【文档说明】广西南宁市第三中学2022-2023学年高三一模测试 数学（理） 答案.docx，共(23)页，2.057 MB，由小赞的店铺上传

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南宁三中2022～2023学年度下学期高三校一模理科数学试题一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合2100MxZxx=−，2100xNxZ=，则MN=（

）A.5,6,7B.6,7,8C7,8,9D.8,9,10【答案】C【解析】【分析】化简集合M，N，再由集合的交集运算得解.【详解】集合0101,2,3,4,5,6,7,8,9MxxZx==，又因为集合

21007,8,9,10,11,xNxZ==，由交集的定义可得，7,8,9MN=，故选：C．2.已知函数()1,02,0xxxfxx−+=，那么()()1ff−=（）A.7B.6C.5D.4【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的概念代入解析式计算即

可.【详解】因为()1,02,0xxxfxx−+=，所以()()1112f−=−−+=，所以()()()21224fff−===，故选：D．3.已知直线yx=是曲线()lnfxxa=+的切线，则=a（）A.1−B.1C.2−D.2【答案】B【解析】【分析】

根据给定条件，求出函数()fx的导数，再利用导数的几何意义求解作答..【详解】函数()lnfxxa=+，求导得1()fxx=，令直线yx=与曲线()lnfxxa=+相切的切点为00(,ln)xxa+，于是011x=且00lnxax+=，所以0

1ax==.故选：B4.在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且2sin3=，则()cos+=（）A.89B.89−C.59−D.59【答案】C【解析】【分析】根据题

意可得π2πk=++，()kZ，再利用诱导公式以及二倍角余弦公式求值，即可得答案.【详解】由题意，角与的顶点在原点，终边构成一条直线，所以π2πk=++，()kZ，所以()()()coscos2π2πcos2πk+=++=+()22cos212sin2

sin1=−=−−=−，又2sin3=，所以()2225cos2sin12139+=−=−=−,故选：C5.已知a，b，c，d，e成等比数列，1和4是其中的两项，则e的最小值为（）A.64−B.8−C.164D.18【答案】B【解析】【

分析】根据等比数列的性质，当公比小于0，1,4为第2,4项时，e最小，再由等比数列通项公式计算即可得解.【详解】由题意，要使e最小，则a，c，e都是负数，则b和d选择1和4，设等比数列的公比为()0qq，当4d=时，1b=，2q=−，所以8e

=−当1d=时，4b=，12q=−，所以18e=−，故选：B6.有下列四个命题，其中是假命题的是（）A.已知()()1i12iz=+−，其在复平面上对应的点落在第四象限B.“全等三角形面积相等”的否命题C.在AB

C中，“π6A”是“1sin2A”的必要不充分条件D.命题“1x，32xx”的否定是“1x，32xx”【答案】B【解析】【分析】对于A项，利用复数的几何意义来判定；对于B项，利用原命题与否命题的

关系判定；对于C项，利用充分必要条件的定义来判定；对于D项，利用全称命题的否定的定义来判定.【详解】对于A：()()21i12i12ii2i3i+−=−+−=−，所以对应的点为()3,1−，在第四象限，故A正确；对于B：“全等三角形的

面积相等”的否命题是，不全等三角形的面积不相等，这显然是假命题．对于C：在ABC中，()0,πA，由1sin2A，可得π5π66A，所以“π6A”是“1sin2A”的必要不充分条件．故C正确；对于D：命题“1x，32xx”是

全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“1x，32xx”的否定是：“1x，32xx”．故D正确；故选：B7.如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了

阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则621nxmx−的展开式中的常数项是（）的A.15−B.20−C.15D.20【答案】C【解析】【分析】设球的半径为R，分别表达出球，圆柱

的体积和表面积，求出1nm=，利用二项式定理得到通项公式，求出常数项.【详解】设球的半径为R，则球的体积为34π3R，圆柱的底面积为2πR，高为2R，故圆柱的体积为23π22πRRR=，故332π342π3RmR==，球的表面积为24πR，圆柱的表面积为222π2π2

6πRRRR+=，故226π34π2RnR==，故1nm=，621xx−展开式中的通项公式为()()6263166C1CrrrrrrrTxxx−−−+=−=−，令630r−=，解得2r=，故常数项为()22361C15T=−=.故选：C8.如图，网格纸上用粗实线绘制了一个几何体的三

视图，每一个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A.484π−B.48π8−C.648π−D.644π−【答案】B【解析】【分析】由三视图知，该几何体是由一个棱长为4的正方体截去两个相同三棱柱与两个相同14

