【文档说明】广东省惠州市2021届高三下学期4月第一次模拟考试数学试题解析.pdf，共(17)页，1.557 MB，由小赞的店铺上传

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第1页，共12页惠州市2021届高三第一次模拟考试数学试题标准答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．1．【解析】202111izi450511111111iiiiiiiiii，所以z的的虚部是1，故选A．2．【解析

】由图可知，阴影部分为()UBA，故选B．3．【解析】圆心(,0)a到直线10xy的距离12ad，2r，直线与圆有公共点，则有dr，即122a，解得31a，且[3,1][3,)；所以，“3a”是“直线

1yx与圆22()2xay有公共点”成立的必要不充分条件，故选C．【注】本题也可以通过数形结合解答。4．【解析】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09

，故选B．5．【解析1】由题意旋转后所得终边对应的角为6，则tan()36yx，所以22tan()236tan(2)tan2()336131tan()6，故选C．【解析2】由点坐标的特殊性知，原角终边按逆时针方向旋转6后所得的终边

对应的一个角为23，原角度可看作2，所以tan(2)tan()tan()3333，故选C．6．【解析】0()0axxxfxaxxx，当0a时，()0fxxx，图象为A；当0

a时，()fx在0,上为存在极小值的“打勾函数”，在,0为单调递减函数，所以B正确。当0a时，()fx在0,上为单调递增函数，在,0为存在极小值的“打勾函数”，所以D正确；所以只有C

选项的图象是不可能的，故选C．题号12345678答案ABCBCCCC第2页，共12页【注】当x时，()fx，故只有C选项的图象是不可能的。7．【解析】正三棱柱111ABCABC体积最大时，是其顶点外接于球O的时候，如图，1O为底面111ABC的中心，因为24487S

RR球．设底面边长11ABx，则11222sin603xxrAO，且2222hrR，解得23hx所以21sin60182VShxx，故选C．8．【解析】已知方程可以变形为222(23)

21xymxyy，即22(1)1|23|xyxym，∴22(1)5|23|5xyxym其表示双曲线上一点,xy到定点0,1与定直线230xy之比为常数5em，又由1e，可得05m，故应选C．二、多项选择题：本题

共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．【解析】由等差中项得2432(1)aaa，所以12341132143aaaaaaa，故34

a．又{}na是公比为q的等比数列，所以由2432(1)aaa，得331()2(1)aqaq，即152qq，解得2q或12．故选AC．10．【解析】根据相关概念，相关指数2R的值越接近于1，表示

回归模型的拟合效果越好，越接近于0，表示效果越差，C错误；其余选项均为正确结论．故选ABD．11．【解析】对于A，因为()2sinsin2()fxxxfx，所以A错；由(0)0f，根据对称性，奇函数()fx在[,]上必定有奇数个零点，所以B错．由排除法可选CD．12．【解析】异

面直线BM与AC所成的角可转化为直线BM与11AC所成角，当M为11AC的中点时，11BMAC，此时BM与AC所成的角为90，所以A正确；当M与1A或1C重合时，直线BM与AC所成的角最小，题号9101112全部正确选项ACABDCDAD第3页，共12页为60，所以B错误；当M与1C重合时，二

面角MBDC的平面角最小，1tan21COC，所以145COC，所以C错误；对于D，过M作11//EFDB，交11AB于F，交11AD于E点，因为1114AMAC，所以EF、分别是11AD、11AB的中点，又

11//BDBD，所以//EFDB，四边形EFBD即为平面BDM截正方体所得的截面，因为112212DBEF，且221152BFDEBBBF，所以四边形EFBD是等腰梯形，作FGDB交BD于G点，所以1224BGBDEF，2

2324FGFBBG，所以梯形的面积为1928BDEFFG，所以D正确．所以选AD．【注：确定BC选项错误以后，根据排除法可选AD．】三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．

214．415．1或316．ln2ln3,23【注：16题答案还可以是3ln2,ln3】13．【解析】因为ab，则//ab，所以120m，得2m．14．【解析】31

