【文档说明】《数学人教A版必修4教学教案》1.3 三角函数的诱导公式 （1）含答案【高考】.doc，共(13)页，186.000 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-0829c3ba8c2f8841c3c93c19a2fbaf1e.html

以下为本文档部分文字说明：

-1-1.3三角函数的诱导公式●三维目标1．知识与技能(1)理解正弦、余弦的诱导公式．(2)培养学生化归、转化的能力．2．过程与方法(1)能运用公式一、二、三推导公式四、五．(2)掌握诱导公式并运用其进行三角函数式的求值、化简以及简单三

角恒等式的证明．3．情感、态度与价值观通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．●重点、难点重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明，提高对数学内部联系的认识

．难点：发现圆的几何性质(特别是对称性)与三角函数性质的联系，特别是直角坐标系内关于直线y＝x对称的点的性质与(π2±α)的诱导公式的关系．●教学建议1．三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，因此，用数形结合的思想，从单位圆关于坐标轴、直线y＝x、原点等的对称性出发研究诱导公式

，是一个自然的思路．利用单位圆的对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式(数)与单位圆(形)得到紧密结合，成为一个整体，不仅大大简化了诱导公式的推导过程，缩减了

认识、理解诱导公式的时间，而且还有利于学生对公式的记忆，减轻了学生的记忆负担．2．诱导公式应当在理解的基础上记忆，而且应当使学生学会利用单位圆帮助记忆．教科书对诱导公式的特点进行了概括，教学中要留有时间让学生思考

、讨论、归纳，引导学生建立各组公式与相应图形的联系，并对各个公式的异同进行比较，以此加深公式的理解．●教学流程课标解读1.能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式．(难点)2．诱导公式与同角三角函数基本关系式的综合运用．(重

点)3．各种诱导公式的特征．(易混点)-2-知识点1诱导公式二【问题导思】设任意角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，π＋α的角的终边与单位圆交于点P2.1．点P2的坐标是什么？【提示】P2(－x，－y)2．根据三

角函数的定义，你能得出角π＋α与角α的三角函数值间的关系吗？【提示】能．sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α；tan(π＋α)＝tan_α.知识点2诱导公式三【问题导思】任意角α与－α的终边与单位圆的交点有怎样的位置关系？你能用三角函数的定义验证

－α与α的三角函数值的关系吗？【提示】关于x轴对称；能．sin(－α)＝－sin_α；cos(－α)＝cos_α；tan(－α)＝－tan_α.知识点3诱导公式四【问题导思】任意角α与π－α的终边与单位圆的交点有怎

样的位置关系？【提示】关于y轴对称．1．公式四：sin(π－α)＝sin_α；cos(π－α)＝－cos_α；tan(π－α)＝－tan_α.2．公式一～四可以概括为：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α

的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．知识点4诱导公式五、六【问题导思】1.π2－α角的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？试证明．【提示】对称．设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则π2－α的终边与单位圆的交点为P2(y，x)，由三

角函数的定义知：-3-sin(π2－α)＝x＝cosα；cos(π2－α)＝y＝sinα.2．能否利用已有的公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？【提示】能．将π2＋α变为π2－(－α)，再利用公式五、三即可．1．公式五：sin

(π2－α)＝cos_α，cos(π2－α)＝sin_α.2．公式六：sin(π2＋α)＝cos_α，cos(π2＋α)＝－sin_α.3．公式五和公式六可以概括为：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角

时原函数值的符号．公式一～六都叫做诱导公式.类型1利用诱导公式求值例1计算：(1)sin(－31π6)－cos(－10π3)；(2)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；(3)cos(－120°)

sin(－150°)＋tan855°.【思路探究】利用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数．【自主解答】(1)原式＝－sin(4π＋7π6)－cos(2π＋4π3)＝－sin(π＋π6)－cos(π＋π3)＝sinπ6＋cosπ3＝12＋12

＝1.(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝0－3＋1＝－2.(3)原式＝cos120°(－sin150°

)＋tan855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝－(－cos60°)sin30°＋tan135°＝－(－cos60°)sin30°＋tan(180°－45°)＝－(－cos60°)sin30°－tan45°＝12×12－1＝－34.

