【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.249 MB，由小赞的店铺上传

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大联考长郡中学2025届高三月考试卷（一）数学本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合),Aa=+，()1,2B=−，若AB=，则（）A.1−aB.2aC.

1a−D.2a【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由集合),Aa=+，()1,2B=−，因为AB=，则满足2a.故选：D.2.已知复数z满足22z−=，z的取值范围为（）A.0,2B.()0,2C.0,4D.()0,4【答

案】C【解析】【分析】根据题意，利用复数模的几何意义，得到复数z在复平面内对应的轨迹，进而结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意知复数z满足22z−=，可得复数z在复平面内对应的轨迹为以(2,0)A为

圆心，2r=为半径的圆，且z表示圆上的点到原点(0,0)O的距离，则maxmin224,220zOArzOAr=+=+==−=−=，所以z的取值范围为[0,4].故选：C.3.在ABCV中，若2ABBCBCCACAAB==，则ABBC=A.

1B.22C.32D.62【答案】C【解析】【分析】根据题意，由ABBCBCCA=uuuvuuuvuuuvuuv可以推得ABAC=，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果．【详解】由题意得，ABBCBCCA=uuuvuuuvuuuvuuv，即AA=0+BCBCuuuvuuuvu

uuv（），设BC的中点为D，则ADBC⊥，即ABCV为等腰三角形，B=CABAC=，又因为2BCCACAAB=uuuvuuvuuvuuuv即2222222CCcos2C2Ccos112C+22232C2ABBCCAABABBCBACABCBC

ABCABC=−=−+−=−+=uuuvuuuvuuvuuuvuuvuuuvuuuvuuuvuuvuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv（）所以32ABBC=uuuvuuuv．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算

．4.若函数()2211xxfxx++=+的最大值为M，最小值为N，则MN+=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】将函数解析式化为()211xfxx=++，令()21xgxx=+，判断()

gx的奇偶性，然后利用函数的奇偶性求解即可.【详解】()2222221111111xxxfxxxxxxx+==+=+++++++，令()21xgxx=+，则其定义域为R，又()()()2211xxgxgxxx−−==−=−+−+，所以()21xgxx=+为奇函数，则()()maxmi

n0gxgx+=，所以()()()()maxminmaxmin112fxfxgxgx+=+++=，则2MN+=.故选：B.5.如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝑀是线段ED的中点，则A.BMEN=，且直线,BMEN是相交直线B.B

MEN，且直线,BMEN是相交直线C.BMEN=，且直线,BMEN是异面直线D.BMEN，且直线,BMEN是异面直线【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示，作EOCD⊥于O，连接ON，过M作M

FOD⊥于F．连BF，平面CDE⊥平面ABCD．,EOCDEO⊥平面CDE，EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，MFB与EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EOONEN===，35,,722

MFBFBM===．BMEN，故选B．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形．6.tan10tan503tan10tan50++的值为（）A.3−B.3C.3D.33【答案】B【解析】【分析】利用正切的和角公式，逆用即可求出结果.

【详解】tan10tan503tan10tan50++()()tan10501tan10tan503tan10tan50=+−+()31tan10tan503tan10tan50=−+33tan10tan503tan10tan50=−+

3=.故选：B.7.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件M=“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与M相互独立的是（）A.第一次朝上面的数字是偶数B.第一次朝上面的数字是1C.两次朝上面

的数字之和是8D.两次朝上面的数字之和是7【答案】D【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】抛掷骰子两次，共有6636=个基本事件数，则()()()()()()()()()()()()1,1,

1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6M=，()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6共18个基本事件，则()181362PM==，

设事件E为第一次朝上面的数字是偶数，则事件M与事件E是对立事件，故A错误；设事件F为第一次朝上面的数字是1，则FM，故B错误；设事件N为两次朝上面的数字之和是8，则()()()()()2,6,3,5,4,4,5,3,6,2

N=共5个基本事件，则()536PN=，且()()3,5,5,3MN=，则()213618PMN==，()()()PMNPMPN，所以C错误；设事件Q两次朝上面的数字之和是7，则()()()()()()1,6,2,5,3,4,4

