【文档说明】安徽省马鞍山市2023-2024学年高二上学期期中调研考试数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.055 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年第一学期高二期中调研试卷数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.直线320xy+−=的方向向

量为（）A.()1,3−B.()1,3C.()3,1−D.()3,1【答案】A【解析】【分析】根据直线的斜率得到直线的一个方向向量为()1,k，再求其共线向量即可.【详解】由题意得直线320xy+−=的斜率为-3，所以直线的一个方向向量为()1,3−，又(

)()1,31,3−=−−，所以()1,3−也是直线320xy+−=的一个方向向量.故选：A.2.等差数列na中，若39218aa+=，则263aa+的值为（）A.36B.24C.18D.9【答案】B【解析】【分析】

由等差数列通项公式求基本量得5146daa+==，再由2639532aaaaa+=++即可求值.【详解】令na的公差为d，则3911122(2)831218aaadadad+=+++=+=，即5146daa+==，则262468395321

8624aaaaaaaaa+=+++=++=+=.故选：B3.与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）A.3x+4y+5=0B.3x+4y﹣5=0C.3x﹣4y+5=0D.3x﹣4y﹣5=0【答案】B【解析】【分析】分别求出直线3450xy−+=与坐标轴的交点，分别求得关于y轴的对称点

，即可求解直线的方程．【详解】令0x=，则54y=，可得直线3450xy−+=与y轴的交点为5(0,)4，令0y=，则53x=−，可得直线3450xy−+=与x轴的交点为5(,0)3-，此时关于y轴的对称点为5(,0)3，所以与直线3450xy−+=关于y轴对称的直线经过两

点55(0,),(,0)43，其直线的方程为15534xy+=，化为3450xy+−=，故选B．【点睛】本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方

程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.经过原点和点()3,1−且圆心在直线350xy+−=上的圆的方程为（）A.()()22510125xy−++=B.()()22125xy++−=C.()()22125xy−+−=D.2252539xy

−+=【答案】D【解析】【分析】令圆心为(,53)xx−，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程.【详解】由题设，令圆心为(,53)xx−，又圆经过原点和点()3,1−，所以()()(

)2222253363rxxxx=+−=−+−，整理可得53x=，故圆心为5(,0)3，所以半径平方2259r=，则圆的方程为2252539xy−+=.故选：D5.设na是公差不为0的无穷等差数列，则“na为

递减数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.【详解】令na

公差为d且0d的无穷等差数列，且11(1)()nndaaadnd=+−=+−，若na为递减数列，则0d，结合一次函数性质，不论1a为何值，存在正整数0N，当0nN时0na，充分性成立；若存在正整数0N，当0nN时0na，由于0d，即na不为常数列，故1()nad

nad=+−单调递减，即0d，所以na为递减数列，必要性成立；所以“na为递减数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的充分必要条件.故选：C6.已知点()4,3P，点Q在224xy+=的圆周上

运动，点M满足PMMQ=，则点M的运动轨迹围成图形的面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】A【解析】【分析】设(,)Mxy，00(,)Qxy，由动点转移法求得M点轨迹方程，由方程确定轨迹后可得面积．【详解】设(,)Mxy，00(,)Qxy，由PMMQ=得M是线段PQ中点，∴002

423xxyy=−=−，又Q在圆224xy+=上，22(24)(23)4xy−+−=，即223(2)()12xy−+−=，∴M点轨迹是半径为1的圆，面积为πS=，故选：A．7.等比数列na中，123453aaaaa++++=，222221234515aaaaa++++=，

则12345aaaaa−+−+=（）A.5−B.1−C.5D.1【答案】C【解析】【分析】由等比数列前n项和公式写出已知与待求式后，进行比较，已知两式相除即得.【详解】设公比为q，显然1q，则由题意得5121012(1)31(1)151a

qqaqq−=−−=−，两式相除得51(1)51aqq+=+，所以551112345[1()](1)51()1aqaqaaaaaqq−−+−+−+===−−+，故选：C.8.过点()2,0P作圆2241xyy+−=的两条切线，设切点分

别为,AB，则PAB的面积为（）A.3158B.152C.5158D.15【答案】A【解析】【分析】写出圆的标准方程得圆心为(0,2)C，半径5r=，进而有||22CP=，由圆的切线性质得||||3BPAP=

=，53sin,cos2222BPCBPC==，2BPABPC=，最后应用倍角正弦公式、三角形面积公式求PAB面积.【详解】由题设，圆的标准方程为22(2)5xy+−=，圆心为(0,2)C，半径5r=，所以||22CP=，如下图示，切点

