【文档说明】山东省济南市济阳区闻韶中学2021届高三（3班）12月第一次模拟考试数学试题 含答案.docx，共(8)页，90.410 KB，由小赞的店铺上传

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2020高三理科（3班）数学12月第一次摸底考试一、单选题（共8题；共16分）1.已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－12<x≤2}，若A＝B，则实数a的值为()A.0B.－12C.2D.52.已知i是

虚数单位，复数z满足𝑧(3+4𝑖)=1+𝑖，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设函数𝑓(𝑥)={(12)𝑥−7(𝑥<0)√𝑥,(𝑥≥0),若𝑓(𝑎)<1，则实数a的

取值范围是（）A.（﹣∞，﹣3）B.（1，+∞）C.（﹣3，1）D.（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）4.我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系.声音的强度常用𝐼(单位：瓦/米2，即𝑊m2⁄)表示，

但在实际测量时，声音的强度水平常用𝐿(单位：分贝)表示，它们满足换算公式：𝐿=10lg𝐼𝐼0(𝐿≥0，其中𝐼0=1×10−12𝑊/m2是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分

贝，则声音的强度应变为原来的（）A.15B.1100C.110D.1205.已知偶函数𝑓(𝑥)满足对∀𝑥∈𝑅,𝑓(𝑥+𝜋)=𝑓(𝑥)，且当𝑥∈(0,𝜋2)时，𝑓(𝑥)=1+cos𝑥，则𝑓(−

31𝜋6)=（）A.12B.32C.1−√32D.1+√326.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），，……，则

第60个数对是（）A.(7,5)B.(5,7)C.(2,10)D.(10,1)7.设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.b＜c＜a8.中心在原点的双曲线，一个焦点为𝐹(0，√3)，一个焦点到最近顶点

的距离是√3−1，则双曲线的方程是（）A.𝑦2−𝑥22=1B.𝑥2−𝑦22=1C.𝑥2−𝑦2√2=1D.𝑦2−𝑥2√2=1二、多选题（共4题；共12分）9.新时代的中国能源发展，把清洁低碳作为能源发展的主导方向，优化能源生产布局和消费结构

，基本形成了原煤、原油、天然气、非化石能源多轮驱动的能源生产体系.下图为2012年至2019年中国能源生产情况统计，则（）A.原煤在能源生产体系中所占比重最大，是保障能源供应的基础能源B.各类能源的产量在2016年都小幅回落C.非化石能源的生产量逐年增加D.原油和天然气的产量之和每年基本保持稳

定10.对任意两个实数𝑎，𝑏，定义min{𝑎,𝑏}={𝑎,𝑎≤𝑏𝑏,𝑎>𝑏若𝑓(𝑥)=2−𝑥2，𝑔(𝑥)=𝑥2，下列关于函数𝐹(𝑥)=min{𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)}的说法正确的是（）A.函数𝐹(𝑥)是偶函数B.方程𝐹(𝑥)=0有三个

解C.函数𝐹(𝑥)有4个单调区间D.函数𝐹(𝑥)有最大值为1，无最小值11.已知𝐹1,𝐹2分别是双曲线𝐶:𝑥2−𝑦2=1的左右焦点，点𝑃是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量𝑃𝐹1⃯⋅𝑃𝐹2⃯=0，则下列结

论正确的是（）A.双曲线𝐶的渐近线方程为𝑦=±𝑥B.以𝐹1𝐹2为直径的圆的方程为𝑥2+𝑦2=1C.𝐹1到双曲线的一条渐近线的距离为1D.𝛥𝑃𝐹1𝐹2的面积为112.如图，点M是棱长为2的

正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中的线段𝐴1𝐷上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.存在点M，使𝐶𝑀//平面𝐴1𝐵𝐶1B.不存在点M满足𝐶𝑀⊥𝐴𝐷1C.存在点M，使异面直线𝐶1𝑀与𝐴𝐵所成的角是60°D.二面角𝐵−𝐶1𝐷−𝑀的正弦值为

2√23三、填空题（共4题；共4分）13.在矩形ABCD中，边AB､AD的长分别为2､1，若M､N分别是边BC､CD上的点，且满足|𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗|

|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|，则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围是________.14.已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________.15.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三

棱锥称之为鳖臑(bienao).已知在鳖臑𝑀−𝐴𝐵𝐶中,𝑀𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶,𝑀𝐴=𝐴𝐵=𝐵𝐶=2,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为________．16.已知函数f（x

）={𝑚,𝑥>𝑚𝑥2+4𝑥+2,𝑥≤𝑚，若函数F（x）=f（x）﹣x只有一个零点，则实数m的取值范围是________四、解答题（共6题；共50分）17.△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶

的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，已知√3𝑏cos𝐶+𝑏sin𝐶=√3𝑎.（Ⅰ）求角𝐵的大小；（Ⅱ）若𝑏=√3，求𝛥𝐴𝐵𝐶的面积的最大值.18.如图，𝐴𝐵𝐶𝐷是棱形，∠𝐴𝐵𝐶=60∘,𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，平面𝐴

𝐸𝐹𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝐴𝐸𝐹𝐶是直角梯形，∠𝐸𝐴𝐶=90∘,𝐶𝐹//𝐴𝐸,𝐴𝐸=𝐴𝐵=2,𝐶𝐹=4.（1）求证：𝐵𝐷⊥𝐸𝐹；（2）求二面角𝐵−𝐷

𝐸−𝐹的余弦值.19.数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，𝑛𝑎𝑛+1=(𝑛+1)𝑎𝑛+𝑛(𝑛+1)，𝑛∈𝑁+.（1）证明：数列{𝑎𝑛𝑛}是等差数列；（2）设𝑏𝑛=3𝑛⋅√𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}

的前𝑛项和𝑆𝑛.20.某闯关游戏有这样一个环节：该关卡有一道上了锁的门，要想通过该关卡，要拿到门前密码箱里的钥匙，才能开门过关．但是密码箱需要一个密码才能打开，并且3次密码尝试错误，该密码箱被锁定，从而闯关失败．某人到达该关卡时，已经找到了可能打开密码箱的6个密码

（其中只有一个能打开密码箱），他决定从中随机地选择1个密码进行尝试．若密码正确，则通关成功；否则继续尝试，直至密码箱被锁定．（1）求这个人闯关失败的概率；（2）设该人尝试密码的次数为X，求X的分布列和

数学期望．21.已知椭圆𝐸:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)经过两点(0,1),(√3,12).（1）求椭圆𝐸的方程；（2）若直线𝑙:𝑥−𝑦−1=0交椭圆𝐸于两个不同的点𝐴,𝐵,𝑂是坐标原点，求𝛥𝐴𝑂𝐵的面积

𝑆．22.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥−𝑥+1(𝑎∈𝑅)．（1）当𝑎=2时，求𝑓(𝑥)在(1，𝑓（1）)处的切线方程；（2）当𝑥∈[1，+∞)时，𝑓(𝑥)⩾0

恒成立，求𝑎的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】A二、多选题9.【答案】A,C,D10.【答案】A,B,C,D11.【答案】A,C,D12.【答案】A,D三、填空题13.【答案】[1

，4]14.【答案】y=2x15.【答案】24𝜋−8√2𝜋16.【答案】﹣2≤m＜﹣1四、解答题17.【答案】解：（Ⅰ）∵√3𝑏cos𝐶+𝑏sin𝐶=√3𝑎，∴由正弦定理得，√3sin𝐵cos𝐶+sin𝐵sin𝐶=√3sin𝐴.∵

𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，∴√3sin𝐵cos𝐶+sin𝐵sin𝐶=√3sin(𝐵+𝐶).即√3sin𝐵cos𝐶+sin𝐵sin𝐶=√3sin𝐵cos𝐶+√3cos𝐵sin𝐶.sin𝐵sin𝐶=√3cos𝐵sin𝐶∵

sin𝐶≠0，∴sin𝐵=√3cos𝐵.∵cos𝐵≠0，∴tan𝐵=√3.∵𝐵∈(0,𝜋)，∴𝐵=𝜋3.（Ⅱ）∵𝑏=√3，𝐵=𝜋3，∴由余弦定理得：𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐×12≥2𝑎𝑐−𝑎𝑐=𝑎𝑐，𝑎�

�≤3，当且仅当𝑎=𝑐时取“=”∴𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝑏≤12×3×√32=3√34.即𝛥𝐴𝐵𝐶的面积的最大值为3√3418.【答案】（1）证明：在棱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，可得𝐷𝐵⊥𝐴𝐶，因为平面𝐴𝐸𝐹

𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，且交线为𝐴𝐶，所以𝐷𝐵⊥平面𝐴𝐸𝐹𝐶，因为𝐸𝐹⊂平面𝐴𝐸𝐹𝐶，所以𝐵𝐷⊥𝐸𝐹.（2）解：直角梯形𝐴𝐸𝐹𝐶中，由∠𝐸𝐴𝐶=90∘,𝐶𝐹//𝐴𝐸,𝐴𝐸=𝐴𝐵=2，得𝐸𝐴⊥

