【文档说明】上海市松江二中2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.011 MB，由小赞的店铺上传

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松江二中高一期末数学试卷2022.06一､填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每題5分，满分54分）.1.已知扇形的圆心角为135，扇形的弧长为3，则该扇形所在圆的半径为___________.【答案】4【解析】【分析】利用弧长公式直接求得.【详解】扇形的圆心角为135，为

34，设半径为r，由弧长公式可得：334r=，解得：4r=.故答案为：42.若2162020CCxx−+=，则正整数x的值是___________.【答案】5或7【解析】【分析】根据组合数的性质可得216xx−=+或21620xx+=+−，进而可求出结果.【

详解】因为2162020CCxx−+=，所以216xx−=+或21620xx+=+−，解得7或5，故答案为：7或5.3.设m为实数，复数121i,3izzm=+=+（其中i为虚数单位），若12zz为纯虚数，则m的值为___________.【答案】3−【解析】【

分析】求出23izm=−，代入化简12zz，由纯虚数的定义即可得出答案.【详解】因为复数121i,3izzm=+=+（其中i为虚数单位），23izm=−而()()()121i3i=33izzmmm=+−++−为纯虚数,则30m+=,解得:3m=−.故答案为：3−4.已知5sin

,,52xx=，则tan4x+=___________.【答案】13【解析】【分析】根据同角三角函数的关系可得tanx，进而求得tan4x+即可【详解】因为5sin,,52xx=，故225cos1sin5xx=−−=−，sin1ta

ncos2xxx==−.故11tan112tan141tan312xxx−+++===−+故答案为：135.已知无穷等比数列na的首项13a=，其前n项和nS满足lim9nnS→，则公比q的取值范围为___________.【答案】2(1,0)0,3−

【解析】【分析】根据无穷等比数列前n项和的极限可知0q且||1q，可得191aq−，结合已知求q即可.【详解】无穷等比数列na的前n项和为nS，首项为13a=，公比q，且lim9nnS→，∴0q且||1q，13911aqq=−−，则130

1q−−,则()311320111qqqqq−−−=−−−()()1320qq−−，解得：1q或23q又因为0q且||1q，所以公比q的取值范围为：2(1,0)0,3−故答案为：2(1,0)0,3−6.记等差数列na的前n项和为nS，若

3672,214aaa=+=，则10S=___________.【答案】40【解析】【分析】设等差数列na的公差为d，利用基本量代换列方程组求出首项和公差，即可求出10S.【详解】设等差数列na的公差为d，由题意可得：()1112225614adadad+=+++

=，解得：12545ad==，所以101109210941010402525Sad=+=+=.故答案为：40.7.近期，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”､“管控区”和“防范区”三类区域.现安排6位专家到这三

类区域进行一天的疫情指导工作，其中“封控区”3人，“管控区”2人，“防范区”1人，专家甲不安排在“封控区”，则不同的安排方案一共有种___________.（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】分专家甲安排

在“防范区”和“管控区”两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；【详解】解：若专家甲安排在“防范区”，则有25C10=种方案，若专家甲安排在“管控区”，则有3252CA20=种方案，综上可得一共有102030+=种方案；故答案：3

08.已知方程()220xxmm−+=R的两个虚根12xx､满足124xx−=，则m的值是___________.【答案】5【解析】【分析】由题意设1ixab=+，2i(,)xababR=−，利用根与系数的关系结合124xx−=，求得a与b的值

，则m可求．【详解】方程程()220xxmm−+=R的两个虚根为1x、2x，可设1ixab=+，2i(,)xababR=−．1222xxa+==，2212xxabm=+=，因为124xx−=，|2i|24bb==，为联立解得：2b=，1a

=．5m=．故答案为：5．9.如果复数z满足2i1z−=（其中i为虚数单位），那么1z+的最大值是___________.【答案】51+##15+【解析】【分析】设izxy=+，由2i1z−=可得()2221xy+−=，则()2211zxy+=++表示的是圆()2221xy+−=上的点到点(

)1,0−的距离，在跟圆上的点到定点的距离的最值问题即可得解.详解】解：设izxy=+，则()222i21zxy−=+−=，所以()2221xy+−=，所以复数z对应的点在以()0,2为圆心，1为半径的圆上，因为()2211zxy+=++表示的是圆()2221xy+−=上的点到点()1,0−的

