【文档说明】湖南省郴州市部分学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.053 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,2,3,4,5U=，2,4A=，1,4,5B=，则()UBA=ð（）A.3B.4C.1,4D.1,5【答案】D【解析】【分析】利用补集与交集的定义可

求解.【详解】因为全集1,2,3,4,5U=，2,4A=，所以U1,3,5A=ð，又因为1,4,5B=，()U51,3,51,4,51,AB==ð.故选：D.2.已知复数1iza=+（0a），且3z=，则a

=（）A.1B.2C.2D.22【答案】D【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1iza=+，3z=，所以2213a+=，解得22a=，因为0a，所以22a=.故选：D,3.已知1sin3=

，π0,2，则πcos22−=（）A.429B.19−C.79−D.429−【答案】A【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】

因为221sin,sincos13=+=,又因为π0,2,所以22122cos1sin133=−=−=,所以π12242cos2sin22sincos22339−====.故选：A.4.

已知定义在R上的函数()fx满足()()0fxfx−+=，且当0x时，()22xafx=+，则()1f=（）A.2B.4C.2−D.4−【答案】A【解析】【分析】利用题意结合奇函数定义判断()fx是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详

解】因为定义在R上的函数()fx满足()()0fxfx−+=，所以()fx是奇函数，且()00f=，故0202a+=，解得2a=−，故当0x时，()222xfx=−+，由奇函数性质得()()11ff=−−，而()121222f−−=−+=−，故()()112ff=−−=，故A

正确.故选：A的5.在正方体1111ABCDABCD−中，二面角1BACB−−的正切值为（）A.22B.33C.63D.2【答案】D【解析】【分析】取AC的中点M，连接1,MBMB，可得1BMB是二面角1BACB−−

的平面角，求解即可.【详解】取AC的中点M，连接1,MBMB，由正方体1111ABCDABCD−，可得11,ABBCABBC==，所以1,BMACBMAC⊥⊥，所以1BMB是二面角1BACB−−的平面角，设正方体1111ABCDAB

CD−的棱长为2，可得22AC=，所以2BM=，在1RtBBM中，112ta22nBBBMBBM===,所以二面角1BACB−−的正切值为2.故答案为：D.6.已知线段AB的端点B的坐标是()3,4，端点A在圆()()22124xy−+−=上运动，则线段

AB的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232xy−+−=B.()()22231xy-+-=C.()()22341xy−+−=D.()()22552xy−+−=【答案】B【解析】【分析】设出动点P和动点A的坐标，找到动点P和动点A坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解

】设(,)Pxy，11(,)Axy，由中点坐标公式得1134,22xyxy++==，所以1123,24xxyy=−=−，故(23,2)Axy−−，因为A在圆()()22124xy−+−=上运动，所以()()222312424xy−−+−−=，化简得()()22

231xy-+-=，故B正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABCABC−中，π2ABC=，1ABBCAA==，,,DEF分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BFDE⊥的有（

）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC=，所以ABBC⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA⊥面ABC，如图，以B为原点建

立空间直角坐标系，设12ABBCAA===，因为,,DEF分别是所在棱中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)BEDF所以(1,1,0)BF=，(1,1,2)DE=−−，故110BFDE=−+=，即BFDE⊥得证，在

从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)BEDF，所以(0,1,1)BF=，(0,1,2)DE=−，故121BFDE=−=−，所以,B

FDE不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)BEDF，故(1,1,2)BF=，(0,1,0)DE=，即1BFDE=，所以

,BFDE不垂直，则下列3个直观图中满足BFDE⊥的有1个，故B正确.的故选：B8.已知过点()1,1P的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点，则22OAOB+的最小值为（）A.

