【文档说明】湖北省云学部分重点高中2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，193.983 KB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-0d2b111ba3b868dbb33e0ef78149181a.html

以下为本文档部分文字说明：

2024-2025学年湖北省云学部分重点高中高二12月联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.椭圆𝑥27+𝑦29=1的长轴长为()A.√7B.3C.2√7D.62.在空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧中，点(1,−2,

3)关于y轴的对称点为()A.(−1,−2,−3)B.(−1,2,−3)C.(−1,−2,3)D.(1,2,3)3.在四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，一定能作为空间向量的一个基底的是()A.{𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗

⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}B.{𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}C.{𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}D.{𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐶1⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗}4.树人中学参加云学联盟数学考试，小明准备将考试分数制作成频率分布直方图，因时间紧未制作完全，如图，已知考试分数均在区间[65,135]内，记分数的平均数为X，中位数为Y，则()A.𝑋>𝑌B.𝑋=𝑌C.𝑋<𝑌D.X，Y的大小关系不能确定5.动直线𝑙:(𝑘+2)

𝑥−(𝑘−1)𝑦−3=0被定圆C截得的弦长等于2，则圆C的方程为()A.(𝑥+1)2+(𝑦+1)2=1B.(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=1C.(𝑥+1)2+(𝑦+1)2=4D.(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=46.在平面直角坐标系中，若点�

�(−2,0)到直线l的距离为1，点𝐵(2,0)到直线l的距离为3，则这样的直线l有()A.1条B.2条C.3条D.4条7.直线l经过抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点𝑀.若𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

，|𝐹𝐵|=5，则|𝐴𝐵|=()A.253B.152C.203D.3568.点P是正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2，AP与平面ABCD所成的角为30∘，则点P的轨迹的形

状是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.随机事件A，B满足𝑃(𝐴)=0.4，𝑃(

𝐵)=0.6，𝑃(𝐴∪𝐵)=0.8，则有()A.𝑃(𝐴𝐵)=0.2B.𝑃(𝐴𝐵)=0.24C.A，B不是互斥事件D.A，B相互独立10.平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1所有棱长都等于1，∠𝐴1𝐴𝐵=∠𝐴1𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐷=

60∘，如图，则有()A.|𝐵𝐷1|=2B.𝐵𝐷1⊥𝐶𝐷C.平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶⊥平面𝐵𝐵1𝐷1𝐷D.平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的体积为√2211.在平面直角坐标系内，动点P到两定点𝐹1(−2,0)，𝐹2(2,0)的距离之积等于

6，点P的轨迹记为曲线𝐶.曲线C与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A.曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称B.|𝑂𝐴|=√6C.当点P位于B点处时，∠𝐹1𝑃𝐹2最大D.点P到x轴的最大距离为32三、填空题

：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知𝐴(3,0)，𝐵(0,4)，直线𝑦=𝑘𝑥+1将△𝐴𝑂𝐵分割成面积相等的两部分(𝑂为坐标原点)，则𝑘=.13.在直棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=√7，𝐵

𝐶=4，𝐵𝐵1=2，D为𝐵1𝐶1中点，则直线BD，𝐴1𝐶所成角的余弦值为.14.双曲线𝐸:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的左，右焦点分别为𝐹1，𝐹2，P是双曲线E的右支上的一点，△𝑃𝐹1𝐹2的内切圆圆心为𝐼(1,2)，记△𝑃�

�1𝐼，△𝑃𝐹2𝐼的面积分别为𝑆1，𝑆2，则𝑆1−𝑆2=.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知以坐标轴为对称轴的双曲线C经过点𝑃(1,1)，离心率𝑒=√3.求双曲线C的方程，及其焦点坐标和渐近线方程.

