：22中学张海丽注意事项：1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他

答案标号.3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且

只有一项是符合题目要求的）1.复数()i1i+在复平面内对应点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】按照复数的定义展开即可.【详解】()i1i1i+=−+，所以该复数在复平面内对应的

点为()1,1−，在第二象限故选：B.2.若全集Z4Uxx=，3,2,1,0,1A=−−−，则UA=ð（）A.4,2,3,4−B.2,3,4C.3,2,1,0−−−D.3,2,1,0,1−−−

【答案】A【解析】【分析】根据集合补集的定义计算求解即可.【详解】Z44,3,2,1,0,1,2,3,4Uxx==−−−−,的4,2,3,4UA=−ð.故选：A.3.已知等差数列na的前n项和为nS，且3456aaa++=，则7S=（）A.21B.18C.14D.12【答案

】C【解析】【分析】由等差数列的性质，345463aaaa++==，747Sa=，可求值.【详解】等差数列na中，345436aaaa++==，得42a=，则()1747477271422aaaSa+====.故选：C4.若1.212=a，ln2b=，12

c=，则（）A.abcB.bacC.cabD.bca【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，得到12a，12b，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得1.21111222a

==，又由对数函数的性质，可得11ln2lnelne22b===，所以bca.故选：D.5.已知单位向量a，b，且()()23+⊥−abab，则,ab=（）A.180B.120

C.60D.30【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直，可得其数量积为0，进而可求出1ab=−，根据向量的夹角公式即可求出其夹角.【详解】因为()()23+⊥−abab，所以()()230abab+−=即2

223230ababab−+−=，又因为向量a，b为单位向量，所以1ab=−，所以cos,1ababab==−，所以,180ab=，故选：A6.已知直线30xy−+=是曲线31yxmx=++的一

条切线，则实数m=（）A.2B.1C.1−D.2−【答案】D【解析】【分析】利用切线的斜率，求解切点坐标，代入切线方程求解即可．【详解】曲线31yxmx=++，可得23yxm=+，直线30xy−+=是曲线3

1yxmx=++的一条切线，设切点横坐标为：a，则切点纵坐标为3a+，则233131amaama+=+=++，解得1a=−，2m=−.故选：D．7.已知,为锐角，且310tan2,cos()10=+=−，则tan()−=（）A.913−B.913C.712−D.712

【答案】A【解析】【分析】先由cos()+求出sin()+，从而可求得tan()+，然后再利用正切的二倍角公式求出tan2，再利用两角差的正切公式可求得结果.【详解】因,为锐角，所以(0,π

)+.由310cos()10+=−可得210sin()1cos()10+=−+=，为则1tan()3+=−，又22tan4tan21tan3==−−，故tan()tan[2()]−=−+t

an2tan()1tan2tan()−+=++413341133−+=+913=−，故选：A.8.已知定义在R上的函数()fx满足()()3fxfx+−=，且函数()1fx+是偶函数，当4,0x−时，有()21fxx=+，则()2023f=（

）A.6−B.2C.5−D.10【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性结合()()3fxfx+−=可得()fx为周期函数，且周期为4，进而根据周期即可求解.【详解】由于()1fx+为偶函数，所以()()1=1fxf

x+−+，故()()=2fxfx−+，又()()3fxfx+−=，所以()()23fxfx++=，因此()()423fxfx+++=，进而可得()()=4fxfx+，所以()fx为周期函数，且周期为4，()()20231=2ff=−，故选：

B二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知向量()1,3a=，()2,4b=−，则（）A.10ab=B.向量a，b的夹角为3π

4C.172ab+=D.向量()6,2=−c与a垂直【答案】BD【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算分别求解向量的数量积，模，夹角，验证向量垂直，逐项判断即可得结论.【详解】对A，()1,3a=，()2,4b=−，()123410ab=+−=−，故A错误；

对B，102cos,21020ababab−===−，又0,πab，向量a，b的夹角为3π4，故B正确；对C，()()()111,32,42,122ab+=+−=，2212152ab+=+

=，故C错误；对D，61230ca=−+=，ca⊥，故D正确.故选：BD.10.函数()()π2sin0,2fxx=+的部分图象如图所示，则（）A.2=B.π3=C.点π,06是函数()fx图象的一个对称中心D.直线11π12x=是函数()fx

