【文档说明】四川省泸县第四中学2023届高三三诊模拟文科数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.068 MB，由小赞的店铺上传

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泸县四中高2020级高三三诊模拟考试文科数学本试卷共4页.考试结束后，只将答题卡交回.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知R为实数集，集合220Axxx=+−，1Bxx=，则

AB=（）A.11xx−B.21xx−−C.21xx−−D.21xx−【答案】B【解析】【分析】先将集合A，B化简，再利用集合的交集运算可得答案.【详解】220xx+−，即()()210xx+−，解得2<<1x−，21Axx=−，又1x，1x−

或1x，1Bxx=−或1x，21ABxx=−−.故选：B.2.已知复数z满足31ii22z=+，则2z=（）A.13i22+B.13i22−C.13i22−−D.13i22−+【

答案】C【解析】【分析】根据题意，由复数的运算即可得到z，从而得到结果.【详解】因为31ii22z=+，则31i22z−=−，即13i22z=−，所以221313ii2222z=−=−−.故选:C3.已知实数x，y满足约束条件1033

01xyxyx−++−，则22zxy=+的最小值为（）A.5B.5C.31010D.910【答案】D【解析】【分析】先作出可行域，进而利用22zxy=+可以看作点(,)xy和点(0,0)O的距离的平方，数形结合可得解.【详解】由不等式组作出可行域如图所示：22zxy=+可以看作

点(,)xy和点(0,0)O的距离的平方，由题可知当(0,0)O到直线330xy+−=距离最小时，z有最小值，33101019od−==+此时2min910odz==故选：D.4.已知F是抛物线C：24yx=的焦点，若点()0,23Ax在抛物线上，则AF=（）A.3B.23C.

4D.231+【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求出点A、F的坐标，代入两点间的距离公式即可得解.【详解】点()0,23Ax在抛物线上，001243xx==，则()3,23A，又抛物线C：24yx=的焦点()1,0F，故()()2231234AF=−+=．故选：C5.“33ab

”是“ab”的（）．A充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】做差变形后可知33abab，由充要条件的定义得解.【详解】3322223()()()[()]24bababaabbabab−=−++=−++

，且223()024bab++，3300abab−−，即33abab，所以“33ab”是“ab”的充分必要条件.故选：C．6.已知函数()()cos0,2fxx=+

的图象如图所示，为了得到cosyx=的图象，只需把()yfx=的图象上所有点（）A.向左平移12个单位长度B.向右平移12个单位长度C.向左平移6个单位长度D.向右平移6个单位长度【答案】A【解析】【分析】

依据图象可知44T=，可得，然后代入点03π，计算可得，最后根据平移知识可得结果..【详解】有图象可知：741234TT=−==，则22T==所以()()cos2fxxφ=+，将点03π，代入解析

式可得2cos03+=由图象可知：2,32kkZ+=+，又2，所以令0k=，6=−所以()cos26fxx=−，只需将函数()cos26fxx=−向左平移12个单位长度则可得到cos2yx=图象，故选：A7.若

角的终边不在坐标轴上，且sin2cos2+=，则tan=()A.43B.34C.23D.32【答案】A【解析】【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cosα，从而求出sinα，根据sintancos=即可求得结果．【详解】22sincos13cos5sin2c

os2+==+=或cos1=，∵的终边不在坐标轴上，∴3cos5=，∴34sin2255=−=，∴sin4tancos3==．故选：A．8.若直线0xya−+=与圆224xy+=相交于A，B两点，且120AOB=（O为坐标原点），则a=（）A.1B.2C.

