【文档说明】重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(25)页，5.259 MB，由小赞的店铺上传

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重庆八中2023—2024学年度（上）半期考试高二年级数学试题命题：刘洪涛李园审核：熊翼打印：李园校对：刘洪涛一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i是虚数单位，若复数z满足：()31i1i

z−=−，则z=（）A.i−B.1C.iD.0【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算求z，进而求其模长.【详解】因为()31i1iz−=−，即()1i1iz+=−，可得()()()21i1ii1i1i1iz−−===−++−，所以1z=.故选：B.2.若椭圆22:12xyCm+=

的离心率为33，则m=（）A.3或23B.83C.3或43D.43或83【答案】C【解析】【分析】根据焦点位置分类讨论，利用离心率计算求解即可.【详解】若椭圆焦点在x上，则22,2amb==，所以2222cabm=−=−，

故22222113cmeamm−===−=，解得3m=，若椭圆焦点在y上，则222,abm==，所以2222cabm=−=−，故222211223cmmea−===−=，解得43m=，综上，3m=或43m=.故选：C3.“直线340xym++=

与圆2220xyx+−=相切”是“8m=−”的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆相切求m的值，进而结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为圆2220xyx+−=，即()2211xy−+=，可知圆心为(

)1,0，半径为1，若直线340xym++=圆2220xyx+−=相切，则3015++=m，解得2m=或8m=−，又因为8−是8,2−的真子集，所以“直线340xym++=与圆2220xyx+−=相切”是“8m

=−”的必要不充分条件.故选：B.4.已知D，E分别为ABC的边BC，AC的中点，且ADa=，BEb=uurr，则BC为（）A.4233ab+B.2233ab−C.2433ab+D.2433−ba【答案】C【解析】【分析】根据题意可得BCbEC=+uuuruuurr，ACaDC=+uuur

uuurr，结合中线的性质运算求解即可.【详解】因为BCBEECbEC=+=+uuuruuruuuruuurr，ACADDCaDC=+=+uuuruuuruuuruuurr，且12ECAC=uuuruuur，12DCBC=uuuruuur，可得12BCbAC=+uuuruu

urr，12ACaBC=+uuuruuurr，所以1221BCbaBC=++uuuruuurrr，整理得2433BCab=+uuurrr．故选：C．5.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点()()5,0,

5,0AB−距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（）A.5xy+=B.22194xy+=C.2216xy+=D.216xy=【答案】B【解析】【分析】根据题意可知M的轨迹为：221169xy−=，即与其

有交点的曲线都是“好曲线”，结合图形即可判断不是“好曲线”的曲线.【详解】由题意知：M平面内两点(5,0)A−，(5,0)B距离之差的绝对值为8，由双曲线定义知：M的轨迹以,AB为焦点的双曲线且4,5ac==，即轨迹方程为：221169xy−=，可知：“好曲线”一定与221169xy−

=有交点，结合各选项方程的曲线知：所以不是“好曲线”的是22194xy+=.故选：B.6.如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的

最小直径为（）A.5748cmB.2878cmC.5744cmD.2874cm【答案】C【解析】【分析】先作出双曲线图，根据图像代入点，求出点的坐标，最后求出a的值.【详解】如图所示，根据题意，作出冷却塔的双曲线函数图，设双曲线方程为()222210,0xyabab−=，因为

冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm，所以设双曲线上的点()()123,,4,AyBy且128yy−=，将,AB代入可得2122222291161yabyab−=−=，两式相减得()()222121212227yyyyyyabb

−+−==，又双曲线离心率为3，所以22222218bcaeaa−==−=，所以228ba=，代入可得()2122878yyaa−+=，得217yy+=−，所以112y=，将点13,2代入可得22911

32aa−=，解得5748a=，所以冷却塔的最小直径为57424a=，故选：C7.已知点M是圆221xy+=上的动点，点N是圆()()225216xy−+−=上的动点，点P在直线50xy++=上运动，则PMPN+的最小值为（）A.1395+B.1495+C.13

