【文档说明】重庆市南开中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题 含解析.docx，共(26)页，1.642 MB，由小赞的店铺上传

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重庆南开中学高2024级高二（下）入学考试数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题

目要求）1.下列求导运算正确的是（）A.()23xx−−=B.()sinsincosxxxxx=+C.()22eexx=D.ππcossin33=−【答案】B【解析】【分析】根据导数的运算法则以及复合函数的求导法则，求出各项的

导数，即可得出答案.【详解】对于A项，()221322xxx−−−−=−=−，故A项错误；对于B项，()()sinsinsinsincosxxxxxxxxx=+=+，故B项正确；对于C项，()()222ee22e

xxxx==，故C项错误；对于D项，πcos03=，故D项错误.故选：B.2.已知等差数列na满足2810aa+=，若nS为na的前n项和，则9S=（）A.45B.54C.63D.90【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质，求和公式

进行计算.【详解】由等差数列的性质可知：192810aaaa+=+=，所以()()192899991045222aaaaS++====.故选：A3.已知椭圆C：22181xymm+=−−的焦点在y轴上，且焦距为2，则m=（）A.3B.4C.5D

.7【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的知识列方程求得m.【详解】依题意，椭圆C的焦点在y轴上，焦距22,1cc==，所以181,5mmm−=−+=.故选：C4.已知等比数列na的前n项和nS满足510S=，1040S=，则20S=（）A.130B.160C

.390D.400【答案】D【解析】【分析】根据等比数列片段和性质计算即可求解.【详解】因为等比数列na的前n项和nS满足510S=，1040S=，所以510515102015,,,SSSSSSS−−−依然成等比数列，则251510105()()SSSSS−=−，即2

1510(40)(4010)S−=−，解得：15130S=，则520151051510()()()SSSSSSS−=−−，即2010(130)3090S−=，解得：20400S=，故选：D.5.若函数2ln

()xfxx=在定义域内的一个子区间(),1aa+上不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A.()e1,e−B.()e1,e−C.e1,e−D.e1,e−【答案】B【解析】【分析】先求定义域，再求导，得到函数单调性，从而列

出不等式组，求出实数a的取值范围.【详解】2ln()xfxx=的定义为()0,+，432ln12ln()xxxxfxxx−−==，当120,ex时，()0fx，2ln()xfxx=单调递增，当12e,x

+时，()0fx，2ln()xfxx=单调递减，要想2ln()xfxx=在子区间(),1aa+上不是单调函数，则12120e1eaa+，解得：()e1,ea−,.故选：B6.过点()2,6−作曲线33yxx=−的切线

，所得切线斜率为（）A－3B.0或3C.－3或24D.0【答案】C【解析】【分析】设切点()00,xy，根据导数的意义可得，切线斜率2033kx=−.又0062ykx+=−，即可推出320000363yxxx=−−，进而可得出320030xx−=，解方程即可得到0

x的值，进而得出斜率.【详解】由已知可得，点()2,6−不在曲线33yxx=−上，设切点为()00,xy因为233yx=−，根据导数的几何意义可得，切线斜率2033kx=−，又切线过点()2,6−，所以()00006622yykxx−−+=

=−−，所以20006332yxx+=−−，整理可得320000363yxxx=−−.又30003yxx=−，所以有320003003633xxxxx−−−=，即320030xx−=，解得00x=或03x=.当00x=时，3k=−；当03x=时，24k=.所以切线

斜率为－3或24.故选：C.7.已知22cos0.1a=−，0.01b=，()0.12e1.1c=−，则它们的大小关系为（）.A.bcaB.cbaC.acbD.abc【答案】D【解析】【分析】构造()222cosfxxx=−−，()22e22xgxxx=−−−.通过对函数()fx

以及()gx二次求导，得出函数在)0,+上的单调性，即可得出大小关系.【详解】令()222cosfxxx=−−，则()2sin2fxxx=−.令()2sin2mxxx=−，则()2cos2mxx=−，.因为，当0x时，有()2co

s20mxx=−恒成立，所以()mx在)0,+上单调递减，即()fx在)0,+上单调递减，又()00f=，所以当0x时，有()()00fxf=，所以()fx在)0,+上单调递减.又()02

