【文档说明】四川省仁寿第一中学校南校区2022-2023学年高一下学期期末适应性考试数学试题 含解析.docx，共(22)页，2.183 MB，由小赞的店铺上传

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高2022级高一（下）期末适应性考试数学试卷卷Ⅰ（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.设复数2i1iz=+，则复数z的

共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】分析】先求出z，再求出z，直接得复数z在复平面内对应的点【详解】因为211izii==++，所以1zi−=−，z在复平面内对应

点()1,1-，位于第四象限.故选：D2.已知一组数据12,,,nxxx的平均数为x，标准差为s，则数据1221,21,,21nxxx+++的平均数和方差分别为（）A.21,21xs++B.2,2

xsC.21,2xs+D.221,4xs+【答案】D【解析】【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可.【详解】解：由题知，12nxxxxn+++=，()211niisxxn==−，所以，1221,21,,21nxxx

+++的平均数为1221212121nxxxxn++++++=+，1221,21,,21nxxx+++的方差分别()()2221111212144nniiiixxxxsnn==+−−=−=.故选：D3.已知mn，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列结

论中正确的是（）A.若//m且//n，则//mnB.若//m且n，则//mnC.若//m且//m，则//D.若m⊥且m⊥，则//【【答案】D【解析】【分析】对于A：直接判断出m与n可能平行、相交，也可能异面，即可判断；对于B：直接判断出m与

n可能平行，也可能异面；对于C：直接判断出与可能相交，也可能平行；对于D：利用线面垂直的判定定理直接判断.【详解】对于A：若//m且//n，则m与n可能平行、相交，也可能异面，故A错误；对于B：若//m且n，

则m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对于C：若//m且//m，则与可能相交，也可能平行，故C错误；对于D：因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确.故选：D.4.已知3tan2=−，则sin2

coscossin+=−（）.A.15B.15−C.45D.45−【答案】A【解析】【分析】分子分母同除以cos，弦化切即可求解.【详解】32sin2costan2123cossin1tan512−+++

===−−+故选：A5.在正四棱台1111ABCDABCD−中，1114,2ABABAA===，则该四棱台的体积为（）A.2833B.2823C.82D.83【答案】B【解析】【分析】作出轴截面，过点1A作1AEAC⊥，结合等腰梯形的性质得高，再计算体积

即可.【详解】解：作出轴截面如图所示，过点1A作1AEAC⊥，垂足为E，因为正四棱台1111ABCDABCD−中，1114,2ABABAA===所以42AC=，1122AC=，112AACC==，即梯形11ACCA为

等腰梯形，所以，12AEAE==，所以，该四棱台的体积为()()111111111111641648322233ABCDABCDABCDABCDVSSSSAE=++=++=故选：B6.为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，测得BCD的

大小为60°，点C，D的距离为200m，在点C处测得塔顶A的仰角为45°，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，则直塔AB的高为（）A.100mB.1003mC.()2003200m−D.200m【答案】A【解析】【分析】根

据画出图形，设ABx=，结合条件可得BCx=，3BDx=，然后根据余弦定理即得.详解】设ABx=，则BCx=，30ADB=，∴3BDx=，在BCD△中，由余弦定理可得22134000022002xxx=+−，【∴222

00400000xx+−=，∴100x=(负值舍去)，即直塔AB的高为100m.故选：A7.在ABC中，点D线段BC上任意一点，点D满足3ADAP=，若存在实数m和n，使得BPmABnAC=+，则mn+=（）A.23B.13C.13−D.23−【答案】D【解析】

【分析】由题设(1)ADABAC=+−且01，结合向量数乘、加法的几何意义可得3133BPABAC−−=+，再由已知条件即可得mn+的值.【详解】由题意，(1)ADABAC=+−且01，而33()ADAPABBP==+，所以33

(1)ABBPABAC+=+−，即3133BPABAC−−=+，由已知，3313mn−=−=，则mn+=23−.故选：D8.正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（）.A.423B.