95−D.1495−【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质可得5++−PMPNPOPA，求点()0,0O关于直线50xy++=对称的点为B，结合对称性分析求解.【详解】由题意可知：圆221xy+=的圆心为()0,0O，半径11r=，圆()()225216xy−+−=的圆心()5,2A，半径

24r=，则1,4−−PMPOPNPA，即5++−PMPNPOPA，设点()0,0O关于直线50xy++=对称的点为(),Bab，则0105022baab−=−++=，解得5==−ab，即()5,5B−−，因为POPB=，则5514

95++−−=−PMPNPBPAAB，所以PMPN+的最小值为1495−.故选：D.8.点12,FF分别为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，12||PQFF=，1PFQ△的面积为218a，e为椭圆

的离心率，则2e为（）A.78B.710C.79D.712【答案】A【解析】【分析】根据题意可知：12PFQF为矩形，利用椭圆的定义结合勾股定理和面积关系运算求解.【详解】根据椭圆的对称性可知：12PFQF为平行四边形，且12||PQFF=，所以12PFQF为矩形，可知1PFQ△的面积即

为12PFF△的面积，设12||,==PFmFPn，则2222,4mnamnc+=+=，可得()()()2222221144222=+−+=−=mnmnmnacb，由面积关系可得221128==mnba，即22218−=aca，所以278e=.故选：A.二、多项选择题：

本题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若三条不同的直线123:240,:10,:350lmxymlxylxy+++=−+=−−=能围成一个三角形，则m的取值不可能为（）A.2−B.

6−C.3−D.1【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，结合若12ll//或13//ll或重合时，结合两直线的位置关系，列出方程，即可求解.【详解】由直线123:240,:10,:350lmxymlxylxy+++=−+=−−=，若12ll//或重合时，则满足211m=−，解得

2m=−；若13//ll或重合时，则满足231m=−，解得6m=−；若1l经过直线2l与3l的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形，联立方程组10350xyxy−+=−−=，解得3,4xy==，即交点(3,4)P，将点P代入直

线1l，可得32440mm+++=，解得3m=−.故选：ABC.10.椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若12::5:1:4F

QFQPQ=，则（）A.12PFF△为等腰直角三角形B.C的离心率等于22C.12QFF的面积等于26aD.直线l的斜率为22【答案】ABC【解析】【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知12PFPF=，且满足22211PFPQFQ+=，即可得A正确；易知1211226QF

FQFPPFFSSaS=−=可得C正确；在等腰直角三角形12PFF△中，可知直线l的斜率为1−，计算可得C的离心率等于22.【详解】对于选项A：因为12::5:1:4FQFQPQ=，不妨设()21,4,50===FQmPQmFQmm，又因为224PQQFPFm=+

=，可得23PFm=；利用椭圆定义可知12126QFQFPFPFm+=+=，所以13PFm=；即123PFPFm==，所以点P即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：由13PFm=，14,5PQmFQm==可知满足22211PFPQFQ+=，所以12PFPF⊥，故A

正确；对于选项B：在等腰直角三角形12PFF△中，易知()2222aac+=，即可得离心率22cea==，故B正确；对于选项C：因为12PFF△为等腰直角三角形，且13PFma==，因此12QFF的面积为12112222212111931622226QFFQFPPFFSSSPQ

PFPFPFmmma=−=−=−==，故C正确；此时可得直线l的斜率21PQPFkk==−，故D错误；故选：ABC.11.如图，已知E，F分别是正方体1111ABCDABCD−的棱BC和CD的中点，则（）A.1AE与11BD是异面

直线B.1BC与EF所成角的大小为2π3C.1AF与平面1BEB所成角的正弦值为33D.二面角11CDBB−−的余弦值为63【答案】AD【解析】【分析】根据异面直线的概念可得“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该

点的直线是异面直线异面直线”可知A正确；作出异面直线所成的角判断B，建立空间直角坐标系，向量法判断CD.【详解】对A，因为E在平面1111DCBA外，1A在平面1111DCBA内，11BD在平面1111DCBA

