【文档说明】福建师范大学附属中学2022届高三上学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(24)页，2.718 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-07cda52ca3d44190c5b266a435911ecc.html

以下为本文档部分文字说明：

福建师大附中2021～2022学年上学期期中考试高三数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i34iz=+，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对

应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘除运算可得43iz=−，利用复数的几何意义即可得出结果.【详解】由题意知，234i(34i)i43iiiz++===−，所以复数z在复平面上对应的点为(43)−，，在第四象限.

故选：D2.已知向量()2,1a=r，()2,bk=−且()2aab⊥−，则实数k=（）A.14−B.6−C.6D.14【答案】D【解析】【分析】根据题设条件求得2ab−的坐标，再根据()2aab⊥−，得到关于k的方程，解之即可．【详解】∵()2,1a=r，()2,bk=−，

∴()26,2abk−=−，又∵()2aab⊥−，∴()26120k+−=，解得14k=．故选：D．3.设函数()xfxxe=，则（）A.=1x−为()fx的极大值点且曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线的斜率为1B.1x=为()fx的极小值点且

曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线的斜率为2eC.=1x−为()fx的极小值点且曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线的斜率为1D.=1x−为()fx的极小值点且曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线的斜率为2e【答案】C【解析】【分析】对函数()fx求导，求出

函数()fx的单调性，进而可得出其极值点，由(0)1f=，可得到在点(0,(0))f处的切线斜率．【详解】解：因为()xfxxe=，所以()(1)xxxfxexexe=+=+，令()0fx，解得1x−，令()0fx，解得1x−，()fx在(,1)−−上单调递减

，在(1,)−+上单调递增，1x=−是函数()fx的极小值点，又(0)1f=，则曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线斜率为1，故选：C．4.已知a→，b→是不共线的向量，ABab→→→=+，()ACabR→→→=+，，那么A

，B，C三点共线的充要条件为（）．A.2+=B.1=C.1=−D.1−=【答案】B【解析】【分析】若A、B、C三点共线，则向量AC→与AB→平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使A、B、C三点共线

的充要条件．【详解】解：若A、B、C三点共线，则向量//ACAB→→即存在实数k，使得ABkAC→→=，ABab→=+，ACab→=+()abkab+=+，可得1kk==，消去k得1=即A、B、C三点共线的充要条件为1=故选：B．5.ABC中，三角正弦之比:si

n:sin2:3:4sinABC=，则sin2sinsin2ABC−等于（）A.12B.12−C.2−D.2【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可得边长之比，再由余弦定理求出cosC，结合二倍角公式求解即可.【详解】因为::2:3:4abc=，不妨设2,3,4(0)akb

kckk===，则222222249161cos2124abckkkCabk+−+−===−，所以sin2sinsin2sin24212421sin22sincos424ABABabbakkCCCckc−−−−−=====−．故选：D6.如图，已知AB，C

D分别是圆柱上､下底面圆的直径，且ABCD⊥，若该圆柱的侧面积是其上底面面积的23倍，则AB与平面BCD所成的角为（）A.6B.4C.3D.512【答案】C【解析】【分析】设EF为圆柱下底面内与CD垂直的直径，由对称性和线面角的定义可确定ABH为

所求角，由侧面积和底面面积可得到3BFHF=，由此可求得结果.【详解】如图，设EF为圆柱下底面内与CD垂直的直径，记EFCDH=，连接AH，BH，由对称性可知：AHCD⊥，BHCDAHBHH⊥=，，CD\^平面ABH，设AMBH⊥，垂足为M，则,CDAMCDBHH⊥=，AM⊥平面

BCD，直线AB在平面BCD内的射影为BH，ABH为AB与平面BCD所成的角，2223HFBFHF=，3BFHF=，3ABHBHF==，AB与平面BCD所成的角为3.故选：C.7.已知P为空间中任意一点，ABCD、、、四点满足任意三点均不

共线，但四点共面，且2136PAPBxPCBD=−+，则实数x的值为（）A.13B.13−C.16D.16−【答案】B【解析】【分析】根据向量共面的基本定理当PDxyPBzPAPC=++时1xyz++=即可求解.【详解】()1111362

26362PBxBDPBPAPCPCPCxPDPBPBxPD=−+=−+−=−+，又∵P是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，∴11261x−+=，解得13x=-故选：B【点睛】方法点睛：设P是

