【文档说明】专题3 单变量存在恒成立与存在性问题-【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册) (原卷版).docx，共(8)页，305.703 KB，由管理员店铺上传

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单变量恒成立与存在性问题恒成立问题、存在性问题归根到底是最值问题.1恒成立问题(1)∀𝑥∈𝐷,𝑓(𝑥)≥0恒成立⟺在𝐷上的𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛≥0；(2)∀𝑥∈𝐷,𝑓(𝑥)≤0恒成立⟺在𝐷上的𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥≤0；2存在性

问题(1)∃𝑥∈𝐷,𝑓(𝑥)≥0恒成立⟺在𝐷上的𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥≥0；(2)∃𝑥∈𝐷,𝑓(𝑥)≤0恒成立⟺在𝐷上的𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛≤0；3常见处理方法方法1直接构造函数法：求𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥)恒

成立⇔ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)≥0恒成立.方法2分离参数法：求𝑓(𝑥)≥𝑎∙𝑔(𝑥)(其中𝑔(𝑥)>0)恒成立⇔𝑎≤𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)恒成立.方法3变更主元：题型特

征(已知谁的范围把谁作为主元)；方法4数形结合法：求𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)≥0恒成立⇔证明𝑦=𝑓(𝑥)在𝑦=𝑔(𝑥)的上方；方法5同构法：对不等式进行变形，使得不等式左右两边式子的结构一致

，再通过构造的函数单调性进行求解；方法6放缩法：利用常见的不等式或切线放缩或三角函数有界性等手段对所求不等式逐步放缩达到证明所求不等式恒成立的目的；学习各种方法时，要注意理解它们各自之间的优劣性，有了比较才能快速判断某种题境中采取哪种方法较简洁，建议学习时一题多解，多发散思考.方法1直接构造函数

法与分离参数法以下通过几题让大家感觉下直接构造函数法与分离参数法的优劣性！【典题1】若𝑎𝑙𝑛𝑥+12𝑥2−(1+𝑎)𝑥≥0恒成立，求𝑎的取值范围.【典题2】已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−

𝑎𝑥−1．(1)当𝑎=1时，求𝑓(𝑥)的极值；(2)若𝑓(𝑥)≥𝑥2在[0,+∞)上恒成立，求实数𝑎的取值范围．【典题3】设𝑓(𝑥)=𝑥(𝑒𝑥−1)−𝑎𝑥2，(1)若𝑎=12，求𝑓(𝑥)的单调区间；(2)

若当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)≥0恒成立，求𝑎的取值范围.1(★★)已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑎𝑥，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)≥0恒成立，则𝑎的取值范围为.2(★★)已知函数𝑓(𝑥)=1+𝑙𝑛(1+𝑥)𝑥(𝑥>0)，若𝑓(𝑥)>�

�𝑥+1恒成立，则整数𝑘的最大值为.3(★★)已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥．(1)求𝑓(𝑥)的最小值；(2)若对所有𝑥≥1都有𝑓(𝑥)≥𝑎𝑥−1，求实数𝑎的取值范围．4(★★)已知函数𝑓(𝑥)=

(𝑥2−1)𝑒𝑥，其中𝑎∈𝑹．(1)求函数𝑓(𝑥)在𝑥=0处的切线方程；(2)∀𝑥≥0，𝑓(𝑥)≥𝑎𝑥−1，求实数𝑎的取值范围．5(★★★)已知函数𝑓(𝑥)=(𝑚−𝑙𝑛𝑥)𝑥(𝑥>1)．(1)

讨论𝑓(𝑥)的单调性；(2)若𝑓(𝑥)−2𝑥−𝑚<0恒成立，求正整数𝑚的最大值．参考数据：𝑙𝑛5≈1.61．6(★★★)已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑎𝑥𝑏𝑥在𝑥=1处取得极值𝑒．(1)求函数𝑓(𝑥)的单调区间；(2)若不等

式𝑘𝑥+𝑙𝑛𝑥≤𝑥2𝑓(𝑥)−1在(0,+∞)上恒成立，求实数𝑘的取值范围．方法2变更主元法【典题1】若不等式𝑚𝑥2−2𝑥+1−𝑚<0对满足−2≤𝑚≤2的所有𝑚都成立，求𝑥的取值范围．1(★★)已知