距离，所以()()22max11002151z+=−−+−+=+.故答案为：51+.10.数列na满足2(1)21nnnaan++−=+，若1314100aa+=，则12aa+的值为___________.【答案】10【解析】【分析】当n为奇数时，221nnaan+−

=+，将1,3,5,7,9,11n=代入累加，可得13178aa−=；当n为偶数时，221nnaan++=+，将2,4,6,8,10,12n=代入运算，可得14212aa−=；结合已知条件列方程，可得答案．【详解】当n为奇数时，221nnaan+−=+，【即3153759711913

113711151923aaaaaaaaaaaa−=−=−=−=−=−=，累加可得：13178aa−=；当n为偶数时，221nnaan++=+，即()()()()()()426486108121014125192133174

215256aaaaaaaaaaaa+=+=+=+=+=+=，()()()()()()654321−+−+−得：14212aa−=；又1314100aa+=，即211007812aa+++=，解得1210aa+=，故答案为：

1011.已知向量abc､､满足()11,,,02ababcxaybxyy===−=+R､，则下列四个命题中，所有正确命题的序号是___________.①若1x=，则c的最小值为32；②若1x=，

则存在唯一的y，使得0ac=；③若1c=，则xy+的最小值为1−；④若1c=，则acbc+的最小值为12−.【答案】①②③④【解析】【分析】(1)将向量平方转化为求二次函数的最值问题；(2)将已知代入，由数量积为零计算出结果，只

有一个值；(3)由已知得出221+−=xyxy，配方、三角换元求出值域；(4)先将已知条件化简，利用第(3)小题结论求出范围.【详解】(1)若1x=，cayb=+，2222221cayabybyy=++=−+22133244cy=−+，当12y=时取得最小值，所

以①正确；(2)若1x=，cayb=+，()1102acaayby=+=−=，解得2y=，故②正确；(3)cxayb=+，若1c=，0y≥，222222221cxaxyabybxyxy=++=+−=223124yxy−+=，令cos20,3sin2yxy

−==，3sincos2sin0,6xy+=+=+，12xy−+，所以③正确；(4)()()1()2acbcaxaybbxaybxy+=+++=+，若1c=，0y≥时，

由(3)知④正确.故答案为：①②③④12.已知nS为数列na的前n项和，且221111,220nnnaaaSS++=++=，则1a的值为___________.【答案】0【解析】【分析】根据na，nS关系化简计算得10nnaa++=或120n

naa+−+=，分情况讨论得解.【详解】211220nnnaSS++++=，()212202nnnaSSn−++=，两式作差，得2211122220nnnnnnaaSSSS+−+−−−++=，即()()111220nnnnnnaaaaaa+++++−=+,所以()()1120n

nnnaaaa+++−+=，所以10nnaa++=或120nnaa+−+=，当120nnaa+−+=()2n时，na从第二项起为等差数列，公差为2−，与已知211aa=相矛盾，当10nnaa++=()2n时，357911aaaaa====，又211aa=，所以23aa=，而230aa+

=，所以0na=()2n，由题知211220nnnaSS++++=，令1n=，得2122220aSS++=，即()12212220aaaa+++=，所以22124aaa=−−，得10a=故答案为：0.二､选择题（共有4题，满分20分，每题5分）.13.设()()*111

12fnnnnnn=++++++N，那么()()1fnfn+−等于（）A.11211nn−++B.11221nn−++C.112122nn+++D.112122nn−++【答案】D【解析】【分析】首先根据递推关系式求出()1fn+，再作差即可；【

详解】解：因为()()*11112fnnnnnn=++++++N，所以()111111232122fnnnnnnn+=++++++++++，1111111(1)()2212212fnfnnnnnnnnnn+−=++++−+++

+++++++11121221nnn=+−+++112122nn=−++故选：D14.设12zzzC､､，则下列命题中的真命题为（）A.若12zz，则12zzzz++B.若0zz+=，则z为纯虚数C.若120zz=，则10z=或20z=D.若12zzz=，则12

argargargzzz=+【答案】C【解析】【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取0z=可判断B，根据复数模性质判断C，取特例可判断D.的【详解】当z为实数时，12zzzz++成立，否则不成立，故A错误；当0z=时，满足0zz+=，