8327C.83D.163【答案】C【解析】【分析】由正八面体的定义知，其内切球的球心在正八面体的中心，以内切球的球心为顶点、可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，利用等体积法可得其内切球的半径r，从而得到其内切球

的表面积.【详解】以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，设内切球的半径为r，则82VVV==正八面体三棱锥正四棱锥，且正四棱锥的高为图中CO，易得2CO=，即：()1131822

22223223r=解得：63r=，所以，内切球的表面积为83.故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合

题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长（单位：小时）进行统计，得到如下频率分布表：分组[2，3)[3，4)[4，5)[5，6)频

率0.250.300.200.25则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长有关的说法正确的有（）A.众数大约为2.5B.中位数大约为3.5C.平均数大约为3.95D.第80百分位数大约为5.2【答案】CD【解析】【分

析】根据众数的定义，中位数的定义，平均数的定义，百分位数的定义即可求解．【详解】对A，最大频率的组的中点值为3.5，众数大约为3.5，A错误；对B，由表可知，中位数在第二组中，设其为x，则(3)0.30.2

5x−=，3.83x，B错误；对C，平均数为2.50.253.50.34.50.25.50.253.95+++=，C正确；对D，前三组的频率和为0.75，第80百分位数位于第4组，设其为

a，则(5)0.250.05a−=，解得5.2a=，D正确．故选：CD．10.在正方体1111ABCDABCD−中，已知点,PQ分别为棱1,ABBB上动点（含端点），设直线1BC与直线PC的所成角为，直线1QC与平面11BBDD所成角为，则（）A.直线1BC与1AC的所成角为90B.

ππ[,]43C.直线1BC与平面ABCD的所成角为45D.ππ[,]63【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用线面垂直的性质可判断11BCAC^，从而判断A；确定取到最大和最小值时的位置，求得最大角和最小角，即可判断B;根据线面角的定义可求得直线1BC与平面ABCD的所成角，

判断C;根据线面角的定义找到，结合其正弦值，确定其最大值和最小值，可判断D.【详解】对于A，连接1BC,则11BCBC⊥,又因为11AB⊥平面11BBCC,1BC平面11BBCC,故111ABBC⊥,1111111,,ABBCBABBC=平面11ABC,故1BC⊥平

面11ABC,而1AC平面11ABC,故11BCAC^,故直线1BC与1AC的所成角为90，A正确；对于B,当P点位于B点时，直线1BC与直线PC即BC的所成角最小，最小角为1π4CBC=,当P沿BA向A移动时，不妨假设1

BC在平面11BCDA上平行向1AD移动，此时直线1BC与直线PC所成角逐渐变大，当P点位于A点时，直线1BC与直线PC即AC的所成角最大，最大角为1CAD,此时连接1CD,1ACD△为正三角形，故1π3CA

D=，故ππ[,]43，B正确；对于C，由于1CC⊥平面ABCD,BC为1BC在平面ABCD上的射影，故1CBC为直线1BC与平面ABCD的所成角，由于1π4CBC=，故直线1BC与平面ABCD的所成角为45，C正确；对于D，连接11AC,则1111ACBD⊥,而1BB⊥平

面1111DCBA,11AC平面1111DCBA,故111BBAC⊥,1111111,,BBBDBBBBD=平面11BBDD,故11AC⊥平面11BBDD,设1111ACBDP=,连接PQ,则1CQP为直线1

QC与平面11BBDD所成角即，且11sinPCCQ=,设正方体棱长为2，则12PC=，当Q点位于1B时，1CQ最小，取最大值，此时12CQ=，故2ππsin,[0,],224==，当Q点位于B时，1CQ最大，取最小值，此时122CQ=，

故1πsin,26==，故ππ[,]64，D错误，故选：ABC11.如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，，若点M在正六边形的边上运动，动点,AB在圆O上运动且关于圆心O对称，则MAMB

的值可能为（）A.32B.52C.3D.72【答案】BC【解析】【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、圆的性质进行求解即可.【详解】由题意：()()MAMBMOOAMOOB=++222()()1,M

OOAMOOAMOOAMO=+−=−=−因为正六边形的边长为2，所以圆心O到各边的距离为：2212(2)32−=，所以[3,2]MO，所以[2,3]MAMB，故选：BC．12.在锐角三角形ABC中，角,,ABC所对的

