【文档说明】北京市第二十中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，1.067 MB，由小赞的店铺上传

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北京市第二十中学2024-2025学年度第一学期10月月考考试试卷高三数学时间：120分钟满分：150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|13}Axx=−，

{|04}Bxx=，则AB=（）A.(0,3)B.(1,4)−C.(0,4]D.(1,4]−【答案】D【解析】【分析】根据并集的概念，可直接得出结果.【详解】因集合{|13}Axx=−，{|04}Bxx=，所以(1,4AB=−.故选：D.2.在复平

面内，复数()2iiz=+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据乘法运算可得12iz=−+，结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为()2ii12iz=+=−+，可知复数z对应的点为()1

,2−，位于第二象限.故选：B.3.下列函数中，值域为[0,)+且为偶函数的是（）A.cosyx=B.1yx=+C.2yxx=+D.23yxx=−【答案】C【解析】【分析】对于A：根据余弦函数值域分析判断

；对于BD：代值结合偶函数定义分析判断；对于C：根据偶为函数定义以及二次函数分析判断.【详解】对于A：cosyx=的值域为1,1−，故A错误；对于B：令()1fxx=+，则()()12,10ff=−=，

即()()11ff−，可知()fx不为偶函数，故B错误；对于C：令()2gxxx=+，可知()gx的定义域为𝑅，且()()()22gxxxxxgx−=−+−=+=，可知()gx为偶函数，当0x时，可知()2gxxx=+在[0,

)+内单调递增，则()()00gxg=，结合偶函数的性质可知()gx的值域为[0,)+，故C正确；对于D：令()23hxxx=−，则()()11,12hh=−=，即()()11hh−，可知ℎ(𝑥)不为偶函数，故D错误；故选：C.4.已知,a

bR，且ab，则下列不等式恒成立的是（）A.22abB.2211abC.33abD.lglgab【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、幂函数单调性分析判断AC；对于BD：举反例说明即可.【详解】对于AC：因为ab，且2xy=、3yx=均在定义域𝑅内单

调递增，则22ab，33ab，故A错误，C正确；对于BD：例如1,1ab==−，则22111ab==，lglg0ab==，故BD错误；故选：C.5.已知函数()lnfxx=，若18af=，14bf=，()2cf=，则a，b，c从小到大排序是（）

A.cbaB.bcaC.cabD.abc【答案】A【解析】【分析】直接代入计算即可得结论.【详解】由题可知：11|ln|ln888af===，11|ln|ln444bf==

=，()2|ln2|ln2cf===，由函数lnyx=在定义域中是单调递增函数，所以cba.故选：A.6.251xx+−的值可以为（）A.−8B.9−C.8D.9【答案】B【解析】【分析】分1x，1x两种情况求得251xx+−的取值范围，可得结论.【详解】当1x时，2525

25112(1)111111xxxxxx+=−++−+=−−−，当且仅当2511−=−xx，即6x=时取等号，当1x时，2525252511(1)12(1)191111xxxxxxxx+=−++=−−++−−+=−−−−−，当且仅当2511xx−=−，即4x=−时取等号，所以251xx+

−的取值范围为(,9][11,)−−+.故选：B.7.在ABCV中，π4B=，ax=，1b=，若满足条件的ABCV有2个，则x的取值范围是（）A.(0,1]2B.()0,12C.()0,2D.()1,2【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理，结合三角形

解的个数，即可列式求解.【详解】根据正弦定理，sinsinabAB=，则sin2sin2aBAxb==，的若满足条件的ABCV有两个，则20121xx，解得12x，所以x的取值范围是()1,2.故选：D.8

.已知函数()()πsin0,2fxx=+，π04f−=，π14f=，且()fx在ππ,43且单调，则的最大值为（）A.7B.9C.11D.13【答案】C【解析】【分析】由题意可得π

