【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：5.5三角恒等变换 5.5.2简单的三角恒等变换 含解析【高考】.docx，共(16)页，106.329 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换【素养目标】1．能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)3．进一步掌握两

角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算)【学法解读】在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件．培养学生数学中的逻辑推理．必备知识·探新知基础知识知识点一半角公式

cosα2＝±1＋cosα2(2C)，sinα2＝±1－cosα2(2S)，tanα2＝±1－cosα1＋cosα(2T)．思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？(2)半角公式中的

正负号能否去掉？该如何选择？(3)半角公式对α∈R都成立吗？提示：(1)二倍角的余弦公式．推导如下：在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以α2代替α，即得：cosα＝1－2sin2α2＝2cos2α2－1.所以sin2α2＝1－cosα2，cos2α2＝1

＋cosα2，tan2α2＝1－cosα1＋cosα.开方可得半角公式．(2)不能．①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求α2所在范围，然后根据α2所在范围选用符号

．(3)公式2C，2S对α∈R都成立，但公式2T要求α≠(2k＋1)π(k∈Z)．-2-基础自测1．下列说法中正确的个数是(A)①sinα2＝±1＋cosα2.②cos20°＝±1＋cos40°2.③tanα

2＝sinα1－cosα＝1＋cosαsinα.④sin4α＋3cos4α＝2sin(4α＋π3)．A．1B．2C．3D．4[解析]①②③错误，④正确，故选A．2．已知180°<α<360°，由cosα2的值等于(C)A．－1－cosα2B．1－co

sα2C．－1＋cosα2D．1＋cosα23．已知cosα＝45，α∈3π2，2π，则sinα2等于(B)A．－1010B．1010C．3103D．－35[解析]∵α∈3π2，2π，∴α2∈3π4，π，∴sinα2＝1－cosα2＝1010.4．s

inx－cosx等于(C)A．sin2xB．2sinx＋π4C．2sinx－π4D．sinx－π4[解析]原式＝222sinx－22cosx＝2sinx－π4.5．已

知cosθ＝13，且270°<θ<360°，试求sinθ2和cosθ2的值．[解析]∵270°<θ<360°，∴135°<θ2<180°，∴sinθ2>0，cosθ2<0.∴sinθ2＝1－cosθ2＝1－132＝33；

cosθ2＝－1＋cosθ2＝－1＋132＝－63.关键能力·攻重难题型探究-3-题型一应用半角公式给角求值例1求下列式子的值：sin75°、cos75°、tan75°.[分析]75°是150°的半角．[解析]sin75°＝1－c

os150°2＝1＋cos30°2＝1＋322＝2＋32＝8＋434＝(6＋2)24＝6＋24.cos75°＝1＋cos150°2＝1－cos30°2＝1－322＝2－32＝8－434＝(6－2)24＝6－24.tan75°＝sin75°cos75°＝6＋246－24＝6＋26－2＝2＋3.

或tan75°＝1－cos150°1＋cos150°＝1＋321－32＝2＋32－3＝2＋3.或tan75°＝1－cos150°sin150°＝1＋3212＝2＋3.或tan75°＝sin150°1＋cos150°＝121－32＝2＋3.[归纳提升]求sin75

°、cos75°，利用sin(45°＋30°)，cos(45°＋30°)求解不易出错，但比较麻烦．而应用半角公式化简容易化简不到位．tan75°的求解应注意选择合理的公式．当然sin75°、cos75°，可以先利用诱导公式将角变小，sin75°＝sin(90°－15°)＝cos15°，cos75°

＝cos(90°－15°)＝sin15°，再利用半角公式求解．【对点练习】❶求值tanπ8＋1tanπ12.[解析]方法一：tanπ8＋1tanπ12＝1－cosπ41＋cosπ4＋1＋cosπ61－cosπ6＝1－221＋22＋1＋321－32＝2－22

＋2＋2＋32－3-4-＝2－22＋2＋3＝2－1＋2＋3＝1＋2＋3.方法二：tanπ8＋1tanπ12＝1－cosπ4sinπ4＋1＋cosπ6sinπ6＝1－2222＋1＋3212＝2－1＋2＋3＝1＋2＋3.题型二应用半角公式求值例2

