【文档说明】浙江省台州市八校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.458 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第一学期台州八校联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知:1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸

上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线3x=的倾斜角是()A.90B.60C.30D.不存在【答案】A【解析】【分析】结合方程的形式

可判断倾斜角.【详解】直线3x=与x垂直，故其倾斜角为90.故选：A.2.设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件0AMn=的点M构成的图形是（）A.圆B.直线C.平面D.线段【答案】C【解析】【

分析】根据平面的法向量的含义，即可判断出答案.【详解】由题意0AMn=，故点M位于过点A且和n垂直的平面内，故点M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面，故选：C3.如图，在四面体ABCD中，已知12ABbADaACcBEEC====，，，，则DE等于（）A.213

3abc−++B.2133abc++C.2133abc−+D.2133abc−+【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的加减运算法则以及比例关系，以,,abc为基底表示出DE即可.【详解】易知DEDAAE=+，而()1133AEABBEABBCABACAB=+=+=+−，所以可得()()1

1213333DEADABACABbcbbcaa=−++−=−++−=−++.故选：A4.比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（）A.22936xy+=B.223448xy+=C.22936xy+=D.225330xy+=【答案】B【解析】【分析】分别求出四个椭圆的离心

率，离心率的范围在()0,1，根据离心率越小越接近于圆可得答案.【详解】A.由22936xy+=，得221436xy+=，222=36,4,32abc==，离心率为322263cea===；B.223448xy+=，得2211612xy+=，222=16,12,

4abc==，离心率为2142cea===；C.22936xy+=，得221364xy+=，222=36,4,32abc==，离心率为322263cea===；D.225330xy+=，得221610xy+=，222=10,6,4abc==，离心率为210510cea===，因为2

2800103601225330530230===，所以223448xy+=更接近于圆.故选：B.5.已知(2,1,3)=−a，(1,2,3)=−b，(7,6,)=c，若a，b，c共面，则等于（）A.9−

B.9C.3−D.3【答案】A【解析】【分析】由a，b，c共面，设cmanb=+，根据条件列出方程组即可求出λ的值．【详解】因为a，b，c共面，设cmanb=+，又(2,1,3)=−a，(1,2,3)=−b，(7,6,)=c，得到(7,6,)(2,2,33)mnmnmn=−+−+，所以272

633mnmnmn−=+=−+=，解得4,1,9mn===−，故选：A.6.椭圆()222210xyabab+=左，右焦点分别为1F，2F，若椭圆上存在点Q，使12120FQF=，则椭圆离心率e的取值范围为（）A.30,2

B.30,2C.3,12D.3,12【答案】D的【解析】【分析】设椭圆与y轴正半轴的交点为B，椭圆上存在点Q，使得12120FQF=，则需12120FBF，再结合椭圆的性质，即可求解．【详解】设椭圆的上顶点为B，连接1BF、2

BF，则12BFBFa==，2OFc=，椭圆上存在点Q，使得12120FQF=，则需12120FBF，则260OBF，显然290OBF，所以2sinsin60OBF，所以3sin602ca=，所以32ce

a=，又1e，所以312e，即椭圆离心率e的取值范围为3,12．故选：D．7.已知实数x、y满足方程22410xyx+−+=，则22xy+最小值为（）A.743−B.743+C.23+D.23−【答案】A【

解析】【分析】将圆的方程化为标准形式，可得出圆心C的坐标和圆的半径，将22xy+视为坐标原点O到圆上一点距离的平方，即可得出结果.【详解】圆的标准方程为()2223xy−+=，圆心为()2,0C，半径长为3，()220203−+，所以，原点在圆(

)2223xy−+=外.22xy+的几何意义为坐标原点O到圆上一点距离的平方，()()()2222min323743xyOC+=−=−=−.故选：A.【点睛】本题考查22xy+最值的计算，利用该代数式的几何意义求解

是解答的关键，同时也考查了圆外一点到圆上一点距离最值的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.底面为正方形的四棱锥SABCD−，且SD⊥平面ABCD，2SD=，1AB=，线段SB上一M点满足12SMMB=，N为线段CD的中点，P为四棱锥SAB