但z不为纯虚数，故B错误；当120zz=时，2211||0||||zzzz==，故1||0z=或2||0z=，所以10z=或20z=，故C正确；当120,izz==时，120zzz==，π002+，即12argargargzzz+，故D错误.故选：C15.已知平面

上三点坐标为()2,1A−、()0,2B、()1,0C，小明在点B处休息，一只小狗沿AC所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（）A.311,88−B.519,1212−C.13,22−D.37,

55−【答案】C【解析】【分析】设小狗的位置为点P，当BPAC⊥时，小狗距离小明最近，求出直线AC、BP的方程，联立可求得结果.【详解】因为1121ACk−==−−，所以，直线AC的方程为()1y

x=−−，即1yx=−+，设小狗的位置为点P，当BPAC⊥时，小狗距离小明最近，此时直线BP的方程为2yx=+，联立21yxyx=+=−+，解得1232xy=−=，因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为13,22−.故选：C.16.已知函数()1tan2fxx=

−，各项均不相等的数列na满足()*4iaiN，()nnbfa=，数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，给出下列两个命题：①若12022nna=−，则20222022T

；②存在等差数列na，使得2022202220220TS−成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（）A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误【答案】A【解析】【分析】①先写出

11tan22022nnb=−−，列举出第一、第二项的和，第三、四项的和及第2021、2022项的和，从而得到20222022T成立；②由题得()20221220222022tan2tan2tan2Taaa−=−+++，由等差数列的性质得1202222021101

11012aaaaaa+=+==+，分20220S和20220S结合正切函数的单调性及奇偶性求得2022202220220TS−，所以不存在这样的等差数列.【详解】对于①，()1tan2nnnbfaa==−，当12022nna=−时

，11tan22022nnb=−−，121tan2022b=+，2221tan2022b=−，3321tan2022b=+，4421tan2022b=−，()55221tan,,11tan

20222022nnnbb=+=−−，又4na，222na−，tanyx=在,22x−单调递增，则122222tantan220222022bb+=+−，3434222tantan220222022bb+=

+−，L，2021202220212022222tantan220222022bb+=+−，20221220222022Tbbb=+++；所以①正确.对于②，()1tan2nnnbfaa==−，则()20221220221220221t

an21tan21tan22022tan2tan2tan2Taaaaaa=−+−++−=−+++，则()20221220222022tan2tan2tan2Taaa−=−+++，又4na，222na−，222na−−，tan

yx=在,22x−单调递增，且为奇函数，若na是等差数列，则120222202110111012aaaaaa+=+==+，显然202212202120220Saaaa=++++，当202212202120220Saaaa=+++

+时，可得1202222021101110120aaaaaa+=+==+，可得12022aa−，则120222222aa−−，则()120222022tan2tan2tan2aaa−=

−，即12022tan2tan20aa+，同理可得2202110111012tan2tan20,,tan2tan20aaaa++，则()20221220222022tan2tan2tan20Ta

aa−=−+++，则2022202220220TS−；当202212202120220Saaaa=++++时，可得1202222021101110120aaaaaa+=+==+，可得12022aa−，则120222222aa−−，则()12022202

2tan2tan2tan2aaa−=−，即12022tan2tan20aa+，同理可得2202110111012tan2tan20,,tan2tan20aaaa++，则()20221220222022tan2tan2tan20Taaa−=−+++，则202220222

0220TS−，综上可得2022202220220TS−，即不存在等差数列na，使得2022202220220TS−成立，②错误；故选：A.【点睛】本题考查数列和函数的综合应用，难度较大，命题①借助分组求和法

，相邻两项为一组，即可求解；命题②借助等差数列的性质结合正切函数的奇偶性及单调性即可求解.三､解答题（共5题，满分76分）.17.已知复数1234i,12i,izz=−=+为虚数单位.（1）若复数12zaz−在复平面上对应的

点在第四象限，求实数a的取值范围；（2）若12izzz+=，求复数z的共轭复数.【答案】（1）()2,3−（2）17i2525z=−−【解析】【分析】（1）计算12zaz−，然后根据第一象限点的特征列出关于a的不等式组