,3,5,2,6,1Q=，则()61366PQ==，且()()()1,6,3,4,5,2MQ=，则()313612PMQ==，因为()()()PMQPMPQ=，所以事件M与事件Q相互独立.故选：D8.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1

号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用na表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则10a=（）A.10B.55C.89D.99【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出数列{}na的递推公式，再依次计算求出10a.【详解】依题意，12nnnaaa−

−=+（*nN，3n），11a=，22a=，所以34567893,5,8,13,21,34,55,aaaaaaa=======1089a=.故选：C二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对

的得部分分，有选错的得0分.）9.已知一组样本数据1x，2x，…，()201220xxxx，下列说法正确的是（）A.该样本数据的第60百分位数为12xB.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中

位数C.剔除某个数据ix（1i=，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差D.若1x，2x，…，10x的均值为2，方差为1，11x，12x，…，20x的均值为6，方差为2，则1x，2x，…，20x的方差为5【答案】BC【解析】【

分析】由百分位数的定义即可判断A；由极差的定义即可判断C，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断B；由方差计算公式即可判断D.【详解】对于A，由2060%12=，所以样本数据的第60百分位数为12132xx

+，故A错误；对于B，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，故B正确；对于C，剔除某个数据ix（1i

=，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，故C正确；对于D，由10102642020x=+=，则()()22210101112426420202s=+−++−=，所以则1x，2x，…，20x的方差为112，故D错误.故选：BC.10.在平面直角坐

标系中，O为坐标原点，抛物线()220ypxp=的焦点为F，点()1,2M，()11,Axy，()22,Bxy都在抛物线上，且0FAFBFM++=ruuruuruuur，则下列结论正确的是（）A.抛物线方程为22yx=B.F是ABM的重心C6

FAFMFB++=D.2223AFOBFOMFOSSS++=△△△.【答案】BCD【解析】【分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得F是ABM的重心，利用抛物线的定义可得6FAFMFB++=，利用三角形面积

公式及122xx+=，可得2223AFOBFOMFOSSS++=△△△.【详解】对于A，由()1,2M在抛物线上可得42p=，即抛物线方程为24yx=，错误；对于B，分别取,ABAM的中点,DE，则2FAFBFD+=uuuuruurur，2FMFD=−uuuruuur，

即F在中线MD上，同理可得F也在中线BE上，所以F是ABM的重心，正确；对于C，由抛物线的定义可得121,2,1FAxFMFBx=+==+uuruuuruur，所以124++=++FAFMFBxxuuruuuruur.由()10F,是ABM的重心，所以12113xx+

+=，即122xx+=，所以1246++=++=FAFMFBxxuuruuuruur，正确；对于D，112AFOSOFy=△，221114AFOSyx==△；同理222214BFOSyx==△,21MF

OS=△，所以2221213AFOBFOMFOSSSxx++=++=△△△，正确.故选：BCD.11.已知函数()()()322,,R,fxxaxbxcabcfx=−++是()fx的导函数，则（）A.“0ac==”是“()fx为奇函数”的充要条件B.“0ab==”是“()fx为

增函数”的充要条件C.若不等式()0fx的解集为{1xx∣且1}x?，则()fx的极小值为3227−D.若12,xx是方程()0fx=的两个不同的根，且12111xx+=，则0a或3a【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的

奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数()fx的单调性，进而求得()fx的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合0，列出不等式，可判定D正确．【详解】对于A中，当0ac==时，函数

()3fxxbx=+，则满足()()3fxxbxfx−=−−=−，所以()fx为奇函数，所以充分性成立；若()fx为奇函数，则()322fxxaxbxc−=−−−+=()322fxxaxbxc−=−+−−，则24ax−20c=恒成立，所以0ac==，所以必要性成立

，所以A正确；对于B中，当0ab==时，()3fxxc=+，可得()230fxx=≥，所以()fx为增函数；由()234fxxaxb=−+，当()fx为增函数时，216120ab=−，所以“0ab==”是“()fx为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；对于C中，由()

