【文档说明】山东省青岛市2022-2023学年高一上学期期末数学试题 含解析.docx，共(20)页，844.398 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-07f11b4cd56427bbd9eb4e936b8af1e2.html

以下为本文档部分文字说明：

2022-2023学年度第一学期期末考试高一数学试题2023.01一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,

9ABC===，则()ABC的元素个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】运用集合的交并集运算计算()ABC，再判断元素个数.【详解】()3,6ABC=，元素个数为2，故选：C.2.下述正确的是（）A.若为第四象限角，则sin0B.若cos0=，则π2

=C.若的终边为第三象限平分线，则tan1=−D.“ππ,Z4kk=+”是“sincos=”的充要条件【答案】D【解析】【分析】对于A，利用三角函数定义即可判断；对于B，求出的值即可判断；对于C，算出的范围即可判断；对于D，利用充分，必要的定义进行判断即可【详解】对于A，若为

第四象限角，根据三角函数定义可得sin0，故不正确；对于B，若cos0=，则ππ,Z2kk=+，故不正确；对于C，若的终边为第三象限平分线，则5π2π,Z4kk=+，此时tan1=，故不正确；对于D，由ππ,Z4kk=+可得sint

an1cos==，即sincos=，满足充分性；由sincos=可得sintan1cos==，所以ππ,Z4kk=+，满足必要性，故正确故选：D3.函数2logyx=的定义域是A.(0,1]B.()0,+C.()1,+D.)1,+【答案】D【解析】【详解】由题意

知2logx0,1x，则函数2logyx=的定义域是)1,+.故选D.4.若函数()221xfxa=−+为奇函数，则=a（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的性质，(0)0f=，解得

1a=，验证()fx为奇函数.【详解】因为函数()221xfxa=−+为奇函数，且xR，所以(0)0,1fa==.验证当1a=时，()22112121xxxfx−=−=++，()2121()2121xxxxfxfx−−−−−==−=−++，满足题意，故选：B5.若110ab

，则下列不等式中正确的是（）A.abB.22ababC.ab−D.2aba+【答案】B【解析】【分析】根据110ab可得：0ba，然后根据不等式的性质逐项进行检验即可求解.【详解】因为110ab，所以0ba

，故选项A错误；因为0ba，所以0ab，则有22abab，故选项B正确；因为0ba，所以ab−−，又因为a<0，所以aa=−，则aab−=−，故选项C错误；因为0ba，所以abaa++，两边

同时除以2可得：2aba+，故选项D错误，故选：B.6.已知函数()πsin26fxx=−，则（）A.()fx的最小正周期为2πB.点π,06是()fx图象的一个对称中心C.直线π12x=是()fx图象的一条对称轴D.()fx在ππ

,63−上单调递增【答案】D【解析】【分析】利用正弦函数的性质即可逐一检验【详解】对于A，由()πsin26fxx=−可得周期2ππ2T==，故A不正确；对于B，当π6x=时，ππ266x−=，π1sin2062x−=，则点π,06不是()fx图象

的一个对称中心，故B不正确；对于C，当π12x=时，26π0x−=，πsin2016x−=，则直线π12x=不是()fx图象的一条对称轴，故C不正确；对于D，当ππ,63x−时，πππ2,622x−−，根据正弦函数的单调性可

得()fx在ππ,63−上单调递增，故D正确，故选：D7.若定义在R上的函数()fx满足：当π2x时，()()sin2sin3sincosfxfxxx−+=，且()()2fxfx+=，则365f=（）A.1225−

B.1225C.3625−D.365【答案】C【解析】【分析】利用解方程组的方法求出函数解析式，根据周期即可求得结果.【详解】当π2x时，2cos1sinxx=−，则2(sin)2(sin)3sin1sinfxfxxx−+=−，令sintx=，则2()2(

)31ftfttt−+=−，1,1t−，用t−换t，得2()2()31ftfttt+−=−−，联立解得2()31fttt=−，1,1t−所以，2()31fxxx=−，1,1x−，()()2fxfx+=，()fx是以2为周期的函数.3636436(

)(24)()55525fff=−=−=−.故选：C8.已知函数()fx，对任意()12,1,xx+且()()()()1221121122,xxxfxxfxxfxxfx++恒成立，且()1fx+是偶函数，设()()13331log,log4,log32afbfcf−===