2228aabb32222224ab．当且仅当32232abab，即113ab时等号成立，综上可得128ab的最小值为4．15．【解析】赋值1x，展开式中所有项的系数之和为10(

1)1024t，且10(2)1024得12t，即1t或3t．16．【解析】由2ln1ln0,'xxfxxfxxx，令'0fx，解得0xe，令'0fx，解得xe，fx的递增区间为0,e，递减区间为,e

，故fx的最大值是1fee，x时，00fxx；时，,fx且10f，ACBDA1C1D1O第4页，共12页故在0,1时，0fx，在1,时，0fx，函数

fx的图象如图所示，①0a时，由不等式20fxafx得fxa或0fx，而0fxa时01x无整数解，0fx的解集为1,，整数解有无数多个，不合题意；②0a时，由不等式20fxafx得0f

x解集为0,11,，整数解有无数多个，不合题意；③0a时，由不等式20fxafx，得0fx或fxa，0fx的解集为0,1无整数解，只需fxa的解集整数解只有1个，且fx在0,e上递增，在,e

递减，而23,243efff，这一正整数只能为3，23faf，ln2ln323a，综上所述，a的取值范围是ln2ln3,23，故答案为ln2ln3,23．四、解答题：本题共6小题，共70分

．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）【解析】（1）由已知结合正弦定理，得222acbac．………………………1分再由余弦定理得2221cos222acbacBacac，…………………………………2分又

0B,，…………………………………………3分【注：无此步骤，本得分点不得分】可得=3B．…………………………………………………………………………4分（2）【解法1】由=3B，3b，由正弦定理sinsinabAB得sin=2sinsinbaA

AB，………………………5分同理sin=2sinsinbcCCB……………………………………………………6分所以22=4sin2sin4sin2sin3acACCC…………………………7分=23cosC…

………………………………………………………………8分xyO第5页，共12页因为△ABC为锐角三角形，022032CC，可得62C，…………………9分则30cos2C，得023cos3C．所以2ac的取值范围为03，．………………………………

…………………………10分【解法2】由=3B，3b，由正弦定理sinsinabAB得sin=2sinsinbaAAB，……5分同理sin=2sinsinbcCCB……………………………………………………6分所以22=4s

in2sin4sin2sin3acACAA…………………………7分=23sin6A…………………………………………………………8分因为△ABC为锐角三角形，022032AA

，可得62A，…………………9分则30sin26A，得023sin36A．所以2ac的取值范围为03，．…………………………………………………………10分18．（本小题满分12分）【解析】（1）设等差数列na公差为d，等比数列nb的公

比为q，由242214222dqdq，………………………………………………………1分解得q＝2，d＝3，……………………………………3分【注：每个1分】所以=31nan，=2nnb．……

………………………5分【注：每个1分】（2）60=3601=181a，又7821281812562，…………………………………6分所以60S中数列nb的项最多7项，数列nb的前7项分别

为2，4，8，16，32，64，128，………………………7分第6页，共12页其中4，16，64三项是数列na和数列nb的公共项，…………………………………8分所以nc前60项和由na的前56项及nb的前7项中去

掉3项公共项后的4项构成……9分71156601256=41664212baaS……………………………………………10分=484425484…………………………………………………………………………11分=5014所

以数列nc的前60项和为5014．…………………………………………………12分【备注】1、本题的过程可以多种不同的表述方式，关键在于能够分析出两数列的公共项而得到60项的构成，只要正确且表述清楚，分析过程可得4分（即6分点~9分点）。2、若解答无分析公共项，直接写成等差53项加等比7项，求和公

式正确的情况下，第二小问最多得4分。典型错误为：71153601253==4610212baaS．19．（本小题满分12分）【解析】（1）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“3天

里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．………1分因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，………………………………………………………2分P(A2)＝0.003×50＝0.15，……

……………………………………………………………………3分P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108…………………………………………………………………5分（2）X可能的取值为0、1、2、3，………

……………………………6分【注：无列举不得分】P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，………………7分P(X＝2)＝C23·0.6

2(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216…………………………8分X的分布列为：因为X～B(3，0.6)，……………………………………………………………………………10分所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，………

