【文档说明】湖北省十一校2021届高三下学期3月第二次联考数学试题 含解析【精准解析】【武汉专题】.pdf，共(23)页，836.562 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-0b9328ab5284d77338af1b14c0e7bd5e.html

以下为本文档部分文字说明：

2021年湖北省十一校高考数学第二次联考试卷（3月份）一、选择题（共8小题）.1．已知（1+2i）＝2﹣i，则复数z＝（）A．﹣1B．﹣iC．iD．2+i2．已知θ∈，且sin，则tanθ＝（）A．7B．C．D．3．已知等差数列{an}的第5项是（x﹣+2y）6展开

式中的常数项，则a2+a8＝（）A．20B．﹣20C．40D．﹣404．下列命题错误的是（）A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B．设ξ～N（1，σ2），且P（ξ＜0）＝0.2，则P（1＜ξ＜2）＝0.2C．线性回归直线＝x+一定经过样本点的中心（，）D

．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高5．设A，B，C，D是同一个半径为6的球的球面上四点，且△ABC是边长为9的正三角形，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．B．C．D．6．已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1）A∪B＝{1，2，3，4}，

A∩B＝∅；（2）A的元素个数不是A中的元素．B的元素个数不是B中元素．则有序集合对（A，B）的个数为（）A．1B．2C．4D．67．直线x﹣y+1＝0经过椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若＝2，则

该椭圆的离心率是（）A．B．C．2﹣2D．﹣18．已知函数f（x）＝，若m≠n，且f（m）+f（n）＝4，则m+n的最小值是（）A．2B．e﹣1C．4﹣3ln3D．3﹣3ln2二、选择题：本题共4小题

，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球．下面几个命题中正确的是（

）A．如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件B．如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率C．如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是D．如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是10．设函数f

（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且过点（0，），则下列正确的为（）A．φ＝﹣B．f（x）在（0，）单调递减C．f（|x|）的周期为πD．把函数f（x）的图像向左平移个长度单位得到的函数g（x）的解析式为g（x）＝cos2x11．正方体ABCD﹣A

1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点A1和点D到平面AEF的距离相等12．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感

，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点A（﹣a，0），B（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨

迹C是“∞曲线”．若点P（x0，y0）是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有（）A．曲线C关于原点O中心对称B．x0的取值范围是[﹣a，a]C．曲线C上有且仅有一个点P满足|PA|＝|PB|D．PO2﹣a2的最大值为2a2三、填空题：本题共4小题，每小题5分

，共20分．13．已知单位向量，满足|+|＝|﹣2|，则与的夹角为．14．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示，则直方图中x的值为．15．写出一个渐近线的倾斜角为60°且焦

点在y轴上的双曲线标准方程为．16．已知不等式（2ax﹣lnx）[x2﹣（a+1）x+1]≥0对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

。17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，BC＝2，∠ABC＝，四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥平面A

BCD，AF＝1，点M在线段EF上运动．（1）当AE⊥DM时，求点M的位置；（2）在（1）的条件下，求平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值．19．已知数列{an}，a1＝1，an+an+1＝2n+1（n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足bn

＝，Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得Sk＝4Sm2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，

前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入

编号为1，2，…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．（Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（Ⅱ）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可

以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为ξ元，其中ξ＝|16﹣4m|．小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，…，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得

到的奖金为n元，其中η＝（n﹣4）2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．21．已知动点P在x轴及其上方，且点P到点F（0，1）的距离比到x轴的距离大1．（1）求点P的轨迹C的方程

；（2）若点Q是直线y＝x﹣4上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA、QB，其中A、B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标．22．已知函数f（x）＝在x＝2时取到极大值．（1）求实数a、b的值；（2）用min{m，n）表示m，n中的最小

值，设函数g（x）＝min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）＝g（x）﹣tx2为增函数，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知（1+2i）＝2﹣i，则复数z＝（）A．﹣1

B．﹣iC．iD．2+i解：∵（1+2i）＝2﹣i，∴＝＝＝﹣i，∴z＝i，故选：C．2．已知θ∈，且sin，则tanθ＝（）A．7B．C．D．解：∵θ∈，∴θ+∈（，），∵sin，∴cos（θ+）＝﹣，tan（θ+）＝﹣，∴tanθ＝tan[（θ+）﹣]＝＝＝7．故选：A．3．