内，所以1AE与11BD是异面直线，故A正确；对B，由中点知，//EFBD,又11//BDBD，所以11//EFBD，即11DBC为1BC与EF所成的角，在等边11DBC△中，11π3DBC=，故B错误；以D为原点，D

A，DC，1DD分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，()0,0,0D，()12,0,2A，()0,2,0C，()10,0,2D，()0,1,0F，由题意可知，平面1BEB的法向量可取()0,2,0DC=，()12,1,2

AF=−−，设1AF与平面1BEB所成角为，则11||21sin3||||29AFDCAFDC===，所以1AF与平面1BEB所成角的正弦值为13，故C错误；又()112,2,0DB=，1(0,0,2)B

B=，1(0,2,2)DC=−设平面11DBB的法向量为111(,,)mxyz=，则11111122020mDBxymBBz=+===，令11x=，得(1,1,0)m=−，设平面11DBC的法向量222(,,)nxyz=，则1

221122220220nDCyznDBxy=−==+=，令21y=−，可得(1,1,1)n=−−，则26cos,||||323mnmnmn===，又因为二面角11CDBB−−为锐角，所以二面角11CDBB−−的余弦值

为63，故D正确.故选：AD．12.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点坐标()1,0F，圆()22:11Exy+=−，直线()1ykx=−与C交于A，B两点，与E交于M，N两点（A，M在第一象限），O为坐标原点，则下列说法中正确的是（）A.0OAO

B=B.若4ABMN=，则1k=C.OMONOAOBD.1AMBN=【答案】BCD【解析】【分析】对于A：将直线方程与抛物线方程联立，消元后利用根与系数的关系，再求出OAOB；对于C：由于直线过圆心，则由圆的性质

可得0OMON=，从而可进行判断；对于B，利用弦长公式求出AB，而2MN=，然后由题意列方程可求出k的值；对于D：由题意可得()()11AMBNAEBE=−−，再结合抛物线的性质化简计算即可.【详解】因为抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点坐标()1,0F，则12p=，解得2p=，可知抛物

线2:4Cyx=，对于选项A：设23344112(,),(,),(,),(),AxyBxyMxyNxy，联立方程2(1)4ykxyx=−=，消去x得2222(24)0kxkxk−++=，则()()22422441610kkk=+−=+，可得21212224,1kx

xxxk++==，所以212121212(1)(1)xxyyOAOBxxkxx=+=+−−2221212(1)()kxxkxxk=+−++222222413kkkkk=++−+=−，即3OAOB=−，故A错误；对于选项C

：因为直线()1ykx=−恒过圆心(1,0)E，则OMON⊥，可得0OMON=，所以OMONOAOB，故C正确；对于选项B：因为直线过抛物线的焦点(1,0)，所以122424ABxxk=++=+，因为2MN=

，4ABMN=，所以2448k+=，解得1k=，所以B正确；对于选项D：因为直线过抛物线的焦点(1,0)，所以()()()()12121111111AMBNAEBExxxx=−−=+−+−==，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每

小题5分，共计20分．13.已知向量ab，夹角为π4，且||1a=r，||2b=r，则2ab+=rr______．【答案】10【解析】【分析】由22(2)abab+=+rrrr，再根据向量的运算律及数量积的定义求解即可.【详解】解：因为22222π2(2)444|

|4||||cos||104ababaabbaabb+=+=++=++=rrrrrrrrrrrr.故答案为：1014.直线:3lykx=−与曲线2:1(2)1Cyx−−=−有两个交点，则实数k的取值范围是______．【答案】12,45【解析】【分析】根据题意分析可得曲线

C是以(1,2)为圆心，1为半径的右半圆，结合图象分析求解.【详解】由2:1(2)1Cyx−−=−，可得()()22121xy−+−=且1x，所以曲线C是以(1,2)为圆心，半径为1的右半圆，直线:3lykx

=−过定点P(0,3)−，斜率为k，如图，当直线过(1,1)A时，可得1(3)410k−−==−，当直线:3lykx=−与曲线C相切时，则2|5|11kk−=+，解得125k=，所以实数k的取值范围为12,45