2D.22【答案】B【解析】【分析】先由余弦定理求出23AB=，即可得出圆心到直线的距离，即可求得答案.的【详解】圆224xy+=的圆心为()0,0，半径为2，则在AOB中，由余弦定理可得222122222122AB=+−−=，即23AB=，所以圆心

到直线的距离为()22231−=，则12a=，即2a=.故选：B.9.如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，E是边BC上靠近C的三等分点，F为CD的中点，则AEEF=（）A.2B.109C.109

−D.2−【答案】C【解析】【分析】选,ABBC为基底，其他向量用基底表示后计算数量积可得．【详解】解：∵23AEABBC=+，11113232EFBCCDBCAB=+=−，∴211332AEEFABBCBCAB=+−222121104492929BCAB=−=−

=−.故选：C.10.在区间[,]−内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数22()2fxxaxb=+−+有零点的概率为A.78B.34C.12D.14【答案】B【解析】【分析】先列出函数有零点的条件，再根据面积求几何概型概率.【详解】因为函数()222fxxaxb=+−+有零点，

所以222244(π)0π,abab=−−++所以所求概率为22π2πππ32π2π4−=，选B.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结

果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．11.已知双曲线E

：22221xyab−=()0,0ab，点1F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点O的对称点为Q，OPb=，113PFQF=，则E的离心率为（）A.2B.3C.2D.5【答案】B【解析】【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得

∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e【详解】由题意可知：双曲线的右焦点F，由P关于原点的对称点为Q，则OPOQ=∴四边形PFQF1为平行四边形，则11,PFFQPFQF==由|PF1|=3|F1Q|

，根据双曲线的定义1PF-PF=2a，∴PF=a，∵|OP|=b，OF=c，∴∠OPF=90°，在△QPF中，PQ=2b，QF=3a，PF=a，∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率2213cbeaa==+=故选B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查

求双曲线的离心率，一般思路是根据已知条件，建立起a，b之间的关系，再结合a2+b2=c2，从而求出e的值.12.关于函数()1sinsinfxxx=+有如下四个命题，其中正确的个数是（）①()fx是偶函数；②()fx图象关于2x=对称；③()fx的最小

值为-2；④()fx在,02−上单调递增；A.①②B.①④C.①②④D.①③④【答案】B【解析】【分析】通过表达式的特点，先判断函数的奇偶性；通过举例3()()22ff−且3+=2222

−，说明函数并不是关于2x=对称；利用0x时，最小值为2，得函数的最小值为2；利用导函数的正负来判断函数在区间,02−上是单调递增.【详解】()1sinsinfxxx=+，()11sinsin=()sinsinfxxxfxxx−=−+=+−，所以函数()fx是偶函数；1s

in222sin2f−=−+=−，331sin2322sin2f=+=−，所以3()()22ff−且3+=2222−，故函数()fx不关于2x=对称；si

n0x，当sin0x时，()11sin2sin2sinsinfxxxxx=+=，根据函数的奇偶性，()fx的最小值为2；,02x−时，()11sinsinsinsinfxxxxx=+=−−，322coscos'()cossi

nsinxxfxxxx=−+=，,02x−时，2cos0,sin0xx，'()0fx，()fx在,02x−上单调递增.故选：B【点睛】对函数奇偶性，对称性，单调性，最值要有明确的认识，根据表达式的特点，结合学过的导数，基本不等式

等知识来解题.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a，b满足1a=，2b=，()aab⊥−，则a与b的夹角为________．【答案】π3【解析】【分析】根据()1,2,0abaa

b==−=，得到1ab=rr，再利用向量的夹角公式求解.【详解】因为向量ab，满足()1,2,0abaab==−=，所以20aab−=，则1ab=rr，所以1cos,2ababab==，

因为,0,πab，所以π,3ab=，故答案为：π3.14.函数()3fxxax=−在x＝1处的切线平行于直线x－y－1＝0，则切线在y轴上的截距为______．【答案】2−【解析】【分析】由题意()11f=，求得2a=，所以()32f

xxx=−，则()11f=−，进而求出函数()fx在x＝1处的切线方程，从而得解.【详解】()23fxxa=−，由题意()131fa=−=，即2a=，所以()32fxxx=−，则()11f=−，故函数()fx在x＝1处的切线方程为(1)1yx−−=−，即2

yx=−，则切线在y轴上的截距为2−．故答案为：2−．15.已知函数()22ln(0)(0)xxxfxaxxx−=+的最大值为-1，则实数a的取值范围是__________.【答案】1,4+【解析】【分析】求