，则,,abc的大小关系为（）AbacB.cbaC.b<c<aD.abc【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性的定义，函数解析式变换，函数的对称性即可求解.【详解】因为当()12,1,xx+，()()()()122112

1122,xxxfxxfxxfxxfx++，.所以()()1221()0fxfxxx−−，所以()()12fxfx−与21xx−异号，所以()()12fxfx−与12xx−同号，所以()fx在()1,+是增函数，又()1f

x+是偶函数，所以()fx关于直线1x=轴对称，()33331log(log2)2log2(2log2)2affff==−=−−=+，()3log4bf=，13(log3)(1)(3)cfff−=

=−=又33334log4(2log2)log2log2202−+=−=−，所以33log42log23+所以33(log4)(2log2)(3)fff+所以bac.故选：A.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知3sin,0,52πxx=，则（）A.()3sinπ5x−=B.()4cosπ5x−=C.4sin25πx−=D.

3π4cos25x−=【答案】AC【解析】【分析】使用诱导公式化简，用同角三角函数关系求值.【详解】3sin,0,52πxx=，则24cos1sin5xx=−=，()3sinπsin5xx−==，故A正确；()4cosπcos5xx

−=−=−，故B错误；4sincos25πxx−==，故C正确；3π3cossin25xx−=−=−，故D错误；故选：AC.10.已知函数()fxx=，则（）A.若3=，则函数()fx为偶函数B.若1

=−，则函数()fx在()0,+上单调递减C.若12=，则函数()fx的定义域)0,+D.若12=，则函数()cosyfxx=−只有一个零点【答案】BCD【解析】【分析】对于A，利用奇偶函数的定义进行判断即可；对于B，利用幂函数的性质即可判断；

对于C，利用根号内大于等于0即可判断；对于D，利用零点存在定理即可判断【详解】对于A，若3=，则()3fxx=，定义域为R，所以()()()33fxxxfx−=−=−=−，所以()fx为奇函数，故错误；对于B，若1=−，则()1fxx−=，利用幂函数的性质可得()1fxx−=在()

0,+上单调递减，故正确；对于C，若12=，则()12fxxx==，此时函数的定义域为)0,+，故正确；对于D，若12=，则()12fxxx==，设()cosgxyxx==−，当π2x时，πcos102xx−−，

故此时不会有零点；当π02x时，yx=单调递增，cosyx=单调递减，所以()gx单调递增，且()πππ010,cos0222gg=−=−，由零点存在定理可得在π0,2仅有一个零点，综上

，函数()cosyfxx=−只有一个零点，故正确故选：BCD11.下述正确的是（）A.若xR，则()10xx−最大值是25B.若0x，则24xxx−+−的最大值是3−C.若0,2x，则4sinsinxx+的最小值是4D.若0,2x，则22924sinco

scosxxx+−的最小值是12【答案】ABD【解析】【分析】根据基本不等式判断各选项．【详解】选项A，0x或10x时，(10)0xx−，因此最大值在010x时取得，此时210(10)()252xxxx+−−=，当且仅当5=时

等号成立，A正确；选项B，244()1xxxxx−+−=−++，由于0x，44xx+，当且仅当4xx=即2x=时等号成立，所以24413xxx−+−−+=−，最大值为3−，B正确；选项C，(0,]2x

，0sin1x，4sin4sinxx+，当且仅当4sinsinxx=即sin2x=时等号成立，由于0sin1x等号不成立，C错误；的选项D，0,2x，则0sin1x，0cos

1x，22222924914sincoscossincosc1oscosxxxxxxx+−=++−22222911(sincos)()(2)4sincoscosxxxxx=+++−−，222222222222919cossin

9cossin(sincos)()1010216sincossincossincosxxxxxxxxxxxx++=+++=，当且仅当22229cossinsincosxxxx=，即1cos2x=时等号成立，21

(2)cosx−在12cosx=即1cos2x=时，取得最小值0，综上，1cos2x=即3x=时，22924sincoscosxxx+−取得最小值160412+−=，D正确．故选：ABD．12.已知函数()fx的定义域为()()()()0,,1fxfyfxy++=+，当1x

时，()1fx，则（）A.()11f=B.()()21ffC.()fx是增函数D.当01x时，()1fx【答案】ACD【解析】【分析】对A、B：根据题意直接赋值运算求解；对C：根据题意结合单调性的定义分析证明；对D：根据题意结合函数单调