.故答案：12,4515.过抛物线24yx=上的点()1,Pt且与圆()2221xy−+=有且只有一个公共点的直线有______条．【答案】3【解析】【分析】由已知求出点()1,2P或()1,2P−.先求解直线斜率不存在时的方程；然后设斜率，得出点斜式方程，表示出

圆心到直线的距离，列出方程，求解即可得出斜率，进而得出直线方程.【详解】由题意可知，24t=，解得2t=，则点()1,2P或()1,2P−，且圆()2221xy−+=的圆心()2,0C，半径1r=.为①当点()1

,2P时当直线l斜率不存在时，此时l方程为1x=，与圆相切，满足题意；当直线l斜率存在时，设斜率为1k，此时直线l方程为()121ykx−=−，即1120kxyk−−+=.因为直线l与圆相切，所以圆心()2,0C到l的距离1dr

=，即1112211222111kkkkk−++==++，整理可得1430k+=，解得134k=−，所以直线方程为34110xy+−=；②当点()1,2P−时当直线l斜率不存在时，此时l方程为1x=，与圆相切，满足题意；当直线l斜率存在时，设斜率为2k，此时直线l方程为()22

1ykx+=−，即2220kxyk−−−=.因为，直线l与圆相切，所以圆心()2,0C到l的距离2dr=，即2222222222111kkkkk−−−==++，整理可得2430k−=，解得234k=，所以直线方程为34110xy−−=；综上所述：直线方程为1x

=或34110xy+−=或34110xy−−=，共有3条.故答案为：3.16.贵州榕江“村超”火爆全网，引起旅游爱好者、社会名流等广泛关注．足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗蹴鞠的场景．

已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥A-BCD如图所示，顶点A在底面的射影落在BCD△内，它的体积为32，其中BCD△和ABC都是边长为2的正三角形，则该“鞠”的表面积为______．的【答案】52π9【解析】【分析】由线面垂直关系

，利用分割法求三棱锥体积，由垂直关系结合球心性质找到球心位置，再运算求解球半径即可.【详解】如图，取BC的中点E，连接DE，AE，因为BCDE⊥，BCAE⊥，又DE平面AED，AE平面AED，DEAEE=，所以BC⊥平面AED，BC平面ABC，所以平面ABC⊥平面AED，同理可证，平面BCD

⊥平面AED，设BCD△和ABC的中心分别为H、F，在平面AED内，过F、H分别作,AEED的垂线，设交点为O，即,FOAEHOED⊥⊥，又平面ABC平面AEDAE=，由面面垂直的性质定理可知：OF

⊥平面ABC，同理可得：OH⊥平面BCD，即球心为O，设“鞠”的半径为R，连接OE，则13ABCDBAEDCAEDAEDVVVSBC−−−=+=△，即：311sin232=AEDEAEDBC，又因为2BC=，3AEDE==

，所以3in2sAED=，又顶点A在底面的射影落在BCD△内，则60AED=，由HEFE=，OE为公共边，得RtOHE△与RtOFE△全等，则OE为AED角平分线，所以30OEH=.的在RtOEH△中，因为1333EHDE==，则1tan303==OHEH，在RtOCH

中，233CH=，则2222212313339=+=+=ROHCH，所以该“鞠”的表面积213524π4ππ99===SR.故答案为：52π9.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，S为圆锥

顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD为底面圆的两条直径，ABCDO=，且3SO=，P为母线SB上一点，52SPPB==．（1）求证：//SA平面PCD；（2）求圆锥SO的体积．【答案】（1）证明见解析（2）16π【解析】【分析】（1）连结PO，由中位线性质有//POS

A，利用线面平行的判定定理即可证结论；（2）根据已知求底面半径，进而求出底面积，应用圆锥体积公式求体积.【小问1详解】连结PO，如图，∵P、O分别为SB、AB的中点，∴//POSA，又PO平面PCD

