【文档说明】【精准解析】河南省新乡市第一中学2019-2020学年高一3月月考数学试题.doc，共(22)页，1.685 MB，由小赞的店铺上传

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高一数学试卷第I卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin600的值是（）A.12−B.12C.32−D.32【答案】C【解析】

【分析】把原式的角度600变形为2360120−，然后利用诱导公式化简，再把120变为18060−，利用诱导公式及特殊角的三角函数值，即可求解．【详解】由题意，可得sin600sin(2360120)=−sin120sin(18060)=−=−

−sin60=−32=−，故选C．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简、求值，其中解答中熟练掌握诱导公式是解本题的关键，同时注意角度的灵活变换，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.下列关于向量的描述正确的是（）A.若向量a，b都是单位向量，则

ab=B.若向量a，b都是单位向量，则1ab=C.任何非零向量都有唯一的单位向量D.平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【解析】【分析】根据单位向量的概念进行逐项判断即可.【详解】对于选项A:向量包括长度和方向,

单位向量的长度相同均为1,方向不定,故向量a和b不一定相同,故选项A错误;对于选项B:因为coscosabab==,由cos1,1−知,1ab=不一定成立,故选项B错误;对于选项C:任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量,故选项C错

误;对于选项D:因为所有单位向量的模为1,且共起点,所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选项D正确;故选:D【点睛】本题考查单位向量的基本概念;掌握单位向量的概念是求解本题的关键;属于基础题.3.已知点(tan,cos)P在第三象限，则角的终边在（

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项.【详解】因为点(tan,cos)P在第三象限，则tan0，cos0

，所以sintancos0=，则可知角的终边在第二象限.故选B.【点睛】本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下：第一象限：sin0,cos0,tan0xxx；第二象限：sin0,cos0,tan0xxx；第三象限：sin0,cos0,ta

n0xxx；第四象限：sin0,cos0,tan0xxx.4.下列函数中，既是偶函数又有零点的是（）A.21yx=+B.xxyee−=+C.cos2yx=−D.()cosyx=+【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义,先判断是否为偶函数进行排除,再

由函数零点的定义判断其是否存在零点即可.【详解】对于选项A:因为函数21yx=+的定义域为R,所以其定义域关于原点对称,又因为()()()21fxxfx−=−+=,所以函数21yx=+为偶函数,因为对任意xR,21yx=+1恒成立,所以函数21yx=+无零点,故选项A排除;对

于选项B:因为函数xxyee−=+的定义域为R,所以其定义域关于原点对称,又因为()()xxfxeefx−−=+=，所以函数xxyee−=+为偶函数,因为对任意xR,xxyee−=+0恒成立,所以函数xxyee−=+无零点,故

选项B排除;对于选项C:由题意知,cos2yx=−sinx=,其定义域为R,关于原点对称，又因为()()()sinsinfxxxfx−=−=−=−,所以函数cos2yx=−为奇函数,不符合题意,故选项C排除;对于选项D:由题意知,()cosyx=+cosx=−

,其定义域为R,关于原点对称，又因为()()()coscosfxxxfx−=−−=−=,所以函数()cosyx=+为偶函数,当()cosyx=+cosx=−0=时,,2xkkz=+,所以此函数有零点，故选项D正确;故选:D【点睛】本题考查函数的奇偶性和函

数零点的判断;熟练掌握函数奇偶性的判断方法和函数零点的概念是求解本题的关键;属于常考题型.5.已知5MNab=+，28NPab=−+，3()PQab=−，则（）A.,,MNP三点共线B.,,MNQ三点共线C.,,NPQ三点共线D.,,

MPQ三点共线【答案】B【解析】【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可.【详解】因为28NPab=−+,3()PQab=−所以()2835NQNPPQababab=+=−++−=+,因为5MNab=+,所以MNNQ=由平面向

量共线定理可知,MN与NQ为共线向量,又因为MN与NQ有公共点N,所以,,MNQ三点共线.故选:B【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.6.函数()()cosfxx=+0,2

的部分图象如图所示，则()fx的单调递减区间为（）A.3,,44kkkZ−+B.32,2,44kkkZ−+C.132,2,44kkkZ−+D.341,,4kkkZ−+【答案

】C【解析】【分析】由函数图象和五点作图法可求出函数的解析式,结合余弦函数的单调区间和复合函数单调区间的判断方法求解即可.【详解】由图象可得,函数()fx的最小正周期为512244T=−=,因为2T=,所以222T===,所以()()

cosfxx=+,结合图象和五点作图法可得,12,42kkz+=+,即2,4kkz=+,因为2,所以4=,即()cos4fxx=+,因为函数cosyx=的单调递减区间

