【文档说明】湖南省邵阳市第二中学等多校联考2025届高三上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，1.420 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题

时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,4}A=，{|22

}Bxx=−，若AB=，则实数的取值范围是（）A.3,2−B.3,2+C.(3,)+D.[3,)+【答案】C【解析】【分析】根据AB=，可求得224−，则得3，从而可求解.【详解】

由题意可知AB=，只需224−，解得3，故C正确.故选：C2.已知等差数列na的前n项和为nS，若21024aa+=，且36a=，则8S=（）A.60B.72C.120D.144【答案】B【解析】【分析】根据给定条件

，利用等差数列性质及前n项和公式计算即得.【详解】在等差数列na中，6210224aaa=+=，解得612a=，所以188368()4()4(612)722aaSaa+==+=+=.故选：B3.已知()(2)3gxfx=+−是定义在R上的奇函数，若(1)4f=，则(3)f=（）A.10−B.

4−C.2D.3.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数()fx的性质，进而求出(3)f.【详解】由()(2)3gxfx=+−是定义在R上的奇函数，得[(2)3][(2)3]0fxfx−

+−++−=，即(2)(2)6fxfx−+++=，令1x=，则(1)(3)6ff+=，而(1)4f=，所以(3)2f=.故选：C4.已知过点(1,0)A的直线l与圆22:(2)4Cxy++=相交于M，

N两点，若||2MN=，则l的斜率为（）A.22B.12C.13D.14±【答案】A【解析】【分析】设出直线l的方程，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列式求解即得.【详解】圆22:(2)4Cxy++

=的圆心(2,0)C−，半径2r=，易知直线斜率存在，设l的方程为(1)ykx=−，则圆心(2,0)C−到l的距离2|3|1kdk=+，则2222922421kMNrdk=−=−=+，解得22k=，所以l的斜率为22.故选：A5.中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，铸

铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始.现将一个表面积为236πcm的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭，若该铁锭的上、下底面的边长分别为2πcm和4πcm，则该铁锭的高为（）A.3cmB.1

0cm3C.18cm5D.27cm7【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用球的表面积、体积公式及棱台的体积公式列式计算得解.【详解】设实心铁球的半径为cmR，依题意，24π36πR=，解得3R=，设正四棱台形状的实心铁锭的高为cmh，则()3

144π16π8ππ36π33hR++==，解得277h=，所以该铁锭的高为27cm7.故选：D6.已知1122(,),(,)xyxy是函数lnyx=的图象上的两个不同的点，则（）A.1212e2yyx

x++B.1212e2yyxx++C.122212e2yyxx++D.122212e2yyxx++【答案】D【解析】【分析】求出已知两点的中点坐标及lnyx=的图象上纵坐标为122yy+的点，结合函数图象建立不等式，借助基本不等式即可得解.【详解】如图所示，设�

�(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，AB的中点为1212(,)22xxyyM++，点N在lnyx=的图象上，且//MNx轴，则12122(e,)2yyyyN++，由图知点N在M的左侧，即12122e2

yyxx++，所以122122222121212()e4422yyxxxxxxxx++++=+.故选：D7.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，11134AEAB=uuuruuuur，1(,[0,1])C

FCBCC=+uuuruuruuur，若//EF平面11ADC，则线段EF的长度的取值范围为（）A.[3,26]B.[2,26]C.[2,5]D.[2,26]【答案】B【解析】【分析】根据题意作出相应平面//

EGHIJK平面11ADC，从而可知点F在线段GH上，从而可得EGEFEH，即可求解.【详解】由题可知点F在正方形11BCCB内（含边界）.取棱11BC上靠近点1B的四等分点G，棱1CC上靠近点C的四等分点H，连接EG，GH，易得1//GHA

D，因为1AD平面11ADC，GH平面11ADC，所以//GH平面11ADC，因为//EF平面11ADC，所以过线段GH且与平面11ADC平行的截面为如图所示的平面EGHIJK，所以EFGHF=，所以