分别为,AB，则||||853BPAP==−=，所以||5||3sin,cos||||2222BCBPBPCBPCCPCP====，又2BPABPC=，所以15sinsin22sincos4BP

ABPCBPCBPC===，所以1115315||||sin332248PABSBPAPBPA===.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不

全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知直线:0lxmym++=，若直线l与连接()()3,2,2,1AB−两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角可以是（）A.2π3B.π2C.π4D.π6【答案】ABC【解析】

【分析】求出直线l过的定点，从而求得,ACBCkk，进而利用数形结合可得直线l倾斜角的范围，由此得解.【详解】因为直线:0lxmym++=可化为()10xym++=，所以直线l过定点()0,1C−，又()()3,2,2,1AB−，所以()21

130ACk−−==−−−，()11120BCk−−==−，故直线AC的倾斜角为3π4，直线BC的倾斜角为π4，结合图象，可知直线l的倾斜角范围为π3π,44，故ABC正确，D错误.故选：ABC.10.设,nnST分别是等差数列na和等比数列nb的前()*Nnn项和，下列

说法正确的是（）A.若15160aa+，15170aa+，则使0nS的最大正整数n的值为15B.若5nnTc=+（c为常数），则必有1c=−C.51051510,,SSSSS−−必为等差数列D.51051510,,TTTTT−−必为等比数列【答案】BCD【解析】【

分析】A由已知可得129152dad−−，且0d，再应用等差数列前n项和公式及0nS得1201and−，即可判断；B由等比数列前n项和公式有11511nnnbbqTcqq=−=+−−，即可判断；C、D根据等差、等比数列片段和的性质直接判断.【详解】令

na的公差为d，则11(1)()nndaaadnd=+−=+−，所以151611517122902300aaadaaad+=++=+，故129152dad−−，且0d，使211(1)()022

2nnnddSnadnan−=+=+−，则1201and−，而122930ad−，即121(30,31)ad−，故030n，所以使0nS的最大正整数n的值为30，A错；令nb的公比为q且0q

，则()11115111nnnnbqbbqTcqqq−==−=+−−−（公比不能为1），所以1511qbq==−−，即1c=−，B对；根据等差、等比数列片段和的性质知：51051510,,SSSSS−−必为等差数列，51051510,,TTTTT−−必为等比数列，C、D

对.故选：BCD11.已知等比数列na公比为q，前()*Nnn项和为nS，前()*Nnn项积为nT，若1132a=，56TT=，则（）A.2q=B.当且仅当6n=时，nT取得最小值C.()*11N,11nn

TTnn−=D.nnST的正整数n的最大值为11【答案】AC【解析】的【分析】根据56TT=确定6a，561aqa=求出q的值确定A，根据数列项的变化，确定B，利用等比数列的基本量运算判断C，根据nnST转化二次不等式，从而确定正整数n的最大

值判断D.【详解】对于A，因为56TT=，所以6651TaT==，因为56132aqa==，解得2q=，故A正确；对于B，注意到61a=，故15,Znn时，01na，7,Znn时，1na，所以当5n=或6n=时，nT取得最小值，故B错误；对于C，()()()21111215*

221231222N,11nnnnnnnnnTaaaaaqnn−−+++−−====，()()()()2111011111112105*221112111222N,11nnnnnnnnnTaaaaq

nn−−−−−+++−−−−====，所以()*11N,11nnTTnn−=，故C正确；对于D，()1512112nnnaqSq−−==−，21122nnnT−=，因为nnST，所以211252212nnn−−，即211102212nnn−+−，所以2111022

12nnn−+−，即211102nnn−+，所以131291312922n−+，正整数n最大值为12，故D错误，故选：AC.12.已知圆22:4Cxy+=，圆22:860Mxyxym+−−+=（）A.若8m=

，则圆C与圆M相交且交线长为165B.若9m=，则圆C与圆M有两条公切线且它们的交点为()3,4−−C.若圆C与圆M恰有4条公切线，则16mD.若圆M恰好平分圆C的周长，则4m=−【答案】AD【解析】【分析】A、B将圆M化为标准形式，确定圆心和半径，判断圆心距与两圆半径的关系，再求相

