【文档说明】北京市大兴区2023-2024学年高二上学期期中检测数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.059 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-07babff9967105883fb01785f661b5a4.html

以下为本文档部分文字说明：

大兴区2023~2024学年度第一学期高二期中检测数学2023.111．本试卷共4页，共两部分，21道小题．满分150分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题用2B铅

笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.斜率为1−的直线的倾斜角为（）A.30B.45C.90D.135【答案

】D【解析】【分析】由斜率与倾斜角的关系可得.【详解】设直线的倾斜角为，则tan1k==−，且)0,π，则3π4=，即直线的倾斜角为135.故选：D.2.已知两个向量(112)(2)abmn=−=,,，,,，且//ab，则+=mn（）A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】【分析】

运用向量的共线定理求解.【详解】解：因为//ab，所以ba=，R，故(2)(112)mn=−,,,,，即22mn==−=，解得24mn=−=，2mn+=.故选：A.3.某人打靶时连续射击两次，下

列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都没中靶【答案】D【解析】【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.【详解】对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条

件；对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”包含关系，C选项不满足条件；对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.故选

：D.4.点(0,1)P到直线10xy−−=的距离等于（）A.22B.1C.2D.2【答案】C【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】点(0,1)P到直线10xy−−=的距离等于()22011211−−=+−.故选：C5.圆22(2)1xy++=关于

点(1,0)中心对称的圆的方程为（）是A.22(2)2xy++=B.22(2)(2)1xy−+−=C.22(2)(2)1xy+++=D.22(1)(1)2xy−+−=【答案】B【解析】【分析】两圆关于(1,0)中心对称，根据圆

心关于(1,0)对称与半径相等求解即可.【详解】圆22(2)1xy++=，圆心(0,2)−，半径为1，设(0,2)−关于(1,0)对称的对称点为(,)Cxy，则0220xy+=−=，解得22xy==，则(2,2)C，故所求圆的方程为22(2)(2)1xy−+−=.故选

：B.6.“1a=−”是“直线1:10lxay−+=和直线2:(2)10()+++=laxayaR垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两直线互相垂直求出a的值，从而结合充分条件与必要条件的概念判断结论.【详解

】当直线1:10lxay−+=和直线2:(2)10()+++=laxayaR垂直时，有()()120aaa+−+=，即20aa+=，解得1a=−或0a=，所以“1a=−”是“直线1:10lxay−+=和直线2:(2)10()+++=laxayaR垂直”的充分而不必要条件

，故选：A.7.已知两点(2,0)M−，(0,2)N，则以线段MN为直径的圆的方程为（）A.22220xyxy+−+=B.222260++−−=xyxyC.22440xyxy++−=D.22220xyxy++−=【答案】D【解析】【分析】求出圆心和半径，从而得出圆的方程.【详解】解

：因为()2,0M−，()0,2N的中点为()1,1M−，222222MN=+=，即22MN=，所以以线段MN为直径的圆的方程为()()22112xy++−=，化简得22220xyxy++−=.故选：D.8.在空间直角坐标系中，已知(1,00)(010)(001)A

BC,,,,,,,，若点(,11)Px,在平面ABC内，则x=（）A.1−B.0C.2D.1【答案】A【解析】【分析】利用向量共面定理求解.【详解】已知(1,00)(010)(001),(,11)ABCPx,,,,,,,,，则(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)APxAB

AC=−=−=−，若点P在平面ABC内，则APmABnAC=+，即(1,1,1)(1,1,0)(1,0,1)xmn−=−+−，则111xmnmn−=−−==，解得=1x−，故选：A.9.如图，已知正方体1111ABCDABCD−中，F为线段1BC的中点，E为线段11AC上的动点，

则下列四个结论正确的是（）A.存在点E，使EF∥BDB.三棱锥1BACE−的体积随动点E变化而变化C.直线EF与1AD所成的角不可能等于60D.存在点E，使EF⊥平面11ABCD【答案】D【解析】【分