为2,2,kkkz+,所以22,4kxkkz++,解得1322,44kxkkz−++,所以所求函数的单调递减区间为132,2,44kkkZ−+.故选:C【点睛】本题考查利用余弦函数的图象与

性质求()cosyx=+解析式和单调区间;考查运算求解能力和整体代换的思想、数形结合思想;属于中档题、常考题型.7.已知在平行四边形ABCD中，点,,,EFGH分别是,,,ABBCCDDA的中点，则①1122E

FADAB=+；②1122EGADBC=+；③1122EHADAB=−；④0AFBGCHDE+++=中正确的等式的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意,画出图形,结合图形,利用平面向量加减法的平行四

边形法则或三角形法则求解即可.【详解】由题意作图如下:由图可知,对于①：因为12EFAC=,由向量加法的平行四边形法则知,ACABAD=+,所以可得1122EFADAB=+,故①正确;对于②：因为EGBCAD==,所以可得1122EGADBC=+,故②正确;对于③：因为12EHBD=,由向量

减法的三角形法则知,BDADAB=−,所以可得1122EHADAB=−,故③正确;对于④：因为11,22AFABBFABBCBGBCCGBCCD=+=+=+=+,11,22CHCDDHCDDADEDAAEDAAB

=+=+=+=+,所以()302AFBGCHDEABBCCDDA+++=+++=,故④正确;故选:A【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量加减法的几何意义;熟练掌握平面向量加减法的三角形法则和平行四边形法则是求解本

题的关键;属于中档题.8.已知()fx是定义在R上周期为2的函数，当1,1x−时，()||fxx=，那么当7,5x−−时()fx=（）A.|3|x+B.|3|x−C.|6|x+D.|6|x−【答案】C【解析】【分析】利用周期函数的定义求解即可

.【详解】设7,5x−−,则61,1x+−,由题意知,()66fxx+=+,因为函数()fx是定义在R上周期为2的函数,所以()()6fxfx+=,即()6fxx=+.故选:C【点睛】本题考查周期函数的性质;熟练掌握周期函数的定义是求解本题的关键;属于常考题.9.函数1

sin,[2,2]32yxx=−−的单调递增区间是（）A.52,3−−B.2,3−−C.5,23D.5,2,2,33−−【答案】D【解析】

【分析】先求出函数1sin23yx=−−在R上的单调增区间,再与定义域2,2−取交集即可.【详解】由诱导公式可得,11sinsin3223yxx=−=−−,由复合函数的单调性知,只需求函数1sin23yx=−的单调减区间即可,因为

函数sinyx=的单调减区间为()32,222kkkz++,所以1322,2232kxkkz+−+,解得51144,33kxkkz++,当0k=时,51133x,当1k=−时,733x−

−,因为2,2x−,所以所求函数的单调递增区间为5,2,2,33−−.故选:D【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解;考查运算求解能力和等价转化思想;熟练掌握正弦函数的单调区间和简单复合函数单调性的判断方法是求解本题的关键;属于常考题型

.10.已知e是平面内的一个单位向量，3||2a=，a与e的夹角为30°，则e与ae−的夹角是（）A.30°B.60C.120D.150【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积的夹角公式求出()eae−和ae−代入公式求解即可.【详

解】由题可知,()22331cos3011224eaeaeeaee−=−=−=−=−,因为()222222333121212224aeaeaeae−=−=+−=+−=,由平面向量数量积的夹角公式可得,()114cos1212eaeeae

−−===−−,因为0,180,所以120=即为所求.故选:C【点睛】本题考查平面向量数量积的夹角公式;考查运算求解能力;属于常考题型.11.sin3，()cossin2，()tancos3的大小关系是（）A.co

s(sin2)sin3tan(cos3)B.cos(sin2)tan(cos3)sin3C.sin3cos(sin2)tan(cos3)D.tan(cos3)sin3cos(sin2)【答案】A【解析】【分析】利用三角函数函数值的正负和正弦函数在0,2

上的单调性判断即可.【详解】因为32,所以1cos30−,可得()tancos30,因为3224,所以2sin212,可得21sin22222−−−,因为()()cossin2sinsin2,sin3si

n32=−=−,又因为03−21sin22222−−−2,由正弦函数在0,2上的单调性知,()sin3sinsin22−−，即()tan

cos3()0sin3cossin2.故选:A【点睛】本题考查利用三角函数函数值的正负和正弦函数的单调性比较大小;特殊角三角函数值的运用和选取合适的临界值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.12.在直角梯形ABCD中，//