圆柱而得到的，用正方体体积减截去部分的体积得几何体的体积.【详解】由三视图知，该几何体是由一个棱长为4的正方体截去两个相同三棱柱与两个相同14圆柱而得到的，其中三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形，圆柱的底面半

径为2，所以该几何体的体积为3211422242π24488π24V=−−=−.故选：B.9.某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”．有以下两种方案：方案一：决定不乘

第一辆车，若第二辆车的车况好于第一辆车，就乘坐此车；否则直接乘坐第三辆车．方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为12,pp，则（）A.112p=B.216p=C.1213pp==D.12

14pp==【答案】A【解析】【分析】列表后可求相应的概率.【详解】记好、中、差分别为A，B，C，方案一包含的基本事件数为1n，方案二包含的基本事件数为2n，则1231n2nABC√ACB√BAC√BCA√CAB√CBA

于是1211,23pp==．故选：A10.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线1l，2l，且直线1l，2l分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是（）A.32B.64C.128D.256【答案】A【解析】【分析】设出直线1l，2l的方程，

联立抛物线，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，再根据四边形ADBE对角线垂直求出面积，利用均值不等式求最值即可.【详解】由题意抛物线的焦点为()1,0F，显然1l，2l斜率存在且不为0，设直线1l方程为1xty=+，设

()11,Axy，()22,Bxy，由214xtyyx=+=，得2440yty−−=，则124yyt+=，即()()21212211244ABxxtytyt=++=++++=+，设直线2l的方程为11xyt=−+，设()33,Dxy，()44,Exy，则

344yyt+=，即342424DExxt=++=+，∴()22222211411444828223222SABDEtttttt==++=+++=，当且仅当221tt=，即1t=时等号成立．故选：A．11.若3273log2

73logabab+=+，则（）A.3abB.3abC.2abD.2ab【答案】A【解析】【分析】根据已知等式的特点构造新函数，然后利用新函数的单调性分别确定,3ab和2,ab的大小关系.【详解】设()()33log0xfxxx=+，则()fx为增函数，因为332733log

273log3logabbabb+=+=+，所以()()()()33333333133log3log33log3log3log03abbbfafbabbb−=+−+=+−+=，所以()()3fafb，所以3ab，所以A正确，B错误；()

()()()22222323333333log3log3log3log33logabbbbbfafbabbbb−=+−+=+−+=−−，当1b=时，()()2240fafb−=，此时()()2fafb，有2ab，当3b=时，()()210

fafb−=−，此时()()2fafb，有2ab，所以C、D错误．故选：A．12.已知()fx，()gx分别为定义在R上的()fx，()gx的导函数，且()()2fxgx−=，()()22fxgx+−=，若()gx是偶函数，则

下列结论一定正确的是（）A.函数()fx的图象关于点()1,1对称B.函数()fx图象关于直线2x=对称C.3是()gx的一个周期D.()20241f=【答案】B【解析】【分析】根据求导法则，利用函数的对称性、奇偶性、周期

性，即可求出()fx、()fx、()gx、()gx的性质，进而判断各选项的正误.的【详解】因为()()2fxgx−=，()()22fxgx+−=，所以()()20gxgx+−=，所以函数()gx的对称中心为点()1,0，又()(

)2fxgx=+，所以函数()fx的图象关于点()1,2对称，A不正确；()gx是偶函数，所以()()gxgx−=，所以()()gxgx−−=，即()gx为奇函数，对称中心为()0,0，函数()gx的另一个对称中心为点()1,0，所以()g

x的周期为2，C不一定正确；函数()fx及()fx的周期与()gx相同，周期为2．()fx的图象关于点()1,2对称，()()24fxfx+−=，所以()()20fxfx−−=，函数()fx的图象关于直线1x=对称，则()fx的

图象关于直线2x=对称，B正确；因为()00g=，()02f=，故()()202402ff==，D不正确．故选：B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卷相应位置上．）13.已知向量(),4am=，(

)1,bm=，若a与b方向相反，则m=______．【答案】2−【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，列方程即可求得答案.详解】由a，b共线，则240m−=，得24m=，即2m=，又a与b方向相反，故2m=−，故答案为：2−14.设实数x、y满足约束条件2620yxy

xy+−，zmxy=+在点()2,4处取得最大值，写出满足条件的一个m的值______．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，根据线性规划的几何意义可确定m的取值范围，即可得答案.【【