点F线段GH上，所以EGEFEH，又因为22112EF=+=，22214326EH++=＝，所以EF的取值范围是2,26，故B正确.故选：B.8.已知1a，若(0,)+x，loga

aaxx恒成立，则a的取值范围是（）A.1e(e,)+B.e(e,)+C.1e(1,e)D.e(1,e)【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，换元变形并构造函数ln()tftt=，利用导数求出最大值

即可求出范围.在【详解】令函数atx=在()0,x+上单调递减，且(0,)t+，则logatt，即lnlntta，而1a，于是lnlntat，令ln()tftt=，求导得21ln()tftt−=，当(0,e)t时，()0ft

，当(e,)t+时，()0ft，则函数()ft在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，因此max1()(e)eftf==，所以1lnea，即1eea.故选：A【点睛】关键点点睛：换元变形不等式，再分离参数并构造函数()lntftt=是解题的关键.二、多项选择题：本

题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数π()sin(2)3fxx=−，则（）A.()fx的最小正周期为πB.()fx在区间π(0,)2上无

最大值C.()fx在区间ππ(,)26−−上单调递减D.()fx的图象关于直线π12x=−对称【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，结合正弦函数的性质逐项分析判断即得.【详解】对于A，()fx的最小正周期为2ππ2=，A正确；对于B，当π(0,)2

x时，ππ2π2(,)333x−−，当ππ232x−=，即5π12x=时，()fx取得最大值1，B错误；对于C，当ππ(,)26x−−时，π4π2π2(,)333x−−−，则()fx在区间ππ(,)26−−上单调递减，C正确；对于D，当π1

2x=−时，ππ232x−=−，则()fx的图象关于直线π12x=−对称，D正确.故选：ACD10.在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,0)A，(0,3)B，(,3)(0)Caa，(1,0)D−，ABD△，BCD△的外接圆分别为圆M、圆N，则下列结论正确的是（）A.直线BD的方程为

230xy−+=B.点C恒在圆M外C.若圆M与圆N的半径相等，则2a=−D.若1a=，则圆N的圆心的横坐标为0【答案】BC【解析】【分析】求出直线BD的方程判断A；判断点C的轨迹与圆M关系判断B；求出圆N半径及圆心坐标进而求出a判断C；确定圆心位置判断D.【详解】对于

A，直线BD的方程为3030(1)yx−=+−−，即330xy−+=，A错误；对于B，等腰ABD△的外接圆M的圆心在y轴上，则直线3y=与圆M相切于点B，而点C在直线3y=上，且又0a，因此点C恒在圆M外，B正确；对于C，设圆M的圆心为

()00,y，则20013yy+=−，解得043y=，圆M的半径为53，线段BD中垂线方程为311()232yx−=−+，线段BC中垂线方程为2ax=，于是得圆N的圆心为8(,)26aa−，而圆N的半径为53，则22825

(1)()269aa−++=，整理得220aa+=，而0a，因此2a=−，C正确；对于D，由1a=，得()1,3C，则圆N的圆心在线段BC的垂直平分线12x=上，D错误.故选：BC11.已知圆锥SO的侧面积为3π，且母线长为底面半径

的3倍，若线段MN为底面圆O的一条直径，P为线段SN的中点，Q为圆锥底面内一动点，且1MQ=，则（）A.圆锥SO的高为2B.一质点从点P出发沿圆锥SO的侧面运动到点M的路径最短为332C.与圆锥SO的侧面和底面均相切，且球心在线段SO上的球的半径为22D.动点Q的轨迹长度为2π3【答案

】BCD【解析】【分析】根据题意设圆锥SO的底面半径为r，母线长为l，高为h，可得π3π3rllr==，可对A判断；将圆锥SO沿着平面SMN切开后将侧面展开，可得侧面扇形中的SMN为等边三角形，可对B判断；设该球的半径为0r，则0r也为圆锥SO的轴截面SMN的内切圆半径从而可建立等式()