性分析运算.【详解】对A：令1xy==，可得()()()1111fff+=+，解得()11f=，A正确；对B：∵当1x时，()1fx，则()21f，∴()()21ff，B错误；对C：令2110,0xxxyx==，可得()(

)21211xfxffxx+=+，即()()21211xfxfxfx−=−，设210xx，则211xx，可得211xfx，则()()212110xfxfxfx−=−，即()()12fxfx，故函数()fx在()0,

+内单调递增，C正确；对D：∵函数()fx在()0,+内单调递增，故当01x时，()()11fxf=，D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.计算：13l

g100(27)−=___________.【答案】1−【解析】【分析】根据对数的定义,幂的运算法则计算.【详解】112333lg100(27)lg10(3)231−=−=−=−．故答案为：1−．14.已知O为

坐标原点，点P的初始位置坐标为13,22，线段OP绕点O顺时针转动90后，点P所在位置的坐标为___________.【答案】3,221−【解析】【分析】设点P在角的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得13cos,sin,22==

再根据题意可知转动后点P在角90−的终边上，且1OP=，根据诱导公式求出即可；【详解】设点P在角的终边上，又13,22P，则13cos,sin,122OP===，线段OP绕点O顺时针转动90后，此时点P在角90−的终边上，且1OP

=，所以此时点P的横坐标为()3cos90sin2−==，纵坐标为()1sin90cos2−=−=−，即P点坐标为3,221−.故答案为：3,221−15.若tan2=，则44sinsincoscos+−=___________.【答案】1【解析

】【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式化弦为切求解.【详解】由tan2=可得()()442222sinsincoscossincossincossincos+−=−++222222sincossincossincossincossincos

−+=−+=+22tan1tan1tan1−+==+.故答案为：116.已知函数()2323xxfx−=+，若()2π1π,π,28sin335ftt−−−+−在()0,t+时恒成立，则的取值范围是___________.【答案】

5ππ,62−【解析】【分析】先利用复合函数的单调性判断()fx是单调递减函数且()115f=−，则题意可转化成()2π4sin10,π,π3tt−−+−在()0,t+时恒成立，设()2π4sin13gttt=−−+，对称轴为π2sin3t=

−，分两种情况即可求解【详解】因为()23412323xxxfx−==−++，因为23xy=+是单调递增函数，且()3,22xy=++，所以根据复合函数的单调性性质可得()fx是单调递减函数，而()115f=−所以()()2π128sin31,π,π35fttf−−+−=

−在()0,t+时恒成立可转化成()2π28sin31,π,π3tt−−+−在()0,t+时恒成立，可整理得()2π4sin10,π,π3tt−−+

−在()0,t+时恒成立，设()2π4sin13gttt=−−+当π4sin03−−时，()2π4sin13gttt=−−+的对称轴为π2sin03t=−，此时，当0t，()()010gtg=恒成立，满足题意，所

以由π4sin03−−可得πsin03−，所以ππ2π2π,Z3kkk−+−，解得2ππ2π2π,Z33kkk−++，因为()π,π−，所以2ππ33−；当π4sin03−−，()2

π4sin13gttt=−−+的对称轴为π2sin03t=−，则2π16sin403=−−，解得π10<sin32−，所以ππ2π2π36kk−+或5ππ2ππ2π,Z63kkk+−

+，所以ππ2π2π32kk++或7π4π2π2π,Z63kkk++，因为()π,π−，所以ππ32或5π2π63−−，综上所述，的取值范围是5ππ,62−故答案为：5ππ,62−【点睛】关键点睛：这道题得到()2π4sin10,π,π

3tt−−+−在()0,t+时恒成立后，关键是讨论对称轴π2sin3t=−是否在()0,t+内，四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集为R,2,2,02MNxx=−=∣.（1）求(

)RMNð；（2）若12Cxaxa=−∣，且CMC=，求a的取值范围.【答案】（1）{20}xx−∣（2）)2,+【解析】【分析】（1）利用补集和交集的定义即可求解；（2）由CMC=可得MC，然后

列出不等式即可.【小问1详解】因[2,2]M=−，{02}Nxx=∣，所以R{0Nxx=∣ð或2}x，所以()R{20}MNxx=−∣ð.【小问2详解】因为CMC=，所以MC，所以122122aaaa−−−，解得2a，故a