4x=是函数()sin()fxx=+的一条对称轴，进而可得ππ,4kk−+=Z，πππ,Z42kk+=+，计算可得41,Zkk=−+或41,Zkk=−，结合()fx在ππ,43单调，可得结论.【

详解】函数()sin()fxx=+，所以ππ()sin()044f−=−+=，所以ππ,4kk−+=Z①，又π14f=，所以π4x=是函数()sin()fxx=+的一条对称轴，所以πππ,42kk+=+Z②，由①

②可得ππ,,24kkkk=++Z，又因为π||2，所以π4=，且41,kk=−+Z或41,kk=−Z，又函数()sin()fxx=+的最小正周期2πT=，又()fx在ππ,43单调，所以πππ34−，所以012

，所以的最大值为11.故选：C.9.设{𝑎𝑛}为等比数列，则“对于任意的*mN，2mmaa+”是“数列na为递减数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分、必要条件、等比数列的

单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为{𝑎𝑛}为等比数列，2mmaa+，所以2mmaqa，所以21q，因为0q，解得0||1q，又1||0a，数列1111·||?|nnnnaaqaqa−+==，所以“对于任意的*Nm，

2mmaa+”是“数列na为递减数列”的充分条件；因为{𝑎𝑛}为等比数列，所以数列na为等比数列，又na递减数列”，则可得11nnaqa−=，所以222mmmmaaqaqa+==，所以

“对于任意的*Nm，2mmaa+”是“数列na为递减数列”的必要条件；所以“对于任意的*Nm，2mmaa+”是“数列na为递减数列”的充要条件.故选：C.10.“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进

步率”都是1%，那么一年后是()36536511%1.01+=；如果每天的“退步率”都是1%，那么一年后是()35536511%0.99−=一年后“进步者”是“退步者”的3653653051.011.01

14810.990.99=倍．照此计算，大约经过（）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：lg1.010.00432，lg0.990.00436−，lg20.3010）A.35B.37C.38D.39【答案】A【解析】【

分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可．【详解】假设经过n天，“进步者”是“退步者”的2倍，列方程得1.01()20.99n=，解得()1.010.99lg20.3010log235lg1.01lg0.990.00430.00436n===−−−，

即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．故选：A．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()fx=2lgxx−+的定义域是_________.【答案】{|02}xx【解析】【详解】∵函数()fx=2lgxx−+∴要使函数有意义，则20{0xx−∴02x∴函数

()fx=2lgxx−+的定义域为02xx故答案为02xx12.等差数列na中，若2586,naaaS++=为na的前n项和，则9S=______．【答案】18【解析】【分析】先由等差数列的性质得52a=，再由求和公式求解即可.【详解】由等差数列性质可知258536aa

aa++==，则52a=，所心19959()9182aaSa+===.故答案为：18.13.已知函数()()()2sin0,[0,2πfxx=+的部分图象如图所示，则=______；=______．【答案】①

.1②.π6【解析】分析】利用函数图象求得周期，可求得1=，进而利用函数()fx过点(0,1)，可求得进而验证可得结论.【详解】由图象可得周期为2π，所以2π2π=，解得1=，所以()()2sinfxx=+，又函数()fx过点(0,1)，所以2sin

1=，又[0,2π)，所以π6=或5π6=，当π6=，()π2sin6fxx=+，是函数()2sinfxx=的图象向左移动π6而得，符合题意；当5π6=，()5π2sin6fxx=+，是函数()2sinfxx=的图象向左移动5π

6而得，与图象不符合，故舍去.所以1=；π6=.故答案为：1；π6=.14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，

D，测得80CD=，135ADB=，15BDCDCA==，120ACB=°，则A，B两点间的距离为______.【答案】805【解析】【【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD

长，根据余弦定理，即可得答案.【详解】因为135ADB=，15BDCDCA==，所以150ADC=，15DACDCA==，所以80ADCD==，又因为120ACB=°，所以135,30BCDCBD==，由正弦定理得：sinsinBDCDBCDCBD=，即80122