已知等差数列{an}的第5项是（x﹣+2y）6展开式中的常数项，则a2+a8＝（）A．20B．﹣20C．40D．﹣40解：∵（x﹣+2y）6表示6个因式（x﹣+2y）的乘积，故当有3个因式取x，其余的3个因式取﹣

时，可得它的常数项为﹣•＝﹣20＝a5，等差数列{an}的第5项是（x﹣+2y）6展开式中的常数项，则a2+a8＝2a5＝﹣40，故选：D．4．下列命题错误的是（）A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B．

设ξ～N（1，σ2），且P（ξ＜0）＝0.2，则P（1＜ξ＜2）＝0.2C．线性回归直线＝x+一定经过样本点的中心（，）D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高解：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近

于1，故A正确；设ξ～N（1，σ2），且P（ξ＜0）＝0.2，则P（1＜ξ＜2）＝0.3，故B不正确；线性回归直线＝x+一定经过样本点的中心（，），故C正确．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的

精度越高，故D正确；故选：B．5．设A，B，C，D是同一个半径为6的球的球面上四点，且△ABC是边长为9的正三角形，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．B．C．D．解：设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形，∴×AB2•sin60°＝×9×9×＝，球心为O，三

角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C＝＝3，OO′＝＝3，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：3+6＝9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：×9×＝．故选：D．6．已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1）A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅；（2）A的

元素个数不是A中的元素．B的元素个数不是B中元素．则有序集合对（A，B）的个数为（）A．1B．2C．4D．6解：若A中只有1个元素，则B中有3个元素，则1∉A，3∉B，即3∈A，1∈B，此时有1个，若A中有2个元素，则B中有2个元素，则2∉A，2∉B，不符合题意

；若A中有3个元素，则B中有1个元素，则3∉A，1∉B，即3∈B，1∈A，此时有1对，综上，有序集合对（A，B）的个数2个．故选：B．7．直线x﹣y+1＝0经过椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若＝2，则该

椭圆的离心率是（）A．B．C．2﹣2D．﹣1解：如图所示：对直线x﹣y+1＝0，令x＝0，解得y＝1，令y＝0，解得x＝﹣1，故F（﹣1，0），C（0，1），则，设A（x0，y0），则，而＝2，则，解得，点A又在椭圆上，所以，（c＝1

，a2＝b2+c2），整理得4a4﹣4a2＝2a2﹣1，所以，所以e＝＝＝＝．故选：A．8．已知函数f（x）＝，若m≠n，且f（m）+f（n）＝4，则m+n的最小值是（）A．2B．e﹣1C．4﹣3ln3D．3﹣3ln2解：由函数解析式可知函数在每

一段都为单调递增函数，且当x＜1时，f（x）＜2，当x≥1时，f（x）≥2，所以函数f（x）在R上为单调递增函数，又m≠n，且f（m）+f（n）＝4，所以m，n中有一个小于1，一个大于等于1，不妨设n＜1，m≥1，则f（m）+f（n）＝2

+3lnm+n+1＝4，即n＝1﹣3lnm，所以m+n＝m﹣3lnm+1，m≥1，令g（x）＝x﹣3lnx+1，x≥1，所以g′（x）＝1﹣，当1≤x≤3时，g′（x）＜0，函数g（x）为单调递减函数，当x＞3时，g′（x）＞0，函数g（x）为单

调递增函数，所以当x＝3时，函数g（x）min＝3﹣3ln3+1＝4﹣3ln3，无最大值，故m+n的最小值为4﹣3lln3，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球．下面几个命题中正确的是（）A．如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件B．如果是不放回地抽取，那么第2次

取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率C．如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是D．如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是解：对于A：如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是既不是互斥事件，也不

是对立事件，故A错误；对于B：如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率为，第1次取到红球的概率为，故B错误；对于C：如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是＝，故C正确；对于D：至少取出一个红球的概率为，至少取出一个红球且

第二次取出红球的概率P2＝P（两红）+P（第一次白第二次红）＝．故；故选：D．故选：CD．10．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且过点（0，），则下列正确的为（）A．φ＝﹣B．f（x）在（0，）单调递减C．

f（|x|）的周期为πD．把函数f（x）的图像向左平移个长度单位得到的函数g（x）的解析式为g（x）＝cos2x解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝sin（ωx+φ+）（ω＞0，|φ

|≤）的最小正周期为＝π，∴ω＝2，∵f（x）过点（0，），∴sin（φ+）＝，∴φ＝，f（x）＝sin（2x+）＝cos2x．故A不正确；当x∈（0，），2x∈（0，π），f（x）单调递减，故B正确；f（|x|）＝cos2|x|＝cos2x的周期为＝π