16.(本小题15分)甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为710，答对第2道题的概率为12，乙答对每道题的概率都为35.甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响.(1)求甲答对一道题的概率;(2)求甲乙两人答对题目的个数相等的概率.17.(本

小题15分)如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，平面𝑃𝐴𝐵⊥平面ABCD，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐵𝐶//𝐴𝐷，𝐴𝐷=2，𝐴𝐵=𝐵𝐶=1，经过点C的平面𝛼与侧棱PA

、PB、PD分别相交于点Q、E、F，且𝐵𝐷//平面𝛼.(1)求证：𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷;(2)若平面𝛼与平面PAC的夹角为𝜃，且cos𝜃=√36，求线段AQ的长度.18.(本小题17分)如图，已知圆𝑀:(𝑥−

2)2+(𝑦−1)2=25，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦AB，𝐶𝐷.(1)求证：|𝐴𝐵|2+|𝐶𝐷|2为定值;(2)当𝐴𝐶//𝐵𝐷时，求直线AC的方程和直线BD的方程.19.(

本小题17分)已知直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑏与圆𝑂:𝑥2+𝑦2=1相切.(1)求𝑘2−𝑏2的值;(2)已知椭圆𝐸:𝑥24+𝑦23=1在点𝑃(𝑥0,𝑦0)处的切线方程为𝑥0𝑥4+𝑦0𝑦3=1，若直线l与椭圆

E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程;(3)是否存在这样的二次曲线𝐹:𝜆𝑥2+𝜇𝑦2=1，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有𝑂𝑀⊥𝑂𝑁?若

存在，求出𝜆+𝜇的值;若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了椭圆的方程以及性质，属于基础题．根据椭圆的方程即可求解．【解答】解：由已知可得：𝑎2=9，所以𝑎=3，所以椭圆的长轴长为2𝑎=6，故选𝐷.2.

【答案】A【解析】【分析】本题考查空间中点的对称，属于基础题．根据一个点关于y轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变，横坐标和竖坐标变为相反数，求解即可．【解答】解：∵一个点关于y轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变，横坐标

和竖坐标变为相反数，∴点(1,−2,3)关于y轴对称的点的坐标为(−1,−2,−3)，故选：𝐴.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量的基底，属于基础题.根据空间向量的基底的定义对选项逐项判断即可.【解答】解

：对于四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，A选项中，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐵1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面，不符合要求；B选项中𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐶1𝐷1⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗可能共线，不符合要求;D选项中，𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝐶𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面，不符合要求，故选𝐶.4.【答案】A【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，平均数、中位数，属于基础题.计算出Y的值，估计出X的范围

，即可判断.【解答】解：𝑌=85+0.0750.25×10=88，𝑋>70×0.2+80×0.225+90×0.25+100×0.125+110×0.1+115×0.1=89.5，∴𝑋>𝑌，故选𝐴.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查求圆的标准方程，属于基础题.求出

动直线l恒过定点(1,1)，即圆的圆心，结合圆半径即可得圆方程.【解答】解：动直线𝑙:(𝑘+2)𝑥−(𝑘−1)𝑦−3=0，即𝑘(𝑥−𝑦)+(2𝑥+𝑦−3)=0，由{𝑥−𝑦=02𝑥+𝑦−3=0⇒{𝑥=1

𝑦=1，即动直线l恒过定点(1,1)，因为动直线𝑙:(𝑘+2)𝑥−(𝑘−1)𝑦−3=0被定圆C截得的弦长等于2，则定点(1,1)为圆的圆心，半径为1，故圆C的方程为(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=1，故选𝐵.6.【答案】C【解析】【分

析】本题考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题.根据点到直线的距离公式分情况即可判断.【解答】解：当直线l的斜率不存在时，设其方程为𝑥=𝑎，由题意可知|𝑎−(−2)|=1且|𝑎−2|=3，则𝑎=−1使得两个式子同时成立.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为𝑦

=𝑘𝑥+𝑏，即𝑘𝑥−𝑦+𝑏=0，因为点𝐴(−2,0)到直线l的距离为1，所以|−2𝑘+𝑏|√𝑘2+(−1)2=1①.因为点𝐵(2,0)到直线l的距离为3，所以|2𝑘+𝑏|√𝑘2