2cos000f=−−=，所以有()()0.100ff=，即222cos0.10.122cos0.10.010−−=−−，所以ab.令()()222e12e22xxgxxxxx=−−−=−−−，则()

2e22xgxx=−−.令()2e22xnxx=−−，则()2e2xnx=−.因为，当0x时，有()2e20xnx=−恒成立，所以()nx在)0,+上单调递增，即()gx在)0,+上单调递增，又()02e20gx=−=，所以当0x时，有()()00gxg=，所以()

gx在)0,+上单调递增.又()002e20g=−=，所以有()()0.100gg=，即()0.0.1122e0.120.1202e1.10.01−−−−−=，所以bc.所以abc.故选：D.【点睛】方法点睛：构造函数，根据函数的导数得出函数的单调性，进而比较大

小关系.8.如图，已知椭圆1C和双曲线2C具有相同的焦点()1,0Fc−，()2,0Fc，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆222xyc+=上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线2C交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为1k、2k，若椭圆1C的离心率为1

55，则12kk的值为（）A.2B.52C.3D.4【答案】D【解析】【分析】设椭圆方程为22221xyab+=，双曲线方程为22221xyst−=，根据椭圆离心率得到2225ba=，故椭圆方程为222252xya+=，联立222xyc+=求出A点

坐标，从而由对称性得到,,BCP点坐标，表达出530:56CPyxb=−，将A点代入双曲线方程，结合2222232stabb+=−=得到222bs=，22tb=，得到双曲线方程222221xybb−=，联立530:56CPyxb=−，得到两根之和，两根

之积，表达出7306,5427bQb−，从而求出12,kk，得到乘积.【详解】设椭圆方程为22221xyab+=，双曲线方程为22221xyst−=，则22222abstc−=+=，由155ca=可得2235ac=，因为222cab=−，所以222

5ba=，故椭圆方程为222252xya+=，联立222xyc+=可得：22222223253236xcbbbb=−=−=，2223by=，则306,63Abb，由对称性可知A、C两点关于原点对称，A、B两点关于x轴对称，则306,63Bbb−

，306,63Cbb−−，所以30,06Pb，故60535303066CPbkbb+==+，直线530:56CPyxb=−，306,63Abb代入22221xyst−=中得，22

2252163bbst−=①，又22222225322stabbbb+=−=−=②，②①结合得到2252bs=或222bs=，因为2252ab=，显然sa，故222bs=，所以2222322btbb=−=，故双曲线方程为222221xybb−=，联立530:56CPyx

b=−与222221xybb−=得：22930705156xbxb+−=，设()11,Qxy，则213075669bxb−=−，解得：173054xb=，故15353065627930bybb=−=−，所以7306,542

7bQb−，所以2663273053270654kbbbb−==+，其中16625335303066kbbbb+=+=，故12425255kk==.故选：D【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件

列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题，共焦点的椭圆和双曲线的重要结论：①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为12,ee，P为它们的一个交点，且122FPF

=，则2212sincos1ee+=；②若点()00,Pxy是椭圆()22122:10xyCabab+=与双曲线()2222210,0:xyCmnmn−=的一个公共点，且它们在()00,P

xy处的切线互相垂直，则椭圆1C与双曲线2C有公共焦点.二、多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知函数()()1lnfxxx=−，下列说法正确的是（）A.()fx在()0,

+单调递增B.()fx在1x=处取得极小值C.()0fx在()0,+恒成立D.()fx在ex=处的切线斜率为1e【答案】BC【解析】【分析】由已知可得()1ln1fxxx=−+.构造()1ln1gxxx=−+，可得出()fx

的单调性以及极值情况，即可判断A、B、C项，求出()1e2ef=−，根据导数的几何意义即可判断D项.【详解】由已知，()()1lnfxxx=−定义域为()0,+，()()()111ln1ln1fxxxxxxx=−+−=−+.令()1ln1gxxx=−+，则()2110gxx

x=+在()0,+上恒成立，所以()gx在()0,+上单调递增，所以()fx在()0,+上单调递增.又因为()10f=，所以当01x时，()()10fxf=，所以()fx在()0,1单调递减；