定义在𝑹上的函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3−2𝑎𝑥2+𝑏(𝑎>0)在区间[−2,1]上的最大值是5，最小值是−11．(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；(2)若𝑡∈[−1,1]时，𝑓′(𝑥)+𝑡𝑥≤0恒成立，求实数𝑥的取值范围．

2(★★★)设函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间𝐷上的导数为𝑓′(𝑥)，𝑓′(𝑥)在区间𝐷上的导数为𝑔(𝑥)，若在区间𝐷上，𝑔(𝑥)<0恒成立，则称函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间𝐷上为“凸函数”，已

知实数𝑚是常数，𝑓(𝑥)=𝑥412−𝑚𝑥36−3𝑥22.(1)若𝑦=𝑓(𝑥)在区间[0,3]上为“凸函数”，求𝑚的取值范围；(2)若对满足|𝑚|≤2的任何一个实数𝑚，函数𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)上都为“凸函数”，求𝑏−𝑎的

最大值.方法3数形结合法【典题1】已知函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=𝑓′(1)𝑒𝑥−1−𝑓(0)𝑥+12𝑥2，若𝑓(𝑥)≥12𝑥2+𝑎𝑥+𝑏，求(𝑎+1)𝑏的最大值.【典题2】已知函数𝑓

(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥−1，若𝑓(𝑥)≥0恒成立，则实数𝑎的取值范围是．1(★★)已知函数𝑓(𝑥)=(𝑎−12)𝑥2−2𝑎𝑥+𝑙𝑛𝑥.当𝑥∈(1,+∞)时，不等式𝑓(𝑥)<0恒成立，则

实数𝑎的取值范围是________．2(★★★)设函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥－𝑚𝑥2+2𝑥，若存在唯一的整数𝑥0使得𝑓(𝑥0)>0，则实数𝑚的取值范围是．3(★★★)已知𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥−𝑎)(3𝑎𝑥+1)

，若𝑓(𝑥)≥0(𝑥∈𝑅)成立，则满足条件的𝑎的个数是.4(★★★)若𝑎𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥≤1+𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈[0,𝜋]，则实数𝑎的取值范围是．方法4同构法【典题1】已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑚𝑥−1𝑚𝑙𝑛𝑥，

当𝑥>0时，𝑓(𝑥)>0恒成立，则𝑚的取值范围为.【典题2】已知函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑎𝑙𝑛𝑥+𝑒−𝑥−𝑥𝑎(𝑎<0)，若𝑓(𝑥)≥0在𝑥∈[2,+∞)上恒成立，则实数𝑎的最小值为.1(★

)已知𝑎>0，若𝑎𝑙𝑛𝑥≤𝑥𝑙𝑛𝑎恒成立，则𝑎的值是．2(★★★)若关于𝑥的不等式𝑒𝑥−𝑎𝑙𝑛𝑥≥𝑎恒成立，则实数𝑎的取值范围为．3(★★)证明：𝑥𝑒𝑥≥𝑥+𝑙𝑛𝑥+1．4(★★★)函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥−𝑎𝑥

2,𝑔(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+𝑥−𝑥2+1−𝑒𝑎，𝑎>1时，𝑓(𝑥)−𝑎𝑔(𝑥)≥0恒成立，求𝑎的范围.方法5放缩法【典题1】已知函数𝑓(𝑥)=𝑚𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥−1(1)当𝑚=1时，求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程；(2)当�

�≥1时，证明𝑓(𝑥)>1.1(★★)求证:当𝑛≥2且𝑛∈𝑁∗时，ln𝑛>12+13+⋯+1𝑛.2(★★★)已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥﹣2𝑙𝑛𝑥−𝑥2+𝑥−2．(1)求函数𝑓(𝑥)图象在𝑥=1处的切线方程；(

2)证明：𝑓(𝑥)>0．3(★★★)设函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+𝑎𝑥−1(𝑎>0)(1)当𝑎=130时，求函数𝑓(𝑥)的单调区间；(2)当𝑎≥12，𝑥∈(1,+∞)时，求证𝑙𝑛

𝑥+𝑎𝑥−1>1.