CD−表面上一点，且DMPN⊥，则点P形成的轨迹的长度为A.2B.524C.322D.22【答案】B【解析】【详解】以D为坐标原点，以DA，DC，DS为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()()()111221,1,0,0,0,3,0,,

0,0,0,0,,,2333BSNDM，取AD的中点E,则1112211,0,0,,,,,,0233322EDMEN=−，∴0DMEN=，即DMEN⊥，在SD上取一点F,设()0,0,Fa,则1,0,2E

Fa=−，设DMEF⊥则0DMEF=,即12203aa−+=,解得142a=，∴DM⊥平面EFN，,∴P点轨迹EFN.∵213248EFFNa==+=,1222ENAC==，∴EFN的周长为322522824+=.故选B.点睛：利用空间直角坐标系求解

立体几何问题，的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量或直线的方向向量；第四，破“应用公式关

”.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.直线l的方向向量为ur，两个平面,的法向量分别为12,nn，则下列

命题为真命题的是（）A.若1un⊥，则直线//l平面B.若1//un，则直线l⊥平面C.若13cos,2un=则直线l与平面所成角的大小为3D.若123cos,2nn=，则平面,所成角的大小为6【答案】BCD【解析】【分析】由1u

n⊥，得到直线//l平面或l，可判定A不正确；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判定B、C、D正确.【详解】由题意知，直线l的方向向量为ur，两个平面,的法向量分别为12,nn，对于A

中，若1un⊥，则直线//l平面或l，所以A不正确；对于B中，若1//un，则直线l⊥平面，所以B正确；对于C中，若13cos,2un=，因为1,[0,]un，所以1,6un=，设直线l与平面所成角为，可得263=−=，即直线l与平面所成角的大小为3，

所以C正为确；对于D中，若123cos,2nn=，因为12,[0,]nn，所以12,6nn=，所以平面,所成角的大小为6.故选：BCD.10.已知直线1:0lxaya+−=和直线()2:2310laxay−−−=

，下列说法正确的是（）A.直线1l与2l在x轴上的截距相等，则1a=−B.若12ll//，则1a=或3a=−C.若12ll⊥，则0a=或2a=D.当0a时，1l始终不过第三象限【答案】CD【解析】【分析】求出直线在x轴的截距，即可得到方程，从而求出a，即可

判断A，根据两直线平行与垂直的充要条件判断B、C，将直线方程化为斜截式，即可得到斜率与纵截距，即可判断D.【详解】对于A：显然0a，则直线1:0lxaya+−=中令0y=，则xa=，直线()2:2310laxay−−−=中令0y=，则1xa

=，所以1aa=，解得1a=，故A错误；对于B：若12ll//，则()223aa−−=，解得1a=或3a=−，当1a=时直线1:10lxy+−=和直线2:10lxy+−=重合，故舍去，所以3a=−，故B错误；对于C：若12ll⊥，则()1230aaa−−=

，解得0a=或2a=，故C正确；对于D：当0a时直线1:0lxaya+−=即11yxa=−+，则斜率10ka=−，且在y轴上的截距为1，所以直线1l经过第一、二、四象限，不过第三象限，故D正确；故选：

CD11.设椭圆22193xy+=的右焦点为F，直线()03ymm=与椭圆交于,AB两点，则（）A.AFBF+为定值B.ABF△的周长的取值范围是6,12C.当32m=时，ABF△为锐角三角形D.当1m=时，ABF△的面积为6【答案】AD【解析】【分析】利用椭圆对称性及其定义可知

A正确，由03m可知()0,6AB，即可得ABF△的周长的取值范围是()6,12，所以B错误；利用向量可知角AFB为直角，即可得C错误；当1m=时可求得26AB=，即可知ABF△的面积为6，即D正确.【详解】设椭圆左焦点为1F，如图所示：由椭圆对称性可知，,AB两点

关于y轴对称，可知1AFBF=，所以由椭圆定义可得126AFFBFFAAa+=+==为定值，即A正确；ABF△的周长为26AFBFAABaBAB+=+++=，易知当()03ymm=时，()0,6AB，因此ABF△的周长的取值范围是()6,12，即B错误；当32m=时，可得333333,