当1x时，()()10fxf=，所以()fx在()1,+单调递增，故A项错误；所以，()fx在1x=处取得极小值，也是最小值()10f=，所以()0fx在()0,+恒成立，故B、C项正确；因为()11elne12eef+=−=−，根据导数的几何意义有，()fx在e

x=处的切线斜率为1e−，故D项错误.故选：BC.10.已知双曲线22:18yCx−=，点A、B是C的左、右顶点，则（）A.双曲线C的离心率为7B.双曲线C的渐近线方程为22yx=C.过()0,1−作与C有且仅有一个公共点的直线l，这样的直线l恰有4条D.过C的右焦点F的直线与C交

于P、Q，则可以使得16PQ=的直线恰有3条【答案】BCD【解析】【分析】求出a、b、c的值，可判断AB选项；根据直线l与双曲线C有且只有一个公共点，求出直线l的方程，可判断C选项；根据16PQ=结合弦长公式求出直线PQ的方程，可判断D选项.【详解】在双曲线C

中，1a=，22b=，223cab=+=.对于A选项，双曲线C的离心率为3cea==，A错；对于B选项，双曲线C的渐近线方程为22byxxa==，B对；对于C选项，①若直线l的斜率不存在，则直线l为y轴，此时，直线l与双曲线C无公共点；②若直线

l与双曲线C的渐近线平行，则直线l的方程为221yx=−或221yx=−−，此时，直线l与双曲线C有且只有一个交点，合乎题意；③若直线l与双曲线C相切，设直线l的方程为1ykx=−，其中22k，联立22188ykxxy=−−=可得()228290kx

kx−−+=，则()22280Δ43680kkk−=−−=，解得3k=.综上所述，过()0,1−作与C有且仅有一个公共点的直线l，这样的直线l恰有4条，C对；对于D选项，若直线PQ与x轴

重合，则22PQa==，不合乎题意，设直线PQ的方程为3xmy=+，设点()11,Pxy、()22,Qxy，联立22388xmyxy=+−=可得()228148640mymy−++=，所以，()()222222810Δ48464811610mmmm−=−−=+，可

得24m，由韦达定理可得1224881myym+=−−，1226481yym=−，所以，()()22212122161141681mPQmyyyym+=++−==−，解得0m=或147m=.综

上所述，过C的右焦点F的直线与C交于P、Q，则可以使得16PQ=的直线恰有3条，D对.故选：BCD.11.若函数()fx的定义域为()0,+，其导函数为()fx，满足1ln()()()ln0xfxf

xfxxxx−+恒成立，则下列结论一定正确的是（）A.(2)0fB.(e)0fC.()2e(e)2effD.21e(e)eff−【答案】AC【解析】【分析】构造函数()()lnxFxfxx=，利用导数研究(

)Fx的单调性，由此求得正确答案.【详解】构造函数()()()ln0xFxfxxx=，()()()()()()2ln1ln11lnln0xxxFxfxfxfxfxfxxxxxxx−=+=−+，所以()Fx

在()0,+上单调递增，()()ln1110Ffx==，所以()()ln22202Ff=，则()20f，A选项正确，()()()lne1eee0eeFff==，所以()e0f，B选项错误，()()

()()2222lnelneee,eeeeFFff，所以()()2ee2eff，C选项正确，()()1ln1lne1ee,e1eeeeFFff，所以()21eeeff−，D选项错误.故选：AC12.已知数列na满足214nnnaaa+=−

+，11a=，则下列说法正确的有（）A.数列na是递增数列B.134nnnaaa+C.1211143naaa+++D.21222logloglog22nnaaa+++−【答案】ACD【解析】【分析】作差法得到1nnaa+，即可判断A项；求出na前几项，可得出342444aa

=，即可判断B项；由已知推得111111nnnaaa+−−−，然后相加即可得到121111414331nnaaaa+=−+++−，即可得到C项；求出24a=，可得出当3n时，40na−，进而推得21nnaa+，即221222loglog2loglognnnnaaaa+=，然后即可得到

12log2nna−.相加根据等比数列的前n项和公式，即可得出D项.【详解】对于A项，由已知可得，()22124130nnnnnaaaaa+−=−+=−+，所以1nnaa+，所以数列na是递增数列，故A正确；对于B项，由已知