+(−1)2=3②.由①②得|−2𝑘+𝑏||2𝑘+𝑏|=13，则𝑏=4𝑘或𝑏=𝑘.当𝑏=4𝑘时，代入①中，得3𝑘2−1=0，该方程有2个不相等的实数根，即𝑘=±√33;当𝑏=𝑘时，代入①中，得𝑘2=𝑘2+1，该方程无解.所以这样的直线l共有3条，故选𝐶.7

.【答案】A【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查抛物线中的线段长问题，属于基础题.根据抛物线的几何性质得出𝑥𝐴𝑥𝐵=𝑝24，根据已知条件得出𝑥𝐴=𝑝3，利用抛物线的定义得出p，再利用抛物线的定义即可得出结论.【解答】解：设𝐴(𝑥𝐴,�

�𝐴)，𝐵(𝑥𝐵,𝑦𝐵)，抛物线的焦点𝐹(𝑝2,0)，直线AB的方程为𝑥=𝑚𝑦+𝑝2，由{𝑥=𝑚𝑦+𝑝2𝑦2=2𝑝𝑥，消去x得，𝑦2−2𝑝𝑚𝑦−𝑝2=0，则𝑦𝐴𝑦𝐵=−𝑝2，则有𝑥𝐴𝑥𝐵=(𝑦𝐴𝑦

𝐵)24𝑝2=𝑝24，由于𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥𝐴−𝑝2,𝑦𝐴),𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−𝑝2,𝑦𝑀−𝑦𝐴)，所以𝑥𝐴=𝑝3，则𝑥𝐵=3�

�4，所以|𝐹𝐵|=𝑥𝐵+𝑝2=3𝑝4+𝑝2=54𝑝=5，所以𝑝=4，故|𝐴𝐵|=|𝐵𝐹|+|𝐴𝐹|=𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑝=253，故选𝐴.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查数量积的坐标运算，直线与平面所

成角的向量求法，轨迹方程的求法，属于中档题.由𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2可得，𝑥=1，由cos⟨𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩=12，可得3𝑧2−𝑦2=1，故可判断点P的轨迹的形状.【解答】解：分别以AB，AD，𝐴𝐴1所在直线为

x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)，由𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2，可得𝑥=1，①又cos⟨𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩=|2𝑧|2√1+𝑦2+𝑧2=12，可得3𝑧2−𝑦2=1，②由①

②可知，P点轨迹为双曲线，故选𝐶.9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查概率的性质、互斥事件、相互独立事件，属于中档题.利用𝑃(𝐴𝑈𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)，求出𝑃(𝐴𝐵)，再对各选项逐项判定，即可求出结果.【解答】解：由�

�(𝐴𝑈𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)=0.4+0.6−𝑃(𝐴𝐵)=0.8，得𝑃(𝐴𝐵)=0.2，故A正确，B错误;因为𝑃(𝐴𝐵)=0.2≠0，所以A，B不是互斥事件，故C正确;因为𝑃(𝐴𝐵)=0.2≠𝑃(�

�)𝑃(𝐵)=0.4×0.6=0.24，所以A，B不是相互独立事件，故D错误.故选𝐴𝐶.10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查利用向量求线段的长，利用向量判断线线，面面垂直，柱体的体积，属于中档题.利用向量对选项逐个计算即可判断.【解答】解：对于选项A，由|𝐵

𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=√1+1+1−1−1+1=√2，所以A错误;对于选项B，𝐵𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⋅𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=1−12−12=0，所以B正确;对于选项C，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐴1，又𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐴𝐴1∩𝐴𝐶=𝐴，𝐴𝐴1,𝐴𝐶⊂平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，所以𝐵𝐷⊥平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，所以平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶⊥平面

𝐵𝐵1𝐷1𝐷，故C正确;由题易知，𝐴1−𝐴𝐵𝐷为正四面体，其体积为𝑉0=13⋅√34⋅√63=√212，所以平行六面体的体积为𝑉=6𝑉0=6×√212=√22，故D正确，故选𝐵𝐶𝐷.11

.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查曲线与方程，利用方程研究曲线的性质，属于较难题.对于A，分别以−𝑥代x，以−𝑦代y，即可判断；对于B，令𝑦=0即可判断；对于C，利用余弦定理和基本不等式即可判断；对于D，利用三角形的面积公式即可判断.【解答】解：设𝑃(𝑥