,,2222AB−，又()6,0F，可得3333336,,6,2222AFBF=+−=−−，所以33333273666022444AFBF=+−+=

−+=，即AFB是直角，即可知ABF△为直角三角形，所以C错误；当1m=时，易知26AB=，顶点F到AB边的距离为1，所以ABF△的面积为1162SAB==，即D正确.故选：AD12.已知()()

4240PA，，，，点Q为圆22:4Oxy+=上一动点，过点P作圆O的切线，切点分别为MN、，下列说法正确的是（）A.若圆()()22:231Cxy−+−=，则圆O与圆C有四条公切线B.若xy，满足224

xy+=，则434xy−+C.直线MN的方程为210xy+−=D.12PQAQ+的最小值为13【答案】ABD【解析】【分析】先由两圆位置关系得到公切线条数，再由圆上的点的三角表示求出3xy+的取值范围，再

由切线求出切点最后得到切点弦方程，最后应用阿氏圆转化为两点间线段最短即可.【详解】圆O的圆心为()0,0O，2r=，对于A：圆C的圆心为()2,3C，半径1R=，所以222313OCrR=+=+，所以两个圆外离，所以有4条公切线，A正确；对于B：因为x

y，满足224xy+=，所以(),Exy是圆O上的点，所以可令2cos2sinxy==，其中)0,360，此时()323cos2sin4sin604,4xy+=+=+−

，B正确；对于C：若过点P的直线斜率不存在，此时直线为4x=，不是圆O的切线，所以圆O的切线斜率存在，设为k，则切线方程为()24ykx−=−，圆心到直线的距离为24221kdk−==+，解得0k=或者43k=，所以切线方程为41033yx=−和2y=，联立224410

33xyyx+==−，解得8565xy==−，联立2242xyy+==，解得02xy==，所以()860,2,,55MN−（或者()860,2,,55NM−），所以6252805M

Nk+==−−，直线:22220MNyxxy−=−+−=，C错误；对于D：设x轴上存在点(),0Dt使得圆上任意的一点点(),Qxy满足12DQAQ=，即()()222224xtyxy−+=−+，解得

()2223388164xytxt++−=−，所以288016412tt−=−=，解得1t=，所以存在点()1,0D在圆内使得12DQAQ=，所以()221412132PQAQPQDQPD+=+=−+=，D正确，故选：ABD【点睛】关键

点睛：若能熟练掌握圆的切点弦方程和阿氏圆逆定理则能快速判断CD选项.非选择题部分三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是______【答案】11a−【解

析】【分析】把点的坐标代入圆的方程，把“＝”改为“＜”号，解不等式即可．【详解】由题意22(1)(1)4aa−++，解得11a−．【点睛】本题考查点与圆的位置关系．点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上

，点在圆外，其判断方法是求出点到圆心的距离然后与半径比较．也可直接代入圆的标准方程222()()xaybr−+−=，点为00(,)xy，则点在圆内22200()()xaybr−+−；点在圆上22200()()−+−=xay

br；点在圆外22200()()xaybr−+−．14.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成角的大小是．【答案】60【解析】【分析】由题意得EF∥BC1∥AD1

，可得直线EF与直线D1C所成角的大小和直线AD1与直线CD1所成角的大小相等，再根据立方体的结构特征得到直线AD1与直线CD1所成角的大小为60°，进而得到答案．【详解】因为E、F分别是棱C1C与BC的中点，所以EF∥BC1

∥AD1．所以直线EF与直线D1C所成角的大小和直线AD1与直线CD1所成角的大小相等．因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，所以直线1AD与直线1CD所成角的大小为60°，所以直线EF与直线D1C所成角的大小为60°．故答案为:60°．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解

决此类问题的关键是熟悉求异面直线所成角的方法即平移直线或作其中一条直线的中位线．15.已知圆221:20Cxykxy+−+=与圆222:20Cxyky++−=的公共弦所在直线恒过点P，则点P坐标为_______.【答案】()1,1-【解

析】【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，再求出定点坐标.【详解】圆221:20Cxykxy+−+=与圆222:20Cxyky++−=的公共弦方程为220kxkyy+−−=，即()()220xyky++−−=，令0220xyy+=−−=，解得