平面上任一点，,,ABC是平面上的三点，PCxPAPBy=+（,,PAB不共线），则,,ABC三点共线1xy+=，把此结论类比到空间上就是：,,PAPBPC不共面，若PDxyPBzPAPC=++，则,,,ABCD四点共面1xyz++=．8.有一个三人报数游戏：首先甲报数字1

，然后乙报两个数字2、3，接下来丙报三个数字4、5、6，然后轮到甲报四个数字7、8、9、10，依次循环，则甲报出的第2028个数字为（）A.5986B.5987C.5988D.以上都不对【答案】C【解析】【分析】首先

分析出甲第n次报数的个数，得到甲第n次报完数后总共报数的个数，计算出甲是第0n次报数中会报到第2020个数字，再计算当甲第0n次报数时，3人总的报数次数m，再推算出此时报数的最后一个数mS，再推出甲报出的第2028个数字.【详解】由题可得甲第n*()nN次报数的个数为32n−，则甲第n次报完

数后总共报数的个数为[1(32)](31)22nnnnnT+−−==，再代入正整数n，使2020,nTn的最小值为37，得372035T=，而甲第37次报时，3人总共报数为3631109+=次，当甲第10

9次报完数3人总报数个数为109(1091)12310959952mS+=++++==，即甲报出的第2035个数字为5995，所以甲报出的第2028个数字为5988.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在ABC中，下列结论正确的是A.ABACBC−=B.ABBCABBCC.若()()0ABACABAC+−=,则ABC为等腰三角

形D.若0ACAB,则ABC为锐角三角形【答案】BC【解析】【分析】根据向量的数量积运算法则逐个辨析即可.的【详解】对于A,ABACCB−=,故A中结论错误；对于B,设为向量AB与BC的夹角,因为cosABBCABBC

=,而cos1,故ABBCABBC,故B中结论正确；对于C,()()220ABACABACABAC+−=−=,故ABAC=,所以ABC为等腰三角形,故C中结论正确；对于D,取6AB==,23C=,满足cos0ACABACABA=

,但ABC为钝角三角形,故D中结论错误.故选：BC.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算与性质判定.属于基础题.10.在ABC中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（）A.coscoscosa

bcABC==则ABC为等边三角形；B.已知()()3abcabcab+++−=，则60C=；C.已知7a=，43b=，13c=，则最小内角的度数为30；D.在5a=，60A=，4b=，解三角形有两解．【答案】ABC【解析】【分析

】利用正弦定理、余弦定理一一计算可得；【详解】解：对于A：若coscoscosabcABC==，则sinsinsincoscoscosABCABC==，即tantantanABC==，即ABC==，即ABC是等边三角形，故A正确；对于B

：由()()3abcabcab+++−=，可得222abcab+−=，余弦定理：2221cos22abcCab+−==．0C，3C=，故B正确．对于C：因为7a=，43b=，13c=，所以cba，所以CBA，所以()()2222227

43133cos222743abcCab+−+−===，0C，6C=，故C正确；对于D：因为5a=，60A=，4b=，所以sinsinabAB=，即54sin32B=解得233sin52B=，因为ba，所以BA，所以三角形只有1解；故选：ABC11

.各项均为正数的等比数列{}na的前n项积为nT，若11a，公比1q，则下列命题正确的是（）A.若59TT=，则必有141T=B.若59TT=，则必有7T是nT中最大的项C.若67TT，则必有78TTD.若67TT，则必有56TT【答案】ABC【解析】【分

析】根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解.【详解】由等比数列{}na可知11nnaaq−=，由等比数列{}na的前n项积结合等差数列性质可知：()1211212

111111123nnnnnnnnaaqaqaqaaTaaaqaq−−+++−====LLL对于A，若59TT=，可得51093611aqaq=，即42611aq=，()71491426211141aqqTa===，故A正确；对于B，若59TT=，可得42611aq=，即1

3211aq=，又11a，故1q，又59TT=，可知67891aaaa=，利用等比数列性质知78691aaaa==，可知67891,1,1,1aaaa，故7T是nT中最大的项，故B正确；对于C，若67TT，则61572111aqaq，即611a

q，又10a，则1q，可得76811871TTaaqaq==，故78TT，故C正确；对于D，若67TT，则611aq，56651TaTaq==，无法判断其与“1”的大小关系，故D错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题主要考查