01133222222r++=，可对C判断；求出点Q的轨迹是以点M为圆心，1为半径的一段圆弧，作出相关图形从而可对D判断.【详解】对于A，设圆锥SO的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题可知π3π3rllr==，解得1r

=，3l=，故2222hlr=−=，故A错误；对于B，将圆锥SO沿着平面SMN切开后将侧面展开，设MSN=，所以22lr=，结合1r=，3l=，求得π3=，所以SMN为等边三角形，故最短路径为π333sin32

MP==，故B正确；对于C，设该球的半径为0r，则0r也为圆锥SO的轴截面SMN的内切圆半径，由题可得()01133222222r++=，解得022r=，故C正确；对于D，由题可知，点Q的轨迹是以点M为圆心，1为半径的一段圆弧，如图，

设该圆弧与底面圆O交于E，F两点，易知OEM△与OFM△均为等边三角形，所以2π3EMF=，所以弧EF的长度为2π3，故D正确.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定

球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的

方程，并求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数1i()1iaza+=−R在复平面内对应的点的横坐标为2，则a=______.【答案】3−【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出z，再结合复数的几何意义求出a

.【详解】依题意，(1i)(1i)1(1)i11i(1i)(1i)222aaaaaz++−++−+===+−+，由复数z在复平面内对应的点的横坐标为2，得122a−=，所以3a=−.故答案为：3−13.若，满足tantan3=+，且π6=+，则co

scos=______.【答案】16【解析】【分析】根据给定条件，切化弦，再利用差角的正弦求解即得.【详解】依题意，sinsinsincoscossinsin()1tantan3coscoscoscoscoscos2coscos

−−−=−====，所以1coscos6=.故答案为：1614.已知平面向量OA，OB，OC满足||23OA=uur，||4OB=，5π,6OAOB=，且()()3OCOAOCOB−−=uuuruuruuuruuur，若||A

Cuuur恒成立，则实数的最小值为______.【答案】413+【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，再设(),Cxy，则点C在圆()22116xy+−=上运动，结合三角函数范围得出413AC+，即可求参.【详解】以O为坐标原点，建立平面

直角坐标系，不妨设()23,0OA=，由题知3cos,2OAOB=−，则1sin,2OAOB=，故可设()23,2OB=−.设(),Cxy，则()()()()2223,23,22123OCOAOCOBxyxyxyy−−=−+−=+−−=，即点C在圆()22116

xy+−=上运动.令4cos14sinxy=−=，()()()224cos234sin1298sin163cos29813sin29813413AC=−++=+−=+++=+，故413+，则实数的最小值为413+.故答案为：413+.四、解答题：本题共5小题，

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知()()30abcabcab+++−−=.（1）求C；（2）若π2CA，求abc+的取值范围.【答案】（1）π3C=（2）(3,2).【解析】【分析】（1）根据给定条

件，利用余弦定理求出角C.（2）利用正弦定理边化角，再利用差角的正弦及辅助角公式化简，借助正弦函数性质求出范围.【小问1详解】由()()30abcabcab+++−−=，得222abcab+−=由余弦定理得2221cos22abcCab+−==，而(0,π)C，所以π3C=.【小问2详解

】由（1）及正弦定理得2sinsin()sinsin3sinsin3AAabABcC+−++==231(sincossin)223AAA=++π2sin()6A=+由π2CA，得ππ32A，即2263A+，则3sin()(,1)62A+，所以abc+的取值范围是(3,

2).16.如图，在三棱台111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，1ABAC⊥，11122ABACAAAB===，M是棱BC的中点.（1）求证：1AB⊥平面11AMC；（2）求二面角11AMCB−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33.【解析】

【分析】（1）取AB的中点N，由已知，结合棱台的结构特征，利用线面垂直的判定推理即得.（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面1BMC的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】如图，取棱A