出f(x)在x>0时的值域，根据f(x)的最大值为-1可以确定f(x)在x<0时的值域，从而求出a的范围．【详解】当x>0时，f(x)=22lnxx−，()22122xfxxxx−=−=，∴当01x时，(

)0fx¢>，()fx单调递增；当1x时，()0fx，()fx单调递减；∴()max()11fxf==−；∴要使f(x)的最大值为-1，则1axx+−„在x<0时恒成立，即2axx−−…在x<0时恒成立，令

()2gxxx=−−，0x，则max1111()2424gxg=−=−+=，∴14a…．故答案为：1,4+．16.在ABC中，3ABAC=，AD是A的平分线，且ADtAC=，则实数t的取值范围_____.【答案】30,2【解析】【分析】在ABD△和ACD中

，利用正弦定理可求得3BDCD=；利用余弦定理可构造方程组，得到3cos22At=，结合A的范围和余弦函数的值域可求得t的取值范围.【详解】ADBADC=−，sinsinADBADC=，在ABD△和ACD中，由正弦定理得：sinsin2ABBDAADB=，sinsin2ACCDA

ADC=，sin2sin3sin2sinAABBDABADBACDACACADC===，即3BDCD=；设1AC=，则3AB=，ADt=，在ABD△和ACD中，由余弦定理得：2222cos2ABDABADABAD=+−，2222c

os2ACDACADACAD=+−，即2222996cos212cos2ACDttACDtt=+−=+−，2296cos9918cos22AAtttt+−=+−，3cos22At=；()0,A，0,22A，()cos0,12A，30,2t

.故答案为：30,2.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.2021年11月，江西省出台了新规落实“双减”政策，在加强学生作

业管理方面《若干措施》提出，要控制书面作业总量，小学一、二年级不得布置家庭书面作业，小学三至六年级每天书面作业总量平均完成时间不超过60分钟，初中每天书面作业总量平均完成时间不超过90分钟．某中学为了了解七年级学生的家庭作业用时情况，从本校七年级随机抽取了一批学生进行调查，并绘制了学生家庭作业

用时的频率分布直方图，如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值，并估算学生家庭作业用时的中位数（精确到0.1）；（2）作业用时不能完全反映学生学业负担情况，这与学生自身的学习习惯有很大关系．如果作业用时50分钟之内评价等级为优异，70分钟以上评价等级为

一般，其它评价等级为良好．现从等级优异和等级一般的学生里面用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人被评价为等级一般学生的概率．【答案】（1）0.020，56.7（2）35【解析】【分析】（1）

根据频率分布直方图的频率之和为1，即可求出a的值，根据频率分布直方图中位数的求法，即可求出结果；（2）根据分层抽样可知等级优异学生被抽取的人数为4人，等级一般学生被抽取的人数为2人，然后根据题意列出满足题意的所有可能，根据古典概型即可求出结果.【小问1详解】解：由题意可知，()0.010.

030.0250010.005101a+++++=，所以0.020a=，由左至右各个分区间的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.25,0.1,0.05，中位数为()0.50.10.2501056.70.3−++分钟【小问2详解】解：由题意知

按等级分层抽取6名，则等级优异学生被抽取的人数为4人，等级一般学生被抽取的人数为2人，记4名等级优异学生分别为abcd,,,，等级一般学生为,AB，则从这6名学生中抽取2人的情况有()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,abacadaAaBbcbdbAbBcdcA，，，

，，，，，，()()()(),,,,,,,cBdAdBAB，一共15种情况，2人中至少有1名等级一般学生共有9种情况，故所求概率为93155=.18.如图所示，在四棱锥M—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，//BCAD，9