了等比数列的通项公式及等差数列前n项和公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质及等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于较难题.12.如图，点M是棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中的侧面11ADDA上的一个动点（包含边界

），则下列结论正确的是（）A.存在无数个点M满足1CMAD⊥B.当点M在棱1DD上运动时，1||MAMB+的最小值为31+C.在线段1AD上存在点M，使异面直线1BM与CD所成的角是30D.满足1||2MDMD=的点M的轨迹是一段圆弧【答案】AD【解析】分析】根据空间线面关

系，逐个分析判断即可.【详解】对A，若M在1AD上，此时必有1CMAD⊥，证明如下：CD⊥平面11ADDA，所以1CDAD⊥，又11ADAD⊥，所以1AD⊥平面1ADC，所以1ADCM⊥，所以A正确；对

B，如图，旋转面11ADDA使之与面11BBDD共面，连接1AB交1DD于M，此时1||MAMB+最短为1AB，大小为422+，故B错误，对C，当M在1AD和1AD交点处时，【此时直线1BM与CD所成的角即直线1BM与11AB所成角，此时此异面直

线所成最小，其正切值为22，即最小角大于30，故不存在，即C错误，对D，在面11ADDA上建立直角坐标系，设111(,0),(,0)22DD−，设(,)Mxy，由1||2MDMD=整理可得：2251034xyx+−+=，根据解

析式可得M的轨迹是圆的一部分，故D正确，故选：AD.【点睛】本题考查了空间几何体相关的线面关系，考查了线线垂直，异面直线所成角以及动点轨迹和最值问题，要求较高的空间想象能力和转化能力，属于难题.本题的关键有：（1）转化思想的应用，根据两点之间线段最短求距离的最

值；（2）异面直线所成角的平行转化法；（3）建系利用解析几何求动点轨迹.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()233lnfxxx=−的单调递减区间是______.【答案】20,2【解析】【分析】求出导函数()

fx，由()fx0求得减区间．【详解】函数的定义域为()0,+，函数的导数为()23636xfxxxx−=−=，由()0fx，得2630x−，即202x，即函数的单调递减区间为20,2，故答案：20,2.14.若()1cos2tan

1cos2xfxx−=+，则()3f=______.【答案】9【解析】【分析】利用二倍角余弦公式可求得()2tantanfxx=，从而得到()fx，代入3x=即可得到结果.【详解】()2221cos22sint

antan1cos22cosxxfxxxx−===+，()2fxx=，则()39f=.故答案为：9.15.数列na满足15211211,1,9nnnaaaaa++=−==，则100a=_______.【答案】1199.【解析】【分析】首先证得数列111nnaa+−

是常数列，设2111maa−=，由数列1na是以1为首项，m为公差的等差数列，可得()111nmna=+−，结合519a=，即可求出2m=，从而得到数列na的通项公式，进而求出结果.【详解】因为21121nnnaaa++=−，所以2111

111nnnnaaaa+++−=−，所以数列111nnaa+−是常数列，令2111maa−=，则111nnmaa+−=，且111a=，所以数列1na是以1为首项，m为公差的等差数列，则()111nmna=+−，所以()111namn=+−，又

因为519a=，则11914m=+，所以2m=，因此()1112121nann==+−−，所以1001121001199a==−，为故答案为：1199.16.如图，DE是边长为6的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE，当三棱锥A1－CED的体积最大时，四棱锥A1－BC

DE外接球O的表面积为_____；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________.【答案】①.39π②.274【解析】【分析】由题意确定当平面1ADE⊥平面BCDE时，三棱锥1ACED−的体积最大，作出图形，依次确

定1ADE△的外接圆的圆心1O，四边形BCDE的外接圆的圆心2O，再确定四棱锥1ABCDE−的外接球的球心O，求解外接球的半径，即可求出外接球的表面积；以EC为直径的球O的截面圆的面积最小，求出此时截面圆

的面积即可．【详解】解：由题意可知，当平面1ADE⊥平面BCDE时，三棱锥1ACED−的体积最大，如图所示，取DE的中点G，连接1AG，则1ADE△的外接圆的圆心1O位于1AG且靠近点G的三等分点处，设BC的中点为2O，连接2OE，2O