11xy==−，所以公共弦所在直线恒过点()1,1P−.故答案为：()1,1-16.如图，ABC，，是椭圆()222210xyabab+=上的三个点，AB经过原点OAC，经过右焦点F，若BFAC⊥且3BFCF=，则该椭圆的离心率为_______.【答案】22【解析】【分析】设椭圆的左焦点

为()1,0Fc−，连接111,,AFBFCF，设CFm=，利用对称性得到13AFBFm==，23AFam=−，12CFam=−，再根据BFAC⊥，分别在1AFC△和1RtAFF中，利用勾股定理求解.【详解】解：如图所示：设椭圆左焦点为()1,0Fc−，连接111,,AFBFC

F，设CFm=，由对称性知：13AFBFm==，23AFam=−，12CFam=−，因为1//AFBF，所以1AFAC⊥，在1AFC△中，22211AFACCF+=，即()()2229222mamam+−=−，解得3

am=，在1RtAFF中，()()2229232mamc+−=，将3am=代入上式，得22cea==，故答案为：22四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC的顶点坐标为()12A−，，()21B−−，()

23C，.（1）求BC边上中线AD所在直线方程;（2）求点A关于直线BC对称的点A坐标.【答案】（1）10xy+−=（2）()1,0【解析】【分析】（1）由题意，求出点D的坐标，进而求出直线方程；（2）设(),Axy，由题意可知BC所在直线为AA

的中垂线，由此可求出A的坐标.【小问1详解】的由题意，BC的中点为()0,1D，所以21110ADk−==−−−，所以AD所在直线方程()21yx−=−+，即10xy+−=；【小问2详解】由题意，31122BCk+==+，所以BC所在直线方程12yx+

=+，即10xy−+=，设(),Axy，所以AA的中点为12,22xy−+，因为点A关于直线BC对称的点为点A，所以1210222111xyyx−+−+=−=−+，解得10xy==，所以点A坐标()1,018.已知圆22:20Cxyx+−=．（1）求圆C

的圆心坐标及半径；（2）若已知点()3,1M，求过点M的圆C的切线方程．【答案】（1）圆心的坐标为()1,0C，半径为1（2）1y=或4390xy−−=【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心及半径；（2）先验证斜率不存在时是否满足要求，再利用待定系数法求斜率存在时的切线

方程.【小问1详解】圆22:20Cxyx+−=的方程可化为，22(1)1xy−+=，所以圆心的坐标为()1,0C，半径1r=；【小问2详解】过点M的直线的斜率不存在的直线方程为3x=，该直线与圆C没有交点，不满足要求；当过点M的直

线的斜率存在时，设方程为()13ykx−=−，即310kxyk−−+=，因为直线310kxyk−−+=与圆C相切，.所以点C到直线310kxyk−−+=的距离等于圆C的半径1，故23111kkk−+=+，解

得0k=，或43k=，方程为1y=或4390xy−−=，故过点M的圆C的切线方程为1y=或4390xy−−=．19.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，AB的中点，且22PAABAD=

==.（1）求证：MNCD⊥；（2）求二面角PABM−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）255【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0

N，()2,0,0B，()0,0,0A，()002P,,，11,,12M，()2,1,0C，()0,1,0D，所以10,,12=NM，()2,0,0DC=uuur，所以0NMDC=，则MNCD⊥.【小

问2详解】平面PAB的一个法向量可以为()0,1,0m=，又()2,0,0AB=，11,,12AM=，设平面ABM的法向量为(),,nxyz=，则20102nABxnAMxyz===++=

，取()0,2,1n=−，设二面角PABM−−为，显然二面角PABM−−为锐角，所以225cos515mnmn===，所以二面角PABM−−的余弦值为255.20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=

的左、右焦点分别为1F、2F，若C过点31,2A，且124AFAF+=.（1）求C的方程；（2）过点2F且斜率为1的直线与C交于点M、N，求OMN的面积.【答案】（1）22143xy+=；（2）627.【解析】【分析】（1）利用

椭圆的定义可求出a的值，将点A的坐标代入椭圆C的方程，求出2b的值，进而可得出椭圆C的方程；（2）设点()11,Mxy、()22,Nxy，写出直线MN的方程，联立直线MN与椭圆C的方程，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得OMN的面积.【详解】（1

