【文档说明】四川省遂宁市射洪中学校2023届高三下学期开学考试理科数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.703 MB，由小赞的店铺上传

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射洪中学高2020级高三下期入学考试理科数学试题命题人：刘战勇审题人：曹剑校对人：谭彦知考试时间：120分钟；考试满分：150分注意事项:1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、

考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后

，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A.{x|﹣3＜x＜2}B.{x|﹣2＜x＜2}C.{x

|﹣6＜x＜2}D.{x|﹣1＜x＜2}【答案】D【解析】分析】首先解二次不等式得到|16Axx=−，再求AB即可.【详解】2|560|16Axxxxx=−−=−，|2Bxx=.所以12|ABxx=−

.故选：D．2.已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）A.﹣3+iB.﹣1+3iC.﹣3+3iD.﹣1+i【答案】B【解析】【详解】（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，【故选B．3.已知向量()1,2a=，()3,0

b=，若()aba−⊥rrr，则实数=（）A.0B.35C.1D.3【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得的值.【详解】因为向量()1,2a=，()3,0b=，且()aba−⊥rrr

，所以()0aba−=rrr，即20aab−=，所以有530−=，解得35=，故选：B【点睛】方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；（2）根据向量数量积

运算法则进行化简；（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.4.下列说法正确的是（）A.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差B.某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C.数据2，3，4，5的方差是数据4，6，

8，10的方差的一半D.在回归直线方程0.110ˆyx=+，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位【答案】D【解析】【分析】由残差图与模拟效果的关系判断A；由大概率事件也不一定发生判断B；第二组数据是由第一

组乘以2得到的，可由方差的关系判断C；由回归分析模型的性质以及回归方程b的含义判断D．【详解】对于A选项：在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故A选项错误；对于B选项：概率只说明事件发生的可能性，事件不一定发

生，所以并不能说明天气预报不科学，故B选项错误；.对于C选项：根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，故C选项错误；对于D选项：在回归直线方程0.110ˆyx=+中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量

增加0.1个单位，故D选项正确．故选：D．5.已知()0πx，，则“1cos2x=−”是“3sin2x=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】正向推导可得π,π2x，则3s

in2x=，而反向推导1cos2x=，根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【详解】(0,)x，若1cos2x=−，则(,)2x，213sin122x=−−=，则前者可以推出后者，(0,)x，若3sin2x=，则1cos2x

=，则后者无法推出前者，故前者是后者的充分不必要条件，故选：A.6.已知函数()21cos4fxxx=+，则其导函数()fx的图象大致是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求函数导数，观察图象

，确定导函数的奇偶性，再利用导数确定导函数的单调性，即可求解.【详解】()21cos4fxxx=+,1()sin2fxxx=−,1()sin()2fxxxfx−=−+=−,即函数为奇函数，排除B,D选项，令()()gxfx=−，则1()cos2gxx=−，当(0,)3x

时，()0gx，()fx在(0,)3x上单调递减，故选：A【点睛】本题主要考查了函数的导数，利用导数判定函数单调性，函数的奇偶性，属于中档题.7.在()62x+展开式中，二项式系数的最大值为m，含4

x的系数为n，则nm=（）A.3B.4C.13D.14【答案】A【解析】【分析】根据二项式系数的性质可求得m，根据通项公式可求得n.【详解】因为6n=，所以二项展开式中共有7项，所以第四项的二项式系数最大，所以3620mC==，根据二项展开式的通项公式可得226260nC==，所

以60320nm==.故选：A.【点睛】本题考查了二项式系数的性质，考查了二项展开式的通项公式，属于基础题.8.已知数列na中，12a=，()*122Nnnnaana+=+，则数列1nan+的前10项和

10S=（）A.1611B.1811C.2011D.2【答案】C【解析】【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列na的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.【详解】解：∵122nnnaaa+