交弦长判断；C由题意知两圆相离，根据圆心距大于两圆半径之和及圆的方程有意义求参数范围；D由题意相交弦所在直的线必过(0,0)C，并代入相交弦方程求参数即可.【详解】A：8m=时圆22:(4)(3)17Mxy−+−=，则(4,3)

M，半径17r=，而圆22:4Cxy+=中(0,0)C，半径2r=，所以||5CM=，故172||172CM−+，即两圆相交，此时相交弦方程为4360xy+−=，所以(0,0)C到4360xy+−=的距离为65d=，故相交弦长

为2261622()55−=，对；B：9m=时圆22:(4)(3)16Mxy−+−=，则(4,3)M，半径4r=，同A分析知：42||42CM−+，故两圆相交，错；C：若圆C与圆M恰有4条公切线，则两圆相离，则||2CMrrr+=+，而圆22:(4)(3)25Mxy

m−+−=−，即25rm=−，所以25016252255mmm−+−，错；D：若圆M恰好平分圆C的周长，则相交弦所在直线必过(0,0)C，两圆方程相减得相交弦方程为8640xym+−−=，将点代入可得4m

=−，对.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案写在答题卡相应的位置上．13.若na是公差不为0的等差数列，248,,aaa成等比数列，11a=，nS为na的前()*N

nn项和，则1210111SSS+++的值为___________．【答案】2011【解析】【分析】由等差数列中248,,aaa成等比数列，解出公差为d，得到na，求出nS，裂项相消求1210111SSS+++的值.【详解

】设等差数列na公差为d，248,,aaa成等比数列，由2428aaa=，则()()()211137adadad+=++，即()()()213117ddd+=++，由0d，得1d=，所以()11naandn=+−=，则有()()1122nnnaan

nS++==，得()1211211nSnnnn==−++，所以121011111101111112021211221311SSS+++=−+−++=−=−.故答案为：201114.平面直角坐标系xOy中，过直线1:7310lxy−+=与2:43

0lxy+−=的交点，且在y轴上截距为1的直线l的方程为_______________．（写成一般式）【答案】9550xy+−=【解析】【分析】设交点系方程，结合直线过(0,1)求方程即可.【详解】由题设，令直线l的方程为731(43)0xy

xy−+++−=，且直线过(0,1)，所以031(043)02−+++−==，故直线l的方程为9550xy+−=.故答案为：9550xy+−=15.如图，第一个正六边形111111ABCDEF的面积是1，取正六边形111111ABCDEF各边的中点222222,,

,,,ABCDEF，作第二个正六边形222222ABCDEF，然后取正六边形222222ABCDEF各边的中点333333,,,,,ABCDEF，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n个正六边形的面积之和为_______________．【答案】3414n−【解

析】【分析】根据题设分析出前n个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，应用等比数列前n项和公式求面积和.【详解】由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为32，故它们面积比为34，所以前n个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，所以前

n个正六边形的面积之和31()344[1()]3414nnS−==−−.故答案为：34[1()]4n−16.已知实数,,abc成等差数列，在平面直角坐标系xOy中，点()4,1A，O是坐标原点，直线:230laxbyc++=．若直线OM垂直于直线l，垂足为M，则

线段AM的最小值为___________．【答案】2【解析】【分析】由等差数列的性质及直线方程有:()(3)0laxycy+++=，求出直线所过的定点，结合已知M在以||OB为直径的圆上，且圆心33(,)22C−，半径为322，问题化为求()4,1A到该圆上点距

离的最小值.【详解】由题设2bac=+，则:()30laxacyc+++=，即:()(3)0laxycy+++=，令03303xyxyy+==+==−，即直线l恒过定点(3,3)B−，又OMl⊥，所以M在以||OB为直径的圆上，且圆心33(,)22C−，半径为322，要求AM的

最小值，即求()4,1A到该圆上点距离的最小值，而223352||(4)(1)222CA=−++=，所以min5232222AM=−=.故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解

答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知直线()1:2120lxay−−−=，()()()2:22130Rlaxaya++++=．（1）若12ll⊥，求实数a的值；（2）若1//l2l，求12,ll之间的距离．【答案】（1）1a=−或52；（2）5.【解析】【分析】（1）由两

线垂直的判定列方程求参数即可；（2）由两线平行的判定列方程求参数，注意验证是否存在重合情况，再应用平行线距离公式求距离.【小问1详解】由12ll⊥，则2(2)(1)(21)0aaa+−−+=，即22350aa−−=，所以(25)(1)0aa-+=，可得1a=−或52.【小问2详解】由1//l2l