边分别为,,abc，若coscosbbAaB+=，则（）A.2AB=B.64BC.()1,2abD.22abbc=+【答案】ABD【解析】【分析】由正弦定理将条件转化为角的关系，判断A，结合内角和定理和条件及余弦函数的性质判断B，C，由余弦

定理将条件转化为边的关系，判断D.【详解】因为coscosbbAaB+=，由正弦定理可得sinsincossincosBBAAB+=，所以()sinsinBAB=−，又ABC为锐角三角形，所以0,2A

，0,2B，所以22ππAB−−，正弦函数sinyx=在,22−上单调递增，所以ABB−=，所以2AB=，A正确；因为ABC为锐角三角形，所以0,2A

，0,2B，2AB+，所以022B，02B，22BB+，所以64B，B正确；因为2AB=，所以sinsin22sincosABBB==，所以2cosabB=，所以2cosaBb=，因为64B，所以()2

3ab，，C错误；因为coscosbbAaB+=，由余弦定理可得22222222bcaacbbbabcac+−+−+=，所以2222222cbbcaacb++−=+−，所以22abbc=+，D正确，故选：ABD.卷Ⅱ（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题

5分，共20分．把答案写在答题卡相应位置上）13.已知复数z的虚部为2，且23z+为纯虚数，则||z__________．【答案】5【解析】【分析】由纯虚数的定义列方程求出复数z的实部，再由模的公式求||z.【详解】因

为复数z的虚部为2，故可设2i(R)zaa=+，所以()222232i344i314izaaaaa+=++=−++=−+，由23z+为纯虚数可得210a−=且0a，所以1a=，所以2||45za=+=，故答案为：5.14.已知3cos7523+=

，则()cos30−的值为_________．【答案】13【解析】【分析】根据二倍角公式即可求解.【详解】由余弦二倍角公式可得()2231cos1502cos75121233+=+−=−=−

，()()()1cos30cos180150cos1503−−+=−+==，故答案为：1315.向量(1,3),(3,),(,2)ABBCkCDk=−==，已知AC与

CD同向，则与BC垂直的单位向量的坐标为____________．【答案】10310,1010−或10310,1010−【解析】【分析】根据向量加法的坐标表示求出AC，再根据共线向量的坐

标表示求出k，注意排除反向这一情况，设与BC垂直的向量为(),xy，220xy+，求出,xy的关系式，再根据单位向量的坐标公式计算即可得解.【详解】解：由(1,3),(3,),(,2)ABBCkCDk=−==，得()2,3ACABBCk=+=+，因AC与CD同向，所

以ACCD∥，则()340kk+−=，解得1k=或4−，当1k=时，()()2,4,1,2ACCD==，同向，当4k=−时，()()2,1,4,2ACCD=−=−，反向，所以1k=，故()3,1BC=，设与BC垂直的向量为(),xy，220xy+，则30xy+=，所以3yx=−，故与B

C垂直的向量为()(),30xxx−，则与BC垂直的单位向量的坐标为()22,310310,10109xxxx−=−+，即与BC垂直的单位向量的坐标为10310,1010−或10310,1010−.故答

案为：10310,1010−或10310,1010−.16.如图，正四面体ABCD的体积为223，E、F、G、H分别是棱AD、BD、BC、AC的中点，则EF=_________，多面体ABEFGH−的外接球

的体积为__________.为【答案】①.1②.43【解析】【分析】将正四面体放入正方体，利用正方体的性质即得，设AB的中点为O，进而可得多面体ABEFGH−的外接球的球心为O，然后利用体积公式即得.【详解】如图，将正四面体ABCD嵌入到正方体中，则正四面体ABCD的体积为正方体体积的13，设

正方体的边长为a，则322a=，2a=，所以2AB=，EF是ABD△的中位线，所以112EFAB==.设AB的中点为O，连接OE，OF，OG，OH，因为112OEOFOGOHOAOBAB=======，

所以多面体ABEFGH−的外接球的球心为O，半径为1，外接球的体积为34433R=.故答案为：1；43.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分．把必要的解答过程写在答题卡相应位置上）17.某城市100户居民的月平均用