的取值范围为)2,+.18.已知函数()()21fxxmxm=+−−.（1）若(),1xfx−R，求m的取值范围；（2）若0m，解关于x的不等式()0fx.【答案】（1）()3,1−（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式在R

上恒成立问题运算求解；（2）分类讨论两根大小解一元二次不等式.【小问1详解】由()()211fxxmxm=+−−−，可得()2110xmxm+−−+对xR恒成立，为则()()22141230mmmm=−−−+

=+−，解得31m−，故m的取值范围()3,1−.【小问2详解】由题意可得：()()()()211fxxmxmxxm=+−−=+−，令()0fx=，可得=1x−或xm=，对于不等式()0fx，则有：当1m−时，不等式的解集为()(),1,m−−

+U；当1m=−时，不等式的解集为|1xx−；当10m−时，不等式的解集为()(),1,m−−+U.19.已知函数()()πππsin21,,223fxx=+−−是()fx的一个零点.（1）求；（2）若π

0,2x时，方程()fxm=有解，求实数m的范围.【答案】（1）π6−（2）3,02−【解析】【分析】(1)将零点代入计算得π2π,Z6kk=−+，结合ππ22−得π6=−；(2)先算出ππ5π2,666x−

−，结合正弦函数性质求出π1sin2,162x−−，进一步得()3,02fx−，由题意可知参数范围即为函数值域.【小问1详解】由题意π2πsin1033f

=+−=，则π2π,Z6kk=−+，ππ,22−π6=−.【小问2详解】由（1）得()πsin21,6fxx=−−π0,2x，则ππ5π2,666x−

−，π1sin2,162x−−，则()3,02fx−，方程()fxm=有解，则3,02m−.20.已知函数()()()log24log5(0aafxxxa=−+−且1)a的图象过点()3,2P−.（1）求a的值及(

)fx的定义域；（2）求()fx在93,2上的最大值；（3）若52332mntt==，比较()2fm与()3fn的大小.【答案】（1）12a=，定义域为(2,5)；（2）最大值是25log2−，（3）

(2)(3)fmfn．【解析】【分析】（1）由(3)2f=−求得a，由对数函数的定义得定义域；（2）函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最大值；（3）指数式改写为对数式，然后比较2,3mn的大小，并由已知得出2,3mn的范围，在此范围内由()f

x的单调性得大小关系．【小问1详解】由已知(3)log2log22aaf=+=−，12a=，24050xx−−25x，定义域为(2,5)；【小问2详解】211112222()log(24)log(5)lo

g(24)(5)log(21420)fxxxxxxx=−+−=−−=−+−，2279214202()22xxx−+−=−−+，932x，则257992()2222x−−+，所以211122295loglog(21420)log22xx−+−，92

x=时取等号，最大值为12255loglog22=−；【小问3详解】52332mntt==，233(2)(3)mnt==，22logmt=，233lognt=，628=，36639821==，所以23mn，532

t，则22loglog3mt=，222log3m，∵7423，所以274log3，27log34，即722m，335loglog2nt=，333512533logloglog9228n==，所以72(2,)2m，73(2,)2n，∵22420uxx

=−+−在7(2,)2上是增函数，又12logyu=在0u时是减函数，∴()fx在7(2,)2上是减函数，∴(2)(3)fmfn．21.2022年卡塔尔世界杯刚结束不久，留下深刻印象的除了精彩的足球赛事，还有灵巧可爱、活力四射的吉祥物，中文名叫拉伊卜

，在全球范围内收获了大量的粉丝，开发商设计了不同类型含有拉伊卜元素的摆件、水杯、钥匙链、体恤衫等.某调查小组通过对该吉祥物某摆件官网销售情况调查发现：该摆件在过去的一个月内（以30天记）每件的销售价格()Px（

单位：百元）与时间x（单位：天）的函数关系式近似满足()1kPxx=+（k为正常数），日销售量()Qx（件）与时间x的部分数据如下表所示：x（天）510152530()Qx（件）115120125115110已知第10天的日销售收入为132百元.（1）求k的值

；（2）给出以下四种函数模型：①()Qxaxb=+，②()15Qxaxb=−+，③()xQxab=，④()logbQxax=.请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量()Qx（单位：件）与时间x（天）的变化关系，并求出