规律方法1．对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数．若这时角是90°到180°间的角，再利用180°－α的诱导公

式化为0°～90°间的角的三角函数；若这时角是180°～270°间的角，则用180°＋α的诱导公式化为0°～90°间的角的三角函数；若这时角是270°～360°间的角，则利用360°－α的诱导公式化为0°

～90°间的角的三角函数．-4-2．求已知角三角函数值时，一般先把负角化为正角．再化为0～2π范围内的三角函数，最后化成0～π2范围内的三角函数求值．变式训练计算sin690°·sin150°＋cos9

30°·cos(－870°)＋tan120°·tan1050°.【解】原式＝sin(2×360°－30°)·sin(180°－30°)＋cos(2×360°＋210°)·cos(2×360°＋150°)＋tan(18

0°－60°)·tan(3×360°－30°)＝sin(－30°)sin30°＋cos210°cos150°＋(－tan60°)·tan(－30°)＝－sin230°＋(－cos30°)·(－cos30°)＋tan

60°·tan30°＝cos230°－sin230°＋1＝2cos230°＝32.类型2利用诱导公式化简三角函数式例2化简下列各式：(1)sin(540°＋α)·cos(－α)tan(α－180°)；(2)cos(θ＋4π)·cos

2(θ＋π)·sin2(θ＋3π)sin(θ－4π)sin(5π＋θ)cos2(－π＋θ).【思路探究】将式中各三角函数中的角构造诱导公式中需要的形式进行化简．将角统一然后再运用同角基本关系式化简．【自主解答】(1)原式＝sin[360°＋(180°＋α)]·c

osα－tan(180°－α)＝sin(180°＋α)cosαtanα＝－sinαcosαsinαcosα＝－cos2α.(2)原式＝cosθ·(－cosθ)2·sin2(θ＋π)sinθ·sin(π＋θ)cos2(π－θ)＝cosθ·cos2θ·(－sinθ)2s

inθ·(－sinθ)·(－cosθ)2＝cos3θsin2θ－sin2θ·cos2θ＝－cosθ.规律方法1．进行三角函数式化简时：一是注意化异角为同角、化异名为同名、化异次为齐次即化异为同是关键；二是对“切弦混合”问题，一般作“切化弦”处理．2．化简结果要求是：角尽量少，函数名尽量

少，函数次数尽量低，尽量不含分母，若必-5-须有分母时分母中尽量不含根式等．变式训练化简：sin2500°＋sin2770°－cos2(1620°－x)(180°＜x＜270°)．【解】原式＝sin2(360°＋140°)＋sin2(2×360°＋50°)－cos2(4×360°＋180°－

x)＝sin2140°＋sin250°－cos2(180°－x)＝sin2(180°－40°)＋sin250°－cos2x＝sin240°＋cos240°－cos2x＝1－cos2x＝－sinx．(180°＜x＜270°)类型3利用诱导公式解决给值求值问题例3已知cos(α－75°)＝

－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．【思路探究】由于105°＋α＝180°＋(α－75°)，故需利用条件求出sin(α－75°)即可．【自主解答】∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限

角．∴sin(α－75°)＝－1－cos2(α－75°)＝－1－(－13)2＝－223.∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223.规律方法1．本题是已知一个角的某一三角函数值，求这个角的相关角三角函数值，若给出具体数值，但未指

定角的范围，需要分类讨论．2．此类问题还要注意分析“已知角”与“所求角”之间的关系；如本题中(105°＋α)－(α－75°)＝180°，从而选择恰当的诱导公式．互动探究本例条件不变，求cos(105°＋α)＋tan(

75°－α)的值．【解】cos(105°＋α)＝cos(180°＋α－75°)＝－cos(α－75°)＝13.又由例题知sin(α－75°)＝－232.-6-所以tan(α－75°)＝sin(α－75°)cos(α－7

5°)＝22.因此tan(75°－α)＝－tan(α－75°)＝－22.所以cos(105°＋α)＋tan(75°－α)＝13－22.类型4利用诱导公式证明三角恒等式例4求证：tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)cos(α－π)sin(5π－α)＝－t

anα.【思路探究】观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手，利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边．【自主解答】原式左边＝sin(2π－α)cos(2π－α)·sin(－α)·cos(－α)cos(π－α)sin(π－α)＝－sinα·(－sinα)·cosαcosα·(－cosα)·sinα

＝－sinαcosα＝－tanα＝右边．∴原式得证．规律方法关于三角恒等式的证明，常用方法：(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异．互动探究本

例中将原等式改为tan(2π－α)cos(3π2－α)cos(6π－α)sin(α＋3π2)cos(α＋3π2)＝－tanα.如何证明？【证明】左边＝tan(－α)(－sinα)cos(－α)－cosαsinα＝(－tanα)(－

sinα)cosα－cosαsinα＝－tanα＝右边，∴原等式成立．思想方法技巧转化与化归思想在求三角函数值中的应用-7-典例(12分)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23(π2<α<π)．求：(1)sinα－cosα；(2)sin3(2π－α)＋co

s3(2π－α)的值．【思路点拨】借助同角三角函数基本关系及立方差公式求解．【规范解答】(1)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得：sinα＋cosα＝23，............................2分对上式平方得：2sinα·cosα＝

－79...........3分∵π2<α<π，∴sinα>0>cosα，...................4分故sinα－cosα＝(sinα－cosα)2＝sin2α＋cos2α－2sinα·cosα＝1－(－79)＝43....................