详解】作出不等式组2620yxyxy+−所表示的可行域如下图所示：联立206xyxy−=+=可得24xy==，即点()2,4A，化直线方程zymx=+为ymxz=−+，当0m−，且2

m−，ymxz=−+过()2,4有最大的纵截距，即zmxy=+在点()2,4取得最大值，则20m−；当0m−，且1m−−，ymxz=−+过()2,4有最大的纵截距，此时zmxy=+在点()2,4取得最大值，则01m，∴()2,1m−，故可取0m=，故答案为：0（

答案不唯一）15.设双曲线()222210,0xyabab−=的右焦点为(),0Fc，点A满足3OAOF=，点P、Q在双曲线上，且2AQAP=．若直线PQ，PF的斜率之积为13，则双曲线的离心率为______．【答案】233##233【解析】【详解】如图

，取P，Q的中点为M，连接OM，PF，则由题意可得，2PAPM=，2AFFO=，所以APF，AMO相似，所以PFMO∥，因为直线PQ，PF的斜率之积为13，所以13PQOMkk=，设()11Pxy，()22,Qxy，则1212,22xxyyM++,

且22112222222211xyabxyab−=−=，两式相减可得()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−−=,即()()()()2121221212yyyybxxxxa+−=+−，即2213PQOMbkak==，即2213ba=，所以双曲线的

离心率为22222313cbeaa==+=．故答案为：233.16.唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球．游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目．甲、乙、丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将

花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过6次传递后，花又在甲手中的概率为______．【答案】1132【解析】【分析】设第n次传球后球在甲手中的概率为nP，根据题意找出nP的递推关系，写出nP的通项公式，然

后求6P即可.【详解】设第n次传球后球在甲手中的概率为nP，*nN.则()11012nnnPPP+=+−，得11122nnPP+=−+，1111323nnPP+−=−−.一次传球后，花不在甲手上，故10P=，

所以数列13nP−是以13−为首项，公比为12−的等比数列，所以1111332nnP−−=−−.即1111323nnP−=−−+，所以561111132332P=

−−+=．故答案为：1132三、解答题（本大题共6小题，其中选做题10分，其余每小题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a=，且sinsinsinABbcCba+−=−．

（1）求ABC的外接圆半径R；（2）求ABC内切圆半径r的取值范围．【答案】（1）233R=（2）30,3r【解析】【分析】（1）由正弦边角关系可得222bcabc+−=，应用余弦定理即可求cosA，进而确定

其大小；（2）由正弦定理有4sin3bB=，4sin3cC=，根据余弦定理有()243bcbc+−=，结合（1）及()11sin22ABCSbcAabcr==++V，应用三角恒等变换有r23π3sin363B=+−，由三角形内

角性质、正弦函数性质求范围即可.【小问1详解】因为sinsinsinABbcCba+−=−，由正弦边角关系得abbccba+−=−，即222bcabc+−=，由余弦定理，得2221cos222bcabcAbcbc+−===，又

()0,πA，所以π3A=，由2432sin332aRA===，则233R=.【小问2详解】由正弦定理得24πsinsinsin3sin3bcaBCA====，所以4sin3bB=，4sin3cC=，由余弦定理，得()

222π42cos33bcbcbcbc=+−=+−，所以()243bcbc+−=，利用等面积法可得()11sin22ABCSbcAabcr==++V，则()()2sin4332626bcbcrbcabcbAc+−===+−++++3443442sinsin2sinsinπ26633333

BCBB=+−=+−−23π3sin363B=+−，∵ab¹，∴π3BA=，故ππ2π0,,333B，则ππππ5π,,66226B+

，所以π1sin,162B+，故30,3r.18.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，PAB为等边三角形，且2PA=，PCCD⊥，O为AB的中点．（1）若E为线段

PC上动点，证明：ABOE⊥；（2）G为线段PD上一点，是否存在实数，当PGPD=使得二面角DABG−−的余弦值是55？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，13=【解析】【分析】（1）根据

线面垂直的判定定理证明AB⊥平面POC，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，表示出平面ABG的法向量，根据空间角的向量求法可求解参数，即可得结论.【小问1详解】连接OC，OP，∵PAB为等边三角形，2PA=，O为AB的中点,∴O

PAB⊥，1OA=，3OP=，∵PCDC⊥，而底面ABCD为菱形，则CDAB∥，∴PCAB⊥，又∵OPAB⊥，OP平面POC，PC平面POC，OPPCP=，∴AB⊥平面POC，又∵OE平面POC，∴ABOE⊥.