D，则22223OBOCODOE====，所以2O为四边形BCDE的外接圆的圆心，过1O作平面1ADE的垂线，过2O作平面BCDE的垂线，则两垂线交点即为四棱锥1ABCDE−的外接球的球心O，连结2OG，则四边形1

2OOGO为矩形，2132OOOG==，连结OE，在Rt2OOE中，2222222339()324OEOOOE=+=+=，所以四棱锥1ABCDE−外接球O的表面积为2439R=；由题意可知，当OM垂直于截

面时，截面圆最小，即以EC为直径的球O的截面圆的面积最小，所以最小值为2222226327()24444ECECBCBE−−====．故答案为：39；274．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．17.如图，已知三棱柱111

ABCABC-，点O为棱AB的中点．（1）求证：1//BC平面1ACO；（2）若ABC是等边三角形，且12ABAA==，160AAB=，平面11AABB⊥平面ABC，求三棱锥11ABBC−的体积．【答案

】（1）证明见解析；（2）1．【解析】【分析】（1）连接1AC交1AC于M，连接OM，根据三棱柱111ABCABC-的特征，易知M为中点，再由O为AB的中点，得到1//BCOM，然后利用线面平行的判定定理证明；（2）由平

面11AABB⊥平面ABC，得到OC⊥平面11ABBA，然后由111111ABBCCABBVV−−=求解.【详解】（1）如图所示：的连接1AC交1AC于M，连接OM．由三棱柱111ABCABC-知，四边形11ACCA为平行四边形，M为1AC的中

点，又O为AB的中点，1//BCOM，又1BC面1ACO．OM平面1ACO，1//BC面1ACO．（2）平面11AABB⊥平面ABC，OCAB⊥，OC⊥平面11ABBAABC是等边三角形，且2AB=，3OC=，12ABAA==，160AAB=，1111

2ABBBAB===，111322322ABBS==，111111ABBCCABBVV−−=111133133ABBSOC===．18.已知数列na的前n项和为nS，且233nnSa=−(

)*nN．（1）求数列na的通项公式；（2）若3lognnnnbaa=+，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）3nna=()*nN；（2）21132322443nnnTnn+=++−()*nN．【解析】【分析】（1）利用,nnaS的关系可得13nnaa−

=，即可知na为等比数列，写出等比数列通项公式即可.（2）由（1）得3nnnbn=+，利用分组求和，并结合错位相减法及等差、等比前n项和公式求nT.【详解】（1）当1n=时，1112233Saa==−，解得13a=，当2n时，11233nnSa−−=−，则()()112223333nnnnn

SSaaa−−−==−−−，即13nnaa−=，又10a，则0na，∴13nnaa−=（常数），故na是以13a=为首项，以3为公比的等比数列，∴数列na的通项公式为3nna=()*nN．（2）由（1）可

得：3log3nnnnnnbana=+=+，∴()231231233333nnnTn=+++++++++，设231233333nnnP=++++，则2341112333333nnnP+=++++∴2311111113

33333nnnnP+−=++++−11111123331322313nnnnn+++−+=−=−−，∴131233232223443nnnnnP+++=−=−，又21232

nnn+++++=，∴21132322443nnnTnn+=++−()*nN19.已知向量()2cos,1mx=-，()23sin,2cosnxx=，xR，设函数()1fxmn=+.（1）当π0,2x时，求函数()fx的

值域；（2）在ABC中，角A､B､C的对边分别是a､b､c，若()2fA=，23a=，求ABC的周长l的取值范围.【答案】（1）1,2−；（2）(43,63.【解析】【分析】（1）先利用向量数量积的坐标表示

结合二倍角公式辅助角公式化简()fx，再由正弦函数的性质即可求解；（2）根据()2fA=可求得π3A=，再利用余弦定理以及基本不等式、bca+可求得bc+的范围，进而可得ABC的周长l的取值范围.【详解】（1）()

2π23sincos2cos13sin2cos22sin26fxxxxxxx=−+=−=−，因为π02x，所以ππ5π2666x−−，所以π1sin2,162x−−，所以π2sin21,26x−−，所以()1,2f

x−.（2）因为()π622sin2fAA−==，所以()ππ22πZ62Akk−=+所以()ππZ3Akk=+，因为0πA，所以π3A=，由余弦定理得：222cos2bcaAbc+−=，即2212bcbc=+−，所以23()1