,𝑦)，由|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=6，可得√(𝑥+2)2+𝑦2⋅√(𝑥−2)2+𝑦2=6，对于A，由曲线方程可知，将−𝑥代替x，方程不变;将−𝑦代替y，方程不变，故A对；对于B，令𝑦=0，解得|𝑥−2|⋅|𝑥+2|=6，

即𝑥2=10，故B错;对于C，设∠𝐹1𝑃𝐹2=𝜃，由余弦定理，有cos𝜃=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2−162|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|≥2|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|−162|𝑃𝐹1|⋅|�

�𝐹2|=−13，当且仅当|𝑃𝐹1|=|𝑃𝐹2|时等号成立，故C对;对于D，仍设∠𝐹1𝑃𝐹2=𝜃，由𝛥𝑃𝐹1𝐹2的面积S可知𝑆=12|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|sin𝜃=12|𝐹1𝐹2||𝑦𝑝|，|𝑦𝑃|=32sin𝜃，|𝑦�

�|最大时为32，此时𝜃=90∘小于∠𝐹1𝐵𝐹2，故D对.故选𝐴𝐶𝐷.12.【答案】16【解析】【分析】本题考查直线的截距式方程，斜截式方程，直线过定点问题，属于较易题.易知直线𝑦=𝑘𝑥+1经过点𝐷(0,1)，利用△𝐵

𝐶𝐷的面积为△𝐴𝑂𝐵的面积的一半，求出点C的横坐标，由点C在直线AB上，求出点C的纵坐标，再由直线𝑦=𝑘𝑥+1过点C，即可求出k的值.【解答】解：直线𝑦=𝑘𝑥+1经过定点𝐷(0,1)，设直线𝑦=𝑘𝑥+1与线段AB

相交于点C，∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=12𝑆△𝐴𝑂𝐵=12×𝑥𝐶×3=3，∴𝑥𝐶=2，易知直线AB的方程为𝑥3+𝑦4=1，∴由点C在直线AB上，可得𝑦𝐶=43，∴直线𝑦=𝑘𝑥+

1过点(2,43)，∴𝑘=16，故答案为16.13.【答案】0【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的向量求法，属于基础题.建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.【解答】解：取BC的中点O，连接AO，DO，因为𝐴𝐵=𝐴𝐶，所以𝐴𝑂⊥𝐵𝐶，

以O为坐标原点，OA为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为𝐵𝐶=4，𝐴𝐵=𝐴𝐶=√7，所以𝑂𝐴=√3，则𝐴1(√3,0,2)，𝐵(0,−2,0)，𝐶(0,2,0)，𝐷(0,0,2)，所以𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√3,2,−2

)，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,2)，所以𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0+4−4=0，则直线𝐴1𝐶与BD垂直，即直线BD，𝐴1𝐶所成角的余弦值为0，故答案为0.14.【答案】2【解

析】【分析】本题考查双曲线与三角形相结合设题，双曲线的定义、三角形的面积公式及三角形内切圆的性质，属于中档题.由已知求出𝑆1=𝑟2|𝑃𝐹1|，𝑆2=𝑟2|𝑃𝐹2|，作差得到𝑆1−𝑆2

=𝑟2(|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|)=𝑎𝑟，进一步求r和a，即可解决问题.【解答】解：由题设△𝑃𝐹1𝐹2内切圆的半径为r，则𝑆1=𝑟2|𝑃𝐹1|，𝑆2=𝑟2|𝑃𝐹2|，∴𝑆

1−𝑆2=𝑟2(|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|)=𝑎𝑟.过点M作𝑀𝐴⊥𝑃𝐹1于点A，𝑀𝐵⊥𝐹1𝐹2于点B，𝑀𝐶⊥𝑃𝐹2于点C，则由△𝑃𝐹1𝐹2的内切圆圆心为𝐼(1,2)，知𝑟=2，|𝐴𝐹1|=|𝐵𝐹1|=1+𝑐，|𝐵𝐹2|=|�

�𝐹2|=𝑐−1，|𝐴𝑃|=|𝑃𝐶|，故|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=|𝐴𝐹1|−|𝐶𝐹2|=1+𝑐−(𝑐−1)=2𝑎，得𝑎=1，故𝑆1−𝑆2=2.故答案为2.15.【答案】解：因为双曲线离心率𝑒=𝑐𝑎=√3，则𝑏𝑎=√𝑏2𝑎2=√𝑒2

−1=√2，即𝑏=√2𝑎，𝑐=√3𝑎.若焦点在x轴上，则双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦22𝑎2=1，代入点𝑃(1,1)可得1𝑎2−12𝑎2=1，解得𝑎2=12，所以双曲线方程为2𝑥2−𝑦2=1，焦点坐标为(±√62

,0)，渐近线方程为𝑦=±√2𝑥;若焦点在y轴上，则双曲线方程为𝑦2𝑎2−𝑥22𝑎2=1，代入点𝑃(1,1)可得1𝑎2−12𝑎2=1，解得𝑎2=12；所以双曲线方程为2𝑦2−𝑥2=1，焦点坐标为(0,±√62)，渐近线方程为𝑦=±√22𝑥.【解析】

本题考查双曲线的方程与性质，属于基础题.根据离心率可得𝑏=√2𝑎，𝑐=√3𝑎.分类讨论焦点所在位置，设双曲线方程代入点𝑃(1,1)求得a，即可得结果.16.【答案】解：(1)记甲答对第i题为事件𝐸𝑖(𝑖=1,2)

，则𝑃(𝐸1)=710，𝑃(𝐸2)=12.记甲答对i道题为事件𝐴𝑖(𝑖=0,1,2)，则𝐴1=𝐸1𝐸2+𝐸1𝐸2，其中𝐸1𝐸2与𝐸1𝐸2互斥，𝐸1，𝐸2相互独立，所以甲答对一道题的概率为𝑃(𝐴1)=𝑃(𝐸1𝐸2)

+𝑃(𝐸1𝐸2)=710×12+310×12=12;(2)记乙答对i道题为事件𝐵𝑖(𝑖=0,1,2)，则𝑃(𝐴0)=310×12=320，𝑃(𝐴1)=12，𝑃(𝐴2)=710×12=720.𝑃(𝐵0)=25×25=425，𝑃(𝐵1)=

2×35×25=1225，𝑃(𝐵2)=35×35=925.记甲乙两人答对题数相等为事件C，则𝐶=𝐴0𝐵0+𝐴1𝐵1+𝐴2𝐵2，且𝐴0𝐵0、𝐴1𝐵1、𝐴2𝐵2两两互斥，𝐴𝑖与𝐵𝑖(𝑖=0,1,2)相互独立，𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴0�

�0)+𝑃(𝐴1𝐵1)+𝑃(𝐴2𝐵2)=320×425+12×1225+720×925=39100.【解析】本题考查互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题.(1)对甲答对一道题分类：第1题答对且第2题答错，第1题答

错且第2题答对;(2)对甲乙两人答对题目的个数相等分类：两人都答对0题，都答对1题，都答对2题.17.【答案】解：(1)证明：因为平面𝑃𝐴𝐵⊥平面ABCD，平面𝑃𝐴𝐵∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐴𝐷⊂平面ABCD，所以𝐴𝐷⊥平面PAB，

又𝑃𝐴⊂平面PAB，故𝐴𝐷⊥𝑃𝐴;同理因为平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐴𝐵⊂平面ABCD，所以𝐴𝐵⊥平面PAD，所以𝐴𝐵⊥𝑃𝐴，又因为AB、AD是平面ABCD内两相交直线，

所以𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷;(2)以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则𝐵(1,0,0)，𝐷(0,2,0)，𝐶(1,1,0)，设𝑄(0,0,𝜆)(𝜆>

0)，则𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2,0)，𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−1,𝜆)，因为𝐵𝐷//平面𝛼，𝐵𝐷⊂平面PBD，平面𝑃𝐵𝐷∩平面𝛼=𝐸𝐹，所以𝐵𝐷//𝐸𝐹，设平面𝛼的法向量为𝑛⃗⃗=(𝑥,𝑦,�

�)，则𝑛⃗⃗⊥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗⊥𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗，得{𝑛⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑥+2𝑦=0𝑛⃗⃗⋅𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑥−𝑦+𝑧𝜆=0，取𝑦=𝜆，则𝑛⃗⃗=(2𝜆,𝜆,3)，记AD中

点为M，则𝐴𝐶⊥𝐵𝑀，又𝑃𝐴⊥𝐵𝑀，所以𝐵𝑀⊥平面PAC，则可取平面PAC的法向量为𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,0)，由cos𝜃=|cos<𝑛⃗⃗,𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗>|=|𝑛⃗

⃗⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗||𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝜆|√2√5𝜆2+9=√36，解得𝜆=3.线段AQ的长度为3.【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，平面的夹角，属于中档题.(1)利用面面垂直的性质得出直线AB，AD都垂直于PA，再利用线面垂直的判定定理

即可得出结论；(2)建立空间直角坐标系，利用向量根据平面的夹角即可求出线段AQ的长.18.【答案】解：由题意可知：圆M的圆心为𝑀(2,1)，半径𝑟=5，(1)设𝐴𝐵,𝐶𝐷的中点分别为𝐸,𝐹，则𝑀𝐸⊥𝐴𝐵,𝑀𝐹⊥𝐶𝐷，且

𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，可知EOFM为矩形，则|𝑀𝐸|2+|𝑀𝐹|2=|𝑂𝑀|2=5，所以|𝐴𝐵|2+|𝐶𝐷|2=4(𝑟2−|𝑀𝐸|2)+4(𝑟2−|𝑀𝐹|2)=200−4(|�

�𝐸|2+|𝑀𝐹|2)=180为定值；(2)因为点O在圆M内，可知过点O的直线与圆M必相交，分析可知，当直线AB或CD中有斜率不存在时不满足，根据对称性不妨假设直线AB的斜率存在，设直线𝐴𝐵:𝑦=𝑘𝑥，𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),𝑥1=�

�𝑥2，联立方程{(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=25𝑦=𝑘𝑥，消去y可得(𝑘2+1)𝑥2−2(𝑘+2)𝑥−20=0，则𝑥1+𝑥2=2(𝑘+2)𝑘2+1,𝑥1𝑥2=−20𝑘2+1，即(1+𝜆)𝑥2=2(𝑘+

2)𝑘2+1,𝜆𝑥22=−20𝑘2+1，消去𝑥2可得4𝜆(𝑘+2)2(𝑘2+1)2=−20(1+𝜆)2𝑘2+1，整理可得𝜆(1+𝜆)2=−5(𝑘2+1)(𝑘+2)2，可知直线CD的斜率不为0，设直线𝐶𝐷:𝑥=−𝑘𝑦，𝐶(𝑥3,𝑦3),𝐷

(𝑥4,𝑦4),𝑦3=𝜇𝑦4，联立方程{(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=25𝑥=−𝑘𝑦，消去x可得(𝑘2+1)𝑦2+2(2𝑘−1)𝑦−20=0，则𝑦3+𝑦4=−2(2𝑘−1)𝑘2+1,𝑦3𝑦4=−20𝑘2+1，即(1+𝜇)𝑦4=−2(2�

�−1)𝑘2+1,𝜇𝑦42=−20𝑘2+1，消去𝑦4可得4𝜇(2𝑘−1)2(𝑘2+1)2=−20(1+𝜇)2𝑘2+1，整理可得𝜇(1+𝜇)2=−5(𝑘2+1)(2𝑘−1)2，若𝐴𝐶//𝐵𝐷，则𝜆=𝜇，可得𝜆(1+𝜆)2=�

�(1+𝜇)2，即−5(𝑘2+1)(𝑘+2)2=−5(𝑘2+1)(2𝑘−1)2，解得𝑘=3或𝑘=−13，根据对称性不妨取𝑘=3，代入求解，不妨取𝐴(−1,−3),𝐵(2,6),𝐶(−3,1),𝐷(6,−2)，所以直线AC的方程为2𝑥+𝑦+5=0，直线BD的方程为2𝑥+