可得，221144aaa+=−=，2223416aaa−+==，2333442444aaaa−==+，故B项错误；对于C项，因为数列na是递增数列，所以2n时，有1na.由已知可得22113nnnnnaaaaa+=+−−−，所以21111111nnnn

naaaaa+−=−−−，所以有111111nnnaaa+−−−.当3n时，有12111naaa+++1341321111111111111nnaaaaaaa++−+−++−−−−−−−121111114111433nnaaaa++−−=−−=+−.又11413a=，1211544

3aa+=，所以1211143naaa+++，故C项正确；对于D项，因为11a=，24a=，数列na是递增数列，则当3n时，有24naa=，则有40na−.所以，2214nnnnaaaa+=−+，所以有221222logl

og2loglognnnnaaaa+=又2122123222212222logloglogloglog222logloglognnnnnnnaaaaaaaa−−−−−==L，所以21222logloglognaaa+++122022n−++++()12

212212nn−−=−−=.当1n=时，有211log220a=−=，当2n=时，有22212loglog222aa+==−.综上所述，21222logloglog22nnaaa+++−，故D项

正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：放缩法证明数列不等式.C项中，通过已知得到22113nnnnnaaaaa+=+−−−，推出.111111nnnaaa+−−−.进而各式相加得到证明结果.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写

在答题卡相对应位置上）13.已知函数2()ln(1)fxxxf=+，则()2f=______.【答案】ln24−##4ln2−+【解析】【分析】将(1)f视为常数，在1()2(1)fxxfx=+中令1x=求出(1)f的值，从而求出()fx的解析式，再求()2f

即可.【详解】因为2()ln(1)fxxxf=+，所以1()2(1)fxxfx=+，将1x=代入得(1)12(1)ff=+，所以(1)1f=−，所以2()lnfxxx=−，所以(2)ln24f=−，故答案为：ln24−14.已知数列na的前n项和nS满足1122nnSa+=+，且1

3a=，则na=______.【答案】23,123,2nnnan−==【解析】【分析】先通过nS与na的关系证明当2n时na是等比数列，再按照等比数列求通项公式，因为13a=不符合此通项公式，故将通项公式写成分段数列的形式.【详解】因为1122nnSa+=+，当1

n=时，12122Sa=+，13a=，解得22a=．当2n时，1122nnSa−=+，与1122nnSa+=+两式相减得111122nnnnSSaa−+−=−，即11122nnnaaa+=−，化简得：13nnaa+=，所以2n时，na是以2为首项，3q=为公比的等比数列，所以22

223nnnaaq−−==，又13a=不符合上式，故23,123,2nnnan−==，故答案为：23,123,2nnnan−==15.过点()2,0P的直线交抛物线()220ypxp=于A，B两点，抛物线在A，B两

点处的切线交于点Q，若PQAB⊥，则p=______.【答案】4【解析】【分析】设1122(,),(,)AxyBxy，设直线AB的方程为：2xmy=+，代入抛物线方程，由韦达定理可得12122,4yypmyyp+==−，设过点A的切线方程为(

)()11yykxx−=−，与抛物线方程联立，利用判别式得1pky=，则过点A的切线方程分别为：()11yypxx=+，同理可得过点B的切线斜率为2py，过点B的切线方程为：()22yypxx=+，可得()2,Qpm−，从而得到PQ和AB的斜率，再根据ABPQ⊥就可得出p的值.【详

解】设()()1122,,,AxyBxy，直线:2ABxmy=+，联立222xmyypx=+=，整理得2240ypmyp−−=，则12122,4yypmyyp+==−．设过点A的切线方程为()()11yykxx−=−，联立()1122yy

kxxypx−=−=，整理得2211220pypyyykk−+−=，由22112240pypykk=−−−=，可得1pky=，则过点A的切线方程分别为：()()111p

yyxxy−=−，即()2111yyypxx−=−，即()1112yypxpxx−=−，即()11yypxx=+，同理可得过点B的切线斜率为2py，过点B的切线方程为：()22yypxx=+，联立()()1122yypxxyypx

x=+=+，解得112222yyxpyyy=+=，1212,22yyyyQp+1212,24yypmyyp+==−，可得()2,Qpm−，4PQkpm−=，又因为直线AB的斜率为