已知sinθ＝45，且5π2<θ<3π，求sinθ2，cosθ2，tanθ2.[分析]已知条件中的角θ与所求角中的θ2成二倍关系，从而选择半角公式求值．[解析]∵sinθ＝45，5π2<θ<3π，∴cosθ＝－1－sin

2θ＝－35.∵5π4<θ2<3π2，∴sinθ2＝－1－cosθ2＝－255，cosθ2＝－1＋cosθ2＝－55，tanθ2＝sinθ2cosθ2＝2.[归纳提升]已知θ的某个三角函数值，求θ2的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公

式计算即可．【对点练习】❷设π<θ<2π，cosθ2＝－35，求：(1)sinθ的值；(2)cosθ的值；(3)sin2θ4的值．[解析](1)∵π<θ<2π，∴π2<θ2<π，又cosθ2＝－35，∴sinθ2＝1－cos2θ2＝1－(－35)2＝45，∴sinθ＝2s

inθ2cosθ2＝2×(－35)×45＝－2425.(2)cosθ＝2cos2θ2－1＝2×(－35)2－1＝－725.(3)sin2θ4＝1－cosθ22＝1－(－35)2＝45.题型三三角恒等式的化简与证明-5-例3求证：tan3x2－tanx2＝2sinxcosx

＋cos2x.[分析]可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x＝3x2－x2，2x＝3x2＋x2，从消除等式两边角的差异入手考虑．[证明]证法一：tan3x2－tanx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝

sin3x2cosx2－cos3x2sinx2cos3x2cosx2＝sin3x2－x2cos3x2cosx2＝sinxcos3x2cosx2＝2sinxcos3x2－x2＋cos3x2＋x2＝2s

inxcosx＋cos2x.证法二：2sinxcosx＋cos2x＝2sin3x2－x2cos3x2－x2＋cos3x2＋x2＝2sin3x2cosx2－cos3x2sinx22cos3x2cosx2

＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝tan3x2－tanx2.[归纳提升]化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的

差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．【对点练习】❸求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.[证明]证法一左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2

αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边

．∴原式成立．证法二左边＝cos2α1＋cosαsinα－1－cosαsinα＝cos2αsinα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．-6-证法三：左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·

2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．误区警示忽略对角的终边所在象限的讨论例4已知sinα＝35，求sinα2，cosα2与tanα2的值．[错解]∵sinα＝35，∴cosα＝

±45.(1)当cosα＝45时，sinα2＝±1－cosα2＝±1010，cosα2＝±1＋cosα2＝±31010，tanα2＝sinα2cosα2＝±13.(2)当cosα＝－45时，sinα2＝±1－cosα2＝±3

1010，cosα2＝±1＋cosα2＝±1010，tanα2＝sinα2cosα2＝±3.[错因分析]由sinα＝35>0，知角α是第一或第二象限角，从而α2必为第一或第三象限角，所以tanα2的值必然为正．上述解法中忽视了sinα

>0，从而α2为第一或第三象限角这一隐含条件，导致解中的tanα2有正负两个值．另外，错解中还有一点不妥，就是解法过于笼统与简单，没有细分sinα2，cosα2与tanα2的值的对应情况，依上述解法，sinα2，cosα2

与tanα2的值对应着2×2×2＋2×2×2＝16(组)情况，但实际情况却只有4组(见下面正确解法)，这就造成了解的结果混乱，不能体现三个数值的对应情况．[正解]由sinα＝35>0，知角α是第一或第二象限角．(1)当α是第一象限角时，co

sα＝45，且α2为第一或第三象限角，于是①当α2为第一象限角时，sinα2＝1－cosα2＝1010，cosα2＝1＋cosα2＝31010，tanα2＝sinα2cosα2＝13；②当α2为第三象限角时，si

nα2＝－1010，-7-cosα2＝－31010，tanα2＝sinα2cosα2＝13.(2)当α是第二象限角时，cosα＝－45，且α2为第一或第三象限角，于是①当α2为第一象限角时，sinα2＝31010，c

osα2＝1010，tanα2＝sinα2cosα2＝3；②当α2为第三象限时，sinα2＝－31010，cosα2＝－1010，tanα2＝sinα2cosα2＝3.[方法点拨](1)应用公式sinα2＝±1－cosα2，cosα2＝±1＋cosα2以及tanα2＝±1－cosα1＋cosα时