=+，∴1211122nnnnaaaa++==+，∴11112nnaa+−=．∴数列1na是首项为12，公差为12的等差数列，∴()1111222nnna=+−=，∴2nan=．∴()1121112nannnnn==−+++，∴数列1nan

+的前10项和1011111202122223101111S=−+−++−=．故选:C．9.已知函数()sin(2)(0,0π)fxx=+的部分图象如图所示，则下列

结论正确的是（）A.()fx的最小正周期为5π6B.()fx的图象关于点π,03−对称C.()fx在区间π0,2上的最小值为32−D.()fx的图象关于直线5π6x=−对称【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，结合“五点法“作图，求出函数

()fx的解析式，再逐项判断作答.【详解】观察图象知，1(0)sin2f==，而0π，解得π6=或5π6=，函数()fx周期2ππ2T==，由图象知2π23TT，即2π4π33T，因此2ππ4π33，解得3342，由五点作

图法知，2π3π232+=，当π6=时，1=；当5π6=时，12=，不符合题意，所以π6=，1=，π()sin(2)6fxx=+，()fx的最小正周期为π，A不正确；因为ππ()sin()1032f−=−=−，即()fx的图象关于点()π,03−

不对称，B不正确；当π02x时，ππ7π2666x+，则1πsin(2)126x−+，()fx在区间π[0,]2上的最小值为12−，C不正确；因为5π3π()sin()162f−=−=，因此()fx的图象关于直线5π6x=−对称，D正确.故选：D10.如图，在正方体111

1ABCDABCD−中，点P是底面1111DCBA（含边界）内一动点，且//AP平面1DBC，则下列选项不正确的是（）A.1ACAP⊥B.三棱锥1PBDC−的体积为定值C.异面直线AP与BD所成角取值范围为

ππ,32D.PC⊥平面1BDC【答案】D【解析】【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合异面直线所成角的定义、线面垂直的性质、三棱锥的体积公式逐一判断即可.【详解】连接1111,,ADDBAB，由正方体的性质可知11

//ADBC，1AD平面1DBC，1BC平面1DBC，所以1//AD平面1DBC，由正方体的性质可知11//BDBD，同理可证11//BD平面1DBC，因为11111,,ADDBDADDB=平面11ADB，所以平面11//ADB平面1DBC，因为点P是底

面1111DCBA（含边界）内一动点，且//AP平面1DBC，所以当点P在线段11DB上，//AP平面1DBC.A：连接1,ACAC，因为ABCD是正方形，所以ACBD⊥，由正方体的性质可知：1AABD⊥，因为1AAACA=，1,AAAC平面1AAC，所以BD⊥平面1

AAC，而1AC平面1AAC，所以1BDAC⊥，显然111BDAC⊥，同理可证：11ADAC⊥，因为111111,,ADDBADDB平面11ADB，所以1AC⊥平面11ADB，而AP平面11ADB，所以1ACAP⊥，因此本选项正确；B：设该正方体的边长为

a因为//AP平面1DBC，所以11131111326PBDCABDCCABDVVVADABCCa−−−=====定值，因此本选项正确；C：当点P位于1B或1D时，异面直线AP与BD所成角为π3，当点P位于1B1D中点时

，异面直线AP与BD所成角为π2，所以当P从点1B运动到1B1D中点时，异面直线AP与BD所成角为由π3增加到π2，P再从1B1D中点运动到点1D时，异面直线AP与BD所成角为由π2减小到π3，故异面

直线AP与BD所成角取值范围为ππ,32，因此本选项正确；D：若PC⊥平面1BDC，因为BD平面1BDC，所以PCBD⊥，显然11PCBD⊥，由正方体的性质可知：111CCBD⊥，因为11,,CCPCCCCPC=平面1CCP，所以11BD⊥平面1CCP，而1PC平面

1CCP，所以111BDCP⊥，显然只有当点P位于1B1D中点时，才有111BDCP⊥，因此本选项不正确，故选：D11.已知斜率存在的直线l交椭圆C：221164xy+=于A，B两点，P是弦AB的中点，点()1,0M，且MPAB⊥，1MP=，则直线MP的斜率为（）A.22B.2−C.