，解出答案即可（2）计算出z，然后根据共轭复数的定义写出答案即可【小问1详解】由题意，复数1234i,12i,zz=−=+()()()1234i12i342izazaaa−=−−+=−+−−，∵复数12zaz−在复平面上对应的点在第四象限，∴30420aa−−−解得23a−，∴实数

a的取值范围()2,3−．【小问2详解】因为12izzz+=，所以21izzz−=，所以()()()()2134i1ii1i17i17i34i34i34i252525zzz++−+−+=====−+−−+，所以17i2525z=−−．18.如

图，在平行四边形ABCD中，2,3,,3ABADBADAFFD====，()01,DEDCAE=交BF于点N.（1）若1,2ANAE==，求的值；（2）求BEFE的取值范围.【答案】（1）25（

2）153,2【解析】【分析】（1）由平面向量基本定理化简计算可得；（2）以A为原点建立坐标系，表示出BEFE21432=++，根据单调性求取值范围.【小问1详解】因为()tANAFFNAFFtBAFABAF+=+=+=−2

AFABAAttDBtt=+=+1-（1-）又12ANAEADAB=+=所以1212tt−==，解得2515t==.【小问2详解】以A为原点建立如图坐标系，()()()()30,01,33,0,04,32ABDFC

、、、、，因为()13,3,01,322BEBFFDDE=++=−++()233=+−,，因为()333,0,01,33222FEFDDEDC=+=+=+=+,，BEFE()233=+−,3,32

+()()23123334322=+++−=++令21432y=++，则对称轴为116=−，01，所以21432y=++在[]0,1单调递增，所以当0

=时，3y=，1=时，152y=，BEFE的取值范围为153,2.19.在一次招聘会上，甲、乙两家公司分别给出了它们的工资标准.甲公司允诺：第一年的年薪为10.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8000元；乙公司的工资

标准如下：①第一年的年薪为8万元；②从第二年起，每年的年薪除比上一年增加10%外，还另外发放a（a为大于0的常数）万元的交通补贴作为当年年薪的一部分.设甲、乙两家公司第n年的年薪依次为na万元和nb万元.（1）证明数列10nba+为等比数列，并求nb的通项公式；（2）小李年初

被这两家公司同时意向录取，他打算选择一家公司连续工作至少10年.若仅从前10年工资收入总量较多作为选择的标准（不记其它因素），为了吸引小李的加盟，乙公司从第二年起，每年应至少发放多少元的交通补贴？（结果精确到元）【答案】（1）证明见解析，()18101.11

0nnbaa−=+−（2）至少2779元【解析】【分析】（1）由题意可得出11.1nnbba+=+，利用等比数列的定义可证明出数列10nba+为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列nb的通项公式；（2）设数列na、nb的前n项和分别为nS、nT（单位：万

元），计算出10S、10T，由1010TS，解出a的范围，即可得解.【小问1详解】解：由题意可得11.1nnbba+=+，且18b=，则()1101.1111.110nnnbababa++=+=+，所以，数列10nba

+为等比数列，且首项为110108baa+=+，公比为1.1，所以，()1101081.1nnbaa−+=+，故()11081.110nnbaa−=+−.【小问2详解】解：设数列na、nb的前n项和分别为nS、nT（单位：万元），则数列na是首项为10.8，公差为0.8的等差

数列，所以，101090.810.8101442S=+=，()()()()1010101010811.11001001.12801.1114411.1aTaa+−=−=−+−−，可得()()1010144801.110.27791001.12a−−−.所以，每年应至少发

放2779元的交通补贴.20.已知函数()()2sin(0,0)fxx=+的部分图像如图所示.（1）求函数()fx的解析式，并求()fx的单调递增区间；（2）设ABC的三内角ABC､､的正弦值依次成等比数列，求(

)fB的值域；（3）将()fx图像上所有点先向右平移12个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到()gx的图像，记()()3hxgxgxm=+−，是否同时存在实数m和正整数n，使得函数()hx在0,n上恰有2022

个零点？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()52sin2,,Z31212fxxkkk=+−+，（2）0,2（3）存在，1m=−或3时，2022n=；()()1,22,3

m−时，1011n=【解析】【分析】（1）利用周期求出，利用特殊点,03求出，得到()2sin32fxx=+，利用复合函数单调性法则列不等式求出函数的单增区间；（2）先利用正、余弦定理求出0,3B，即可求出()fB的值域；（3）利用他图像变

换得到()2sin6gxx=+，进而得到()hx2sin216xm=++−.若()0hx=，得到1sin262mx−+=.令()=sin26txx+，12my−=.利用图像法求出m、n的范围.【小问1详解