234fxxaxb=−+，若不等式()0fx的解集为{|1xx且1}x?，则()fx在R上先增后减再增，则()1f−=()()0,110ff=−=，解得21abc===−，故()()()232111fxxxx

xx=+−−=+−，可得()()()2321311fxxxxx=+−=−+，令()0fx=，解得=1x−或13x=，当(),1x−−内，()0fx，()fx单调递增；当11,3x−内，()0fx，()fx单调递减；当1,3x+内，()0fx

，()fx单调递增，所以()fx的极小值为2111321133327f=+−=−，所以C正确．对于D中，由()234fxxaxb=−+，因为12,xx是方程()0fx=的两个不同的根，所以216120ab=−

，即2430ab−，且1x+2124,33abxxx==，由12111xx+=，可得1x+212xxx=，所以433ab=，即4ba=，联立方程组，可得230aa−，解得0a或3a，所以D正确．故选：ACD．三

、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.点M在椭圆221259xy+=上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，3ON=，则MF=_________.【答案】4【解析】【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得||MF，再由椭圆定义求解||MF即

可．【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设F为左焦点，F为右焦点，由椭圆221259xy+=，得5a=，210a=，NQ是MF的中点，O是FF的中点，ON为FMF的中位线，||2||6MFON==，由椭圆的定义得

||2||1064MFaMF=−=−=．故答案为：4．13.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值()=EX______.【答案】65【解析】【分析】根据题意得出X的所有可能取

值为0,1,2,3，然后分析出涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的各有多少个小正方体，从而计算X取每个值时的概率，从而求X的均值.【详解】X的所有可能取值为0,1,2,3，大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；每一

条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有31236=个；每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有9654=个小正方体涂有一面油漆；剩余的()12

58365427−++=个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，所以()270125PX==，()541125PX==，()362125PX==，()83125PX==，()()()()()00112233EXPXPXPXPX==

+=+=+=2754368150601231251251251251255=+++==.故答案为：65.14.若函数()()52cossin2fxaxxx=−+在R上单调递增，则a的取值范围是_________.

【答案】11,22−【解析】【分析】求导，根据()0fx在R上恒成立，即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据题意，()22259cos2sin2coscos4cos22fxaxxxaxx=+−+=−+，()fx在R上

单调递增，()0fx在R上恒成立，令cosxt=，1,1t−，则()fx可写为()2942gtatt=−+，1,1t−，根据题意()gt在1,1−上的最小值非负，()()10,10,gg−解得1

122a−.故答案为：11,22−四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量(),sinmbaC=−−

，(),sinsinncbAB=++，满足//mnurr．（1）求A；（2）若角A的平分线交边BC于点D，AD长为2，求△ABC的面积的最小值．【答案】（1）23A=（2）43【解析】【分析】（1）由//mnurr得出等式，再由正、余弦定理即

可解出；（2）把ABC的面积用等积法表示可得,bc关系，再利用基本不等式得出bc的最小值，即得面积最小值．【小问1详解】因为//mnurr，所以()()()()sinsinsinbaABcbC−+=+−，由正弦定理得()()()()baabcbc−+=+−，所以222bcabc+−=−

，所以2221cos222bcabcAbcab+−−===−，因为()0,A，故23A=.【小问2详解】∵AD平分∠BAC，∴123BADCADBAC===，∵ABDACDABCSSS+=△△△，∴1sin2ABADBAD11sinsin22ACADC

ADbcA+=，即22sin2sinsin333cbbc+=，∴22cbbc+=由基本不等式可得：224bcbcbc=+，∴16bc，当且仅当4bc==时取“=”，∴13sin43

24ABCSbcAbc==，即ABCV的面积的最小值为43.16.如图，已知点P在圆柱1OO的底面圆O上，120AOP=o，圆O的直径4AB=，圆柱的高13OO=.（1）求点A到平面1APO的距离；（2）求二面角1APBO−−的余弦值大小.【答案】（1）32；（2）277

.【解析】【分析】（1）根据等体积法，由11AAOPAAOPVV−−=即可求出点A到平面1APO的距离；（2）先证明PBAP⊥，1PBAA⊥，由线面垂直的判定定理可得PB⊥面1AAP，进而可得1APA即为所求二面角的平面角，在1RtAPA中，计算11cosAP