析】建立空间直角坐标系，利用空间向量来表达出EF，BD，1AD，从而判断AC选项；求出平面11ABCD的法向量()0,1,1n=−r，判断EF与()0,1,1n=−r的关系，判断D选项；B选项可以判断出11AC∥平面1ACB，从而得到E到平面1ACB的距离

不变，所以1EACBV−为定值，不随E的变动而变动，故三棱锥1BACE−的体积不随动点E变化而变化，B选项错误.【详解】以点D为原点，DA，DC，1DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则()1,2,1F，()

0,0,0D，()2,2,0B，()2,0,0A，()10,0,2D，()12,2,2B，因为E为线段11AC上运动，设(),2,2Emm−（02m），则()1,,1EFmm=−−，()2,2,0BD=−−，若EF∥BD，则EFtBD=（0t），则有10t−=，显然无解，故A错误；因为

11AC∥AC，AC平面1ACB，11AC平面1ACB，故11AC∥平面1ACB，因为E为线段11AC上运动，故E到平面1ACB的距离不变，所以1EACBV−为定值，不随E的变动而变动，故三棱锥1BACE−的体积不随动点E变化而变化，B错误；()12,0,2AD=−，设直

线EF与1AD所成角为，则()()12222,0,21,,1coscos,822221mmmADEFmmmm−−−−===−+−+，令1cos2=，解得：1m=，故当E为11AC中点时，此时直线EF

与1AD所成的角为60°，故C错误；设平面11ABCD的法向量为(),,nxyz=，则10220nDAxnAByz===+=，令1y=得：1z=−，故()0,1,1n=−r，因为当1m=

时，()()1,,10,1,1mm−−=−即EFn=，故EF⊥平面11ABCD，故D正确.故选：D10.如图，已知两点(4,0),(0,4)AB，从点(2,0)P射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反

射后射到P点，则光线所经过的路程||||||++PMMNNP等于（）A.33B.210C.6D.2510+【答案】B【解析】【分析】求出P关于直线AB的对称点1P和它关于y轴对称点2P，则12||PP就是所求的路程长.【详解】易知直线AB的方程为

4yx=−+，设点()2,0P关于直线AB的对称点1(,)Pab，则12ba=−且2422ba+=−+，解得4,2ab==，即1(4,2)P，又点()2,0P关于y轴的对称点2(2,0)P−，由光的反射规律可知，1,,MNP共线，2,,MNP共线，从而12,,,MNPP共线，所

以光线所经过的路程长为122212(42)2210PMMNNPPMMNNPPP++=++==++=.故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.直线210xy+

−=的一个方向向量为______.【答案】(1,2)−（答案不唯一）【解析】【分析】首先得到其法向量为()2,1，则可直接写出其一个方向向量.【详解】直线210xy+−=的法向量为()2,1，则其一个方向向量

为(1,2)−.故答案为：(1,2)−（答案不唯一）.12.在空间直角坐标系Oxyz−中，已知()1,1,1OA=−，(2,0,1)OB=−，ACCB=，则OC的坐标为______.【答案】31,,022−【解析】【分析】利用空间向量线性坐标

运算求解即可.【详解】因为ACCB=，所以OCOAOBOC−=−，所以()12OCOAOB=+，又()1,1,1OA=−，(2,0,1)OB=−，所以()13112,10,11,,0222OC=+−+−=−.故答案为：31,,022−1

3.已知等腰三角形ABC的顶点为(42)，A，底边的一个端点为(53)，B，则底边的另一个端点C的轨迹方程为_________．【答案】2284180(20xyxyxy+−−+=−−或除去点(31)(53))，，，【解析】【分析】根据题意，设另一个端

点C的坐标为(),xy，由ABAC=，列出方程，化简即可得到结果.【详解】设底边的另一个端点C的坐标为(),xy，则()()()()2222424523xy−+−=−+−，化简可得2284180xyxy+−−+=，因为,,ABC三点构成三角形，所以三点不共线且,B