12B.8C.6D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意可知直线l的斜率存在设为(0)kk，分别解出,AB两点的坐标，表示出22OAOB+的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l的

斜率存在．设直线的斜率为(0)kk，直线l的方程为1(x1)yk−=−，则1(1,0),(0,1)ABkk−−，所以222222121(1)(1)112OAOBkkkkkk+=−+−=−++−+22222121

2(2)22()(2)28kkkkkkkk=+−−+++−−+=，当且仅当22212,kkkk−=−=，即1k=−时，取等号.所以22OAOB+的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出

的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.已知函数()πsin24fxx=+，则（）A.()fx的最小正周期为πB.()fx的图象关于直线π85x=对称C.()fx的图象关于点π,18−中心对称D.()fx的值域为

1,1−【答案】ABD【解析】【分析】求得最小正周期判断A；求得对称轴判断B；求得对称中心判断C；求得值域判断D.【详解】因为()πsin24fxx=+，所以的最小正周期为2ππ2T==，故A正确；由ππ2π,Z42xkk+=+，可得ππ,Z28kxk=+，所以()fx

图象的对称轴为ππ,Z28kxk=+，当1k=时，图象的关于π85x=对称，故B正确；由Z2ππ,4kxk=+，可得ππ,Z28kxk=−，所以()fx图象的对称中心为ππ(,0),Z28kk−，当0k=时，图象的关于点()π8,0−对称，故C不正确；

由()πsin2[1,1]4fxx=+−，故()fx的值域为1,1−，故D正确.故选：ABD.10.若数据1x，2x，3x和数据4x，5x，6x的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x，2x，3x，4x，5x，6x与数据1x，2x，3x的

平均数相等B.数据1x，2x，3x，4x，5x，6x与数据1x，2x，3x的方差相等C.数据1x，2x，3x，4x，5x，6x与数据1x，2x，3x的极差相等D.数据1x，2x，3x，4x，5x，6x与数据1x，2x，3x的中位数相等【答案】ABC【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数

的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,xxx的平均数为x，数据456,,xxx的平均数也为x.那么数据123456,,,,,xxxxxx的平均数为12345

6()()3366xxxxxxxxx++++++==，所以数据123456,,,,,xxxxxx与数据123,,xxx的平均数相等，A选项正确.设数据123,,xxx的方差为2s，数据456,,xxx的方差也为2s.对于数据123456,,,,

,xxxxxx，其方差计算为2222221234561[()()()()()()]6xxxxxxxxxxxx−+−+−+−+−+−2222221234561[3(()()())3(()()())]6xxxxxxxxxxxx=−+−+−+−+−+−2221(33)6sss=+=,所以

数据123456,,,,,xxxxxx与数据123,,xxx的方差相等，B选项正确.设数据123,,xxx的极差为R，数据456,,xxx的极差也为R.对于数据123456,,,,,xxxxxx，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后

数据的极差依然是R，所以数据123456,,,,,xxxxxx与数据123,,xxx的极差相等，C选项正确.设数据123,,xxx按从小到大排列为123xxx，中位数为2x.设数据456,,xxx按从小到大排列为456xxx，中位数为5x.对于数

据123456,,,,,xxxxxx按从小到大排列后，中位数不一定是2x，所以数据123456,,,,,xxxxxx与数据123,,xxx的中位数不一定相等，D选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCDABCD−底面是边长为6的菱形，1AA⊥平面ABCD，13AA=，π3DAB=，点

P满足1APABADtAA=++，其中，，0,1t，则（）A.当P为底面1111DCBA的中心时，53t++=B.当1t++=时，AP长度的最小值为332C.当1t++=时，AP长度的最大值为6D.当221t

++==时，1AP为定值【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A，当P为底面1111DCBA的中心时，由1APABADtAA=++，则11,,122t===故2t++=，故A错误；的对于B，当1

t++=时，()22222222112?APABADtAAABADtAAABAD=++=+++()()222223693636936tt=+++=++−22245723

636457236362tttt+=−+−−+−223273654273644ttt=−+=−+当且仅当13,84t===，取最小值为322，故B正确;对于C，当1t++=时，1APABADtAA=++，则点P

在1ABD及内部，而AP是以A为球心，以AP为半径的球面被平面1ABD所截图形在四棱柱1111ABCDABCD−及内的部分，当=1=0t=，时，=6AP，当=0=10t=，，时，=6AP，可得1AP最大值为6，故C正确；对于D，221t++==