................6分(2)由(1)得：sinα·cosα＝－718，cosα－sinα＝－43，8分sin3(2π－α)＋cos3(2π－α)＝cos3α－sin3α..............9分＝(cosα－sinα)(cos2α＋sinαc

osα＋sin2α).........10分＝(－43)×(1－718)＝－2227.......................................12分思维启迪1．本题体现了转化思想，解决本题可通过

观察sinα＋cosα与sinα－cosα的关系及cos3α－sin3α与cosα－sinα，sinα·cosα的关系来解．通过这种转化，使复杂的问题变得简单明了，符合处理数学问题时的简单化原则．2．诱导公式一～四的作用在于化任意角的三角函

数为0～π2范围内的角的三角函数．其步骤可简记为“负化正，大化小”，充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想．课堂小结1．诱导公式的作用是将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，使用过程中的关键：一是符号问题，二是函数名称问题．要熟记口诀“奇变偶不变，符号看象限”，并在

解题过程中去理解和掌握．2．诱导公式是一个有机的整体，解题时要根据角的特征，选取适当的公式进行化简计算，对形如nπ±α型的角，要注意对n进行讨论．-8-3．由诱导公式可以看出，在三角函数中，角和三角函数值之间是多值对应关系，一个角对应一个三角函数值，

而一个三角函数值则对应多个角．当堂双基达标1．(2013·西安高一检测)sin690°的值为()A.12B.32C．－12D．－32【解析】sin690°＝sin(720°－30°)＝－sin30°＝－12.【答案】C2．下列各式不正确的是()A．sin(α＋180°)＝－sinαB

．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C．sin(－α－360°)＝－sinαD．cos(－α－β)＝cos(α＋β)【解析】cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B项错误．【答案】B3．已知sinα＝

35，则cos(π2＋α)＝__________.【解析】cos(π2＋α)＝－sinα＝－35.【答案】－354．(2013·成都高一检测)已知角α终边经过点P(－4,3)，求cos(π2＋α)sin(－π

－α)cos(11π2－α)sin(9π2＋α)的值．【解】∵角α终边经过点P(－4,3)，∴tanα＝yx＝－34，∴cos(π2＋α)sin(－π－α)cos(11π2－α)sin(9π2＋α)＝－sinα·sinα－sinα·cosα＝tanα＝－3

4.课后知能检测一、选择题1．sin(－1560°)的值是()-9-A．－32B．－12C.12D.32【解析】sin(－1560°)＝－sin1560°＝－sin(4×360°＋120°)＝－sin120°＝－32.【答案】A2．(2013·杭州高一检测)cos(－16π3)＋sin(－

16π3)的值为()A．－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋12【解析】原式＝cos16π3－sin16π3＝cos4π3－sin4π3＝－cosπ3＋sinπ3＝3－12.【答案】C3．若sinα＝12，则

cos(π2＋α)的值为()A.12B.32C．－12D．－32【解析】∵sinα＝12，∴cos(π2＋α)＝－sinα＝－12.【答案】C4．若f(cosx)＝2－sin2x，则f(sinx)＝()A．2－cos

2xB．2＋sin2xC．2－sin2xD．2＋cos2x【解析】∵f(cosx)＝2－sin2x，∴f(sinx)＝f[cos(π2－x)]＝2－sin[2(π2－x)]＝2－sin(π－2x)＝2－s

in2x.【答案】C5．(2013·吉安高一检测)若α∈(π2，32π)，tan(α－7π)＝－34，则sinα＋cosα的值为()A．±15B．－15C.15D．－75【解析】tan(α－7π)＝tan(α－π)＝tan[－(π－α)]＝tanα，∴tan

α＝－34，∴sinαcosα＝－34，∵cos2α＋sin2α＝1，α∈(π2，3π2)且tanα＝－34，∴α为第二象限角．∴cosα＝－45，sinα＝35，∴sinα＋cosα＝－15.【答案】B-10-二、填空题6．已知tan(π＋2α)＝－43，则

tan2α＝__________.【解析】tan(π＋2α)＝tan2α＝－43.【答案】－437.cos(－585°)sin495°＋sin(－570°)的值等于________．【解析】原式＝cos(360°＋225°)sin(360°＋135°)