C不重合，当,,ABC三点共线时，32154ABk−==−，由直线的点斜式可得()214yx−=−，化简可得20xy−−=，所以点C的轨迹方程为2284180(20xyxyxy+−−+=−−或除去点(31)(53))，，，.故答案为：2284180(20xyxyxy+−−+=−−或除去点

(31)(53))，，，.14.甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为13，且第一次由甲

开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是_________；第3次由甲射击的概率是_________．【答案】①.29②.59【解析】【分析】第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况，从而得出结果；第二空：第3次由甲射击有两种情况，分类

讨论得出结果.【详解】第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况：第1次甲击中，第2次甲未击中，故概率是122339=；第二空：第3次由甲射击有两种情况是：第1次甲击中，第2次甲还击中；第1次甲未击中，第2次乙也未击中，故概率是1125333239+=.

故答案为：29；59.15.在平面直角坐标系中，定义()11,Pxy、()22,Qxy两点间的直角距离为()1212,dPQxxyy=−+−，如图，BC是圆()22:11Axy−+=当32x时的一段弧，D是BC与x轴的交点，将BC依次以原点O为中心逆时针旋转

60五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则(),dCD=_______．若点P为曲线上任一点，则(),dOP的最大值为________．【答案】①.132+②.13222++【解析】【分析】求出C、D的坐标，利用题中定义可求得(),dCD的值；设点P为第一象限内的点，设出点P的坐标，

利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得(),dOP的最大值.【详解】由图可知，点C位于第一象限，在圆A的方程中，令32x=，可得32y=，则点33,22C.如图可得，点()2

,0D，所以()3313,20222dCD+=−+−=；根据对称性，只需讨论点P在第一象限的情况：当点P在CD上时，设PAD=，则0,3，则()1cos,sinP+，所以(),1cossin1cossin12sin4dOP=++=++=+

+，03，则74412+，当42+=时，()max,12dOP=+；当点P不在CD上时，所在圆的圆心为13,22E，易知直线CEy⊥轴，设PEC=，20,3，同理可得13cos,sin22P++

，则1cos,12−，sin0,1，()131313,cossincossin2sin222224dOP+=+++=+++=++，203，则114412+，当

42+=时，()max1322,2dOP++=.因为1322122+++，所以，(),dOP的最大值为13222++.故答案为：13222++.【点睛】关键点点睛：本题考查距离的新定义，解题的关键在于对点P的位置进行分类讨论，利用三

角形式设出点P的坐标，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性来求解.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知ABC中，点(1,0)A−，点(20)B,，点(0,3)C．（1）求边AC上的

高所在直线的方程；（2）求BAC角平分线所在直线的方程．【答案】（1）3(2)3yx=−−（2）3(1)3yx=+【解析】【分析】（1）利用直线的垂直关系求出边AC上的高所在直线的斜率，进而得出答案；（2）由3ACk=得60

BAC=，所以BAC角平分线AE的倾斜角为30，求出AE的斜率，进而可得出答案．【小问1详解】因为点𝐴(−1,0)，点(0,3)C，所以边AC所在直线斜率3ACk=，所以边AC上的高所在直线BD的斜率33k=−，且过点(2,0)

B．所以边AC上的高所在直线的方程为3(2)3yx=−−．小问2详解】【由3ACk=得60BAC=，所以BAC角平分线的倾斜角为30，所以BAC角平分线所在直线AE的斜率1303tan3k==．又因为BAC角平分线A

E过点(1,0)A−，所以BAC角平分线所在直线的方程为3(1)3yx=+．17.有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用()，xy表示试的样本点，其中x表示第一次取出球的数字，y表示第二次取出球的数字．设事件A=“第一次取出的球的数字是1”，事件B=“两

次取出的球的数字之和是4”．（1）写出这个试验样本空间；（2）分别求出()()(),,PAPBPAB的值；（3）判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由．【答案】17.答案见解析18.1()3PA=，1(