…………………………………………………………11分X0123P0.0640.2880.4320.216……………9分第7页，共12页方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）【解析】（1）由PO底面圆O，AC

平面ABC，∴POAC………………………1分由已知有ACAB，且POABO，PO平面PAB，AB平面PAB∴AC平面PAB，…………………………………2分PB平面PAB，∴ACPB………………

……3分又∵在PAB中，222PAPBAB，由勾股定理知PAPB………………………4分∵PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC∴PB平面PAC，………………………………………………………5分PB平面PBC，从而平面PA

C平面PBC.………………………6分（2）【解法1】∵OBPO，ODPO，∴BOD为二面角BPOD的平面角，……7分∴120BOD∠，ADCB，ADO为正三角形，30CAD…………8分易知

1OB，1OD，得1AD,33CD,233AC…………9分113353+=1123412ACDOACDADOSSS…………………10分∵OP底面圆O，则四棱锥PACDO的高1hOP，…………………1

1分∴四棱锥PACDO的体积为1153531331236ACDOVhS∴三棱锥EBOD的体积为为5336.………………………………………………………12分【解法2】以O为原点，OB，OP分别为y，z轴建立如图空间直角坐标系Oxyz.由已知有0,1,0B，0,0,1

P，设00,,0Dxy，且2200=1xy则00,,0ODxy，0,0,1OP设,,mxyz为平面OPD的一个法向量，则00mODmOP，即0000xxyyz

PABCDOPABCDOyxzABOCD第8页，共12页令0xy，则0yx∴面OPD的一个法向量00,,0myx…………7分平面OPB的一个法向量1,0,0n∵OBPO，ODPO，∴BOD为二面角BPOD

的平面角为120，∴02200cos120yxy，又2200=1xy得012y，所以31,,022D……………………………………………………8分则ADO为正三角形，A

DCB，30CAD得1AD,33CD,233AC………………………………………9分113353+=1123412ACDOACDADOSSS………………………10分∵OP底面圆O，则四棱锥PACDO的高1hOP，……

……………11分∴四棱锥PACDO的体积为1153531331236ACDOVhS∴三棱锥EBOD的体积为为5336.………………………………………………………12分21．（本小题满分12分）【解析】（1）双曲线2C：2241yx的顶点分

别为(1,0)，(1,0)，所以1c．…………1分双曲线2C：2241yx的渐近线为2yx，…………………………………2分又椭圆的上顶点为(0,)b，则有||555b，解得1b．……………………3分222112a，……………………………

…………………………………4分所以椭圆1C的方程为2221xy．………………………………………………5分（2）【解法1】由题意知直线l的斜率不存在时，不满足题意，所以可设直线l的方程为1ykx，…………………

………………………………6分代入2222xy，并整理得2222(12)4220kxkxk，ABOCD第9页，共12页△0恒成立，设11,(1))(kxMx，22,(1))(kxNx，则2122421kxxk，21222212kxxk．……………………

……………………………7分得122221kyyk，212221kyyk设00)(,Pxy，由222FPFMFN，得012012122xxxykxx，即202026121221kxkkyk，……8分又点P在椭圆1C上，故222

2222(61)412(21)(21)kkkk，……………………………9分化简得42281210kk，即22141210kk解得2114k，……………10分因为满足222FPFMFN的点P也在椭圆1C上，所以四边形2FMPN是平行四边形，设四边

形2FMPN的面积为S，则有212121212||||2()4SFFyyyyyy2222222242(1)424(21)2121kkkkkkk，……………………………………11分代入2

114k，得四边形2FMPN的面积304S．……………………………………12分【解法2】由题意知直线l的斜率不为0，所以可设直线l的方程为1xty，……………6分代入2222xy，并整理得22(2)21

0txty，△2244(2)0tt恒成立，设1(1Mty，1)y，2(1Nty，2)y，则12222tyyt，12212yyt．………………………………………………………………7分设00)(,Pxy，由

222FPFMFN，得012012122xtytyyyy，即2012201226()3222txtyyttyyyt，…………………………………………………………………8分第10页，共12页又点P在椭圆