，()22223693636945APt=+++=+=，而11=APAAAP+，所以()22222111111=+2?=+2APAAAPAAAPAAAPAAABADtAA++++22211=29452936AAAPtAA+−=+−=，则16AP=为定值，故D正确.故

答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,2a=−，(),4bm=−.若()aab⊥+，则m=__________.【答案】3−【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算结合平面向量垂

直的性质建立方程，求解参数即可.【详解】因为向量()1,2a=−，(),4bm=−，所以()1,2abm+=−−，因为()aab⊥+，所以(1)40m−−−=，解得3m=−.故答案为：3−13.已知在正四棱台1111ABCDABCD−中，()0,4,0AB=，(

)13,1,1CB=−，()112,0,0AD=−，则异面直线1DB与11AD所成角的余弦值为__________.【答案】21919【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB与

11AD所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DBDCCBABCB=+=+=+−=，所以111111222222111·230301219cos,19·331?300DBADDBADDBAD−++===−++++，所以异面直线

1DB与11AD所成角的余弦值为21919.故答案为：2191914.已知函数()21xgx=−，若函数()()()()()2121fxgxagxa=+−−+有三个零点，则a的取值范围为__________.【答案】()2,1−−【解析】【分析】令()0fx=，可得()2

gx=或()1gxa=−−，函数有三个零点，则需方程()1gxa=−−有两个解，则𝑦=𝑔(𝑥)与1ya=−−的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0fx=，可得()()()()21210gxagxa+−−+=，所以()()()[2][1]0

gxgxa−++=，所以()2gx=或()1gxa=−−，由()2gx=，又()21xgx=−，可得212x−=，解得21x=−或23x=，方程21x=−无解，方程23x=有一解，故()2gx=有一解，要使函数()()()()()2121fxgxagx

a=+−−+有三个零点，则()1gxa=−−有两解，即𝑦=𝑔(𝑥)与1ya=−−的图象有两个交点，作出函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象的示图如下：由图象可得011a−−，解得21a−−.所以a的取值范围为(2,1)−−.故答案为：(2,1)−−.四、解答题：本

题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2coscbaB+=．（1）若π2A=，求B；（2）若2a=，1b=，求ABCV的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和

定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sinsin()BAB=−，代入π2A=求解可得；（2）由sinsin()BAB=−根据角的范围得2AB=，由正弦定理结合二倍角公式可得2cos2B=，从而得π4B=，再利用余弦定

理求边c，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2coscbaB+=，所以由正弦定理得，sinsin2sincosCBAB+=，又sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+代入上式得，所以()sinsincoscossinsin=−=−BABABAB，由π2A=，则B为锐角，

且csinsosnπ2iBBB−==，所以π4B=.【小问2详解】由（1）知，()sinsinBAB=−，因为2a=，1b=，所以AB，则0πAB−，π02B，故BAB=−，或πB

ABA+−==（舍去）所以2AB=，又2a=，1b=，由正弦定理得sinsin22cos2sinsinABaBBBb====，则2cos2B=，则π4B=，由余弦定理得2222cosbacacB=+−，则2212222cc=+−，化简得2210cc−+=，解得1c=，所以112

1sin22222ABCSacB===.故ABCV的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方

获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14.（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为

，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解

】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311()28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1)(1)224−−=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，

第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1)224−−=；第2种情况的概率1111(1)2228−=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为1134

88+=.17.如图，在几何体PABCD中，PA⊥平面ABC，//PADC，ABAC⊥，2PAACABDC===，E，F分别为棱PB，BC的中点.（1）证明：//EF平面PAC．（2）证明：ABEF⊥.（3）求直线EF与平面PBD所成角的正弦值.【答

案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）36【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB⊥平面PACD，得到ABPC⊥，结合（1）中的结论，可得ABEF⊥.（3）问题转化为直线PC与平面P

BD所成角的正弦值.设1CD=，表示CP的长，利用体积法求C到平面PBD的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP.在BCP中，E，F分别为棱PB，BC的中点，所以//EFCP,，又EF平面PAC，CP平面PAC.所以//EF平面PAC.【小问2详