)3PB=，1()9PAB=19.事件A和事件B相互独立，理由见解析【解析】【分析】（1）逐一列举出样本空间；（2）根据古典概型的公式求解结果；（3）根据独立性公式判断.小问1详解】依题意试验的样本空间为：()()()()(

)()()()(){1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3}=；【小问2详解】因为()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,3,2,2,3,1A==，所以()()()()()()3131,.Ω93Ω

93nAnBPAPBnn======的【因为(){1,3}AB=，所以()1()()9nABPABn==；【小问3详解】因为111()()()339===PAPBPAB，所以事件A和事件B相互独立．18.在长方体

1111ABCDABCD−中，,ABBCCC===121，E是DC的中点．以D为原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出1DB在平面11ADDA上的投影向量的坐标；（2）求点

1B到平面1AED的距离；（3）求直线1DB与平面1AED所成角的正弦值．【答案】（1）(101),,（2）3（3）223【解析】【分析】（1）依题意11AB⊥平面11ADDA，所以1DB在平面11ADDA上的投影向量为1DA；（2）

求出平面1AED的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解；（3）利用直线与平面所成角的向量公式求解.【小问1详解】依题意：(0,0,0)D，1(1,2,1)B，1(1,0,1)A，所以1(1,2,1)DB=，因为在长方体1111ABCDABCD−中

，11AB⊥平面11ADDA，所以1DB在平面11ADDA上的投影向量为1DA，坐标为(1,0,1)．【小问2详解】由题意知，1(0,0,1)D，(1,0,0)A，(0,1,0)E，所以(1,1,0)AE=−，1(1,0,1)AD=−．设平面1AED的法向量

为(,,)nxyz=，则100nAEnAD==，所以00xyxz−+=−+=，所以yxzx==.令1x=，则1,1yz==，所以(1,1,1)n=是平面1AED的一个法向量．因为1(0,2,1)AB=，所以1B到平面1AED的距离为1||||ABn

n|012111|3++=3=．【小问3详解】设直线1DB与平面1AED所成角为，则1sincos,DBn=11DBnDBn=11121136++=223=．即直线1DB与平面1AED所成角的正弦值是223．19.已知圆C经

过点()0,2A和点()1,3B，且圆心C在直线10xy−−=上．（1）求圆C的方程；（2）若线段DE的端点D的坐标是()4,3，端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．【答案】（1）2242

0+−−=xyxy（2）225(3)(2)4xy−+−=【解析】【分析】（1）设圆的方程为一般式，然后根据题意进行求解；（2）设出M点坐标，根据题意求解出E点坐标，代入圆C后解得点M的轨迹方程.【小问1详解】解：设圆C的方程为22220(40)++++=+−xyDxEyFDEF，故圆心为,2

2DE−−，由题意得42019301022EFDEFDE++=++++=−−−−=，解得420DEF=−=−=，所以圆C的方程为22420+−−=xyxy；小问2详解】设点M的坐标是(),xy，点E的坐标是

()00,xy．因为点D的坐标是()4,3，且M是线段DE的中点，所以004322xyxy++==，．故002423xxyy=−=−，．①因为点E在圆C上运动，所以点E的坐标满足圆C的方程，即220000420xyxy+−−=．②把①代入②，得22(24)(23)4(24)2(

23)0xyxy−+−−−−−=，整理，得225(3)(2)4xy−+−=．20.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥平面ABC，12AAACBC===，90ACB=，DE,分别是111ABCC,的中点．（1）求证

：11CDAB⊥；（2）求证：1CD平面1ABE；【（3）在棱1CC上是否存在一点P，使得平面PAB与平面1ABE的夹角为60？若存在，求1CPCC的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，1306CPCC=【解析

】【分析】（1）建立空间坐标系，证110CDAB=即可；（2）求出平面1ABE的法向量n，证10CDn=即可；（3）设点P满足，1(01)CPCC=，求出平面PAB的法向量m，平面1ABE的法向量n，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】因为在三棱柱111ABCABC-中