22或22−D.2或2−【答案】C【解析】【分析】设出()()()112200,,,,,AxyBxyPxy，利用点差法得到中点弦定理，即0121204xyyxxy−=−−，再利用MPAB⊥得到0120121

1yyyxxx−=−−−，进而得到043x=，利用1MP=求出0223y=，从而得到直线MP的斜率.【详解】设()()()112200,,,,,AxyBxyPxy，则1201202,2xxxyyy+=+=，由MPAB⊥，得1MPABkk=−即01201211yyyxxx−

=−−−，①由A，B在椭圆C上得:221122221164,1164xyxy+=+=两式相减得()()()()121212120164xxxxyyyy−+−++=，所以0121204xyyxxy−=−−，②联立①②得()00141xx−=−−，解得043x=.因为1MP

=，即2200(1)1xy−+=，所以2089y=，即0223y=，所以直线MP的斜率为00221yx=−.故选C.12.已知0.40.7e,eln1.4,0.98abc===，则,,abc的大小关系是（）A.acbB.bacC.bcaD.cab

【答案】A【解析】分析】构造函数()1=lnefxxx−，0x，利用导函数得到其单调性，从而得到ln1exx，当且仅当ex=时等号成立，变形后得到22ln2exx，当e2x=时，等号成立，令0.7x=后得到bc；再构造()1=e

xgxx−−，利用导函数得到其单调性，得到1exx−，当且仅当1x=时，等号成立，变形后得到21e2xx−，当0.5x=时，等号成立，令0.7x=得到ac，从而得到acb.【详解】构造()1=lne

fxxx−，0x，则()11=efxx−，当0ex时，()0fx¢>，当ex时，()0fx，所以()1=lnefxxx−在0ex上单调递增，在ex上单调递减，所以()()e=lne10fxf−=，故ln1exx，当且仅

当ex=时等号成立，因为20x，所以222222(2)2ln2lnlnln2ee2e2eexxxxxxxxx=，【当e2x=时，等号成立，当0.7x=时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee=，所以bc构造()1=exgxx−−，则()1

e1=xgx−−，当1x时，()0gx，当1x时，()0gx，所以()1=exgxx−−在1x单调递增，在1x上单调递减，故()()10gxg=，所以1exx−，当且仅当1x=时，等号成立，故121ee2xxxx−−，当且仅当0.5x=时，等号

成立，令0.7x=，则0.40.4e1.40.7e0.98，所以ac，综上:acb，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在等比数列na中，若32a=，3510aa+=，则7a=___________.【答案】32【解析】【分析】利用等比数列通项公式得()22110q+=，则得到24q=，则47332aaq==.【详解】设公比为q，3510aa+=即()23110aq+=，即()22110q+=，得

24q=，所以47332aaq==.故答案为：32.14.若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是_________．【答案】π2【解析】【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式πSrl=求得结果.【详解】若圆锥的轴截面

是边长为1的正三角形，则圆锥的底面半径12r=，母线1l=，故圆锥的侧面积ππ2Srl==.故答案为：π2.15.已知定义在R上的函数()fx满足(4)()2fxfx−+=，若()fx的图像关于直线4x=对称，则(2)f−=_________.【答案】1【解析】【分析】利用赋

值法结合所给已知条件即可解决问题.【详解】因为(4)()2fxfx−+=，令2x=所以(42)(2)2(2)2fff−+==，所以(2)1f=，又()fx的图像关于直线4x=对称，所以(6)(2)1ff==，令2x=

−，则()4(2)(2)26(2)2ffff−−+−=+−=，即1(2)2f+−=，所以(2)211f−=−=.故答案为：1.16.已知()3,0A，若点P是抛物线28yx=上的任意一点，点Q是圆()222