，SA平面PCD，∴//SA平面PCD.小问2详解】∵52PB=，P为SB的中点，∴5SB=.∴2222534OBSBSO=−=−=，则底面圆面积21π16πSOB==，∴圆锥体积11116π316π

33VSSO===.18.已知过抛物线()2:20Cypxp=的焦点，斜率为1的直线交抛物线于.1122(,),(,)AxyBxy.，且8AB=．（1）求该抛物线的方程；（2）在抛物线C上求一点D

，使得点D到直线30xy−+=的距离最短．【答案】（1）24yx=（2）(1,2)D【解析】【分析】（1）首先表示出直线l的方程，再联立直线与抛物线方程，消去y，列出韦达定理，再根据焦点弦公式计算可得

；（2）设200(,)4yDy，再利用点到直线的距离及二次函数求最小值即可得解.【小问1详解】如图，【由已知得焦点(,0)2pF，∴直线l的方程为2pyx=−，联立222ypxpyx==−，消去y

整理得22304pxpx−+=设()11,Axy，()22,Bxy，则123xxp+=，1212||()()4822ppABxxxxpp=+++=++==，2p=，∴抛物线C的方程为24yx=【小问2详解】设20

0(,)4yDy，则D到直线的距离()2022000022341228442421(1)yyyyyd−+−+−+===+−，当02y=时，min8242d==，此时2014yx==，所以(1,2)D.19.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a

，b，c，点D在边BC上，且点D是靠近C的三等分点，90DAB=．（1）若45B=，ADC△的面积为1，求b；（2）求tantanAB的值．【答案】（1）10（2）3−【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式

可求得AB，再求得BC的值，利用余弦定理可求得b的值；（2）在ACD中，利用正弦定理以及诱导公式化简可得出tantanAB的值.【小问1详解】如图，因为2BDDC=，45B=，90DAB=，则ABD△为等腰直角三角形，且ABA

D=，因为2BDDC=，所以22ABDADCSS==△△，所以211222ABDSABADAB===△，所以2ABAD==，则222BDAB==，122CDBD==，32aBDCD=+=，在ABC中，由余弦定理可得:2

2222cos1842322102bacacB=+−=+−=，故10b=.【小问2详解】在ACD中，由正弦定理可得sinsinACCDADCDAC=，即()()13sin90sin90abBA=+

−，即cos3cosbaBA=−，由正弦定理可得sinsincos3cosBABA=−，所以1tantan3BA=−，即tan3tanAB=−.20.如图1，四边形ABCD是梯形，//ABCD，142ADDCCBAB====，点M

在AB上，AMMB=，将ADM△沿DM折起至ADM，如图2，点N在线段AC上．图1图2（1）若2ACNC=，求证：平面DNM⊥平面ABC；（2）若26AC=，平面DNM与平面CDM夹角的正弦值为55，求

ANAC值．【答案】（1）证明见解析（2）23=ANAC【解析】【分析】（1）取DM中点O，得DMAC⊥，再根据线面垂直可得AC⊥平面DMN，根据面面垂直的判定定理分析证明；（2）建立空间直角坐标系，设()01ANAC

=，求两个平面的法向量，根据向量夹角公式运算求解.【小问1详解】取DM中点O，连接,,AOCOCM，因,ADMCDM为等边三角形，则,AODMCODM⊥⊥，且AOCOO=，,AOCO平面ACO，DM⊥平面ACO，由AC平面ACO，所以DMAC⊥，又因为4DCDA

==，所以DNAC⊥，且DNDMD=，,DNDM平面DMN，所以AC⊥平面DMN，又AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面DMN.【小问2详解】由题意可得：23OCAO==，且26AC=，所以222OCAOAC=+，可得OCOA⊥，而,AOODCOOD⊥⊥，以O为

坐标原点，分别以,,ODOCOA所在直线为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则()()()()2,0,0,2,0,0,0,23,0,0,0,23DMCA−，设()01ANAC=，则()0,23,23AN−=，可得()2,23,2323