，则22121aaa++=−，可得250aa+=，故0a=或5−，当0a=，则1:220lxy+−=，2:230lxy++=，此时满足平行，且12,ll之间的距离为223(2)521−−=+；当5a=−，则1:310lxy+−=，2:310lxy+−=，

此时两线重合，舍；.综上，1//l2l时12,ll之间的距离为5.18.已知等差数列na，前()*Nnn项和为nS，又294,90aS==．（1）求数列na的通项公式na；（2）设9nnba=−，求数列nb的前n项和nT

．【答案】（1）2nan=（2）()()228,14,N832,5,NnnnnnTnnnn−=−+【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.（2）由992nnban=−=−，令920ncn=−求出n的取值范围，再分段求出

数列nb的前n项和nT【小问1详解】设等差数列的公差为d，首项为1a，因为990S=，所以()199599902aaSa+===，所以510a=，由5231046aad−==−=，解得2d=，又24a=，所以()()2

24222naandnn=+−=+−=；【小问2详解】992nnban=−=−设92ncn=−，nc的前n项和为nS，得()279282nnSnnn+−==−，920ncn=−，得92n当14n时，0nc，即nn

bc=，所以214,8nnnTSnn==−当5n时，得0nc，所以nnbc=−，则()()12456nnTcccccc=+++−+++()()224442328832nnSSSSSnnnn=−−=−=−−=−+综上所述：()()228,14

,N832,5,NnnnnnTnnnn−=−+19.已知数列na的首项123a=，且满足121nnnaaa+=+．（1）求证：数列11na−等比数列；（2）设()11nnnba−−=，求数列nb的前2n项和2nS．【答案】（1）证明见解析（2）4

134nn−【解析】【分析】（1）121nnnaaa+=+，取倒数得1112nnnaaa++=，化简整理即可判断11na−为等比数列；（2）法一：将2nS转化为()1111nna+−−的前n项和，结合（1）中结论即可得解；法二：结合（1）中结论

得()1112nnnb−=−−−，应用分组求和及等比数列的前n项和公式即可得解.【小问1详解】因为1122,13nnnaaaa+==+，所以0na，所以11111222nnnnaaaa++==+，所以1111122nnaa+−=−，即11111(1)2nnaa+−=−因为11211,

1032aa=−=，1111121nnaa+−=−，所以11na−是以12为首项，12为公比的等比数列；为【小问2详解】法一：21234212111111nnnSaaaaaa−=−+−++−1234212111111111111nnaaaaa

a−=−−−+−−−++−−−易知()1111nna+−−是以12为首项，12−为公比的等比数列

，所以2221111122412133412nnnnnS−−−−===−−；法二：由（1）1112nna−=，所以1112nna=+，所以()()111112nnnnnba−−−==−

−−所以22211111224120133412nnnnnS−−−−−=−==−−．20.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，28ABCD==，,ABCD间的距离为4，以线段AB的中点为坐标原点O，建立如

图所示的平面直角坐标系，记经过,,,ABCD四点的圆为圆M．（1）求圆M的标准方程；（2）若点E是线段AO的中点，P是圆M上一动点，满足24POPE，求动点P横坐标的取值范围．【答案】（1）2216524xy+−=（2）652,2【解析】【分析】（1）根

据圆所过点的坐标求解圆的方程即可.（2）根据P是圆M上一动点，满足24POPE，设P点坐标带入化简求解，依据图像即可得出答案.【小问1详解】如图，因为28ABCD==，,ABCD间的距离为4，所以()()()()4,0,4,0,2,4,2,4ABCD−−，经过,,,AB

CD四点的圆即经过,,ABC三点的圆，法一：AB中垂线方程即0x=，BC中点为()3,2，04242BCk−==−−，所以BC的中垂线方程为()1232yx−=−，即1122yx=+，联立01122xyx==+，得圆心坐标10,2M

，()2216540022MB=−+−=所以圆M的标准方程为2216524xy+−=；法二：设圆M的一般方程为()2222040xyDxEyFDEF++++=+−，代入()()()4,0,4,0,2,4ABC−，41

60416024200DFDFDEF−++=++=+++=解得0116DEF==−=−，所以圆M的标准方程为2216524xy+−=；法三：以AB为直径的圆方程为()()2440xxy+−+=，直线:0ABy=，设圆M的方程