，故C正确；把f（x）＝cos2x的图象向左平移个长度单位得到的函数g（x）的解析式为g（x）＝cos（2x+π）＝﹣cos2x，故D错误，故选：BC．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．

则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点A1和点D到平面AEF的距离相等解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空

间直角坐标系则A（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），G（2，2，1），对于A，＝（0，0，﹣2），＝（﹣2，2，1），∵＝﹣2≠0，∴直线D1D与直线AF不垂直，故A错误；对于B，＝（0

，2，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣2，2，1），设平面AEF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（2，1，2），∵＝0，A1G⊄平面AEF，∴直线A1G与平面AEF平行，故B正确；对于C，连接AD1，F

D1，∵E，F分别是BC，CC1的中点，∴面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1，∴面AEF截正方体所得的截面面积为：S＝＝＝，故C正确；对于D，由B知平面AEF的法向量＝（2，1，2），∴点A1到平面AEF的距离h＝＝＝，点D到平面AEF的距离d＝＝＝，∴点A

1和点D到平面AEF的距离相等，故D正确．故选：BCD．12．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系

xOy中，到定点A（﹣a，0），B（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹C是“∞曲线”．若点P（x0，y0）是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有（）A．曲线C关于原点O中心对称B．x0的取值范围

是[﹣a，a]C．曲线C上有且仅有一个点P满足|PA|＝|PB|D．PO2﹣a2的最大值为2a2解：在平面直角坐标系xOy中，到定点A（﹣a，0），B（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹C是“∞曲线”．故点P（x0，y0）满足，点M（﹣x0，﹣y0）代入，得到，故A正确；对于B：设x

轴上x0范围的最大值为xm，所以，解得，故x0的范围为[]．故B错误；对于C：若PA＝PB，则点P在AB的垂直平分线上，即xP＝0，设点P（0，yP），所以，所以yP＝0，即仅原点满足，故C正确；对于D：，两边平方化简为：（x2+y2）2＝a2（x2﹣y2），根据x＝ρco

sθ，y＝ρsinθ，得到ρ2＝2a2cosθ，所以PO2﹣a2的最大值为a2，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知单位向量，满足|+|＝|﹣2|，则与的夹角为．解：∵，，∴，解得，∴，且，∴．14．从某小区抽取100户居民进行月用电

量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示，则直方图中x的值为0.0044．解：由频率分布直方图，得（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）×50＝1∴x＝0.

0044．故答案为：0.0044．15．写出一个渐近线的倾斜角为60°且焦点在y轴上的双曲线标准方程为（答案不唯一）．解：因为双曲线的焦点坐标在y轴，所以设双曲线方程为：，一条渐近线方程为：by﹣ax＝0，渐近线的倾斜角为60°，所以，所以满足题意

的一个双曲线方程为：，故答案为：（答案不唯一）．16．已知不等式（2ax﹣lnx）[x2﹣（a+1）x+1]≥0对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是．解：令f（x）＝2ax﹣lnx，x∈（0，+∞），g（x）＝x2﹣（a+1）

x+1，函数g（x）的对称轴x＝﹣＝．f′（x）＝2a﹣＝，①a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．f（1）＝2a≤0，x∈（1，+∞），f（x）＜0；而g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（1）＝1﹣a＞0．因此a≤0时不符合题意，舍去．②

a＞0时，f′（x）＝，可得函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴x＝时，函数f（x）取得极小值，即最小值，f（）＝1+ln（2a），（i）若f（）＝1+ln（2a）＜0，则a＜；而g（）＝﹣+1＝＞0，不满足f（x）g（x）]≥0对任意x＞0恒成立，舍去．（ii）若f（）

＝1+ln（2a）≥0，则a≥；而函数g（x）的对称轴x＝﹣＝＞0，g（）＝﹣（a+1）•+1＝1﹣≥0，解得≤a≤1，∴≤a≤1时，满足不等式（2ax﹣lnx）[x2﹣（a+1）x+1]≥0对任意x＞0恒成

立，因此实数a的取值范围是[，1]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）

求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝si

n∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，BC＝2，∠ABC＝，四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AF＝1，点M在线段EF上运动．（1）当AE⊥DM时，求点M的位置；（2）在（1）的条件下，求