1m，ABQF⊥，114mpm−=−，解得4p=.故答案为：4．16.已知关于x的不等式()422220eexxxxaa−++恰有两个正整数解，则实数a的取值范围是______.【答案】319,ee【解析】【分析】令()2exxtf

x==，利用导数求出函数()fx的单调区间，则不等式变为关于t的不等式()2220tata−++，再分2a=，2a和2a三种情况讨论，结合函数()2exxfx=的单调性即可得出答案.【详解】令()2exxtfx==，则()()2exxxfx−=，当0x或2x时，()0fx，当0

2x时，()0fx¢>，所以函数()fx在(),0−和()2,+上递减，在()0,2上递增，()()2400,2eff==，当x→−时，()fx→+，当x→+时，()0fx→，不等式变为

关于t的不等式()2220tata−++，若2a=，则不等式无解，若2a时，则2ta，即22exxa，此时0x，与题意矛盾，若2a时，则2at，即22exxa，因为x为正整数，且当0x时，224eexx，所以22e

xx恒成立，则关于x的不等式2exxa恰有两个正整数解，由函数()2exxfx=在()2,+上递减，在()0,2上递增，且()()()()()3419161,31,41eeefffff===，可得()()13faf，即319,eea.故答案为：319

,ee.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式问题，考查了分类讨论思想和转化思想，有一定的难度.四、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列na的前n项和为nS，其中：13a=，5227SS−

=.（1）求数列na的通项公式；（2）令1nnbS=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan=+（2）31114212nTnn=−+++【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，由已知可得1139273ada+==，解方程组，

再利用等差数列的通项公式计算即可；（2）111122nnbnnS==−+，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，由523451139273SSaaaada−=++=+==，得：2d=所以1(1)21naandn=+−=+

.（2）由（1）得()()32122nnnSnn++==+，∴111122nnbnnS==−+∴1111111111111...(1)213243522212nTnnnn=−+−+−++−=+−−+++31114212nn=−+++，∴31114212n

Tnn=−+++.【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及裂项相消法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PAD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，Q为AD的中点，

32PAPD==.（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）点M在线段PC上，满足13PMPC=，求二面角MBQP−−的余弦值.【答案】（1）证明详见解析（2）53【解析】【分析】（1）通过证明PDAB⊥，结合PD

PA⊥来证得PD⊥平面PAB；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角MBQP−−的余弦值.【小问1详解】在正方形ABCD中，ABAD⊥，由于平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，AB平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，由

于PD平面PAD，所以PDAB⊥，由于三角形PAD是等腰直角三角形，且32PAPD==，所以PDPA⊥，由于,,PAABAPAAB=平面PAB，所以PD⊥平面PAB.【小问2详解】由于32PAPD==，PDPA⊥，Q是AD的中点，所以18186

AD=+=，PQAD⊥，132PQAD==由于平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PQ平面PAD，所以PQ⊥平面ABCD.以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，()()()()3,0,3,3,0,0,6,6,0,0,6,0PQBC，()()13,6,3,1

,2,13PCPMPC=−−==−−，则()2,2,2DMDPPM=+=，即()2,2,2M，所以()()()4,4,2,3,6,0,0,0,3MBBQPQ=−=−−=−，设平面MBQ的法向量为(),,nxyz=，则4420360nMBxyznBQxy=+−==−−=，故令2

x=−，可得()2,1,2n=−−，同理可设平面PBQ的法向量为(),,mabc=，则3630360mPBabcmBQab=+−==−−=，故令2a=−，可得()2,1,0m=−，所以平面PBQ的法向量()2,1,0m=−，设二面角MBQP−

−的平面角为，由图可知为锐角，所以55cos335mnmn===.19.已知函数()e2xfxaxa=++.（1）若0x=为()fx的一个极值点，求实数a的值并此函数的极值；（2）若()fx恰有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）12a=−，极小值为12，

无极大值（2）e,2−−【解析】【分析】（1）由()00f=求得a，结合函数的单调性求得()fx的极值.（2）由()0fx=分离常数a，利用构造函数法，结合导数求得a的取值范围.【小问1详解】()e2xfxa=+，依题意()

10120,2faa=+==−，此时()e1xfx=−，所以()fx在区间()()(),0,0,fxfx−递减；在区间()()()0,,0,fxfx+递增.所以()fx的极小值为()11012