2BD=，解得802BD=，在ABD△中，由余弦定理得2222cosABADBDADBDADB=+−，所以222280(802)2808022AB=+−−，解得805AB=m.故答案为：80515.已知函

数()2ln1fxxaxb=−+−，（ⅰ）若()fx在()1,+上单调，则a的取值范围是_______；（ⅱ）若对任意的()0,x+，()0fx，则2ba−的最大值为______．【答案】①.(),02,−+；②.12

ln2−.【解析】【分析】（1）利用导函数与函数的单调性的关系求解即可；（2）分类讨论可得0a，进而利用已知可得32ln22lnba−+，可得32ln22n22laaba−+−−，令()lngxxx=−，

利用导数求得最大值即可.【详解】（i）由()2ln1fxxaxb=−+−，得()2fxax=−，当()fx在()1,+上单调递增时，则()20fxax=−恒成立，即2ax在()1,+上恒成立，所以0a，当()f

x在()1,+上单调递减时，则()20fxax=−恒成立，即2ax在()1,+上恒成立，所以2a，所以a的取值范围是(,0][2,)−+.（ii）因为()2ln1fxxaxb=−+−，()0,x+，所以()22axfxaxx−=−=，当0a时，()0fx恒成立，所以

()fx在()0,+上单调递增，且当x→+时，()fx→+，不符合题意，当0a时，则当20xa时，()0fx，当2xa时，()0fx，所以()fx在2(0,)a上单调递增，在2(,)a+上单调递减，所以()max222)2

ln10(affabaax==−+−，32ln22lnba−+，32ln22n22laaba−+−−，令()lngxxx=−，则11()1xgxxx−=−=，当01x时，()0gx，函数在()gx在(0,1)上单调递增，当1x时，()0gx，函数

()gx在(1,)+上单调递减，所以g()(1)1xg=−，所以ln1aa−−，所以32ln22ln212ln22baaa−−−−+.所以2ba−的最大值为12ln2−.故答案为：（i）(,0][2,)−+；

（ii）12ln2−.【点睛】思路点睛：本题考查两个变量差的最大值问题，通过不等式恒成立，找到两个变量之间的关系是关键，进而转化为函数的最值处理即可.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程．在16.已知na是

各项均为正数的等比数列，11a=，且1a，2a，33a−成等差数列．（1）求na的通项公式；（2）求数列nan−的前n项和nS．【答案】（1）113nna−=（2）()1311232nnnnS+=−−【解

析】【分析】（1）设公比为0q，根据等差中项可得13223aaa=−，根据等比数列通项公式列式求解即可；（2）由（1）可知：113nnann−−=−，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解.【小问1详解】设等比数列na的公比为0q，且11

a=，因为1a，2a，33a−成等差数列，则13223aaa=−，即2213qq=−，解得13q=或1q=−（舍去），所以na的通项公式为1111133nnna−−==.【小问2详解】由（1）可知

：113nnann−−=−，则()11111123393nnSn−=−+−+−++−()11111123393nn−=++++−+++()()111131311223213nnnnnn−++=−=−

−−，所以()1311232nnnnS+=−−.17.已知函数()()23sincos3sin02fxxxx=+−，且()yfx=图象的相邻两条对称轴间的距离为π2．（1）求的值；（2）

求()fx在区间0,π上的单调递增区间．【答案】（1）1=（2）5π0,12和11π,π12【解析】【分析】（1）整理可得()πsin23fxx=−，结合最小正周期求的值；

（2）由（1）可知：()πsin23fxx=−，以π23x−为整体，结合正弦函数的单调性分析求解.【小问1详解】由题意可得：()11cos23sin23222xfxx−=+−13πsi

n2cos2sin2223xxx=−=−，设()fx的最小正周期为T，由题意可知：π22T=，即πT=，且0，则2ππ2=，所以1=.【小问2详解】由（1）可知：()πsin23fxx=−，因为0,πx，则ππ5π2,333x−−