电量（单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如下：（1）求直方图中x的值；（2）在月平均用电量为[220，240)，[

240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075（2）5户【解析】【分析】

（1）根据小矩形的面积和为1求解即可；（2）根据分层抽样的方法求解即可.【小问1详解】解：由直方图的性质可得：()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x++++++=，解方程可得：0

.0075x=所以，0.0075x=【小问2详解】解：由直方图可得：月平均用电量为[220，240)的用户有0.01252010025=户，月平均用电量为[240，260)的用户有0.00752010015=户，月平均用电量为[260，280)的用户有00052010010

=．户，月平均用电量为[280，300]的用户有0.0025201005=户，抽取比例为11125151055=+++，所以月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取12555=户．18.已知向量,,abc满足：

2a=，()Rcatbt=−，,3ab=．（1）若1ab=，求b在a方向上的投影向量（用a表示）；（2）求||c的最小值．【答案】（1）14ar（2）3【解析】【分析】(1)根据投影向量定义可得b在

a方向上的投影向量为||||abaaa，结合条件化简即可；(2)根据向量的模的性质由条件求出c的表达式，再通过换元法求其最小值.【小问1详解】由数量积的定义可知：cos,abbaba=，所以b在a方向上

的投影向量为：11||cos,||||||224aabaababaaaa===；【小问2详解】()()2222catbatbatabtb=−=−=−+又2a=，,3ab=，所以()224ctbtb=−+令Rxtb=所

以()222413cxxx=−+=−+所以当1xtb==时，c取到最小值为319.在①()22coscos2cabcaBbAb+=−+，②()()()sinsinsinsinbcBCaAB+−=−−，③()sin3cosbCacB=−这三个条

件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______．（1）求角C的大小．（2）若23c=，求4sinBa−的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．【答案】（1）π3C=（2

）()23,23−【解析】【分析】（1）选择条件①利用余弦定理化简整理可得1cos2C=，得π3C=；选择条件②，利用正弦定理角化边即可得1cos2C=，即π3C=；选择条件③，利用正弦定理和三角恒等变换可得tan3C=，

即π3C=；（2）由（1）中结论利用正弦定理可知，4sinaA=，化简得π4sin4cos6BaA−+=即可求得其范围.【小问1详解】选择条件①．由余弦定理得()()22222222211coscos2222cabacBbcAbac

bbcab+=−+=+−−+−+．整理得222abcab+−=，所以由余弦定理得2221cos22abcCab+−==．又因为()0,πC，所以π3C=．选择条件②．由正弦定理得()()()bcbcaab+−=−−，整理得222abcab

+−=，由余弦定理得2221cos22abcCab+−==．又因为()0,πC，所以π3C=．选择条件③．由正弦定理得()sinsin3sinsincosBCACB=−．整理得()sinsin3si

ncos3sin3sinBCCBABC+==+，所以sinsin3sincosBCBC=．因为sin0B，所以sin3cosCC=．显然cos0C，所以tan3C=．又因为()0,πC，所以π3C=．【小问2详解】因为23c

=，π3C=，所以由正弦定理得4sinsinacAC==，即4sinaA=．因为πABC++=，所以2π3BA=−，所以2ππ4sin4sin4sin23cos2sin4cos36BaAAAAA−=−−=−+=．因为2π03A，所以ππ5π666A

+，所以π234cos236A−+，故4sinBa−的取值范围是()23,23−．20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝60°，AB∥CD，CB＝CD＝1．点E为棱PC中点，点F

为棱AB上的一点，且AB＝4AF，平面PBC⊥平面ABCD．（1）证明：AC⊥PB；的（2）证明：EF∥平面PAD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由条件可证梯形中AC⊥BC，再结合面面垂直的性质即可证明；（2）取棱PD中点为

G，可证明EF∥AG，结合线面平行的判定定理即可证明结果.【小问1详解】由条件易得：AD＝DC＝1，∠ADC＝120°，则211211cos1203AC=+−=，AC＝3，∠ABC＝120°，由余弦定理可知：AB＝2，则∠ACB＝90°，所以AC⊥BC．又平面PBC⊥平面ABCD，且平面PB