2bcbc=+−，所以22()()12334bcbcbc++−=，所以2()48bc+，可得43bc+，又因为bca+，所以4363abc++，所以周长的取值范围为(43,63.20.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，四边形ABCD是一个边

长为2的菱形，60DAB=.侧棱1DD⊥平面ABCD，13DD=.（1）求二面角1BDCD−−的余弦值；（2）设E是1DB的中点，在线段1DC上是否存在一点P使得//AE平面PDB？若存在，请求出11DPDC的值

；若不存在，请说明理由.【答案】（1）34；（2）存在，1123DPDC=.【解析】【分析】（1）设M是AB的中点，易得1DD⊥平面ABCD，DM⊥平面11DDCC，则以DM，DC，1DD方向建立空间直角坐标系，显然平面1DCD的一个法向量是()1,0,

0m=，再求解平面1BDC的一个法向量(),,nxyz=，设二面角1BDCD−−的平面角为，由cosmnmn=求解；（2）法一：连接AC，BD相交于点O，连接EC，设N是EC的中点，再连接ON，由中位线得到//AEON，连接BN并延长交1DC于点P，满足//AE平面PDB

，在1DBC△中，利用平面几何知识求解；法二：利用空间向量法，设11DPDC=，求得平面PBD的一个法向量(),,axyz=，根据//AE平面PDB，由AEa⊥求解.【详解】（1）由题意，ADB是正三角形，设M是AB的中点，则DM

AB⊥，所以DMDC⊥，又1DD⊥平面ABCD，DM⊥平面11DDCC.如图1，以DM，DC，1DD方向建立空间直角坐标系：则()0,0,0D，()10,0,3D，()0,2,0C，()3,1,0B，显然，平面1DCD的一个法向量是()1,0,0m=，设平面1BDC的一个法向量为(),,

nxyz=，则130,330nBCxynBDxyz=−+==−−+=，令3x=，得()3,3,2n=，设二面角1BDCD−−的平面角为，则33cos4394mnmn===++.（2）在线段1DC上存在点P使得

//AE平面PDB，此时1123DPDC=.论证如下：如图2甲连接AC，BD相交于点O，连接EC，设N是EC的中点，再连接ON，又菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，由中位线知：//AEON，连接BN并延长交1DC于点P，连接PD，因为AE平面PDB，ON平面PDB，所

以//AE平面PDB.如图乙，在1DBC△中，作1//EFDC交BP于点F，因为E是1DB的中点，所以由中位线关系得：112EFDP=，①又由1//EFDC可得：EFN与CPN△相似，又N是EC的中点，所以EFPC=，结合①知：12DPPC=，从而可得1123DPD

C=.法二：利用空间向量法，设11DPDC=，即有11DPDC=，因为()10,0,3D，()0,2,0C，所以()0,2,33P−+，又()0,0,0D，()3,1,0B，于是()0,2,33DP=−+，()3,1,0DB=，设平面PBD的一个法向量为(

),,axyz=，则()233030aDPyzaDBxy=+−+==+=，令3x=，得23,3,1a=−−，因为()3,1,0A−，1DB的中点为313,,222E，所以333,,222AE

=−，因为//AE平面PDB，所以AEa⊥，即33323932,,3,3,022212221AEa=−−=−−+=−−，解得23=，即线段1DC上存在点P使得//AE平面PDB，此时1123DPDC=.2

1.已知数列{an}，{bn}满足：an+bn＝1，bn+1＝(1)(1)nnnbaa−+，且a1，b1是函数f（x）＝16x2﹣16x+3的零点（a1＜b1）．（1）求a1，b1，b2；（2）设cn＝11nb−，求证：数列{

cn}是等差数列，并求bn的通项公式；（3）设Sn＝a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，不等式4aSn＜bn恒成立时，求实数a的取值范围．【答案】（1）1113,44ab==，245b=；（2）证明见解析，23nnbn+=+