，且sinyx=在ππ,32−，3π5π,23内单调递增，在π3π,22内单调递减，令πππ2332x−−，3ππ5π2233x−，解得5π012x

，11ππ12x，所以()fx在区间0,π上的单调递增区间为5π0,12和11π,π12.18.已知函数()2eexxfxx=+−.（1）求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）当1,0x

−时，求函数()fx的最大值与最小值.【答案】（1）22yx=+（2）函数()fx的最大值为2，最小值3ln24+【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切点和切线斜率，即可得切线方程；（2）根据求导判断

()fx的单调性，结合单调性分析最值.【小问1详解】因为()2eexxfxx=+−，则()22ee1xxfx=+−，可得()()02,02ff==，即切点坐标为()0,2，切线斜率为2k=，所以切线方

程为22yx=+.【小问2详解】由（1）可得()()()22ee1e12e1xxxxfx=+−=+−，且1,0x−，则e10x+，令()0fx，则2e10x−，解得ln20x−；令()0fx，则2e10x−，解得1ln2x−−

；可知()fx在)1,ln2−−内单调递减，在(ln2,0−内单调递增，又因为()()()221ee31,02,ln2ln2e4fff+−−==−=+，且221ee2e+−，所以函数()fx的最大值为2，最小值3ln24+.19.在ABCV中

，已知33sin14C=，请从下列三个条件中选择两个，使得ABCV存在，并解答下列问题：（1）求A的大小；（2）求cosB和a的值．条件①：73ac=；条件②：1ba−=；条件③：5cos2bA=−．【

答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）若选择①②：利用正弦定理可得3sin2A=，结合1ba−=可知ab，则π02A，即可得结果；若选择①③：由正弦定理可得3sin2A=，由

5cos2bA=−可知ππ2A，即可得结果；若选②③：根据三角形的性质分析得出矛盾；（2）由（1）可知：不能选②③.只能选择①②或选择①③，利用同角三角关系以及两角和差公式求cosB，再利用正弦定理求a的值.【小问1详解】若选择①②：73ac=，1ba−=，在ABCV中，由正弦定理sinsi

nacAC=得3sinsin2aACc==．因为1ba−=，即ab，可知π02A，所以π3A=；若选择①③：73ac=，5cos2bA=−，在ABCV中，因为由正弦定理sinsinacAC=得3sinsin

2aACc==．在ABCV中，5cos02bA=−，即cos0A，可知ππ2A，所以2π3A=；若选②③：1ba−=，5cos2bA=−，因为1ba−=，即ab，可知π02A；又因为5cos02bA=−，即cos0A，可知ππ2A；两者相矛盾，故不成立.【小问2详解

】由（1）可知：不能选②③.若选择①②：在ABCV中，73ac=，即ac，可知π02C，且33sin14C=，可得213cos1sin14CC=−=，则3331131coscos()sinsinco

scos2142147BACACAC=−+=−=−=−，可知ππ2B，则243sin1cos7BB=−=，由正弦定理sinsinabAB=可得43sin87sin732aaBbaA===，又因为17aba−==，所以7a=；选择①③：在ABCV

中，73ac=，即ac，可知π02C，且33sin14C=，可得213cos1sin14CC=−=，则33311311coscos()sinsincoscos21421414BACACAC=−+=−=+=，且0πB，可得253sin1cos14BB=−=，又因为15cos22bAb

=−=−，则5b=，由正弦定理sinsinabAB=可得35sin27sin5314bAaB===．20.设函数()cosxfxaex=+，其中aR．（Ⅰ）已知函数()fx为偶函数，求a的值；（Ⅱ）若1a=，证明：

当0x时，()2fx；（Ⅲ）若()fx在区间0,内有两个不同的零点，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）342,2ee−−．【解析】【分析】（Ⅰ）利用偶函数的定义(

)()fxfx−=，化简后可得实数a的值；（Ⅱ）利用导数分析函数()yfx=在(0,+∞)上的单调性，进而可证得()2fx；（Ⅲ）令()0fx=得cosxxae=−，令()cosxxhxe=−，利用