，一定要注意根号前的符号是由α2的终边所在的象限来确定这一原则，充分挖掘题设中的隐含条件，利用隐含条件，判断解的符号，缩小解的范围，减少解答中的失误．另外，在解答过程中也要充分注意解题格式的规范性，规范表述，不要给出模糊不清的过程与结果．(2)注意等号两边表达式

的定义域是否一致．学科素养三角恒等变换的综合应用三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简，在综合讨论三角函数性质时，通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式，再去研究其图象与性质是考试的重点．例5已知f(x)＝

(1＋1tanx)sin2x－2sin(x＋π4)·sin(x－π4)．(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈[π12，π2]，求f(x)的取值范围．[分析](1)将函数f(x)转化为只含有sin2x与cos2x的式子，由tanα＝2，求出sin2α

与cos2α的值，代入f(x)求f(α)．(2)将f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋B的形式，利用正弦函数的图象与性质求解．[解析](1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin(x＋π4)·cos(

x＋π4)＝1－cos2x2＋12sin2x＋sin(2x＋π2)＝12＋12(sin2x－cos2x)＋cos2x＝12(sin2x＋cos2x)＋12.-8-由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋c

os2α＝2tanαtan2α＋1＝45.cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.所以，f(α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.(2)由(1

)得f(x)＝12(sin2x＋cos2x)＋12＝22sin(2x＋π4)＋12.由x∈[π12，π2]，得5π12≤2x＋π4≤5π4.所以－22≤sin(2x＋π4)≤1,0≤f(x)≤2＋12.所以f(x)的取值范围是[0，2＋12]．[归纳提升]利用三角恒等变换的解题技巧(1

)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究

函数的周期、单调性、最值与对称性．课堂检测·固双基1．若cosα＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝(A)A．－12B．12C．2D．－2[解析]∵α是第三象限角，cosα＝－45，∴sinα＝－35.-9

-∴1＋tanα21－tanα2＝1＋sinα2cosα21－sinα2cosα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2·cosα2＋sinα2cosα2＋sinα2＝1

＋sinαcosα＝1－35－45＝－12.故选A．2．若θ∈[π4，π2]，且sin2θ＝378，则sinθ＝(D)A．35B．45C．74D．34[解析]本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关系式．∵θ∈[π4，π2]，∴2θ∈[π2，π]，∴sinθ>0，cos2θ<0，

∴cos2θ＝－1－sin22θ＝－18，又sin2θ＝1－cos2θ2，∴sin2θ＝916，∴sinθ＝34，故选D．3．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos(α－π)2的结果是(C)A．sinα2B．cosα2

C．－cosα2D．－sinα2[解析]∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π，∴cosα2<0，∴原式＝1＋cosα2＝|cosα2|＝－cosα2.4．设a＝12cos6°－32sin6°，b＝2sin13°

cos13°，c＝1－cos50°2，则有(C)A．c<b<aB．a<b<cC．a<c<bD．b<c<a[解析]a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝sin26°，c＝2s

in225°2＝sin25°，∴b>c>a.故选C．5．已知tan(α＋π4)＝2，则sin2α－cos2α1＋cos2α的值为(A)-10-A．－16B．16C．52D．－56[解析]tanα＝tan

[(α＋π4)－π4]＝tan(α＋π4)－11＋tan(α＋π4)＝13，原式＝cosα(2sinα－cosα)2cos2α＝tanα－12＝13－12＝－16，故选A．素养作业·提技能A组·素养自测一、选择题1．(2019·陕西省西安市段考)1＋cos260°2的值等于(A)A．sin40°B

．cos40°C．cos130°D．±cos50°[解析]1＋cos260°2＝1＋2cos2130°－12＝cos2130°＝|cos130°|＝－cos130°＝sin40°，故选A．2．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β

)＝(C)-11-A．1B．－1C．0D．±1[解析]因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.