；（3）（﹣∞，1]．【解析】【分析】（1）由16x2﹣16x+3＝0解得：1213,44xx==，可得a1，b1．由11,(1)(1)nnnnnnbabbaa++==−+，得11(2)2nnnnnbbbbb+==−−，可得b2．（2）由11112nnb

b+−=−−，可得12111111nnnnbbbb+−==−−−−，即cn+1＝cn﹣1，利用等差数列的通项公式可得cn，bn．（3）利用“裂项求和”方法可得Sn，对a分类讨论，通过转化利用单调性即可得出．【详解】（1）由16x2﹣16x+3＝0解得：1213,44xx==，∴1113

,44ab==．由11,(1)(1)nnnnnnbabbaa++==−+，得11(2)2nnnnnbbbbb+==−−，将134b=代入得245b=．（2）∵11112nnbb+−=−−，∴12111111nnnnbbbb+−==−

−−−．即cn+1＝cn﹣1，又111143114cb===−−−．故：数列{cn}是以﹣4为首项，﹣1为公差的等差数列．于是cn＝﹣4+（n﹣1）×（﹣1）＝﹣n﹣3，由11nncb=−得1121133nnnbcnn+=+=−=++．

（3）由题意及（2）知：113nnabn=−=+．11nnaa+＝1(3)(4)nn++＝1134nn−++．∴Sn＝a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＝1111()()4556−+−+…+11()34nn−++＝1144n−+＝4(4)nn+．由22(1)(36)84043(

3)(4)nnannananaSbnnnn+−+−−−=−=++++恒成立，即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0恒成立即可，设f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8①当a＝1时，f（n）＝﹣3n﹣8＜0恒成

立②当a＞1时，由二次函数的性质f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0不可能恒成立．③当a＜1时，由于3631(1)02(1)21aaa−−=−−−−，∴f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8在[1，+∞）上单调递减，由f（1）＝（a﹣1）n2+

（3a﹣6）n﹣8＝4a﹣15＜0得154a，∴a＜1，4aSn＜bn恒成立．综上所述：所求a的取值范围是（﹣∞，1]．22.已知函数()ln1fxxx=−+，(0,)x+，()xgxeax=−.（1）求()fx的最大值；（2）若对1(0,)x+，总存在2[1,2]x使得12()()

fxgx成立，求a的取值范围；（3）证明不等式：12()()()1nnnnennne+++−.【答案】（1）0，（2）2,2e−，（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间，从而可求出函数的最

大值，（2）将问题转化为maxmax()()fxgx，然后通过讨论确定每段区间上函数的单调性和最值，（3）先通过观察凑出所要证明的表达式的形式，再利用等比数列的求和公式求和，最后通过放缩法得到结论详解】（1）由()ln1fxxx=−+，(0,)x+，得'11()

1(0)xfxxxx−=−=，当01x时，'()0fx，当1x时，'()0fx，所以()fx在(0,1)上递增，在(1,)+上递减，【所以当1x=时，()fx取得最大值，即max()(1)0fxf==，（2）对1(0,)x+，总

存在2[1,2]x使得12()()fxgx成立，等价于maxmax()()fxgx，由（1）可知max()0fx=，即问题转化为max()0gx，当0a时，()xgxeax=−在[1,2]上恒为正，满足题意，当0a时，由()xgxeax=

−，得'()xgxea=−，令'()0gx=，得lnxa=，所以当lnxa时，'()0gx，当lnxa时，'()0gx，所以()gx在(,ln)a−上递减，在(ln,)a+上递增，当ln1a，即ae时，()gx在[1,2]上

单调递增，则2max()(2)2gxgea==−，所以220ea−，得22ae，所以ae，当1ln2a，即2eae时，()gx在(1,ln)a上递减，在(ln,2]a上递增，因为(1)0gea=−，所以只要2(2)20gea=−，得22ae，所以22eea

，当ln2a，即2ae时，()gx在[1,2]上单调递减，则max()(1)gxgea==−，所以0ea−，得ae，不合题意，综上，a的取值范围为2,2e−，（3）由（1）得()0fx，即ln1(0)xxx−，取kx

n=，则ln1kkknnnn−−=，所以lnknknn−，即nknken−，所以12()()()nnnnnnn+++12nnnneee−−−+++11111nnnneeeeeeeee−−−

−−==−−−【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，利用导数解决不等式恒成立问题，考查放缩法证明不等式，解题的关键是由（1）的结果可得ln1(0)xxx−，取kxn=，则ln1kkknnnn−−=，从而可得nk

nken−，然后给k取值，结放缩法可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com