该函数解析式；（3）求该吉祥物摆件的日销售收入()()130,N*fxxx（单位：百元）的最小值.【答案】（1）1k=（2）选②，()()12515130,Qxxxx+=−−N.（3）132百元

【解析】【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为132元，代入即可得解；（2）据所给数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函数为单调函数，故只能选②，再代入题表数据即

可得解；（3）由（2）可得()()()110111,115,,140139,1530,.xxxxfxPxQxxxxx++++==−+NN，分类讨论求最小值即可.【小问1详解】由题意得()()1010112013210kPQ=+=，解得1k=

．【小问2详解】由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，③，④中的函数为单调函数，故只能选②，即()15Qxaxb=−+．由题表可得()10120Q=，()30110Q=，即15110,5120,abab+=+=解得1,125,ab=−

=故()()12515130,Qxxxx+=−−N．小问3详解】由（2）知()110,115,,12515140,1530,,xxxQxxxxx+++=−−=−NN【∴()(

)()110111,115,,140139,1530,.xxxxfxPxQxxxxx++++==−+NN当115x时，110yxx=+在区间)1,110上单调递减，在区间)110,15上单调递增，∴当10x=时，()10132f=，当11x=时，()1

1132f=，∴当10,11x=时，()fx取得最小值，且()min132fx=；当1530x时，140yxx=−是单调递减的，∴当30x=时，()fx取得最小值，且()min3413fx=．综上所述，当10,11

x=时，()fx取得最小值，且()min132fx=．故该商品的日销售收入()fx的最小值为132百元．22.已知函数()()ln1,e1xfxxxgxx=−−=−−，对0t且101xtx+−−，恒有()()01fxtfxx+−−（1）求()fx和()gx的单调区间；（2）证明：(

)yfx=的图象与()ygx=的图象只有一个交点.【答案】（1）()fx的增区间是(1,)+，减区间是(0,1)，()gx的增区间是(0,)+，减区间是(,0)−；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据单调性的

定义结合已知恒等式得出()fx的单调区间，然后由复合函数的单调性得出()gx单调区间；（2）设()()()hxfxgx=−，然后由（1）得()hx在(0,1]上的单调性，再由零点存在定理得其有唯一零点，利用

（1）的结论和不等式的性质得1x时，()0hx，综合后可证明结论成立．【小问1详解】对0t且101xtx+−−即1x时，1xt+，1x时，1xt+，()()01fxtfxx+−−，则(0,1

)x时，()()fxtfx+，(1,)x+时，()()fxtfx+，设21xx，21txx=−0，当11x时，211xxt=+，211()()()fxfxtfx=+，所以()fx在(1,)+上增函数，当12

01xx<<<时，210txx=−，则211()()()fxfxtfx=+，所以()fx在(0,1)上是减函数，又()(e)xgxf=，设120xx，则120ee1xx，则1212()(e)(e

)()xxgxffgx==，所以e1xyx=−−在(,0)−上是减函数，同理()gx在(0,)+上是增函数，综上，()fx的增区间是(1,)+，减区间是(0,1)，()gx的增区间是(0,)+

，减区间是(,0)−；【小问2详解】设()()()hxfxgx=−，0x，由（1）知(0,1)x时，()fx递减，()gx递增，设1201xx，121221()()()()()()0hxhxfxfxgxgx−=−+

−，即12()()hxhx，所以()hx在(0,1]上是减函数，又(1)(1)(1)2e0hfg=−=−，33333e(e)(e)(e)33ee3e0hfg−−−−−=−=+−−，所以存在唯

一的30(e,1)x−，使得0()0hx=，(1,)x+时，由（1）知()(1)0fxf=，即ln10xx−−，ln1xx−，所以lnlnln()2lne2lne2lne2lne(2e)0xxxxxxhxxxxxxxxxxxx−+−=−−=

−−=−−−−−，所以()hx在(1,)+上无零点，综上，()yhx=只有一个零点，即()yfx=与()ygx=的图象只有一个交点．【点睛】方法点睛：证明两个函数图象有唯一交点问题，可把两函数解析式作差构成新函数，

证明新函数有唯一零点，为此可确定函数的单调性，利用零点存在定理给予证明，本题函数()()()hxfxgx=−在(0,1]上由零点存在定理证明零点的唯一性，在(1,)+上由不等式性质证明其函数值恒为负，从而无零点．是获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xian

gxue100.com