图象的对称轴【答案】ACD【解析】【分析】A选项，根据图象得到函数最小正周期，进而得到2π2T==；B选项，将π,212−−代入解析式，求出π3=−；C选项，π06f=，C正确；D选项，计算出211π12f=−，故D正确.【详解】A选项，

设()fx的最小的正周期为T，由图象可知，1511πππ212122T=−−=，解得πT=，因为0，所以2π2T==，A正确；B选项，将π,212−−代入()()2sin2fxx=+中得，π2sin2

6−+=−，故ππ2π,Z62kk−+=−+，即π2π,Z3kk=−+，因为π2，所以只有当0k=时，满足要求，故π3=−，B错误；C选项，()π2sin23fxx=−，故πππ2sin0633f=−=，故点π,06是

函数()fx图象的一个对称中心，C正确；D选项，π11ππ2sin2161123f=−=−，故直线11π12x=是函数()fx图象的对称轴，D正确.故选：ACD11.若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取

值是（）A.0B.1C.2D.3【答案】ABC【解析】【分析】先求得函数的极小值点，再根据函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值求解.【详解】解：因为函数f(x)＝3x－x3，所以()233=−fxx，令()0fx=，得1x=，当

1x−或1x时，()0fx，当11x−时，()0fx¢>，所以当=1x−时，()fx取得极小值()12f=-，则21211aa−−−，解得111a−，又因为()fx在()1,+上递

减，且()22f=−，所以2a，综上：12a−，所以实数a的可能取值是0，1，2故选：ABC12.已知正实数x，y满足1xy+=，则（）A.40xyxy+−B.221xy+C.111112xy++D.14912xy++【

答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式可知，2xyxy+，即14xy，所以选项A正确；而222()122xyxy++=可判断B错误；将1111xy++展开并结合14xy可知C错误；观察D项分母可知12xy++=，利用基本不等式“1”的妙用求最值，即可知D正确.【

详解】对于A，基本不等式可知2xyxy+，即14xy，所以41xyxy=+，即40xyxy+−；当且仅当12xy==时，等号成立，故A正确；对于B，根据不等式222()122xyxy++=，当且仅当12xy==时，等号成立；所以B错误；对于C，1

111112111119xyxyxyxyxyxyxy+++=+++=++=+，当且仅当12xy==时，等号成立；故C错误；对于D，根据1xy+=，观察分母可知12xy++=为定值，则14114114114

9(1)145212121212yxyxxyxyxyxyxy+++=+++=++++=++++，当且仅当21,33xy==时，等号成立；故D正确.故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分

，共20分）13.若命题“0,3x，240xxa−−”为真命题，则实数a的取值范围是________.【答案】)0,+【解析】【分析】20,3,40xxxa−−，即转化为24axx−，0,3x恒成立，只需()2max4axx−即可得解

.【详解】由题意，20,3,40xxxa−−为真命题，即24axx−，0,3x恒成立，令()24fxxx=−，0,3x，对称轴为2x=，所以函数()fx在)0,2上递减，在2,3

上递增，结合对称性可得()()max00fxf==，0a即可，实数a的取值范围是)0,+.故答案为：)0,+.14.已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量(),=+mc

ba，()3,=+−nabcb，且//mnurr，则角C的度数为________.【答案】150【解析】【分析】由向量共线的坐标运算和余弦定理求解.【详解】向量(),=+mcba，()3,=+−nabcb，由//mnurr，有()()()3cbcbaa

b+−=+，即2223abcab+−=−，由余弦定理，22233cos222abcabCabab+−−−===，由()0,180C，则有150C=.故答案为：15015.已知等比数列na中，2512,4aa==，则满足12231858nnaaaaaa++++成立的最大正整数n的

值为_________．【答案】4【解析】【分析】求出等比数列的公比和首项，得出数列1nnaa+是等比数列，并求出其首项，公比和前n项和，即可求出使不等式成立的最大正整数n的值.【详解】由题意，Nn，在等比数列na中，2512,4aa==，设公比为q，∴3352124aaqq

===，解得：12q=，∴212412aaq===，∵()221111124nnnnnnnnaaaaqqnaaaa+−−−===，∴数列1nnaa+是以12428aa==为首项，公比为14的等比数列，∴122311181321441314nnnnaaaaaa+−+++−

==−，∴当12231858nnaaaaaa++++时，132185438n−，即4256n，解得：4n，∴最大正整数n的值为4，故答案为：4.16.已知偶函数()fx是在R