2f=−=，无极大值.【小问2详解】依题意()e20xfxaxa=++=①有两个解，121e02f−−=，所以12x=−不是①的解，当12x−时，由①得e21xax=−+，构造函数()e1212xgxxx=

−−+，()()()()22e212e21e2121xxxxxgxxx+−−=−=−++，所以区间()()111,,,,0,222gxgx−−−递增；在区间()()1,,0,2gxg

x+递减.当12x−时，()0gx；当12x−时，()0gx，121ee222g=−=−，要使ya=与()ygx=的图象有两个交点，则需e2a−.综上所述，a的取值范围是e,2−−.【点睛

】根据极值点求参数，要注意的是由()00fx=求得参数后，要根据函数的单调区间进行验证，因为导数为零的点，不一定是极值点.利用导数研究函数的零点，可以考虑分离常数法，通过分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.20.已知数列na满足15a=，213a

=，且()*2156nnnanaa++=−N.（1）求证：数列12nnaa+−是等比数列，并求na的通项公式；（2）若12(31)(1)nnnan−−+−对任意的*nN恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明过程见解析，32n

nna=+在（2）93,74−【解析】【分析】（1）根据题意结合等比数列定义证明12nnaa+−为等比数列，得到123nnnaa+−=，再证明13nna−为等比数列，进而可求得na；（

2）在第一问的基础上，分n为奇数和n为偶数两种情况，利用作差法得到331nncn=+的单调性，进而列出不等式，求出实数的取值范围.【小问1详解】∵2156nnnaaa++=−，则211111112562363222nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa+

+++++++−−−−===−−−，且21230aa−=，故数列12nnaa+−是首项为3，公比为3为等比数列，∴113332nnnnaa+−==−，则11231333nnnnaa++=+，

可得112122112333333313113333nnnnnnnnnnnnaaaaaa++−+−−===−−−，且21033nna−=，故数列13nna−首项为23，公比为23的等比数列，∴12222133

333nnnnnna−−===，故32nnna=+.【小问2详解】由（1）可得：12(31)(1)nnnan−−+−，即1(31)(1)3nnn−+−，故1(31)(1)3nnn−+−对任意的

*nN恒成立，等价于1331(1)nnn−−+对任意的*nN恒成立，设331nncn=+，则()()()1191333034313431nnnnnnccnnnn++−−=−=++++当*nN时恒成立，故数列nc是递增数列，当n为奇数时，则nc对任意的

*nN恒成立，，可得134c=，解得34；当n为偶数时，则nc−对任意的*nN恒成立，，可得297c=−，解得97−；综上所述：实数的取值范围93,74−.21.已知椭圆1C：()222210xyabab+=的离心率为32，短轴长为2，

抛物线2C：()220ypxp=经过点(),ba.斜率为k的直线l与椭圆1C交于不在坐标轴上的P、Q两点，过原点O的直线OP、OQ与抛物线2C的另一个公共点分别为A、B，直线AB与x轴交于点(),0

Tt.（1）求椭圆1C和抛物线2C的方程；（2）若OAOB⊥，求t的值；（3）是否存在确定的实数k使得t为定值？若存在，求出满足条件的k值；若不存在，说明理由．【答案】（1）221:14xCy+=；22:4Cyx=

（2）4t=（3）存在，12k=【解析】【分析】（1）根据离心率和短轴长得到1b=，2a=，得到椭圆方程，再代入抛物线方程得到答案.（2）设211,4yAy，222,4yBy，根据向量垂直得到1216yy=−，考虑斜率存在和不存在两种情况，计算得到答案

.（3）设直线方程为ykxm=+，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算,AB两点坐标，根据3434444xxyyt=−代入数据化简得到22216164mtmk−=−，计算得到答案.【小问1详解】22b=，故1b=，32cea==，2234ca=，222abc

=+，故2a=，椭圆方程为2214xy+=；抛物线过点()1,2，即42p=，2p=，抛物线方程为24yx=，【小问2详解】设211,4yAy，222,4yBy，OAOB⊥，故221212044yy

OAOByy=+=，120yy，故1216yy=−，当直线AB斜率不存在时，12yy=−，此时2116y=，14x=，即4t=；当直线AB斜率存在时，12221212444yykyyyy−==+−，直线AB方程为：2111244yyxyyy=−++，取0y=，解得