为()()2440xxyy+−++=，代入()2,4C，解得1=−，所以圆M的标准方程为2216524xy+−=；小问2详解】()2,0E−，设圆M上一点(),Pxy，()(),,2,POx

yPExy=−−=−−−，因为24POPE，所以()()()224xxyy−−−+−−，即222240xyx++−，由222240xyx++−对应方程为圆()22222240125xyxxy++−=++=所以P点在圆()22125xy++=上及其外部，

22221602240xyyxyx+−−=++−=解得122,4xx==，所以两圆交点恰为()()4,0,2,4BC，结合图形，当圆M上一点纵坐标为12时，横坐标为36542x=，所以点P横坐标的取值范围是652,2．.2

1.平面直角坐标系xOy中，直线0:3213xyl+−=，圆M：22128480xyxy+−−+=，圆C与圆M关于直线l对称，P是直线l上的动点．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P引圆C的两条切线，切点分别为,AB，设线段AB的中点是Q，是否存在定点H，使得【QH为定值，若存

在，求出该定点H的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224xy+=（2）存在；64,1313H【解析】【分析】（1）利用对称求出C点坐标，即可得到圆C的标准方程；（2）设P点坐标，,AB在以

PC为直径的圆N上，由圆C与圆N求公共弦AB，得直线AB过定点T，Q点是在以CT为直径的圆上，所以存在点H是CT的中点，使得QH为定值．【小问1详解】圆M化成标准方程为()()22644xy−+−=，圆心()6,4M，半径为2，设圆

心()00,Cxy，圆C与圆M关于直线l对称，直线0:3213xyl+−=的斜率为32−，所以00004263643213022yxxy−=−+++−=，解得0000xy==，所以()0,0C，圆C的方程为224x

y+=.【小问2详解】因为P是直线l上的动点，设132,32Ptt−，,PAPB分别与圆C切于,AB两点，所以,CAPACBPB⊥⊥，所以,AB在以PC为直径的圆N上，圆N的方程()22221331334242ttxtyt−+−−

=+−，即22132302xytxty+−+−=AB为圆C与圆N的公共弦，由222240132302xyxytxty+−=+−+−=，作差得AB方程为1323402txty−−−=即()

1323402txyy−+−=令23013402xyy−=−=得1213813xy==，设128,1313T，所以直线AB过定点128,1313T，又Q是AB中点，所以CQAB⊥，则有Q点是在以CT为直径

的圆上，所以存在点H是CT的中点，使得12QHCT=为定值，坐标为64,1313H.22.记首项为1的递增数列为“W-数列”．（1）已知正项等比数列na，前()*Nnn项和为nS，且满足：222nnaS+=+．求证：数列na为“W-数列”；（2）设数列()*

Nnbn为“W-数列”，前()*Nnn项和为nS，且满足()32*1NninibSn==．（注：3333121ninibbbb==+++）①求数列nb的通项公式nb；②数列()*Nncn满足3

3nnnbbc=，数列nc是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据：321.41,31.44）【答案】（1）证明见解析（2）①nbn=；②存在；最大项为31c=【解析】【分析】（1）利用等比数列中,nnaS的关系

求解；（2）利用等差数列的定义以及,nnaS的关系求解，并根据数列的单调性求最值.【小问1详解】设正项等比数列na的公比为()0qq，因为222nnaS+=+，则3122nnaS++=+，两式相减得3212nnnaaa+

++−=，即()()()2112210nnaqqaqq++−−=−+=,因为0,0naq，所以2q=，222nnaS+=+中，当1n=时，有3122=+aa，即11422aa=+，解得11a=，因此数列na为“W-数列

”；【小问2详解】①因为()32*1NninibSn==所以3211bb=，又nb为“W-数列”，所以11b=，且1nnbb+，所以nb各项为正，当2n，321ninibS==①，13211ninibS−−==②，①一②得：3221nnnb

SS−=−，即()()311nnnnnbSSSS−−=−+，所以21nnnbSS−=+③，从而211nnnbSS++=+④，④-③得：2211nnnnbbbb++−=+，即()()111nnnnnnbbbbbb++

++−=+，由于nb为“W-数列”，必有10nnbb++，所以11nnbb+−=，()2n，又由③知2221bSS=+，即22122bbb=+，即22220bb−−=得22b=或21b=−（舍）所以211bb−

=，故()*11nnbbnN+−=所以nb是以1为首项，公差是1的等差数列，所以nbn=；②303nnnc=，所以31113nncncn++=，令311113nncncn++=，得312.2731n−

，所以当3n时，1nncc+，即345ccc，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com