DNDAAN=+=−−，得()0,23,2323N−，所以()()2,23,2323,4,0,0DNMD=−−=，设平面DMN的一个法向量为()1,,nxyz=，由()114022323230MDnx

DNnxyz===−++−=，令1y=−，则0,xz==，可得()10,1,n=−，由题意可知：平面DMC的一个法向量为()20,0,1n=.为设平面DMN与平面DMC的夹角为0,2

，则2525sin,cos1sin55==−=则12121225coscos,5nnnnnn===，即22255(1)=−+，解得23=，或2=（舍去）.所以23ANAC=.21.椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，过椭圆焦

点并且垂直于长轴的弦长度为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于(0,)Mm点，若存在实数m，使得34OAOBOM+=，求m的取值范围．【答案】（1）2214xy

+=（2）11,11,22−−【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可；（2）根据直线l是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论

进行求解即可.【小问1详解】因为该椭圆的离心率为32，所以有()2222222333112444ccabbaaaa−====，在方程22221xyab+=中，令xc=，解得24222221cbbybyaaa=−==，因为过椭圆焦点并且垂直于长

轴的弦长度为1，所以有()2212bbaa−−=，由()()1,2可得：21ab==，所以椭圆的方程为2214xy+=；【小问2详解】当直线l不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点

不符合题意；当直线l存在斜率时，设为k，所以直线l的方程设为ykxm=+，于是有()2222211484404xykxkmxmykxm+=+++−==+，因为该直线与椭圆有两个交点，所以一

定有()()222264414440kmkm=−+−，化简，得22410km−+，设()()1122,,,AxyBxy，于是有2121222844,1414kmmxxxxkk−+=−=++，因为34OAOBOM+=，所以()()()11221212,3,40,

303xyxymxxxx+=+==−，代入122814kmxxk+=−+中，得222228431414kmkmxxxkk−+=−=++，于是有()222222224444433141414mkmmxxkkk−−−=−=+++，化简，得2221416mk

m−=−，代入22410km−+中，得222211114101,11,416422mmmmm−−+−−−.【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式34OAOBOM+=得到123xx=−.22.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的渐

近线为yx=，左焦点为F，左顶点M到双曲线E的渐近线的距离为1，过原点的直线与双曲线E的左、右支分别交于点C、B，直线FB与双曲线E的左支交于点A，直线FC与双曲线E的右支交于点D．（1）求双曲线E的方程；（2）求证：直线AD过定点．【答案】（1）22122xy−=（2）证明见解析【解

析】【分析】（1）由条件列关于,,abc的方程，解方程求,,abc，由此可得双曲线方程；（2）设()()0000,,,BxyCxy−−，分别联立直线FB，FC与双曲线方程，结合关于系数关系求点A和点D坐标，利用点斜式表示直线AD

的方程，再证明直线过定点.【小问1详解】设双曲线的半焦距为c，则(),0Fc−，因为双曲线E的渐近线为yx=，则ab=，又因为左顶点(),0Ma−到双曲线E的渐近线yx=的距离为12a=，解得2a=，则222,2bc

ab==+=，所以双曲线E的方程为22122xy−=．【小问2详解】设()()0000,,,BxyCxy−−，若00y=，则02x=，故()()()()2,0,2,0,2,0,2,0BCAD−−，直线AD的方程为0y=；若00y

，设直线FB的方程为0022xxyy+=−，直线FB的方程与双曲线22:122xyE−=联立，()()2002200242120xxyyyy++−−+=．又22002xy−=，则()()22000023220xyx

yyy+−++=所以200023Ayyyx=+，即000034,2323AAyxyxxx−−==++．同理000034,2323DDyxyxxx−−==−+−+，则()()()()()()000000000000000000232323233343434233423232

3ADyyyxyxxxykxxxxxxxxx−−−++++−+===−−−−−−−+−−+−+−+，则直线AD方程为0000003432323yyxyxxxx−−−=−−++，令0y=，则000034132323xxxxx−−=−+

+，即()()()000000423344323233233xxxxxxx−+−−=+==−+++所以直线AD过定点4,03−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com