1xy−+=上任意一点，则2PAPQ最小值是_____【答案】434−【解析】【分析】抛物线28yx=的焦点为()2,0F，准线方程为2x=−．由题意得max||1PQPF=+，所以2||||PAPQ2|

|1PAPF+，即2||||PAPQ的最小值为2||1PAPF+．令1tPF=+，则点P的横坐标为23PxPFt=−=−，由此得2||PA222(3)(3)8PPPPxyxx=−+=−+2(6)8(3)tt=−+−，然后再根据基本不

等式求解可得结果．【详解】由题意得抛物线28yx=的焦点为()2,0F，准线方程为2x=−．又点P是抛物线上一点，点Q是圆()2221xy−+=上任意一点，∴max||1PQPF=+，∴22||||1PAPAPQPF+．令1tPF=+，点P的坐标为(,)PPxy，则2

3PxPFt=−=−，∴2||PA22222(3)(3)8(33)8(3)412PPPPxyxxtttt=−+=−+=−−+−=−+，∴22||41212124244341PAttttPFttt−+==+−−=−+，当且仅当12

tt=，即23t=时等号成立．∴2||||PAPQ的最小值为434−．故答案为434−．【点睛】本题考查抛物线定义及其应用，点与圆的位置关系、距离等问题，解题的关键是首先得到2||||PAPQ的最小值，然后再根据基本不等式求出在最小值的最小值．考

查推理论证和转化思想的运用及计算能力，属于中高档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知ABC的内角，,,ABC所对的边分别是,

,abc，且3sincos2aBbAb+=.（1）求角A大小；（2）若6bc+=，且ABC的面积23S=，求a.【答案】（1）3；（2）23.【解析】【分析】（1）由正弦定理结合辅助角公式得出角A的大小；（2）利用

面积公式以及余弦定理，解出a的值．的【详解】（1）因为3sincos2aBbAb+=，由正弦定理得；3sinsinsincos2sinsin0ABBABB+=（）所以3sincos2AA+=得sin16A+=因0A故3A=（2）13si234n2SbcAbc

===得8bc=2222cosabcbcA=+−2()3bcbc=+−362412=−=所以23a=18.为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：使用手机不使用手机总计学习成绩优秀520学习成

绩一般总计3050（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩

优秀”的人数为X，试求X的分布列与数学期望.参考公式：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.参考数据：()20Px0.0500.0100.001

0x3.8416.63510.828【答案】（1）没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）分布列见解析，()2EX=.【解析】【分析】（1）根据表格中数据和题中信息可完善22列联表，计算出2的观测值，

结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得随机变量X的数学期望值.【详解】（1）22列联表如下表所示：使用手机不使用手机总计学习成绩优秀52025学习成绩一般151025总

计203050假设学生的学习成绩与使用手机无关，()22505102015258.33310.828203025253−==，所以，没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）9人中学习成绩优秀的人有209630

=人，学习成绩一般的有109330=人，X可能的取值有0、1、2、3，()3911084PXC===，()1263393114CCPXC===，()21633915228CCPXC===，()363953?21CPXC===.所以，随机变量X的分布列为X0123P184314152

8521()31551232142821EX=++=.【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回

抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.19.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G

分别是边长为4的正方形的三边ABCDAD、、的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接ABCG、就得到了一个“刍甍”(如图2)。（1）若O是四边形EBCF对角

线的交点，求证：//AO平面GCF；（2）若二面角AEFB−−的大小为2π3，求平面OAB与平面ABE夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1717.【解析】【分析】（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，可得四边形AOHG是平

行四边形，然后线面平行的判定定理即得；（2）由题可得AEB即为二面角AEFE−−的平面角，以E为坐标原点，,EBEF分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系Exyz−，求解平面ABE和平面OAB的一个法向量，利用空间向量夹角公式即得．【小问1详解】取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，四边