21211224444yyyyyxy+=−+=−=，即4t=综上所述：4t=【小问3详解】设()33,Axy，()44,Bxy，直线方程为ykxm=+，2214ykxmxy=++=，整理得到()222418440kxkmxm+++−=，故122841kmxxk+=−+，212

24441mxxk−=+，直线OA方程为33yyxx=，3324yyxxyx==，解得23233344xxyxyy==，故23323344,xxAyy，同理可得24424444,xxByy

，根据（2），()()()343434342234343444444xxyyxxxxtkxmkxmkxxkmxxm=−=−=−+++++22222222222222222224441616161641448448444141mmmkmkmkmkkmkmmmkk

kmmkk−−−+=−=−=−−−−++−−+++当241k=时，即12k=时，221616161mtm−=−=−−，为定值【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和抛物线方程，定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中设而不求，利用韦达定理得到根

与系数的关系求解是解题的关键，此方法是考试的重点方法，需要熟练掌握.22.已知函数e()ln()xfxxaxa=−++.（1）讨论函数1()()gxfxxa=−+的单调性；（2）若1a=，且存在整数k使得()f

xk恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：23e1.95，34e2.12，ln20.69，ln31.10，ln51.61，ln71.95）【答案】（1）答案见解析（2）0【解析】【分析】（1）求导，再分0a，1

a=，01a和1a四种情况讨论，再根据导数符号即可得出函数的单调区间；（2）存在整数k使得()fxk恒成立，只要求出()minfx即可，利用导数求出函数()fx最小值的范围，即可得出答案.【小问1详解】()1e()()ln(,1)xgxfxxaxaxaxa−=−=−+−++，()()(

)()()()()22ee1e111xxxxaxagxxaxaxa+−−−+−=−=+++，若0a，则0,11aa−−，的当1axa−−时，()0gx，当1xa−时，()0gx，所以函数()g

x在(),1aa−−上递减，在()1,a−+上递增，若1a=，则()()()()2e1011xxgxxx−=−+，所以函数()gx在(),a−+上递增，若01a，则10a−，当0ax−或1xa

−时，()0gx，当01xa−时，()0gx，所以函数()gx在()0,1a−上递减，在(),0a−和()1,a−+上递增，若1a，则10a−，当1axa−−或0x时，()0gx，当10ax−时，()0gx，所以函数()gx在()1,0a−上递减，在(),

1aa−−和()0,+上递增，综上所述，当0a时，函数()gx在(),1aa−−上递减，在()1,a−+上递增，当1a=时，函数()gx在(),a−+上递增，当01a时，函数()gx在()0,1a−上递减，在(),0a−和()1,a−+

上递增，当1a时，函数()gx在()1,0a−上递减，在(),1aa−−和()0,+上递增；【小问2详解】若1a=，()e()ln(1),11xfxxxx=−+−+，()()()()22e1e1e1111xxxxxxfxxxx+−−−=−=+++，令()()e11xhxxxx=−−

−，则()()()1e11xhxxx=+−−，令()()()1e11xmxxx=+−−，则()()()2e01xmxxx=+−，所以函数()mx在()1,−+上递增，即函数()hx在()1,−+上递增，又()00h=，则当10x−时，()0hx，当0x时，()0hx

，所以函数()hx()1,0−上递减，在()0,+上递增，在所以()()min01hxh==−，又()()3413376.36710,e0,1e20e44444hhh−=−=−−=−，所以函数()hx存在唯一的零点0x，且03,14x，此

时000e1xxx=+，则当01xx−时，()0hx，即()0fx，当0xx时，()0hx，即()0fx¢>，所以函数()fx在()01,x−上递减，在()0,x+上递增，所以()()0000m00ine1ln(1)ln(1)1xfxxxfxxx−+=−=+=+，令()()

13ln1,,14xxxx=−+，则()21130,,114xxxx=−−+，所以函数()x在3,14上递减，所以()()314x，又()3474411ln20.31,lnln72ln20.57143433

=−=−=−+−，所以()()()0min0,1fxfx=，又存在整数k使得()fxk恒成立，所以整数k的最大值为0.【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性和最值问题，考查了函数不

等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的难度.