平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值．解：（1）∵，∴，AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，又AF⊥AC，平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，AF⊂平面ACEF，∴AF⊥平面ABCD，以AB，AC，AF为x，y，z

轴建立空间直角坐标系，如图：，设．则，∵AE⊥DM，∴，解得，∴．∴当AE⊥DM时，点M为EF的中点．……………………（2）由（1），，设平面MBC的一个法向量为，则，取y1＝2，则，易知平面ECD的一个法向量为，∴，∴平面MBC与平面ECD所成二

面角的余弦值为．……………………19．已知数列{an}，a1＝1，an+an+1＝2n+1（n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得Sk＝4Sm2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）将n＝1代入an+an+1＝2n+1得a2＝3﹣1＝2，由an+an+1＝2n+1①，可以得到an+1+an+2＝2n+3②，由②﹣①得：an+2﹣an＝2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2

为公差的等差数列，当n＝2k（n∈N*）时，an＝a2+2（k﹣1）＝2k＝n，当n＝2k﹣1（n∈N*）时，an＝a1+2（k﹣1）＝2k﹣1＝n，∴；（2）由（1）可得：，∴，若，即，整理得：，∵1＜m＜k，∴，∴，∴，解得：，矛盾，∴不存在m，k满足题意．20．高尔顿板是英国生物统计学家

高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如

图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．（Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（Ⅱ

）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为ξ元，其中ξ＝|16﹣4m|．小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的

概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，…，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为n元，其中η＝（n﹣4）2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏

，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．解：（Ⅰ）设这个小球掉入5号球槽为事件A．掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以P（A）＝．所以这个小球掉入5号球槽的概率为．……………………（Ⅱ）小红的

收益计算如下：每一次游戏中，ξ的可能取值为0，4，8，12.，，，．ξ04812P一次游戏付出的奖金，则小红的收益为．………小明的收益计算如下：每一次游戏中，η的可能取值为0，1，4，9．，，，．∴η的分布列为：η0149P一次游戏付出的奖金，则小明的收益为4﹣

1＝3．∵，∴小明的盈利多．…………………21．已知动点P在x轴及其上方，且点P到点F（0，1）的距离比到x轴的距离大1．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若点Q是直线y＝x﹣4上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA、QB，其中A、B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点

的坐标．解：（1）设点P（x，y），则|PF|＝|y|+1，即，化简得x2＝2|y|+2y，∵y≥0，∴x2＝4y．∴点P的轨迹方程为x2＝4y．…………………（2）对函数，求导数y'＝．设切点，则过该切点的切线的斜率为，∴切线方程为．即，设点Q（t，t﹣4），由于切线经

过点Q，∴，即，设，则x1，x2是方程x2﹣2tx+4t﹣16＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2t，x1x2＝4t﹣16，…………………设M为AB中点，∴．∴，∴点，又∵，∴直线AB的方程为，即t（x﹣2）+8﹣

2y＝0，（*）∴当x＝2，y＝4时，方程（*）恒成立．∴对任意实数t，直线EF恒过定点（2，4）．…………………22．已知函数f（x）＝在x＝2时取到极大值．（1）求实数a、b的值；（2）用min{m，n）表示m，n中的最小值，设函数g（x）＝min{

f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）＝g（x）﹣tx2为增函数，求实数t的取值范围．解：（1）∵，∵f（x）在x＝2时取得极大值，∴，解得a＝1，b＝0．（2）设，当x≥2时，F'（x）＜0恒成立．，∴F'（x）＜0在

（0，+∞）上恒成立，故y＝F（x）在（0，+∞）上单调递减．∵不间断，故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的x0∈（1，2），使得F（x0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，F（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时

，F（x）＜0．∴，∴，故；由于函数h（x）＝g（x）﹣tx2为增函数，且曲线y＝h（x）在（0，+∞）上连续不间断，∴h'（x）≥0在（0，x0）和（x0，+∞）上恒成立．①x＞x0时，在（x0，+∞）上恒成立，即2t≤在（x0，+∞）上恒成立，令u（x）

＝，x∈（x0，+∞），则，当x0＜x＜3时，u′（x）＜0，u（x）单调递减，当x＞3时，u′（x）＞0，u（x）单调递增，所以u（x）min＝u（3）＝﹣，故2t≤＝﹣，即t，②当．综合①、②知，t的范围（﹣∞，﹣]．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiang

xue100.com