B的中点N，连接1AN，MN，1BN，则11////MNACAC，由已知得11//ABAN，111ABANAA==，且1AAAN⊥，则四边形11ABNA是正方形，于是11ABAN⊥，而1ABAC⊥，即111ABAC⊥，又1111ACANA=I，且111,AACN平面11AMC，所以1AB⊥平面

11AMC.【小问2详解】依题意，1ACAB⊥，1ACAA⊥，1111,,AAABAAAAB=平面11AABB，则AC⊥平面11AABB，而AB平面11AABB，则ACAB⊥，以A原点，直线1,,ACABAA分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系Axyz−，不妨设2AB=，则(0,0,0)A

，(0,2,0)B，(1,1,0)M，1(1,0,1)C，1(0,1,1)B，(1,1,0)BM=−，1(0,1,1)MC=−uuuur，设(,,)nxyz=为平面1BMC的法向量，则100nBMxynMCyz=−==−

+=，令1z=，得(1,1,1)n=，由（1）知平面11AMC的一个法向量为1(0,1,1)AB=，为因此11126cos,3|||32|nABnABnAB===，所以二面角11AMCB−−的正

弦值为33.17.已知F是椭圆22:143xyC+=的右焦点，过点F作两条相互垂直的动直线1l和2l，1l与C交于A，B两点，2l与C交于D，E两点.（1）若//ADx轴，求||AD；（2）设M，N分别为线段AB，D

E的中点，求证：直线MN过定点4,07P.【答案】（1）877（2）4,07【解析】【分析】（1）由//ADx轴，分别设241,3tAt−−，241,3tDt−，根据12ll⊥，

可得0FAFD=，从而可求解.（2）设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，设直线1:1(0)lxmym=+，与22143xy+=联立，分别求出2243,3434mMmm−++，22243,3434

mmNmm++，再根据12ll⊥，从而可求解.【小问1详解】由题意知(1,0)F.因为//ADx轴，所以A，D两点的纵坐标相同，设为t.由椭圆方程，不妨令241,3tAt−−，241,

3tDt−，因为12ll⊥，所以2222411,411,1410333tttFAFDttt=−−−−−=−−+=

，整理得2337t=，所以28724137tAD=−=.【小问2详解】设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2).当1l与2l的斜率都存在时，设直线1:1(0)lxmym=+，与22143xy+=联立，消去x，整理得()2234690mymy+

+−=，122634myym+=−+，122934yym=−+，()212122268223434mxxmyymm+=++=−+=++，2243,3434mMmm−++.同理，用1m−替换m，可得2

2243,3434mmNmm++.当1m=时，M，N两点的横坐标均为47，故直线MN过点4,07P.当1m时，()2222223373434444441734347mmmmmmmmm++==−−−++，即MPNPkk=，此时直线MN过点4,0

7P.当1l或2l与x轴重合时，MN也与x轴重合，此时直线MN也经过点4,07P，综上可知，直线MN过定点4,07P.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交

问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12

xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.18.已知函数21()2e()2xfxmx=−−，2()()ln2gxfxxxx=−−.（1）若32m=，求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程.（2）若()gx有两个极值点a，()bab．（

i）证明：e1m−；（ii）证明：1ab.【答案】（1）22yx=+；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得.（2

）（i）求出函数()gx及导数，分离参数并构造函数e1()lnxhxxxx=−−，探讨函数性质即可推理得证；（ii）由（i）中信息，构造函数1()()()Fxhxhx=−，探讨函数()Fx在(1,)+上的单调性，推理得证.【小问1详解】函数2()2exfxx=−，求导

得()2e2xfxx=−，则(0)2f=，而(0)2f=，所以曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为22yx=+.【小问2详解】（i）函数221()2e()ln22xgxmxxxx=−−−−，求导得()2e22ln2xgxmxxx=−−−，令()0gx=，得e1l

nxxmxx−−=，设e1()lnxhxxxx=−−，求导得222e(1)1(e1)(1)()xxxxxhxxxx−−−−=−=，(0,)x+，.令()0hx=，得1x=，当(0,1)x时，()0hx；当(1,)x+时，()0hx，函数()hx