ABCD，ABBC⊥，2AB=，1CD=，BCa=，P为线段AD（含端点）上的一个动点.设APxAD=，PBPCy=，对于函数()yfx=，下列描述正确的是（）A.()fx的最大值和a无关B.()fx的最小值和a无关C.()fx的

值域和a无关D.()fx在其定义域上的单调性和a无关【答案】A【解析】【分析】建立合适的直角坐标,根据向量的坐标表示和平面向量数量积的坐标表示建立,xy的函数关系式,利用二次函数的性质，分02a和2a两种情况通过判断单

调性求0,1x时函数()fx最值即可【详解】建立直角坐标系如图所示:由题意知,()()()()0,0,2,0,0,,1,BACaDa−−，因为APxAD=,()1,ADa=,所以(),APxax=,设点()

00,Pxy则002xxyax+==,解得002xxyax=−=,即点P为()2,xax−,所以()2,PBxxa=−−,()2,PCxaax=−−,由平面向量数量积的坐标表示可得,()()()()22222144PBPCxaxaaxaxax

=−−−=+−++,()01x，即()()()222144,01yaxaxx=+−++,所以此函数的对称轴为()22241312121axaa+==+++,因为0a,当02a时,2131121a++,所以

函数()fx在区间0,1上单调递减,所以当1x=时,函数()fx有最小值为1,当0x=时,函数()fx有最大值为4;当2a时,211311221a++,由二次函数的单调性知,函数()fx在2130,121

a++上单调递减,在2131,121a++上单调递增;所以当213121xa=++时,函数()fx有最小值为()242841aaa−+,因为()()11,04ff==,所以函数()fx的最大值为4

;综上可知,无论a为何值,函数()fx的最大值均为4.故选:A【点睛】本题考查平面向量数量积的运算性质、二次函数的单调性和最值；考查分类讨论思想、逻辑推理能力和运算求解能力;属于综合型、难度较大型试题.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题

纸上）13.已知tan2=，则422coscossin−+=__________．【答案】49【解析】【分析】根据正切的定义和同角三角函数的基本关系求出2cos和2sin,然后代入求解即可.【详解】由题意可知,sintan2co

s==,化简可得sin2cos=,因为22sincos1+=,所以23cos1=,即21cos3=,所以422coscossin−+=2111413339−+−=.故答案为:49【点睛】本题考查切化弦和同

角三角函数的基本关系;考查运算求解能力;属于基础题.14.已知()()2,3,4,3AB−，点P在直线AB上，且32APPB=，则点P的坐标为________【答案】(8,-15)，163,55−【解析】【分析】设点(),Pxy,得出向量33,22APBP

APBP==−,代入坐标运算即得P的坐标，得到关于,xy的方程，从而可得结果.【详解】设点(),Pxy,因为点P在直线,且3||||2APPB=,33,22APBPAPBP==−,3(2,3)(4,3)2xyxy−−=−+或,3(2,3)(4,3)2

xyxy−−=−−+，即243122639xxyy−=−−=+或243122639xxyy−=−+−=−−,解得815xy==−或16535xy==−;即点P的坐标是(8,-15)，163,5

5−.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.15.已知53sin124+=−，则13cos12−=__________．【答案】34【解析】【分析】根据三角函数化简求值的原则

：大角化小角，负角化正角,利用诱导公式化简求值即可.【详解】由诱导公式可得,13coscoscos121212−=+−=−−,因为55cosco

ssin1221212−=−+=+,所以13cos12−=53cossin12124−−=−+=.故答案

为:34【点睛】本题考查利用三角函数诱导公式化简求值;考查运算求解能力;熟练掌握三角函数的诱导公式是求解本题的关键;属于基础题.16.在ABC中，已知2AB=，1AC=，23BAC=，O是ABC的外心，若AOxAByAC=+，则xy−=__________．

【答案】12−【解析】【分析】如图所示,过点O作,ODABOEAC⊥⊥,,DE分别为垂足,根据平面向量数量积的定义求出,ABACAOAC的值,再由()AOACxAByACAC=+,利用分配律即可求解.【详解】

如图所示,过点O作,ODABOEAC⊥⊥,,DE分别为垂足,则,DE分别为,ABAC的中点，根据题意知,1cos1202112ABACABAC==−=−,211cos22AOACACAOACAEAC

====，又因为()()1AOACxAByACACxy=+=−+yx=−,所以12xy−=−.故答案为:12−【点睛】本题考查平面向量数量积的定义及其几何意义、运算性质和圆的垂径定理;考查运

算求解能力和数形结合思想;平面向量数量积的几何意义与图形相结合是求解本题的关键;属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知角的终边上一点P是直线340xy+=与圆2225xy+=的交点，求2sincos−的值.