0CDA=，4=AD，2BCCD==，MBD为等边三角形．（1）求证：BDMC⊥；（2）若平面MBD⊥平面ABCD，求D到平面ABM的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）6【解析】【分析】（1）取BD中点O，连接CO、MO，根据MBD为等边三角形，可得MOBD⊥

，同理可得COBD⊥，根据线面垂直判定定理，可证BD⊥平面MCO，根据线面垂直的性质定理，即可得证.（2）根据面面垂直性质定理，可证MO⊥平面ABCD，根据题意，求得各个边长，结合勾股定理、余弦定理，可得2ABM=，可求得三棱锥MABD−体积，利用等体

积法，即可求得答案.详解】（1）取BD中点O，连接CO、MO，如图所示的【因为MBD为等边三角形，且O为BD中点，所以MOBD⊥，又BCCD=，且O为BD中点，所以COBD⊥，又MOCOO=，所以BD⊥平面MCO，又MC平面MCO，所以

BDMC⊥（2）因为平面MBD⊥平面ABCD，且平面MBD平面ABCD=BD，MOBD⊥，所以MO⊥平面ABCD，由（1）可得2222MBMDBDBCBD===+=，226MOMBBO=−=，22()22BACDADBC=+−=，4ODCOD

A==，所以2222cos10AOADODADODODA=+−=，所以224MAMOAO=+=，所以222MAABBM=+，即2ABM=，设D到平面ABM的距离为h，所以三棱锥MABD−体积1133ABDABMVSOMSh==，

所以111142622223232h=，解得6h=.所以D到平面ABM的距离为619.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且存在实数λ满足2an+1=λan+4，n∈N*.（1）求λ的值及通项公式an；（

2）求数列2nna−的前n项和Sn.【答案】（1）λ=2，an=2n-1；（2）Sn=2n+2-n2-2n-4.【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，然后退项相减便可得出结果；（2）求出数列2nna−的通项公式，然后利用分组求和法求出前n项和.【详解】（1

）设等差数列{an}的公差为d，d≠0，由2an+1=λan+4(n∈N*)，①得2an=λan-1+4(n∈N*，n≥2)，②两式相减得，2d=λd，又d≠0，所以λ=2.将λ=2代入①可得2an+1=2an+4，即2d=

4，所以d=2.又a1=1，所以an=1+(n-1)×2=2n-1；（2）由（1）可得2nna−=2(2n-n)-1=2n+1-(2n+1)，所以Sn=(22+23+…+2n+1)-[3+5+…+(2n+1)]=

()()412321122nnn−++−−=2n+2-n2-2n-4.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.20.如图所示已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，准线为l，过

点()1,0M的直线交抛物线C于1122(,),(,)AxyBxy，两点.且3OFFM=.（1）求抛物线方程；（2）若点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且0=ADEF，求ABD△面积的最小值及此时直线AD的方程.【答案】（1）2yx=；（2）8，230xy−−=或230xy+−=【解析】

【分析】（1）由点的坐标和3OFFM=，可得12p=，进而求出抛物线的方程.（2）设2(,)Btt，由对称性可得1(,)4−Et，由:1ABxmy=+，可得211(,)−Att，由ADEF⊥，可得12ADkt=，进而可得直线AD的方程，求出A

D和点B到直线AD的距离，进而求出ABDS的最小值和直线方程.【详解】（1）依题意(,0)2pF，3=OFFM3=OFFM即3122pp=−，即12p=.所以抛物线方程2yx=.（2）设00(,

)Dxy，2(,)Btt，则1(,)4−Et，设:1ABxmy=+，联立21yxxmy==+，210ymy−−=，121yy=−所以可得211(,)−Att因为2EFkt=−，ADEF⊥，所以12ADkt=·故直线2111:

()2+=−ADyxttt.由221220yxxtyt=−−−=，得221220ytyt−−−=，所以1010212,2+==−−yytyyt.所以22222101010211414()4=2142=+−=++−+++A