在(0,1)上递减，在(1,)+上递增，于是min()(1)e1hxh==−，由()gx有两个极值点，得方程()0gx=有两个实根，即()hxm=有两个实根，则e1m−.（ii）由（i）知a，b是方程()0gx=

的两个实根，即()()hahbm==，且01ab，设1()()()Fxhxhx=−，求导得12211(1)(ee1)()()()()xxxxxFxhxhxxx−−+−=−−=，令1()ee1xxxx

x=−+−，则当(1,)x+时，111()eee10xxxxx=−++，即函数()x在(1,)+上单调递增，则()(1)0x=，即当(1,)x+时，()0Fx，于是函数()Fx在(1,)+上单调递增，则

()(1)0FxF=，因此1()()hxhx，则1()()hbhb，即1()()hahb，而101b，又()hx在(0,1)上单调递减，因此101ab，所以1ab.【点睛】方法点睛：利用导数

证明或判定不等式问题：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；③适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；④构造“形似”函数，变形再构造，对

原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19.已知P，QZ，若方程20xPxQ−+=有两个不相等的非零实数根a，b，设nnnabuab−=−，nv=11nnab−−+，其中*nN，称数列nu和nv为方程20xPxQ−+=的“特征数列”.（1）若4P=，3Q=，求特征数列nu的

前n项和；（2）若1P=，1Q=−，证明：2nnnvvu++为定值；（3）从集合{1,2,3,4}中随机取一个数作为P，从集合1,2,3,4−−−−中随机取一个数作为Q，求事件“22u且6150v”的概率.

【答案】（1）13342nn+−−；（2）证明见解析；（3）1116.【解析】【分析】（1）根据定义求出nu，再利用分组求和法及等比数列前n项和公式计算即得.（2）由已知可得1,1abab+==−，变形2nnvv++即可推理计算得证.（3）求出方程20xPxQ−+=有不等实根的

所有可能结果，再求出22u且6150v含有的结果，利用古典概率计算即得.【小问1详解】当4P=，3Q=时，解方程2430xx−+=，得1x=或3，则312nnu−=，所以1212133133(333)22231242nnnnnnnuuu+−−+++=+++−=−=−−

LL.【小问2详解】依题意，1Pab=+=，1Qab==−，1111211(())nnnnnnnnvvababaabbab−−++++=+++=+++()()())(nnnnaabbbaabab=−+−=−−，因此222()(()()45)nnnnnnnvvabababa

bababuab++−−==−=+−=−−，所以2nnnvvu++为定值5.【小问3详解】依题意，(,)PQ一共有4416=种不同的情况，且均满足240PQ−和0Q，则方程20xPxQ−+=一定有两个不相等的非零实数根a，b，222

abuabPab−==+=−，要使22u，则需2P，通过特例观察可以猜想21nnnvPvQv++=−，下面证明该等式：111()()()nnnnnnPvQvabababab−−+−=++−+11nnnnnnababbabaab++=+++−−112nnn

abv+++=+=，显然12v=，2vabP=+=，当2P=，1Q=−时，212nnnvvv++=+，数列nv前6项依次为2，2，6，14，34，82，不符合题意；当2P=，2Q=−时，2122nnnvvv++=+，数列nv前6项依次为2，2，8，

20，56，152，符合题意；当2P=，2Q−时，由21122nnnnnvPvQvvv+++=−+，得6152v，符合题意；当3P=，1Q=−时，213nnnvvv++=+，数列nv前6项依次2，3，11，36，119，393，符

合题意；当3P，1Q−时，由2113nnnnnvPvQvvv+++=−+，得6393v，符合题意，所以满足“22u且6150v”的(,)PQ一共有34411++=（种）情况，所以所求概率为1116.【点睛】关键点点睛：猜想出递推公式21nn

nvPvQv++=−并证明，是解决本题第3问的关键.为