【小问2详解】∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，OP平面PAB，∴OP⊥平面ABCD，又∵OC平面ABCD，∴OPOC⊥，又由（1）知AB⊥平面POC，,POOC平面POC，故,ABOCABPO⊥⊥,故22213OC=−=，分别以,,

OBOCOP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则()0,0,3P，()2,3,0D−，()1,0,0B，()1,0,0A−，()2,3,3PD=−−，()0,0,3OP=，设()(),,,,3,GabcPGabc=−，()2,3,3PD=−−，由()01P

GPD=，即()(),,32,3,3abc−=−−，得()2,3,33G−−，则()21,3,33BG=−−−，()2,0,0AB=，设平面ABG的法向量()1,,nxyz=，则()()1120213330nABxnBGxyz===−−

++−=，取z=，则()10,1,n=−，又OP⊥平面ABCD，则取平面ABCD的法向量为()20,0,1n=，设ABG与平面ABCD所成的角为，由题意知为锐角，则()12225coscos,51nn==

=−+，解得，13=，1=−（舍去）.即存在实数13=，当13PGPD=使得二面角DABG−−的余弦值是55.19.春季气温逐渐攀升，甲流开始快速传播，为了预防甲流感染，学校组织学生进行病毒的筛查

．采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将待检学生随机等分成若干组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样合格，不必再做进一步的检测；若结果呈阳性，则本组中的每名学生再逐个进行检测．现有两个分组方案：方案一：将30人分成5组，每组6人

；方案二：将30人分成6组，每组5人．已知随机抽一人血检呈阳性的概率为0.5%，且每个人血检是否呈阳性相互独立．（1）已知甲流的患病率为0.45%，一个同学患病的条件下血检呈阳性的概率为99.9%，若检测中一同学血检呈阳性，求其患甲流的概率；（2）请帮学校计算一下

哪一个分组方案的检测次数期望较少？（参考数据：50.9950.975=，60.9950.970=）【答案】（1）0.8991（2）方案一检测次数更少．【解析】【分析】（1）利用条件概率公式计算即可；（2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式分别计算两组检

测的期望即可.【小问1详解】设事件A：血检呈阳性，事件B：患疾病，则由题意得()0.005PA=，()0.0045PB=，()0.999PAB=，由条件概率公式()()()PABPABPB=可得()()()0.00450.999PABPBPAB==，∴该同学确实患甲流的概率()()()0.004

50.9990.89910.005PABPBAPA===．【小问2详解】设方案一中每组的化验次数为X，则X的取值为1，7，()610.99.50970PX===，()6710.9950.030PX==−=∴X的分布列为：X17P0.9700

.030()10.97070.0301.18EX=+=．故方案一的化验总次数的期望值为：()551.185.9EX==次．设方案二中每组的化验次数为Y，则Y的取值为1，6，()510.9950.975PX===，()5610.

990.030PY==−=，∴Y的分布列为：X16P0.9750.025∴()10.97560.0251.125EY=+=．∴方案二的化验总次数的期望为()661.12575.6YE==次．∵6.755.9，∴方案一检测次数更少．20.已知F是椭圆()

2222:10xyCabab+=的右焦点，动直线l过点F交椭圆C于A，B两点，已知AB的最大值为8，且()2,3P在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）当A，B都异于点P时，D为直线l上一点．设直线PA，PD，PB的斜率分别为1k，2k，

3k，若1k，2k，3k成等差数列，证明：点D的横坐标为定值．【答案】（1）2211612xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由条件先得4a=，再代入点坐标计算可得椭圆方程；（2）设直线AB的方程为()2ykx=−，点D的坐标为(

)()00,2xkx−，()11,Axy，()22,Bxy，与椭圆联立结合两点斜率公式可得：()013202321222kxkkkkx−−+=−==−，计算0x的值即可.【小问1详解】由AB的最大值为8，知28a=，即4

a=将点()2,3P代入22221xyab+=，可得，22491ab+=，因为4a=，则212b=所以椭圆C的方程为2211612xy+=；【小问2详解】由222cab=−可知，2c=，则椭圆C的右焦点坐标为()2,0．由题意，显然AB的斜率存在，设直线AB的方程为()2ykx=−，点D的

坐标为()()00,2xkx−设()11,Axy，()22,Bxy，将直线AB的方程与椭圆C的方程联立得：()2222341616480kxkxk+−+−=，()()()()2222216443164857610kkkk

=−−+−=+恒成立，由韦达定理知21221634kxxk+=+，2122164834kxxk−=+，又()112ykx=−，()222ykx=−，所以()()12121312122323332222kxkxyy

kkxxxx−−−−−−+=+=+−−−−()22122212122216443423232116481624243434kxxkkkkkkxxxxkk−+−+=−=−=−−−++−+++因为1322kkk+=，则2221kk=