1C上，故2222222(6)412(2)(2)tttt，……………………………………………9分化简得4212280tt，即221420tt，所以214t，………………………10分因为满足222FPFMFN的点P也在椭圆1C上，所以四边形

2FMPN是平行四边形，设四边形2FMPN的面积为S，则有22221212121222242(1)44(2)||||2()42(2)2tttSFFyyyyyytt，………11分代入214t，得四边形2FMPN的面积30

4S．…………………………………………12分【解法3】由题意知直线l的斜率不存在时，不满足题意所以可设直线l的方程为1ykx，…………………………………………………6分代入2222xy，并整理得2222(12)4220kxkxk，△0恒成立，设1

1,(1))(kxMx，22,(1))(kxNx，则2122421kxxk，21222212kxxk．…………………………………………………7分得122221kyyk，212221kyyk设00)(,Px

y，由222FPFMFN，得012012122xxxykxx，即202026121221kxkkyk，……8分又点P在椭圆1C上，故2222222(61)412(21)(21)kkkk，………………………

……9分化简得42281210kk，即22141210kk解得2114k，……………10分因为满足222FPFMFN的点P也在椭圆1C上，所以四边形2FMPN是平行四边形，当2114k时，直线l的方程可以是1114yx，即1410xy第11页，共1

2页20202615214214218kxkkyk，即514,48P，则点P直线l的距离为571215441515d………………………………………11分212241214kxxk，2122213

2182kxxk212212152||184MNkxxxx设四边形2FMPN的面积为S，则有15221530||8154SMNd所以四边形2FMPN的面积304S．……………………………………………12分22．（本小题满分12分）【解析】（

1）由题意，函数2()(2)(0)xxfxeaeaxa，则2()2(2)(2)(1)xxxxfxeaeaeae，………………………………………1分当2a时，令2()02(1)xefx

，所以函数()fx单调递增；………………………2分当2a时，令0fx，即(2)(1)0xxeae，解得ln2ax或0x，令()0fx，即(2)(1)0xxeae，解得0ln2ax，……………

3分所以函数()fx在区间,0,ln,2a上单调递增，在区间0,ln2a上单调递减，……4分当02a时，令0fx，即(2)(1)0xxeae，解得0x或ln2ax

，令0fx，即(2)(1)0xxeae，解得ln02ax，…………5分所以函数()fx在,ln,0,2a单调递增，在ln,02a单调递减.……………6分（2）

由函数22()xgxeax，则2()2()xgxeax，……………………………………………7分令2()xmxeax，可得2()2xmxea，令'()0mx，解得1ln22ax，……………8分第12页，共12页当02a

时，'()0mx，函数()mx在0,单调递增，此时()(0)1mxm，所以()0gx，函数()gx在0,上单调递增，此时不存在极大值，…………………9分当2a时，令()0,mx解得1ln22ax，令'()0mx，解得1ln22ax

，所以()gx在10,ln22a上单调递减，在1ln,22a上单调递增，因为()gx在0,上存在极大值，所以1(ln)ln0222aagaa，解得2ae，……10分因

为2ln1(0)20,(=20,(ln)22ln2(ln)02aggeagaeaaaaa），11lnln222aa，易证明ln0aa，存在11(0,)2x，1211220xgxeax，存在21(l

n,ln)22axa，使得2()0gx，当()gx在区间10,x上单调递增，在区间12,xx单调递减，……………………………11分所以当1xx时，函数()gx取得极大值M，即1221xMeax，1

102x，由121220xeax，121xeax所以1222111()244xaaMeaxax.…………………………………………………12分数学试题第1页，共5页惠州市2021届高三第一次模拟考试试题数学全卷满分150分，考试时间120

分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3．非选择题必须

用黑色字迹签字笔作答，作图题可先用铅笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．设复数202111iiz+=−（

其中i为虚数单位），则z的虚部是（）A．1B．0C．1−D．i−2．如图，阴影部分所表示的集合为（）A．()UABB．()UBAC．()UABD．()UBA3．“3a−”是“直线1yx=+与圆22()2xay−+=有公共点”成立的（）条件A．充分不必要B．充要C．必要不充