－sin(360°＋210°)＝cos225°sin135°－sin210°＝－cos45°sin(90°＋45°)－sin(180°＋30°)＝－2222＋12＝2－2.【答案】2－28．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中

a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2009)＝2，则f(2010)＝__________.【解析】∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝2∴f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asin[π＋(2009π＋α)]＋b

cos[π＋(2009π＋β)]＝－[asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)]＝－2.【答案】－2三、解答题9．求sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°的值．【解】原式＝－

sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋t

an(180°＋45°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝32×32＋12×12＋1＝2.10．已知角α的终边经过点P45，－35.-11-(1)求sinπ2－αsin(α＋π)·tan(α－π)cos(3π－α)的值；(2)求sin

3(π－α)＋5cos3(α－3π)3sin332π－α＋sin2(π－α)cos(α－2π)的值．【解】(1)∵r＝|OP|＝(45)2＋(－35)2＝1，∴sinα＝yr＝－35，cosα＝xr＝45，∴

sinπ2－αsin(α＋π)·tan(α－π)cos(3π－α)＝cosα－sinα·tanα－cosα＝1cosα＝54.(2)∵tanα＝－34，∴sin3(π－α)＋5cos3(α－3π)3sin3(32π－α)＋sin2(π－α)cos(α－

2π)＝sin3α－5cos3α－3cos3α＋sin2α·cosα＝tan3α－5－3＋tan2α＝347156.11．(2013·湛江高一检测)已知π6<α<2π3，cosα＋π3＝m(m≠0)，求tan2π3－α的值．【解】因为2π3－α＝π－

α＋π3，所以cos2π3－α＝cosπ－α＋π3＝－cosα＋π3＝－m.由于π6<α<2π3，所以0<2π3－α<π2.于是sin2π3－α＝1－cos22π3－α＝1－m2

.所以tan2π3－α＝sin2π3－αcos2π3－α＝－1－m2m.【教师备课资源】1．形如kπ±α(k∈Z)形式三角函数式的化简．-12-设k为整数，化简sin(kπ－α)cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]cos(kπ＋α).【思考

探究】解答本题可结合公式(一)～(四)，对角中的参数k分k＝2n或k＝2n＋1两种情况进行讨论．【自主解答】法一当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝sin(2mπ－α)cos[(2m－1)π－α]sin[(2m

＋1)π＋α]cos(2mπ＋α)＝sin(－α)cos(π＋α)sin(π＋α)cosα＝(－sinα)(－cosα)－sinαcosα＝－1；当k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z)，仿上可得，原式＝－1.法二由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝

2kπ，[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，…cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)．故原式＝

－sin(kπ＋α)·[－cos(kπ＋α)]－sin(kπ＋α)·cos(kπ＋α)＝－1.用诱导公式进行化简，碰到kπ±α的形式时，常对k进行分类讨论，其目的在于灵活运用诱导公式，进行化简．常见的一些关于参数k的结

论有：(1)sin(kπ＋α)＝(－1)ksinα(k∈Z)(2)cos(kπ－α)＝(－1)kcosα(k∈Z)(3)sin(kπ－α)＝(－1)k＋1sinα(k∈Z)(4)cos(kπ＋α)＝(－1)kcosα(k∈Z)化简

：cos[(4n＋1)π4＋α]＋cos[(4n－1)π4－α](n∈Z)．【解】原式＝cos[nπ＋(π4＋α)]＋cos[nπ－(π4＋α)]．当n为偶数时，即n＝2k(k∈Z)时，原式＝cos(π4＋α)＋cos[－(π4＋α)]＝2cos(π4＋α)；当n为奇数时，即

n＝2k＋1(k∈Z)时，-13-原式＝cos[2kπ＋π＋(π4＋α)]＋cos[2kπ＋π－(π4＋α)]＝cos[π＋(π4＋α)]＋cos[π－(π4＋α)]＝－cos(π4＋α)－cos(π4＋α)＝－2cos(π4＋α)．综上

可知，原式＝2cos(π4＋α)，n为偶数，－2cos(π4＋α)，n为奇数.2．知识拓展六组诱导公式的再探究(1)观察一下每一组诱导公式的等号两边的角度，不难发现，这两个角度的和或差总是一个轴线角，即为kπ，k∈Z的形式．

于是我们可以归纳出诱导公式的一个十分重要的功能：如果两个角的和或差是轴线角kπ，k∈Z的话，利用诱导公式总可以把它们变成同角函数来处理，能认识到这一点，对于我们灵活利用诱导公式进行变形是十分重要的．(2)用类比的方法掌握课本基础知识：