𝑦−10=0.(或直线AC与直线BD互换)【解析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于较难题；(1)取弦的中点，可得|𝑀𝐸|2+|𝑀𝐹|2=5，利用垂径定理求弦长，进而分析证明；(2)设直线𝐴𝐵:𝑦=𝑘𝑥，𝐴(𝑥1,𝑦1),

𝐵(𝑥2,𝑦2),𝑥1=𝜆𝑥2，联立方程利用根与系数关系可得𝜆(1+𝜆)2=−5(𝑘2+1)(𝑘+2)2，同理可得𝜇(1+𝜇)2=−5(𝑘2+1)(2𝑘−1)2，若𝐴𝐶//𝐵𝐷，则𝜆=𝜇，进而解得k，求

交点坐标，进而可得直线方程.19.【答案】解：(1)由直线l与圆O相切，可得圆心O到直线l的距离𝑑=|𝑏|√1+𝑘2=1，即𝑘2−𝑏2=−1;(2)设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝑄(𝑥𝑄,𝑦𝑄)，由条件所给的公式，可知椭圆E在点𝐴(𝑥1,𝑦1)

处的切线AQ方程为𝑥1𝑥4+𝑦1𝑦3=1.又因为点𝑄(𝑥𝑄,𝑦𝑄)在切线AQ上，可得𝑥1𝑥𝑄4+𝑦1𝑦𝑄3=1①，同理可得𝑥2𝑥𝑄4+𝑦2𝑦𝑄3=1②，由①②，可知𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)都在直线𝑥𝑄𝑥4+𝑦𝑄𝑦3

=1上，即直线AB方程为𝑥𝑄𝑥4+𝑦𝑄𝑦3=1③，因为圆O与直线AB相切，所以点O到直线AB的距离𝑑=1√(𝑥𝑄4)2+(𝑦𝑄3)2=1，所以𝑥𝑄216+𝑦𝑄29=1，由于点𝑄(𝑥0,𝑦0)具有任意性，且直线l的斜率存在，故点Q的轨迹方程为𝑥216+𝑦29

=1(𝑦≠0)，(3)假设存在曲线F满足条件，设𝑀(𝑥3,𝑦3)，𝑁(𝑥4,𝑦4)，联立{𝑦=𝑘𝑥+𝑏𝜆𝑥2+𝜇𝑦2=1，消去y，得(𝜆+𝜇𝑘2)𝑥2+2𝑘𝑏𝜇𝑦+𝜇𝑏2−1

=0，𝛥>0，则𝑥3+𝑥4=−2𝑘𝑏𝜇𝜆+𝜇𝑘2，𝑥3𝑥4=𝜇𝑏2−1𝜆+𝜇𝑘2，由𝑂𝑀⊥𝑂𝑁，所以𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥3𝑥4+𝑦3𝑦4=(𝑘2+1)𝑥3𝑥4+𝑘

𝑏(𝑥3+𝑥4)+𝑏2=(𝑘2+1)×𝑢𝑏2−1𝜆+𝑢𝑘2+𝑘𝑏×(−2𝑘𝑏𝑢𝜆+𝑢𝑘2)+𝑏2=𝑏2(𝜆+𝜇)−(𝑘2+1)𝜆+𝜇𝑘2，由(1)可知：𝑏2=𝑘2+1，∴上式=(𝑘2+1)(𝜆+𝜇−1)𝜆+𝜇𝑘2=0恒成立，所以存

在曲线F，且𝜆+𝜇=1.【解析】本题考查直线与圆的位置关系的判断及求参，与椭圆有关的轨迹问题，向量的数量积与向量的垂直关系，属于较难题.(1)利用圆心到直线的距离等于圆半径即可求出答案；(2)分别求出切线AQ，BQ的方程，由两方程即可求出AB的方程，因

为圆O与直线AB相切，所以点O到直线AB的距离等于1，即可求出点Q的轨迹方程.(3)由𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即可求出𝜆+𝜇=1.