形EBCF是矩形，且2CBEB=，∴O是线段BF与CE的中点，∴//OHBC且12OHBC=，在图1中//AGBC且12AGBC=，//EFBC且EFBC=．所以在图2中，//AGBC且12AGBC=，∴AGOH//且AGOH=，∴四边形AOHG是平行四边形，则AOHG//，由于AO

平面GCF，HG平面GCF，∴//AO平面GCF．【小问2详解】由图1，EFAE⊥，EFBE⊥，折起后在图2中仍有EFAE⊥，EFBE⊥，∴AEB即为二面角AEFB−−的平面角．∴2π3AEB=，以E为坐标原点，EB，EF分别为x轴和y轴正

向建立空间直角坐标系Exyz−如图，设224CBEBEA===，则()2,0,0B、()1,2,0O、()1,0,3A−，∴()1,2,0OB=−，()3,0,3BA=−，易知平面ABE的一个法向量()0,1,0m=，设平面OAB的一个法向量(),,nxyz=r，由00nOBnBA=

=，得20330xyxz−=−+=，取2x=，则1y=，23z=，于是平面OAB的一个法向量()2,1,23n=，∴1cos,17nmnmnm==，∴平面ABE与平面OAB夹角的余弦值为1717．2

0.设A、B分别为椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右顶点，设()0,1M−是椭圆下顶点，直线MA与MB斜率之积为14−．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若一动圆的圆心Q在椭圆上运动，半径为255．

过原点O作动圆Q的两条切线，分别交椭圆于E、F两点，试证明22OEOF+为定值．【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可得出1b=，根据已知条件求出a的值，即可得出椭圆的方程；（2）由题意可知，两条切线中至少有一条切线的斜率存在，设直线OE的斜率存在

，对切线OE的斜率是否为零进行分类讨论，在切线OE的斜率为零时，直接求出22OEOF+；在直线OE的斜率不为零时，分析可知两切线的斜率为关于k的方程2220000442055xkkxyy−−+−=的两根，

利用韦达定理结合弦长公式可求得22OEOF+，即可证得结论成立.【小问1详解】解：由题意可知，1b=，(),0Aa−，(),0Ba，由1114MAMBkkaa=−=−，即24a=，又0a，所以2a=，椭圆C的方程为2214xy+=.

【小问2详解】解：设点Q坐标为()00,xy，即220014xy+=．当直线OE的斜率为0，此时0255y=，0255x=，则直线OF的斜率不存在，此时22225OEOFab+=+=；当直线OE的斜率存在且斜率不为0时，设直线OE的方程为1ykx=，直线OF的方程为2ykx=

，设点()11,Exy、()22,Fxy，联立2244ykxxy=+=，可得()22414kx+=，则2121441xk=+，2222441xk=+，又圆Q与直线OE、OF相切，即0022551kxyk−=+，

整理可得2220000442055xkkxyy−−+−=，则1k、2k为关于k的方程2220000442055xkkxyy−−+−=的两根，所以，2200122200441154544455xykkxx−−−=

==−−−，所以，()()()()2222122222112222124141114141kkOEOFkxkxkk+++=+++=+++()()222211112221112114141411616151414141

14kkkkkkkk++++=+=+=++++.综上：22OEOF+为定值5．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并

在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数()esinxfxxax=+，π0,2x.（1）若1a=−，求()fx的最小值；（2）若()fx有且只有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）最小值为(0)0f=；（2）π22

eπ,1−−.【解析】【分析】（1）代入1a=−，求出()π2esin4xfxx=+，根据x的范围可得()0fx在π0,2上恒成立，即可求出最小值；（2）显然(0)0f=，则原题可转化为()fx在区间π0,2

上有且只有1个零点．求出导函数()esinecosxxfxxxa=++，进而二次求导可得()fx在区间π0,2上单调递增.推理得到当2e1a−−时，()0fx=在π0,2上零点，根据导函数得到函数的单调性，结合零点的存在定理可得出实数a的取值范围