【答案】答案不唯一，见解析【解析】【分析】联立直线与圆的方程,解方程求出交点坐标,利用任意角三角函数的定义求出sin,cos的值即可求解.【详解】联立方程2234025xyxy+=+=，解得43xy=−=或43xy==−，∴(4,3)P−或3(4,)P−，5OP=,

由任意角三角函数的定义知,当P点坐标为(4,3)−时，3sin5=，4cos5=−，所以102sincos5−=；当P点坐标为()4,3−时，3sin5=−，4cos5=，所以102sincos5−=−；【点睛】本题考查任意角三角函数的定义和

直线与圆交点坐标的求解;考查运算求解能力;属于基础题.18.已知向量()sin,2a=−与()1,cosb=r互相垂直，其中角是第三象限的角.（1）求1sin1sin1sin1sin+−−−+的值；（2）求22sincoscos+的值.【答案】（1）-4（2）

1【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示求出tan,对于()1式:把1sin1sin1sin1sin+−−−+化为()()()()()()()()1sin1sin1sin1sin1sin1sin1sin1sin+

+−−−−++−,然后利用22sincos1+=开方,再由cos0去绝对值求解即可;对于()2式:利用22sincos1+=,把22sincoscos+化为2222sincoscossincos++,然后分子分母同除以2cos，得

到关于tan的表达式即可求解.【详解】因为ab⊥,所以0ab=,即sin2cos0−=，则tan2=.（1）1sin1sin1sin1sin+−−−+=()()()()()()()()1sin1sin1sin1sin1sin1s

in1sin1sin++−−−−++−1sin1sincoscos+−=−∵是第三象限的角，∴cos0，∴1sin1sin1sin1sin1sin1sincoscos+−+−−=−−+−−2sin2tan4co

s==−=−−（2）22sincoscos+2222sincoscossincos+=+22tan1tan1+=+222121+=+1=【点睛】本题考查同角三角函数基本关系和平面向量垂直的坐标表示;化简求值的原则是繁化简;灵活运用同

角三角函数的基本关系是求解本题的关键;属于中档题.19.已知||6a=，||4=b，(2)(3)72abab−+=−.（1）求向量a，b的夹角；（2）求|3|ab+.【答案】（1）23=（2）63【解析】【分析】()1

利用平面向量数量积的分配律求出ab,然后代入夹角公式求解即可;()2结合()1中ab的值,利用平面向量数量积的性质：()22222ababaabb+=+=++进行运算，求出23ab+的值,然后再开方即可.【详

解】∵(2)(3)72abab−+=−,∴22672aabb+−=−，∵6a=，4b=,∴3661672ab+−=−,解得12ab=−,由平面向量数量积的夹角公式得,∴121cos642abab−===−,

∵0∴23=.（2）因为222369abaabb+=++，所以()2336612916ab+=+−+108=∴363ab+=.【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其夹角公式;考查运算求解能力;属于中档题、常考题型.20.已知函数()fx

的图象是由函数cos4yx=−的图象经如下变换得到：先将函数cos4yx=−图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向左平移4个单位长度.（1）写出函数()fx

的解析式和其图象的对称中心坐标.（2）已知关于x的方程()fxm=在0,上有两个不同的解，，求实数m的取值范围和()cos+的值.【答案】（1）()cos(2)4fxx=+；,0),28kkZ+(（2）22(1,)(,1)22−；22−或22.【解析】【分

析】()1利用三角函数的图象平移伸缩变换法则即可求出函数()fx的解析式,由cosyx=的对称中心,利用整体代换解方程即可;()2作出函数()fx在0,上的图象,把方程()fxm=解的个数问题转化为函数()yfx=与函数ym=图象交点个数问题,利用数形结合思想即可求出实数m的

取值范围和()cos+的值.【详解】()1将函数cos4yx=−图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到cos24yx=−的图象,再将cos24yx=−的图象向左平移4个单位长度得到cos2cos2444yxx

=+−=+的图象,所以函数()fx的解析式为()cos(2)4fxx=+，由242xk+=+得,28kxkZ=+.所以()fx图象的对称中心坐标为,0),28kkZ+(.（2）由()1知，作出函数