分D．既不充分也不必要4.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：6667403714640571110565099586687683203790571603

1163149084452175738805905223594310若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（）A．10B．09C．71D．20数学试题第2页，共5页5．在平面直角

坐标系中，角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转6后经过点()1,3−，则tan23+＝（）A．3−B．33−C．3D．06．函数()afxxx=+（aR）的图象不可能是（）ABCD7．切割是焊接生产备料工序的重要加工方

法，各种金属和非金属切割已经成为现代工业生产中的一道重要工序。被焊工件所需要的几何形状和尺寸，绝大多数是通过切割来实现的。原材料利用率是衡量切割水平的一个重要指标。现需把一个表面积为28的球形铁质原材料切割成为一个底面边长和侧棱长都相等的正三棱柱工业用零配件，则该零配

件最大体积为（）A．6B．63C．18D．9328．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明。经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯

在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明。他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e时，轨迹为椭圆；当1e=时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲

线。现有方程()()2222123mxyyxy+++=−+表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（）A.()0,1B.()1,+C.()0,5D.()5,+xyOxyOxyOxyOAAA数学试题第3页，共5页二、多项选择题：本题共4小题

，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知等比数列na的公比为q，前4项的和为114a+，且2a，31a+，4a成等差数列，则q的值可能为（）A．12B．1C．2D．31

0．下列有关回归分析的结论中，正确的有（）A．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心(,)xy．B．若相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强．C．若相关指数2R的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好．D

．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高．11．已知函数()2sinsin2fxxx=−，则下列结论正确的有（）A．函数()fx的最小正周期为．B．函数()fx在[,]−上有2个零点．C．函数()fx的图象关于点(,0)中心对称．D

．函数()fx的最小值为332−．12．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，M是线段11AC上一个动点，则下列结论正确的有（）A．存在M点使得异面直线BM与AC所成角为90．B．存在M点使得异面直线BM与AC所成角为45．C．存在M点使得二

面角MBDC−−的平面角为45．D．当1114AMAC=时，平面BDM截正方体所得的截面面积为98．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()1,1a=−，(),2bm=，若存在实数，

使得ab=，则m=．14．已知,Rab，若32ab−=，则128ab+的最小值为．15．设t为常数，若10txx−的展开式中所有项的系数和为1024，则t=．ACBDA1B1C1D1数学试题第4页，共5页

16．已知函数ln()xfxx=，关于x的不等式2()()0fxafx−只有1个整数解，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对

边，222sinsinsinsinsinACBAC+=+．（1）求角B的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且3b=，求2ac−的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列na和等比数列nb满足14a=，12b=，2221ab=−，332ab=+．（1）求

na和nb的通项公式；（2）数列na和nb中的所有项分别构成集合A，B，将AB的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列nc，求数列nc的前60项和60S．19．（本小题满分12

分）一家面包店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图（如图所示）．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销

售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．数学试题第5页，共5页20．（本小题满分12分）如图，在以P为顶点，母线长为2的圆锥中，底面圆O的直径AB长为2，C是圆O所在平

面内一点，且AC是圆O的切线，连接BC交圆O于点D，连接PD、PC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）当二面角BPOD−−的大小为120时，求四棱锥PACDO−的体积．21．（本小题满分12分）已知椭圆1C：22221xyab+=(0

ab)的左、右焦点分别是双曲线2C：2214yx−=的左、右顶点，且椭圆1C的上顶点到双曲线2C的渐近线的距离为55．（1）求椭圆1C的方程；（2）设椭圆1C的左、右焦点分别为1(,0)Fc−,2(,0)Fc，经过左焦点1F的直线l

与椭圆1C交于M、N两点，且满足222FPFMFN=+的点P也在椭圆1C上，求四边形2FMPN的面积．22．（本小题满分12分）已知函数2()(2)(0)xxfxeaeaxa=−++，其中2.71828e是自然对数

的底数．（1）求函数()fx的单调区间；（2）设()()(2)(1)xgxfxaeaxx=++−+在()0,+上存在极大值M，证明：4aM．PABCDO