.【小问1详解】解：当1a=−时，()esinxfxxx=−，则()()esincos1xfxxx=+−π2esin14xx=+−.当π0,2x时，ππ3π,444x+，所以2πsin124x+，所以π12sin24x+

.又e1x，所以π2sin14x+，所以()0fx恒成立，所以()fx在区间π0,2上单调递增，所以()fx的最小值为(0)0f=.【小问2详解】解：由已知可得(0)0f=，则()fx在区间π0,2上有且只有1个零点．()esinecosx

xfxxxa=++，令()esinecosxxgxxxa=++，π0,2x.则()()()esincosecossin2ecosxxxgxxxxxx=++−=，因为()2ecos0xgxx=

在区间π0,2上恒成立，所以()fx在区间π0,2上单调递增.所以，当0x=时，()fx有最小值()10fa=+；当π2x=时，()fx有最大值π2πe2fa=+.当1a−时，有()010fa=+，则()0fx恒成立，则()fx在区间π0,

2上单调递增，所以()()0fxf.又(0)0f=，所以()fx在区间π0,2上无零点，不符合题意，舍去；当2ea−时，有π2πe02fa=+恒成立，则()fx在区间π0,2上单调递减，所以()()0fxf

.又(0)0f=，所以()fx在区间π0,2上无零点，不符合题意，舍去；当2e1a−−时，有()010fa=+，π2πe02fa=+.又()fx区间π0,2上单调递增，根据零点的存在定理可得，0π0,2x

，使得()0fx=.在当0[0,)xx时，()0fx，()fx单调递减：当0π,2xx时，()0fx，()fx单调递增.又(0)0f=，π2ππe22fa=+，要使()fx在区间π0,2上有且只

有一个零点，则π2πe02a+，解得π22eπa−.又2e1a−−，所以π22e1πa−−.综上，实数a的取值范围是π22eπ,1−−．【点睛】方法点睛：根据函数零点的个数求解参数的取值范围：先观察看函数是否已存在零点，然后根据导函数研究函数的单调性，结

合零点的存在定理，即可得到参数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C

的参数方程为12cos,2sinxy=−=（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sincos=+.（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）若l与C交于A，B两点，(5,3)P−，

求||||PAPB的值.【答案】（1）22(1)4xy−+=，20xy+−=（2）21【解析】【分析】（1）根据参数方程化为普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程的公式求得C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）写出直线l的标准参

数方程并代入C的普通方程，结合根与系数关系求得||||PAPB的值.【小问1详解】12cos,12cos2sin2sinxxyy=−−=−==，所以C的普通方程为22(1)4xy

−+=，l的极坐标方程可化为sincos20+−=，所以l的直角坐标方程为20xy+−=.【小问2详解】点(5,3)P−在:20+−=lxy上，可设l的参数方程为25,2232xtyt=−=−+（t为参数），代入22

(1)4xy−+=，化简得272210tt−+=，设点A，B对应的参数分别为1t，2t，则12||||21PAPBtt==.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数2()2(0)fxxxaaa=++−．（1）当1a=时，解不等式()6fx；（2）若()5fx恒成立，求

实数a的取值范围．【答案】（1）[3,3]−（2）10,[2,)2+【解析】【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值号，解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式得到225aa+，直接解不等式，即可求出实数a的取值范围.【小问1详解】当1a=时

，()|2||2|fxxx=++−．当2x时，令()26=fxx，解得23x；当22x−时，()46=fx恒成立；当2x−时，令()26=−fxx，解得32x−−≤≤．综上，当1a=时，不等式()6fx的解集为[3,3]−．【小问2详解】因为222()|2|(2)2

5=++−+−−=+fxxxaxxaaaaa，当且仅当()220xxaa+−即22min2,max2,axaaa−−时等号成立，所以22520aa−+，解得102a

或2a．故实数a的取值范围为10,[2,)2+．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com