Dtyytyyyyttt设点B到直线AD的距离为d，则2222222112221414tttttdtt−−−++==++.所以23211(2)82==++ABDSADdtt.当且仅当41t=.即1t=1t=时，直线AD的方程为：230xy−−=.1t=−时，直线AD方程为：+230xy−=

【点睛】本题考查了抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积、基本不等式的应用等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.21.已知函数()21xfxex=−．（1）判断函数()fx的零点个数；（2）若()22lnaxafxxx+，求a的值．【答案】（

1）有且只有一个零点；（2）1a=．【解析】【分析】（1）利用导数分析函数()fx的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；（2）分析可知不等式()22ln10xxxeaxe−−对任意的0x恒成立，令20xtxe=，()ln1httat=−−，可得出()()min10hth==，对实

数a的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()ht在()0,+上的单调性，结合()()min1hth=可求得实数a的值.【详解】（1）因为()21xfxex=−，该函数的定义域为0xx，且()221xxefxx−=，令()21xgxxe=−，所以()()2xgxxxe=+.

当(),2x−−时，()0gx，所以()gx在(),2−−上单调递增；当()2,0x−时，()0gx，所以()gx在()2,0−上单调递减；当()0,x+时，()0gx，所以()gx在()0,

+上单调递增；因为()22410ge−−=−，()010g=−，()110ge=−，所以()gx有且只有一个零点，即()fx有且只有一个零点；（2）因为()22lnaxafxxx+，所以2212lnxaxaexxx−+，则212ln0xxeaxax−−−，即()2

2ln10xxxeaxe−−，令2xtxe=，其中0x，则()220xtxxe=+，所以，函数2xtxe=在()0,+上单调递增，的当0x时，20xtxe=，令()ln1httat=−−，则()0ht对任意的0t恒成立，因为()10h=，()()min10ht

h==，且()1atahttt−=−=.①若0a，则()0ht对任意的0t恒成立，所以，函数()ht在()0,+上为增函数，此时函数()ht无最小值，不合乎题意；②若0a，由()0ht，可得0ta，此时函

数()ht单调递减，由()0ht，可得ta，此时函数()ht单调递增，所以，()()minhtha=，所以，1a=.综上所述，1a=.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调

区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分

离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程）22.在平面

直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为sincos=+，曲线2C的极坐标方程为()cos4aa−=R．（1）求曲线12,CC的直角坐标方程；（2）若曲线1C上恰有三个点到曲线2C的距离为22，求a的值．【答案】（1

）221:Cxyxy+=+（,xy不同时为0）；2:20Cxya+−=（2）22a=或22−【解析】【分析】（1）根据极坐标和直角坐标互化原则直接求解即可；（2）当0x，0y时可得1C方程，结合对称

性可得曲线1C围成的图形，结合图形分析可构造方程求得a的值.【小问1详解】由sincos=+知：0，则2sincos=+，曲线1C的直角坐标方程为：22xyxy+=+（,xy不同时为0）；由()cos4aa−=R得：cosco

ssinsin44a+=，即2222xya+=，曲线2C的直角坐标方程为：20xya+−=.【小问2详解】当0x，0y时，曲线1C：22xyxy+=+，即22111222xy−+−=；结合对称性可得曲线1C围成的图形如下图所示，曲线1C上恰有三个点到曲线2

C的距离为22，21a=或21a=−，解得：22a=或22−.（选修4-5不等式选讲）23.已知()122fxxx=−++的最小值为m．（1）求m的值；（2）若正实数,,abc满足abcm++=，证明：222522abc++．【答案】（1

）52（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式可求得()52fx，即可求出m的值.（2）由（1）中的结果，结合柯西不等式即可证明.【小问1详解】()fx=()11522222xxxx−++−−+=，当且仅当122x−

时等号成立，5.2m=【小问2详解】50,0,0,,2abcabc++=由柯西不等式得：()()222222222112abcabc++++++，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiang

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