−，所以()0023122kxkx−−=−−，解得08x=即点D的横坐标为定值.21.已知()()2ln0fxxxaxa=−−．（1）求()fx的单调区间；（2）当134ln28a时，0x为()fx较小的零点，求证：()01fxa−．【答案】（1）减区间

为1180,4a++，增区间为118,4a+++（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导得()()22,0xxafxxx−−=，利用韦达定理和求根公式得211804ax++=，利用导函数正负和函数单调性的关系即可得到答案；（2）根据a的范

围判断出21324x，再利用零点存在定理得021,2xx，使得()00fx=，从而有2000lnxxax−=，将原不等式转化为证明于000n112lxxx−，再次设新函数，利用导数证明即可.【小问

1详解】由()()2221,0axxafxxxxx−−=−−=令()()220mxxxax=−−，当()0mx=时，当180a=+设1x，2x是()0mx=两根，1212xx+=，1202axx−=，则111804xa−=+，211804ax++=

，∴当()20,xx时，()()00mxfx，当()2,xx+时，()()00mxfx，∴()fx的减区间为1180,4a++，增区间为118,4a+++

【小问2详解】由()2221182104axxaafxxxxx−−++=−−===，134ln28a，则212118111114ln2ln24442x+++++==，231183844x++=，由（1）得()fx在()20,x上单调递减，在()2,x+单调递增，∵

()10f=，则()()210fxf=，111111ln?ln024244ln22fa=−−−−=，∴021,2xx，使得()20000l0nxxfxax−==，的要证：()()000000112112axafxaxaxxx+−−−−2220

0000000ln1l12n2xxxxxxxx−−+下证：当021,2xx，有2000l2n1xxx−∵021,2xx，21x，∴0ln0x，原不等式等价于000n112lxxx−设()

112lngxxxx=−−，()222111(1)1022xgxxxx−−=−+=，∴()gx在21,2x单调递减，()()()210gxgxg=.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是通过零点存在定

理得到另一个零点021,2xx，从而将a代换为2000lnxxx−，然后将不等式转化为证明000n112lxxx−成立，再设新函数利用导数即可证明.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为222

23xttytt=−−=−+（t为参数且1t），1C分别与x轴、y轴交于A、B两点．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2216115cos=+．（1）1C与坐标轴交于A，B两点，

求AB；（2）求2C上的点到直线AB距离的最小值．【答案】（1）410（2）71010【解析】【分析】（1）令0x=，求出t，即可求得A点的坐标，令0y=，求出t，即可求得B点的坐标，即可得出AB；（

2）根据cosx=，siny=求得2C的普通方程为22116yx+=，设2C上点的坐标为()cos,4sin，根据点到直线的距离公式结合三角函数的性质即可得解.【小问1详解】令0x=，则220tt−−=，解得2t

=−，或1t=（舍），则26412y=++=，即()0,12A，令0y=，则2230tt−+=，解得2t=，或1t=（舍），则2244x=−−=−，即()4,0B−，∴()()2204120410AB=++−=；【小问2详解】曲线2

C的极坐标方程为2216115cos=+，即()()22sin16cos16+=，由cosx=，siny=得2C的普通方程为22116yx+=，设2C上点的坐标为()cos,4sin，由（1）知直线AB的方程为

3120xy−+=，则2C上的点到直线AB的距离()5cos123cos4sin121010d++−+==，当()cos1+=−时，d取最小值71010.23.已知()211fxxx=++−．（1）求不等式()4fx的解集；（2）若不等式()222fxaa+的解集为R，求

实数a的取值范围．【答案】（1）4433xx−或（2）31,22−【解析】【分析】（1）通过讨论x，去掉绝对值化简函数解析式，分段解出不等式，即可得到结果；（2）由（1）可知()min32fx=，原问题

转化为23522aa−，解不等式，即可求出结果.【小问1详解】()13,22113,112,12xxfxxxxxxx−−=++−=+，当12x−时，不等式()4fx可化为34x−，解得43x−，故43x−；当112x−时，不等式()4fx可化为24x+

，得2x，此时无解；当1x时，不等式()4fx可化为34x，解得43x，故43x综上所述：原不等式的解集是4433xx−或【小问2详解】不等式()222fxaa+的解集为R，即()2min22fxaa+，当12x−时，()332fxx=−；当112x−

时，()3232fxx=+；当1x时，()33fxx=，所以()min32fx=∴23222aa+，解得3122a−，∴a的取值范围是31,22−获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue

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