【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第34讲 等差数列及其前n项和（讲）（原卷版）.docx，共(5)页，303.119 KB，由小赞的店铺上传

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第34讲等差数列及其前n项和（讲）思维导图知识梳理1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表

示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．(2)前n项和公式：

Sn＝n(a1＋an)2――→an＝a1＋(n－1)dSn＝na1＋n(n－1)2d＝d2n2＋a1－d2n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．[常用结论]已知{an}为等差数列，d为公差，Sn

为该数列的前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等

差数列，公差为md(k，m∈N*)．(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(6)若{an}是等差数列，则Snn也成等差数

列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的12.(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；S奇S偶＝anan＋1.(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；

S奇－S偶＝an；S奇S偶＝nn－1.(9)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足am≤0，am＋1≥0的

项数m使得Sn取得最小值Sm.题型归纳题型1等差数列的基本运算【例1-1】（2020春•新华区校级期末）在等差数列{}na中，若31a=−，711a=，则公差(d=)A．52B．52−C．3D．3−【例1-2】（2020春•黄冈期末）若等差数列{}na满足792aa+=，105a=−，则

数列{}na的首项1(a=)A．20B．3−C．22D．23−【例1-3】（2020春•乐山期末）已知等差数列{}na中，12a=−，公差32d=，则2a与6a的等差中项为()A．52B．72C．112D．6【跟踪训练1-1】（2020春•

合肥期末）若{}na为等差数列，nS是数列{}na前n项和，11a=，535S=，则该数列的公差d为()A．21B．2C．3D．4【跟踪训练1-2】（2020春•资阳期末）已知等差数列{}na的公差为d，24

a=，410a=，则(d=)A．2B．3C．6D．9【跟踪训练1-3】（2020春•常德期末）等差数列{}na中，38a=，1029a=，则6(a=)A．14B．17C．20D．23【名师指导】等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想．

(2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素．(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．(4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．题型2等差数列的判定与证明【例2-1】（2020•山东模拟）已知数列

()*113nnnnaaanNa++=−满足，且113a=．()I求证：数列1{}1na−是等差数列，并求na；()II令*22()(2)nnbnNna=+，求数列{}nb的前n项和nT．【跟踪训练2-1】

（2020春•天心区校级期末）已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为nS，且110kS=．（1）求a及k的值．（2）已知数列{}nb满足nnSbn=，证明数列{}nb是等差数列，并求其前n项和nT．【名师指导】等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－

an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意

正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．题型3等差数列的性质及应用【例3-1】（2020春•赤峰期末）在等差数列{}na

中，123aa+=，567aa+=，则910(aa+=)A．8B．9C．10D．11【例3-2】（2020春•南岗区校级期末）设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S=，972S=，则6(S=)A．27B．33C．36D．45【例

3-3】（2020春•运城期末）设等差数列{}na满足：13a=，公差(0,10)d，其前n项和为nS．若数列{1}nS+也是等差数列，则51nnSa++的最小值为()A．3B．2C．5D．6【跟踪训

练3-1】（2020春•上高县校级期末）设等差数列{}na前n项和为nS，等差数列{}nb前n项和为nT，若20121nnSnTn−=−，则33(ab=)A．595B．11C．12D．13【跟踪训练3-2】（2020春•安徽期末）在等差数列{}

na中，824a=，168a=，则24(a=)A．24−B．16−C．8−D．0【跟踪训练3-3】（2020春•蚌埠期末）已知等差数列{}na的前n项和为nS，等差数列{}nb的前n项和为nT，若211nnSnTn−=+，

则55(ab=)A．1911B．1710C．32D．75【跟踪训练3-4】（2020春•马鞍山期末）在数列{}na中，若516nan=−，则此数列前n项和的最小值为()A．11−B．17−C．18−D．3【跟踪训练3-5】（202

0春•沙坪坝区校级期末）已知等差数列{}na，其前n项和为nS，若3412aa+=，39SS=，则nS的最大值为()A．12B．24C．36D．48【跟踪训练3-6】（2020•哈尔滨模拟）等差数列{}na，{}nb的前n项和分别为nS，nT，若3535ab=，则59ST

=．【跟踪训练3-7】（2020•昆山市模拟）已知{}na和{}nb均为等差数列，若276ab+=，459ab+=，则63ab+的值是．【名师指导】1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝

d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－

1＝(2n－1)an；③Snn是首项为a1，公差为d2的等差数列．2.求等差数列前n项和Sn及最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法①当a1>0，d<0时，满足

am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；