解】因为PA⊥平面ABC，AB平面ABC，所以PAAB⊥，又ABAC⊥,,PAAC平面PAC，且PAACA=，所以AB⊥平面PAC.因为CP平面PAC，所以ABCP⊥.又因为//EFCP，所以ABEF⊥.【小问3详解】因为//EFCP，所以直线

EF与平面PBD所成角与直线PC与平面PBD所成角相等，设为θ.不妨设1CD=，则22=PC.设C到平面PBD的距离为h.则13CPBDPBDVSh−=.又11212333CPBDBPCDPCDVVSAB−−====.在PBD△中，22PB=，5BDPD==，所以12252

62PBDS=−=.所以32636CPBDPBDVhS−===.所以633sinθ622hPC===.故直线EF与平面PBD所成角的正弦为36.18.设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，cAÎ，使得abbc−=−，则称A为“等差集”．（1）

若集合1,3,5,9A=，BA，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；（2）若集合21,,1Amm=−是“等差集”，求m的值；（3）已知正整数3n，证明：23,,,,nxxxx不是“等差集”．【

答案】（1）答案见解析（2）2m=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用abbc−=−，即2acb+=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合1,3,5,9A=，BA，存在3个不同的

元素a，b，cB，使得abbc−=−，则1,3,5,9B=或1,3,5B=或1,5,9B=.【小问2详解】因为集合21,,1Amm=−是“等差集”，所以221mm=+−或2211mm=+−或()22

21mm+=−,计算可得1132m−=或0m=或2m=或1334m=，又因为m正整数,所以2m=.【小问3详解】假设22,,,,nxxxx是“等差集”，则存在,,1,2,3,,,mnqnmnq,2nmqxxx=+成立，的化简可得2mnqnxx−−=+,0

mnx−因为*N,1xqn−,所以21qnxx−,所以𝑥=1与22,,,,nxxxx集合的互异性矛盾，所以22,,,,nxxxx不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集

合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,Axy作斜率分别为1k，2k的直线1l，2l，若()120kk=，则称直线1l，2l是()AK定积直线或()()00,xyK定积直线．（1）已知直线a：()0ykxk=，直线b：13yxk=−，

试问是否存在点A，使得直线a，b是()AK定积直线？请说明理由．（2）在OPM中，O为坐标原点，点P与点M均在第一象限，且点()00,Mxy在二次函数23yx=−的图象上．若直线OP与直线OM是()()0,01K定积直线，

直线OP与直线PM是()2PK−定积直线，直线OM与直线PM是()00,202xyKx−定积直线，求点P的坐标．（3）已知直线m与n是()()2,44K−−定积直线，设点()0,0O到直线m，n的距离分别为1d，2d，求12dd

的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM的斜率为()0，则直线OP的斜率为1，利用定积直线的定义可得01x=或1−，进而2003xx−=，

计算即可；（3）设直线():42mytx−=+，直线()4:42nyxt−=−+，其中0t，计算得122225811617ddtt=−++，利用基本不等式可求12dd的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A，使得a，b是()AK定积直线，理由如下：由题意可得1133kk

−=−，由()013ykxkyxk==−，解得00xy==，故存在点()0,0A，使得a，b是()AK定积直线，且13=−．【小问2详解】设直线OM的斜率为()0，则直线OP的斜率为1，直线PM的斜率为2−．依题意得()2022x−=−，得220

1x=，即01x=或1−．直线OM的方程为yx=，因为点()200,3Mxx−在直线OM上，所以2003xx−=．因为点M在第一象限，所以20031xx−==，解得02x=或2−（舍去），12=，

()2,1M，所以直线OP的方程为12yxx==，直线PM的方程为()2213yxx=−−+=−+，由23yxyx==−+，得12xy==，即点P的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42mytx−=+，直线()4:42nyxt−=−+

，其中0t，则()()2421242222284248481681716116161tttttddtttttt−+−−+===++++++242222525818116171617ttttt=−=−+++

+，222216161721725tttt+++=，当且仅当2216tt=，即24t=时，等号成立，所以222508181617tt−++，即1208dd，故12dd的取值范围为)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题

型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.