）由椭圆的定义可得1224AFAFa+==，可得2a=，椭圆C的方程为22214xyb+=，将点A的坐标代入椭圆C的方程可得291414b+=，解得23b=，因此，椭圆C的方程为22143xy+=；（

2）易知椭圆C的右焦点为()21,0F，由于直线MN的斜率为1，所以，直线MN的方程为1yx=−，即1xy=+，设点()11,Mxy、()22,Nxy，联立221143xyxy=++=，消去x得27690yy+−=，364793680=+

=，由韦达定理可得1267yy+=−，1297yy=−，所以，()222121212111691122624422277277OMNSOFyyyyyy=−=+−=−+==.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲

线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx的形式；（5）代入韦达定理求解.21.如图所示，直

角梯形ABCD中，//ADBC，ADAB⊥，22ABBCAD===，四边形EDCF为矩形，3CF=，平面EDCF⊥平面ABCD.（1）求证：//DF平面ABE；（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP的

长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，2BP=【解析】【分析】（1）证明DE⊥平面ABCD，以D为原点，DA所在直线为x轴，过D作平行与AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，平面ABE的法向量()3,0,1n=

，计算0DFn=得到证明.（2）设()1,2,3DPDF==−，()1,22,3BP=−−−，故3sincos,4BPn==，代入计算得到答案.【详解】（1）∵四边形EDCF为矩形，DECD⊥，因为平面EDCF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，由题意，以D

为原点，DA所在直线为x轴，过D作平行与AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A，()1,2,0B，()0,0,3E，()1,2,3F−，()1,2,3BE=−−，()0,2,0AB=，()1

,0,3AE=−，设平面ABE的法向量为()1,,nxyz=，则2030nABynAExz===−+=，取1z=可求得平面ABE的法向量()3,0,1n=，又()1,2,3DF=−，3030nDF=−++=，所以//DF平

面ABE；（2）设()1,2,3DPDF==−，则(),2,3P−，()1,22,3BP=−−−，设直线BP与平面ABE所成角为，()()()22233sincos,421223BPn

−===−−+−+，化简得28610−+=，解得12=，或14=，当12=时，33,1,22BP=−−，2BP=；当14=时，533,,424BP=−−，2BP=，综上：2BP=.【点睛】本题考查了线面平行，线面夹角，意在考

查学生的计算能力和空间想象能力.22.已知(3,0)F是椭圆C：2222+1(0)xyabab=的一个焦点，点1(3,)2M在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且12OAOBkk+

=−(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．【答案】（1）2214xy+=；（2）1[,0)(1,)4−+.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为4，得到2,3ac==

，进而求得1b=，即可求得椭圆C的方程；（2）当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，0OAOBkk+=，不符合题意．故设直线l的方程为1122(0),(,),(,)ykxmkAxyBxy=+，联立方程组，根据根与系数的关系

，求得1212,xxxx+，结合12OAOBkk+=−，求得241mk=+，得到14k−，再由0，列出不等式，即可求解直线l的斜率的取值范围.【详解】（1）由题意，椭圆2222+1(0)xyabab=的左焦点为(3,0)−，

根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为2211(33)(0)422++−+=，即24a=，所以2a=，又因为3c=，可得221bac=−=，所以椭圆C的方程为2214xy+=.（2）当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，0O

AOBkk+=，不符合题意．故设直线l的方程为1122(0),(,),(,)ykxmkAxyBxy=+，联立方程组2214ykxmxy=++=，可得222(41)84(1)0kxkmxm++

+−=，则212122284(1),4141kmmxxxxkk−−+==++，所以21212211222121212()()()82224(1)1OAOByykxmxkxmxmxxkmkkkkkxxxxxxmm++++−−+=+==+=+=−−，因为1

2OAOBkk+=−，可得241mk=+，所以14k−，又由0，可得2216(41)0km−+，所以2440kk−，解得0k或1k，综上可得，直线l的斜率的取值范围是1[,0)(1,)4−+

.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，通常联立直线方程与圆锥曲线）程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．获得更多资源请扫码加入享学资源网微

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