APAAP=即可求解.【详解】（1）因为113AAOO==，122AOAB==，所以2222113213AOAAAO=+=+=，在AOP中，由余弦定理可得：222212cos12022222232APAOOPAOOP=+−=+−−=

，所以()22221132321APAAAP=+=+=，2OP=，在1AOP中，由余弦定理可得22211112141321cos272212APOPAOAPOAPOP+−+−===，所21127sin1cos7APOAPO=−=，所以112721223

27AOPS==，设点A到平面1APO的距离为d，由11AAOPAAOPVV−−=，得111133AOPAOPSAASd=，即11112233233223d=，解得：32d=，所以点A到平面1APO的距离为32；（2）

二面角1APBO−−即二面角1APBA−−，因为AB是圆O的直径，点P在圆柱1OO的底面圆O上，所以PBAP⊥，因为1AA⊥面ABP，PB面ABP，可得1PBAA⊥，因为1APAAA=，所以PB⊥面1AAP，因为1AP面1AA

P，AP面1AAP，所以PB⊥AP，PB⊥1AP，所以1APA即为二面角1APBO−−的平面角，在1RtAPA中，121AP=，23AP=，所以112723cos217APAPAAP===，所以二面角1APBO−−的余弦值为277.17.双曲线()2222:10,0xyCabab−

=的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且ABD△是直角三角形．（1）求双曲线C的方程；（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为1k、2k，若122kk=−，求点A到直线MN的距离d的

取值范围．【答案】（1）2213yx−=（2）(33,6【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为,,abc的方程，即可求解；（2）首先设直线MN的方程为xmyn=+，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示122kk=−，并根据2m的取值范围，求点到直线的距离的取值范

围.【小问1详解】依题意，90BAD=，焦半径2c=，由AFBF=，得2baca+=，得22222aaa+=−，解得：1a=（其中20a=−舍去），所以222413bca=−=−=，故双曲线C的方程为2213yx−=；【小问2详解】显然直线MN不可能与轴平行，故可设直线MN的方程为xmyn

=+，联立2233xmynxy=+−=，消去x整理得()()222316310mymnyn−++−=，在条件2310Δ0m−下，设()11,Mxy，()22,Nxy，则122631mnyym+=−−，()21223131nyy

m−=−，由122kk=−，得()()12122110yyxx+++=，即()()12122110yymynmyn+++++=，整理得()()()()2212122121210myymnyyn++++++=，代入韦达定理得，()()()()()222223121

12121310nmmnnnm−+−+++−=，化简可消去所有的含m的项，解得：5n=或1n=−（舍去），则直线MN的方程为50xmy−−=，得261dm=+，又,MN都在双曲线的右支上，故有2310m−，2103m，此时22113m+

，(2633,61dm=+，所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(33,6.18.已知函数()()exfxxa=−，aR.（1）当1a=时，求()fx极值；（2）若函数()()lngxfxax=−有2个不同的零点1x，2x.（i

）求a的取值范围；（ii）证明：12112exxaxx+−.【答案】（1）极小值为0，无极大值（2）（i）()e,+；（ii）证明见解析【解析】分析】（1）将1a=代入函数解析式，求导，判断其单调性，进而得出极值；（2）（i）化简函数(

)gx的解析式，令extx=，问题可转化为()lnhttat=−在(0,)t+有2个零点1t，2t，再利用导数研究函数()ht的性质即可得出答案；（ii）等价于证明21eatt，再利用极值点偏移法即可得证．【小问1详解】1a=时，()()e1xf

xx=−，()()1e1xfxx=+−，令()()()(),2exmxfxmxx==+，的【(),2x−−，()0mx；()2,x−+，()0mx，()fx在(),2−−单调递减，()2,−

+单调递增，x→−时，10x+，e0x，则𝑓′(𝑥)<0，()21210ef−−=−，()00f=，x→+时，()fx→+，(),0x−时，𝑓′(𝑥)<0；𝑥∈(0,+∞)，𝑓′(𝑥)>0，∴𝑓