3．若sinθ＝35，5π2<θ<3π，则tanθ2＋cosθ2＝(B)A．3＋1010B．3－1010C．3＋31010D．3－31010[解析]因为5π2<θ<3π，所以cosθ＝－1－sin2θ＝－45.因为5π4<θ2<3π2，所以sinθ2<0，

cosθ2<0，所以sinθ2＝－1－cosθ2＝－31010，cosθ2＝－1＋cosθ2＝－1010，所以tanθ2＝sinθ2cosθ2＝3.所以tanθ2＋cosθ2＝3－1010.4．若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ＝(D)A．15B．14C．

13D．12[解析]由sinθcosθ＋cosθsinθ＝4，得1sinθ·cosθ＝4，所以2sin2θ＝4，sin2θ＝12.5．设3π<α<4π，cosα2＝m，那么cosα4等于(B)A．m＋12B．－m＋12C．－1－m2D．1－m2[解析]由于

cosα2＝2cos2α4－1，可得cos2α4＝1＋cosα22.又3π<α<4π，所以3π4<α4<π.所以cosα4<0.所以cosα4＝－m＋12.-12-6.2sin2αsin2α·2cos2αcos2α等于(B)A．tanαB．tan2αC．1D

．12[解析]原式＝(2sinαcosα)2sin2αcos2α＝sin22αsin2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α.二、填空题7．已知sinθ＝－35，3π<θ<7π2，则tanθ2＝__－3__.[解析]根据角θ的范

围，求出cosθ后代入公式计算，即由sinθ＝－35，3π<θ<7π2，得cosθ＝－45，从而tanθ2＝sinθ1＋cosθ＝－351－45＝－3.8．已知cos2α＝12，且π2<α<π，则tanα＝__－33__.[解析]∵π2<α<π

，∴tanα＝－1－cos2α1＋cos2α＝－33.9．若sin2α<0，cosα<0，则cosα1－sinα1＋sinα＋sinα1－cosα1＋cosα＝__2sin(α－π4)__.[解析]由题可知α为第二象限角，且π4<α2<π2.原式＝cosα1－cos(π2－α)1＋cos(π2－α

)＋sinα1－cosα1＋cosα＝－cosαtan(π4－α2)＋sinα·tanα2＝－2sin2(π4－α2)＋2sin2α2＝－1＋cos(π2－α)＋(1－cosα)＝2sin(α－π4)．三、解答题10．求证：2sinxcosx(sinx＋cosx－1)(sinx－c

osx＋1)＝1＋cosxsinx.[证明]左边＝2sinxcosx(2sinx2cosx2－2sin2x2)(2sinx2cosx2＋2sin2x2)-13-＝2sinxcosx4sin2x2(cos2x2－sin2x2)＝sinx2sin

2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cosxsinx＝右边．∴原等式成立．11．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝45，sinβ＝1213，求cosα－β2与tanα－β2的值．[解析]因为α为钝角，β为锐角，sinα＝45，sinβ＝1213，所以c

osα＝－35，cosβ＝513.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－35)×513＋45×1213＝3365.因为π2<α<π，且0<β<π2，所以0<α－β<π，即0<α－β2<π2，所以co

sα－β2＝1＋cos(α－β)2＝1＋33652＝76565.方法一：由0<α－β2<π2，得sinα－β2＝1－cos2α－β2＝46565，所以tanα－β2＝sinα－β2cosα－β2＝47.方法二：由0<α－β<π，cos(α－β

)＝3365，得sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝5665.所以tanα－β2＝sin(α－β)1＋cos(α－β)＝56651＋3365＝47.B组·素养提升一、选择题1．若A＋B＝2π3，则cos2A＋cos2B的取值范围是(C)A．[0

，12]B．[12，1]C．[12，32]D．[0,1][解析]cos2A＋cos2B＝1＋cos2A2＋1＋cos2B2＝1＋12(cos2A＋cos2B)-14-＝1＋cos2A＋2B2·cos2A－2B2＝1＋cos(A＋B)·cos