上连续的可导函数，当0x时，()()0fxfxx+，则函数()()21Fxxfx=−的零点个数为______．【答案】2【解析】【分析】由题意，方程()0Fx=等价于()1xfxx=，令()()gxxfx=，()1hxx=，求导得函数()gx的单调性，再结合奇偶性画出函数的大致

图象，由图可得答案．【详解】解：显然0x=不是()Fx的零点，∴方程()0Fx=等价于()1xfxx=，令()()gxxfx=，()1hxx=，则()()()()()fxgxfxxfxxfxx=+=+，∴当0x时，()0gx，则()gx在()0,+上单调递

增，∵()fx为偶函数，∴()gx为奇函数，∴()gx在R上单调递增，由图象可知()gx与()hx有两个交点，故函数()Fx的零点个数为2，故答案为：2．【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的零点个数问题，解题关键是将()0Fx=等价于()1xfxx=，构造函数()

()gxxfx=，()1hxx=，然后利用导数研究函数的单调性，画出大致图象，借助图象解出答案．本题考查了学生的转化与化归能力，考查了数形结合思想，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函

数()21sin2sin2fxxx=+.（1）求()fx的最大值及相应x的取值；（2）若把()fx的图象向左平移π3个单位长度得到()gx的图象，求()gx在0,π上的单调递增区间.【答案】（1）3ππ,8xkk=+Z时，()fx取得最大值212+.（2）π13π

0,,,π2424【解析】【分析】（1）化简函数，然后结合三角函数函数的性质判断函数最值；（2）根据“左加右减”平移函数图像，然后整体代入求解函数的单调递增区间；小问1详解】因为(

)2111cos2sin2sinsin2222xfxxxx−=+=+2π1sin2242x=−+所以当ππ22π,42xkk−=+Z，即3ππ,8xkk=+Z时，()fx取得最大值212+.【小问2详解】()π2ππ125π1sin2

sin2323422122gxfxxx=+=+−+=++，由π5ππ2π22π,2122kxkk−++Z，得:11ππππ,2424kxkk−

+Z，.【取0,1k=得：()gx在0,π上的单调递增区间为π13π0,,,π242418.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，33sin14A=，11cos14B=.（1）求角C；（2）若14c=，求ABC的面积.【答案】（1）2π3（2）153【解析】

【分析】（1）根据平方关系可求得53sin14B=，13cos14A=，进而结合两角和的余弦公式即可求解；（2）根据正弦定理可得a、b的值，进而结合面积公式即可求解.【小问1详解】因为11cos14B=，所以25

3sin1cos14BB=−=，π0,2B，又sinsinAB，所以AB，即π0,2A，所以213cos1sin14AA=−=，所以()131133531coscoscoscossinsin141414

142CABABAB=−+=−+=−+=−，又0πC，故2π3C=.【小问2详解】由正弦定理得sinsinsinabcABC==，即233534314114ab==，所以6a=，10b=，所以ABC的面积为113sin610153222ABC

SabC===.19.已知nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，2a是1a与4a的等比中项，945S=.（1）求数列na的通项公式；（2）已知1213nannba−−=，求数列nb的前n项和nT.【答案】

（1）nan=（2）()131nnTn=−+【解析】【分析】（1）由等比中项及等差数列通项公式列方程得1da=，由等差数列前n项和可得145ad+=，进而求基本量，写出通项公式即可；（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求nT.【小问1详解】设数列na的公差为d，由2a是1a

与4a的等比中项，则2214aaa=，所以2111()(3)adaad+=+，且0d，整理得1da=①，又19998452dSa=+=，整理得145ad+=②，由①②解得，11ad==，所以1(1)naandn=+−=.【小问

2详解】由（1）知，1(21)3nnbn−=−，则0121133353...(21)3nnTn−=++++−，所以12313133353...(23)3(21)3nnnTnn−=++++−+−两式相减得1231

212(333...3)(21)3nnnTn−−=+++++−−13(13)12(21)3(22)3213nnnnn−−=+−−=−−−，所以(1)31nnTn=−+.20.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台()*Nx的收入函数为2()300020Rxxx=−（单

位：元），其成本函数为()5004000Cxx=+（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数()Px及利润函数()Px的最大值；（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为()Qx，求()Qx的最大值及此时x的值．【答案】（1）利润函数2()

2025004000Pxxx=−+−，最大值为74120（元）（2）当15x=台时，每台产品的利润()Qx取到最大值1900元【解析】【分析】（1）根据题意得到()Px的解析式，再利用二次函数的性质即可求得()Px的最大值；（2）根据题意得到()Qx的解析式，再利用基本不等式即可得解