平面𝐴𝐵𝐶𝐷.取𝐸𝐹的中点𝑀，以𝑂为坐标原点，以𝑂𝐴为𝑥轴，𝑂𝐵为𝑦轴，𝑂𝑀为𝑧轴，建立空间直角坐标系，则𝐵(0,√3,0),𝐷(0,−√3,0),𝐸(1,0,2),𝐹(−1,0,4).所以𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2√3,0),𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=

(1,√3,2).设平面𝐵𝐷𝐸的法向量𝑛⃗1={𝑥,𝑦,𝑧}，由{𝑛⃗1⋅𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2√3𝑦=0𝑛⃗1⋅𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥+√3𝑦+2𝑧=0，可取𝑛⃗1=(2,0,−1)由𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√3,4).设平面𝐷𝐸𝐹

的法向量为𝑛⃗2=(𝑢,𝑣,𝑤)，同上得，可取𝑛⃗2=(1,−√3,1).则cos〈𝑛⃗1,𝑛⃗2〉=1√5×√5=15，即二面角𝐵−𝐷𝐸−𝐹的余弦值为15.19.【答案】（1）证明：由已知可得𝑎𝑛+1𝑛+1=𝑎𝑛𝑛+1，即𝑎𝑛+1𝑛+1

−𝑎𝑛𝑛=1所以{𝑎𝑛𝑛}是以𝑎11=1为首项，1为公差的等差数列（2）解：由（1）得𝑎𝑛𝑛=1+(𝑛−1)⋅1=𝑛，所以𝑎𝑛=𝑛2，从而𝑏𝑛=𝑛⋅3𝑛𝑆𝑛=1×31+2×32+3×33+⋯+𝑛⋅3𝑛⬚⬚⬚⬚⬚⬚⬚

⬚⬚⬚⬚⬚⬚⬚①3𝑆𝑛=1×32+2×33+3×34+⋯+（𝑛-1）⋅3𝑛+𝑛⋅3𝑛+1⬚⬚⬚⬚⬚⬚②①－②得：−2𝑆𝑛=3+32+33+⋯+3𝑛−𝑛⋅3𝑛+1=3×(1−3𝑛)1−3−𝑛⋅3𝑛+1所以𝑆𝑛=(2𝑛−1)⋅3𝑛+1+3420.【答案】（

1）解：设“密码箱被锁定”的事件为A则𝑃(𝐴)=5×4×36×5×4=12（2）解：依题意，X的可能取值为1，2，3，则𝑃(𝑋)=16，𝑃(𝑋=2)=5×16×5=16，𝑃(𝑋=3)=5×46×5×1=23，所以分布列为：X123p161623所以：𝐸(𝑋)=1×16+2×

16+3×23=5221.【答案】（1）解：由题意得:{𝑏2=13𝑎2+14𝑏2=1,解得:𝑎=2,𝑏=1即轨迹E的方程为𝑥24+𝑦2=1.（2）解：记A(x1，y1)，B(x2，y2)，故可设AB的方程为x＝y＋1.由{𝑥2+4𝑦2=4

𝑥=𝑦+1消去x得5y2＋2y－3＝0，所以𝑦1=−1,𝑦2=35设直线𝑙与𝑥轴交于点𝑃(1,0)S＝12|OP||y1－y2|S＝45.22.【答案】（1）解：𝑎=2时，𝑓(𝑥)=2𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥−𝑥+1，𝑓′(𝑥

)=2(2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥+2𝑥+1，故𝑓（1）=0，𝑓′（1）=3，故切线方程是：𝑦=3(𝑥−1)，即3𝑥−𝑦−3=0（2）解：当𝑥∈[1，+∞)时，𝑓(𝑥)⩾0恒成立，即𝑎𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛�

�⩾𝑥−1，𝑥=1时，显然成立，𝑥>1时，只需𝑎⩾𝑥−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥在(1,+∞)恒成立，令ℎ(𝑥)=𝑥−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥，(𝑥>1)，则ℎ′(𝑥)=(−𝑥2+2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥−𝑥2+

1(𝑥2+𝑥)2𝑙𝑛2𝑥，令𝑚(𝑥)=(−𝑥2+2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥−𝑥2+1，(𝑥>1)，则𝑚′(𝑥)=2(1−𝑥)𝑙𝑛𝑥−3𝑥+2+1𝑥<0，故𝑚(𝑥)在(1,+

∞)递减，故𝑚(𝑥)<𝑚（1）=0，故ℎ′(𝑥)<0在(1,+∞)恒成立，故ℎ(𝑥)在(1,+∞)递减，而lim𝑥→1𝑥−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛𝑥=lim𝑥→11(2𝑥+1)𝑙𝑛𝑥+𝑥+1=12，故𝑎⩾12．