，1AA⊥平面ABC，所以1AA⊥平面ABC．又90ACB=，所以11CCACCCCBACCB⊥⊥⊥,,．故1,,ACCBCC两两垂直．以C为原点，1,,ACCBCC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则1(0,0,2)C，(1,1,2)D，1(2,0,2)A，(0,2,0)B，(0,0,1)E，(2,0,0)A，(0,0,0)C，所以11(1,1,0),(2,2,2)CDAB==−−．因为111(2)120(2)0CDAB=−++−=，所以11CDAB

⊥，即11CDAB⊥．【小问2详解】设平面1ABE的法向量为,,nxyz=（），则110,0.nABnAE==因为11(2,2,2)(2,0,1)ABAE=−−=−−，，所以2220,20,xyzxz−+−=−−=取1x=，则12yz=−=−，．所以(

1,1,2)n=−−是平面1ABE的一个法向量．因为1111(1)0(2)0CDn=+−+−=，所以1CDn⊥．又因为1CD平面1ABE，所以1CD平面1ABE．【小问3详解】设点P满足，1(01)CPCC=，则1(2,0,2)APACCPACC

C=+=+=−．设平面PAB的一个法向量为000(,,)mxyz=，则0,0.mABmAP==因为(2,2,0),(2,0,2)ABAP=−=−所以0000220,220,xyxz−+=−+=取01z=,则00,xy==．所以(,,1)m

=是平面PAB的一个法向量．由（1）得，(1,1,2)n=−−是平面1ABE的一个法向量，则平面PAB与平面1ABE的夹角就是m与n的夹角或其补角．若平面PAB与平面1ABE的夹角为60，则221cos60cos2216mnmnmn

====+，，解得30[01]6=，.所以，在棱1CC上存在点P，使得平面PAB与平面1ABE的夹角为60，此时1306CPCC=．21.已知直线12ll，的方程分别是12:0:340lxlxy=−=，，点A的坐标为3(1)()4

aa，．过点A的直线l的斜率为k，且与12ll，分别交于点MN，(MN，的纵坐标均为正数).（1）若1k=−，且A为线段MN中点，求实数a的值及AON的面积；（2）是否存在实数a，使得11OMON+的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．

【答案】（1）52a=，面积为74（2）存在；2a=【解析】【分析】（1）由直线l的方程为(1)ykxa=−+，联立方程组分别求得点,MN的坐标，结合题意，列出不等式组，求得34k，进而求得a的值，结合三角形的面积公式，即可求解；（2

）假设存在满足题意的a，使得11OMON+的值与k无关，由（1）求得,OMON，得到114(2)5()kOMONak−+=−，进而得到结论.【小问1详解】解：因为直线l过点(1)Aa，，且斜率为k，所以直线l的

方程为(1)ykxa=−+，因为直线l与12ll，分别交于点MN，，所以34k，由0(1)xykxa==−+，解得0xyak==−，即(0)Mak−，，由340(1)xyykxa−==−+，解得44433343kaxkkayk−=−−=−，

即4433()4343kakaNkk−−−−，，又因为MN，的纵坐标均为正数，所以033043akkak−−−，即0430akk−−，因为34a，所以34k若1k=−时，(01

)Ma+，，4433()77aaN++，，又因为点A为线段MN中点，所以442733127aaaa+=+++=解得52a=，所以7(0)2M，，3(2)2N，，所以，AON的面积117722224S==．【小问2详解】解：假设存在满足题

意的a，使得11OMON+的值与k无关，由（1）知：(0)Mak−，，4433()4343kakaNkk−−−−，且0430akk−−因此OMak=−，5534akONk−=−，所以111344(2)555()kkOMONakakak−−+=+=

−−−因为20k−，所以当2a=时，11OMON+为定值45，所以存在实数2a=，使得11OMON+的值与k无关．