C∩平面ABCD＝BC，且AC⊂平面ABCD，则AC⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，所以AC⊥PB；【小问2详解】由（1）可知AB＝2．取棱PD中点为G，连接EF、EG、AG，因为E为PC的中点，所以EG∥DC，且EG＝12DC，又1142AFAB==，所以AF∥D

C，且AF＝12DC，所以EG∥AF，且EG＝AF，所以四边形AFEG为平行四边形，所以EF∥AG．又EF⊄平面PAD，且AG⊄平面PAD，则EF∥平面PAD．21.已知平面向量2sin2,26mx=−+−，()21,sinnx=，()fxmn=

，其中0,2x．（1）求函数()fx的单调增区间；（2）将函数()fx的图象所有的点向右平移12个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()gx的图象，若()gxm=在5,824x−上恰有2个解，求m

的取值范围．【答案】（1）,32（2）1,12【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得；（2）根据三角函数变换规则得到()gx

的解析式，再根据x的取值范围求出46x+的取值范围，再根据余弦函数的性质及图象计算可得；【小问1详解】解：因为2sin2,26mx=−+−，()21,sinnx=且()fxmn=，所以()22sin22sin6f

xmnxx==−+−，()312sin2cos21cos222xxx=−+−−13cos2sin21cos21223xxx=−+=++，即()cos213fxx=++，令2223kxk−+，Zk

，解得236kxk−−，Zk，又因为0,2x，所以函数()fx的单调增区间为：,32．【小问2详解】解：因为()cos213fxx=++，所以将函数(

)fx的图象所有的点向右平移12个单位得到cos21cos21121236fxxx−=−++=++，将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）再向下平移1个单位得到()cos46gxx=+，又因为

5,824x−，所以4,63tx=+−，令4036x−+，解得824x−−，令046x+，解得52424x−，即函数()gx在,824−−上单调递增，在5,2424

−上单调递减，且1cos832g−=−=，作出cos3ytt=−≤≤图像可得：所以m的取值范围1,12．22.在《九章算术·商功》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”．如图，现将一矩形ABCD沿

着对角线BD将ABD△折成PBD△，且点P在平面BCD内的投影H在线段DC上．已知2,1ABAD==．（1）证明：三棱锥PBCD−为鳖臑；（2）求二面角PBDC−−的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）154．【解析】【分析】（1）由

线面垂直，线线垂直以及面面垂直之间的转化，可得,,,BCDBCPDPCDPB都为直角三角形，由鳖臑的定义即可求证，（2）由二面角的几何法即可求解平面角，由等面积法求解长度，即可求解.【小问1详解】因为点P在平面BCD内的投影H在线段DC上，所以PH⊥平面BCD，又PH平面PDC，所以

平面PDC⊥平面BCD，又平面PDC平面BCDCD=又BC平面BCD，且BCCD⊥所以BC⊥平面PDC，又,DPPC平面PDC，所以BCPC⊥，BCDP⊥，又DPPB⊥，且PBPCP=，且,BPPC平面PBC所以DP⊥平面PBC，因为PC平面

PBC，所以DPPC⊥，因为BCCD⊥，BCPC⊥，DPPB⊥，DPPC⊥，所以,,,BCDBCPDPCDPB都为直角三角形，所以三棱锥PBCD−为鳖臑；【小问2详解】过点P作BD的垂线，垂足为M，连接HM，因为PH⊥平面BCD，BD平面BCD，所以BDPH⊥，又BD

PM⊥，且PHPMP=，,PHPM平面PMH，所以BD⊥平面PMH，HM平面PMH，所以DBHM⊥，又BDPM⊥所以二面角PBDC−−的平面角为PMH又PDPB⊥，且1,2PDPB==，由（1

）可知：,DPPC⊥又221,2,3PDDCPCCDDP===−=,32PDPCPHCD==,所以25PDPBPMBD==所以3152sin245PHPMHPM===所以二面角PBDC−−的正弦值为154．获得更多资源请扫

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