.【小问1详解】由题意知，*1,100,NxxP(x)R(x)C(x)=−2300020(5004000)xxx=−−+220x2500x4000=−+−212520741252x=−−+，易得()Px的对称轴

为1252x=，所以当62x=或63x=时，()Px取得最大值为74120（元）．所以利润函数2()2025004000Pxxx=−+−，最大值为74120（元）；【小问2详解】依题意，得()500()PxQxx−=4500202500xx=

−−+45002202500xx−+1900=（元）.当且仅当450020xx=时等号成立，即15x=时，等号成立．所以当15x=台时，每台产品的利润()Qx取得最大值1900元．21.设函数()32132afxxxbxc=−++，其中0a，曲线()=yfx在点()()0,0Pf处

的切线方程为=1y.（1）确定b，c的值；（2）若过点(0,2)可作曲线()=yfx的三条不同切线，求a的取值范围.【答案】（1）0,1bc==（2）3(23,)+【解析】【分析】（1）根据切线方程可知(0)0,(0)1ff==，进而求出

,bc（2）先设出切点(,())tft，再写出切线的方程，利用切线过(0,2)得到关于t的方程()0gt=，从而将切线的个数问题转化成()0gt=有3个零点问题，从而得解【小问1详解】解：(0)1fc==，2()fxxaxb

=−+(0)0fb==0,1bc==【小问2详解】解：设切点为(,())tft，则2()fttat=−则切线方程为2()()()yfttatxt−=−−即：2321()()132aytatxttt=−−+−+∵点

(0,2)在切线上，2321()1232atatttt−−+−+=整理得：3221032att−+=令322()132agttt=−+则题目问题可转化为()0gt=有3个不同零点即可令2()2(2)gttattta=−=−=0解得：=0t

或2at=由()0gt得0t或2at>，函数()gt在0t或2at>上递增由()0gt得02at<<，函数()gt在02at<<上递减(0)10g=>，9(3)1702ga−=−−<1(3,0)x

−，使得1()0gx=31(0)0,()106ggaa=+>>∴结合()gt的单调性及图像（如下图）易知：只要()02ag<即可即322(103222aaa+)-()<解得：323a>所以a的取值范围为3(23,)+【点睛】本题解题的关键是把切线个数问题转化为函数的零点个数问题，要熟

悉三次函数的图像，结合图像即可解决问题．22.已知函数()()212ln1R2fxxmxm=−+.（1）当1m=时，证明：()1fx；（2）若关于x的不等式()()2fxmx−恒成立，求整数m的最小值

.【答案】（1）证明见解析（2）最小值为3【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，求导得()22xfxx=−，根据其正负即可得函数的单调区间,再根据最值证明即可；（2）构造函数()()212ln212Gxxmxmx=−+−+在区间()0,+内恒成立，再求出(

)Gx的最大值为222ln2ln21Gmmm=−+−，结合函数单调性，即求得整数m的最小值．【小问1详解】当1m=时，()212ln1(0)2fxxxx=−+，()222(0)xfxxxxx−=−=，令()0fx=，得2x=，当()0,2x时，()()0,

fxfx单调递增；当()2,x+时，()()0,fxfx单调递减，所以()fx在2x=处取得唯一的极大值，即为最大值，所以()max1()22ln221ln22fxf==−+=，所以()ln2fx，而ln2lne1<=，所以()1fx.【小问2详解

】令()()()()2122ln212Gxfxmxxmxmx=−−=−+−+.则()()()22222mxmxGxmxmxx−+−+=−+−=.当0m时，因0x，所以()0Gx，所以()Gx在()0,+上单调递增

，又因为()31302Gm=−+.所以关于x的不等式()0Gx不能恒成立；当0m时，()()21mxxmGxx−+=−.令()0Gx=，得2xm=，所以当20,xm时，()0Gx；当2,xm+时，()0Gx.为因此

函数()Gx在20,m上单调递增，在2,m+上单调递减.故函数()Gx的最大值为222ln2ln21Gmmm=−+−.令()22ln2ln21hmmm=−+−，因为()()()1112ln20,20,32ln22ln303hhh=+==−−，

又因为()hm在()0,+上单调递减，所以当3m时，()0hm.所以整数m的最小值为3.【点睛】方法点睛：根据不等式直接构造函数，分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数m范围获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xian

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