(𝑥)在(),0−单调递减，在(0,+∞)单调递增，∴𝑓(𝑥)的极小值为()00f=，无极大值.小问2详解】（i）()()()()lnelnelnexxxgxfxaxxaxxxax=−=−+=−，𝑥∈(0,+

∞)，令extx=，()0,t+，()1e0xtx=+，extx=在(0,+∞)单调递增，令()lnhttat=−，即()ht在()0,t+有2个零点1t，2t，且111extx=，222extx=，()1atahttt−=−=，0a时，()0ht

，()ht在()0,t+单调递增，不存在2个零点，0a，()0,ta时，()0ht；(),ta+时，()0ht，()ht在()0,a单调递减，在(),a+单调递增，0t→时，()ht→+；t→+时，()ht→+，()

()()min1ln0hthaaa==−，()e,a+.（ii）设12tt，()110h=，()ee0ha=−，由（i）知，121etat，即证：12etta，即证：21eatt，2ta，1eaat，()ht在(),a+单调递增，【

即证：()21e0ahtht=，11lntat=，()1111111eeeeeelnlnlnln1lnaaahaaattttttt=−=−=+−，

令()()111elnln1pttt=+−，()11,et，即证：()10pt，()1112211111elne1lnlnttptttttt−==−+，令()111elnqttt=−，()11,et，()1111ee10tqttt−=−=，()1qt在()

1,e单调递减，()()1e0qtq=，()10pt，()1pt在()1,e单调递增，()()1e0ptp=，【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2

．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构

造辅助函数.19.已知集合()1,2,3,,,3Annn=N，WA，若W中元素个数为()2mm，且存在u，()vWuv，使得()2kuvk+=N，则称W是A的()Pm子集.（1）若4n=，写出A的所有()3P子集；（2）若W为A的()

Pm子集，且对任意的s，()tWst，存在kN，使得2kst+=，求m的值；（3）若20n=，且A的任意一个元素个数为m的子集都是A的()Pm子集，求m的最小值.【答案】（1）1,2,3,1,3,

4；（2）2；（3）13.【解析】【分析】（1）根据()Pm子集的定义，即可容易求得；（2）取1,3W=，求得2m=，再利用反证法假设3m，推得10a与11a矛盾即可；的（3）令020,19

,18,17,11,10,9,3,16,8,4,2W=，讨论12m时不满足题意，再验证13m时的情况满足题意，即可求得m的最小值.【小问1详解】当4n=时，1,2,3,4A=，A的所有()3P子集为1,2,3,1,3,4.【小问2详解】当3n时，取

1,3W=，因为2132+=，所以W是A的()2P子集，此时2m=；若3m，设123,,aaaW且1231aaa，根据题意，3121213232,2,2kkkaaaaaa+=+=+=，其中123,,Nkkk；因为121323aaaaaa+++，所以312222kkk，

所以123kkk；又因为123,,Nkkk，所以321kk+；因为()3121232222kkkaaa++=++，所以()31212312222kkkaaa++=++，所以()()3331212111222222222kkkkkkka=++−=+−；因为312222122222

2kkkkkk+++=，所以3122220kkk+−，所以10a，与11a矛盾.综上所述，2m=.【小问3详解】设1234520,12,19,13,18,14,17,15,11,5,AAAAA=====6

78123410,6,9,7,1,3,2,4,8,16AAABBBB=======，设W的元素个数为m，若W不是A的()Pm子集，则W最多能包含1238,,,,AAAA中的一个元素以及1234,,,BBBB中的元素；令020,19,18,17,11,10,9,3,16,8,4,2

W=，易验证0W不是A的()12P子集，当12m时，0W的任意一个元素个数为m的子集都不是A的()Pm子集，所以，若A的任意一个元素个数为m的子集都是A的()Pm子集，则13m；当13m时，存在1,2,3,4,5,6,7,8i，使得W中必有两个

元素属于iA，同时iA中两个元素之和为2的某个正整数指数幂，所以W是A的()Pm子集；所以，m的最小值为13.【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对()Pm子集的定义，同时要熟练的使用证明方法，属综合困难题.