()fx在[0,]x上的图象如图所示：由图象可知，实数m的取值范围是22(1,)(,1)22−，328+=或728+=,即34+=或74+=，所以2cos()2+=−或2cos()2+=.【点睛】本题考查三角函数

的图象平移伸缩变换和利用余弦函数图象求参数的取值范围;考查数形结合思想和转化与化归能力;熟练掌握三角函数图象的平移伸缩变换法则和余弦函数图象的五点作图法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.21.如图，点0,2AP是函数2()sin

(0,0)3fxAxA=+的图象与y轴的交点，点,QR是该函数图象与x轴的两个交点.（1）求的值；（2）若PQPR⊥，求A的值.【答案】（1）6π=（2）52A=【解析】【分析】()1由()fx的图象经过点(0,)2AP可知,1sin2=,结合图象

的单调性和的取值范围即可求解;()2由（1）可知2()sin()36fxAx=+,令0y=，即可求出,,QPR的坐标,利用两向量垂直的坐标表示得到关于A的方程,解方程即可.【详解】（1）∵()fx的图象经过点(0,)2

AP，∴1sin2=，∵点P在()fx的递增区间，∴2,6kkZ=+，∵0,∴6π=.（2）由（1）可知2()sin()36fxAx=+，令0y=，得2sin()=036x+，∴236xk+=，解得31,

24kxkZ=−，∴1(,0)4Q−,5(,0)4R，又(0,)2AP，则1(,)42APQ=−−，5(,)42APR=−，∵PQPR⊥,∴0PQPR=,即15()()04422AA−+−−

=，解得52A=，又0A,∴52A=.【点睛】本题考查由()sinyAωxφ=+的部分图象求解析式和两向量垂直的坐标表示;考查数形结合思想和运算求解能力;熟练掌握正弦函数的图象和两向量垂直的

坐标表示是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.22.已知对任意平面向量(),ABxy=，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量(cossin,sincos)APxyxy=−+，叫做把点B绕点A逆时

针方向旋转角得到点P.（1）已知平面内点()1,2A，点()12,222B+−.把点B绕点A沿顺时针方向旋转4后得到点P，求点P的坐标；（2）设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转4后得到的点的轨迹是曲线222xy−=，求原来曲线C的方程，并求曲

线C上的点到原点距离的最小值.【答案】（1）(0,1)P−（2）1yx=−；2【解析】【分析】()1设(,)Pmn则(1,2)APmn=−−,(2,22)AB=−，根据题意,点B绕点A沿顺时针方向旋转4,利用4=−代入公式求解即可

;()2设(,)Pxy是曲线C上任一点，(),Qxy是点P绕坐标原点沿逆时针方向旋转4后得到的曲线222xy−=上的点，则(,)OPxy=，(,)OQxy=,代入题中的公式,列出'',xy与,xy的关系式,利用相关点法求出曲线C的方程,由两点间距离公式表示出2

2221OPxyxx=+=+,令2xt=,考虑函数1()(0)ftttt=+，通过构造对勾函数()ft并判断其单调性求出最小值即可求出OP的最小值.【详解】（1）由题意知,(2,22)AB=−，设(,)Pmn，则(1,2)APmn=−−，由

条件得12cos()(22)sin(),4422sin()(22)cos().44mn−=−−−−−=−+−−解之得01mn==−，∴(0,1)P−.（2）设(,)Pxy是曲线C上任一点，(),Qxy是点P绕坐标原点沿逆时针方向旋

转4后得到的曲线222xy−=上的点，所以(,)OPxy=，(,)OQxy=，则cossin,44sincos.44xxyyxy=−=+，即2(),22().2xxyyxy=−=+又(),Qxy在曲线222xy−=上,所以'2'22xy−=

，即2222[()][()]222xyxy−−+=,整理得1xy=−，故曲线C的方程是1yx=−，所以曲线C上的点P到原点的距离为22221OPxyxx=+=+，令2xt=，则0t，考虑函数1()(0)ftttt=+

，任取12,(0,)tt+且12tt,则12121212()(1)()()ttttftfttt−−−=，当1201tt时，120tt−，12110tt−−，所以12()()0ftf

t−，即12()()ftft，所以()ft在()0,1上单调递减，同理可证()ft在(1,)+上单调递增，所以min()(1)2ftf==.故min2OP=，即曲线C上的点到原点距离的最小值为2.【点睛】本题考查新定义和旋转变换、相关点法求轨迹方程及利用对勾函数的单调性

求最值;旋转变换公式的运用和通过构造对勾函数并判断其单调性是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.