(A－B)＝1＋cos2π3·cos(A－B)＝1－12cos(A－B)．∵cos(A－B)∈[－1,1]，∴cos2A＋cos2B∈[12，32]．2．(2019·甘肃武威第十八中学单元检测)若π2<θ<π，则1－sin

θ－12(1－cosθ)＝(D)A．2sinθ2－cosθ2B．cosθ2－2sinθ2C．cosθ2D．－cosθ2[解析]∵π2<θ<π，∴π4<θ2<π2，∴sinθ2>cosθ2>0.∵1－sinθ＝s

in2θ2＋cos2θ2－2sinθ2cosθ2＝(sinθ2－cosθ2)2，12(1－cosθ)＝sin2θ2，∴1－sinθ－12(1－cosθ)＝(sinθ2－cosθ2)2－sin2θ2＝(sinθ2－cosθ2)－sinθ2＝－

cosθ2.3．(多选题)下列各式中，值为12的是(AC)A．tan22.5°1－tan222.5°B．tan15°cos215°C．33cos2π12－33sin2π12D．tan30°1－tan230°[解析]A符合，原式＝12×

2tan22.5°1－tan222.5°＝12tan45°＝12；B不符合，原式＝sin15°·cos15°＝12sin30°＝14；C符合，原式＝33·cosπ6＝12；D不符合，原式＝12×2tan30°1－tan230°＝12tan60°＝32，故选AC．4．(多选题)下列各式与t

anα相等的是(CD)A．1－cos2α1＋cos2αB．sinα1＋cosα-15-C．1＋cos(π＋2α)2·1cosα(α∈(0，π))D．1－cos2αsin2α[解析]A不符合，1－cos2α1＋cos2α＝2sin2α2cos2α＝tan2α

＝|tanα|；B不符合，sinα1＋cosα＝2sinα2cosα22cos2α2＝tanα2；C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝1－cos2α2·1cosα＝sinαcosα＝tanα；D符合，1－cos2αsin2α＝2

sin2α2sinαcosα＝tanα.二、填空题5．已知tanα2＝13，则cosα＝__45__.[解析]∵tanα2＝±1－cosα1＋cosα，∴tan2α2＝1－cosα1＋cosα.∴1－cosα1＋cosα＝19，解得cosα＝45.6．设0<θ<π2

，且sinθ2＝x－12x，则tanθ等于__x2－1__.[解析]∵0<θ<π2，sinθ2＝x－12x，∴cosθ2＝1－x－12x＝x＋12x.∴tanθ2＝sinθ2cosθ2＝x－1x＋1，tanθ＝2tanθ21－ta

n2θ2＝2x－1x＋11－x－1x＋1＝x－1x＋1·(x＋1)＝x2－1.7．(sinα2＋cosα2)2＋2sin2(π4－α2)的值等于__2__.[解析]原式＝1＋sinα＋2·1－cos(π2－α)2＝

1＋sinα＋1－sinα＝2.三、解答题8．已知cos(x＋π4)＝35且17π12<x<7π4，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．[解析]原式＝2sinx(cosx＋sinx)1－sinxcosx＝2sinxcos

x(cosx＋sinx)cosx－sinx，-16-cosx＋sinx＝2sin(x＋π4)，由17π12<x<7π4，即5π3<x＋π4<2π，知sin(x＋π4)<0，由cos(x＋π4)＝22(co

sx－sinx)＝35，得cosx－sinx＝325，且sin(x＋π4)＝－45，对cosx－sinx＝325两边平方得1－2sinxcosx＝1825.∴2sinxcosx＝725.∴原式＝725×2×(－45)325＝－2875.9．已知在△ABC中，si

nA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A，B，C的大小．[解析]由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，∴sinAsinB＋si

nAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sinB(sinA－cosA)＝0，∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴sinA＝cosA，∵A∈(0，π)，∴A＝π4，从而B＋C＝3π4.由sinB＋cos2C＝0，得sinB＋cos(3π2－2B)＝0，∴sinB－sin2B＝0，

sinB－2sinBcosB＝0，∴cosB＝12，∴B＝π3，∴C＝5π12.于是A＝π4，B＝π3，C＝5π12.