导数分析函数()yhx=在区间0,上的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数a的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数()yfx=为偶函数，所以()()fxfx−=，即()coscosxxaexaex−+−=+，整理得()0xxaee−−=对任意的xR恒成立，0a=；（Ⅱ）当1a=时，()cos

xfxex=+，则()sinxfxex=−，0x>，则e1x，1sin1x−，()sin0xfxex=−，所以，函数()cosxfxex=+在(0,+∞)上单调递增，当0x时，()()02fxf=

；（Ⅲ）由()cos0xfxaex=+=，得cosxxae=−，设函数()cosxxhxe=−，0,x，则()2sinsincos4xxxxxhxee++==，令()0hx=，得34x=．随着x变化，()hx与()hx的变化

情况如下表所示：x30,4343,4()hx+0−()hx极大值所以，函数()yhx=在30,4上单调递增，在3,4上单调递减．又因为()01h=−，()he−

=，334422hee−=，且()340heh，如下图所示：所以，当342,2aee−−时，方程cosxxae=−在区间0,内有两个不同解，因此，所求实数a的取值范围为3

42,2ee−−．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数求解函数的零点个数问题，考查推理能力与数形结合思想的应用，属于中等题.21.已知有限集X，Y，定义集合|

,xYXYxxX−=且，X表示集合X中的元素个数.（1）若1,2,3,4,3,4,5XY==，求集合XY−和YX−，以及()()XYYX−−的值；（2）给定正整数n，集合1,2,,nS=，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合=|,,CxxabaA

bB=+①求证：1ASBSSC−+−+−；②求()()()()()()||ASSABSSBCSSC−−+−−+−−的最小值.【答案】（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①见解析；②1.n+【解析】【分析】（1

）直接根据定义求解即可；（2）①分若A∪B中含有一个不在S中的元素和AS，且BS，两种情况讨论即可，当AS，且BS时，可通过1C得证；②结合①知()()()()()()ASSABSSBCSSC−−+−−+−−1SASBCS

−+−+−+，讨论若AS=，或BS=，得SASBn−+−，若AS，且BS，设12,,,sASaaa=，12,,,tBSbbb=，可证得()()()()()()ASSABSSBCSSC−−+−−

+−−的最小值是1.n+【详解】（1）根据定义直接得X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3.（2）①显然0X.若A∪B中含有一个不在S中的元素，则1ASBS−+−，即1ASBSSC−+−+−

.若AS，且BS，则0ASBS−=−=此时A中最小的元素1a，B中最小的元素1b，所以C中最小的元素2ab+.所以1C因为1,2,,nS=，所以1SC−，即1ASBSSC−+−+−.综上，1ASBSSC−+−+−.②由①知1ASBSSC−

+−+−.所以()()()()()()ASSABSSBCSSC−−+−−+−−ASSABSSBCSSC=−+−+−+−+−+−1.SASBCS−+−+−+若AS=，或BS=，则.SASBn−+−.若

AS，且BS，设12,,,sASaaa=，12,,,tBSbbb=且121saaan，121tbbbn，则SAns−=−，.BSnt−=−若stn+，因为111

21232tttstabababababab++++++，所以1112123,,,,,,,tttstabababababab++++++这1st+−个数一定在集中C中，且均不等于1.所以2().SASBCSnststnn−+−+−−−++−=所以()(

)()()()()ASSABSSBCSSC−−+−−+−−11.SASBCSn−+−+−++当ABS==，2,3,,2Cn=时，()()()()()()1.ASSABSSBCSSCn−−+−−+−−=+所以()(

)()()()()ASSABSSBCSSC−−+−−+−−的最小值是1.n+【点睛】关键点点睛：本题的第三问较难，解题的关键是由①得()()()()()()ASSABSSBCSSC−−+−−+−−1SASBCS−+−+−+，进而进行分情况讨

论可得解.