】由图像可得：3134123T=−，解得：T=，所以2=，解得：2=.所以()()2sin2fxx=+.又由图像可得：23k+=+，又因为0，所以3=，所以()2sin32fxx=+.要求函数的单增区间，只需22,2,Z322xkkk

+−++，解得：5,,Z1212xkkk−++，即()fx的单调递增区间为5,,Z1212kkk−++.【小问2详解】因为ABC的三内角ABC､､的正

弦值依次成等比数列，所以2sinsinsinACB=,由正弦定理得：2acb=.由余弦定理得：2222221cos2222acbacacacacBacacac+−+−−===.因为()0,B,所以0,3

B.所以2,33B+.因为2sinyt=在,32上单调递增函数，在,2上单调递减，所以()fB的最大值为2，最小值为0，所以()fB的值域为0,2

.【小问3详解】()2sin32fxx=+图像上所有点先向右平移12个单位得到2sin26yx=+，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到()2sin6gxx=+.所以()()

2sin2sin362hxgxgxmxxm=+−=++−2sin2cos6xxm=+−3sin2cos21xxm=++−2sin216xm=++−若()0hx=，则1

sin262mx−+=.令()=sin26txx+，周期为，令12my−=.作出()=sin26txx+的图像如图所示：要使存在实数m和正整数n，使得函数()hx在0,n上恰有2022个零点，只需：i.当112m−=或11

2m−=−时，即3m=或1m=−时，12my−=与()=sin26txx+在一个周期内只有1个公共点，此时，2022n=.ii.当11122m−或11122m−−，即23m或12m−时，12my−=与()=sin26txx+在每一个周

期内均有2个公共点，只需202210112n==.21.已知数列na的前n项和为()()*1,2,1266nnnSanaSnn=−+−=−N，数列nb是首项为3，公比为3的等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）若存在*n

N，使得nnkba成立，求实数k取值范围；（3）若nnnacb=，是否存在正整数()pqrpqr，，，使得pqrccc､､依次成等差数列？若存在，求出所有的有序数组(),,pqr；若不存在，说明理由.

【答案】（1）46n−（2）29k（3）存在，()2,4,6或()3,4,6【解析】【分析】（1）根据通项公式与前n项和的关系，结合累加法求解即可；（2）将题意转换为存在*nN，使得1(46)()3nkn−成立，即求1(46)()3nncn=−的最大值.再计算1n

ncc+−的正负区间，确定1(46)()3nncn=−的最大项即可；（3）逐步分析，先判断当1p=时不满足，再分析当2p=，3q=时也不满足，从而得到4q，再分析4q=时有两组解()2,4,6或()3,4,6，再证明当5q时2prqccc+

，pqrccc､､不成等差数列即可的【小问1详解】因为()1266nnnaSn+−=−…①所以当2n时，112612nnnaSn−−−=−…②①-②得：1(1)26nnnnanaa−+−−=，整理得166

61(1)1nnaannnnnn−−==−−−−则由累加法可得：11221666666()()...()()()...()1122112112nnnnaaaaaannnnnnnn−−−−+−++−=−+−++−−−−−−−整理得：46nan=−又当1n=时，上式也成立，所以

na的通项公式为46nan=−【小问2详解】由题知，3nnb=，因为存在*nN，使得nnkba成立，所以存在*nN，使得1(46)()3nkn−成立，即求1(46)()3nncn=−的最大值.又111

1(42)()(46)()33nnnnccnn++−=−−−()1182()3nn+=−，故当1n=时，10nncc+−，即1nncc+，当2n时，1nncc+，故当2n=或3n=时，1(46)()3nn−取得最大值29

,所以k的取值范围为2(,]9−【小问3详解】46=3nnnnancb−=，由（2）因为12322,39ccc=−==，且()103nnccn+，故若1p=，则82,93pqcc−−−，20,9qrcc−，故pqq

rcccc−−，即pqrccc､､不成等差数列，故2p.若2p=，3q=则0pqcc−=，又()103nnccn+，故pqrccc､､不成等差数列，故4q.当4q=时，210981pqcc==,,此时1022281981rc=−=，此

时281463rr=−，解得6r=.此时2p=或3p=，4q=，6r=，(),,pqr为()2,4,6或()3,4,6当5q时，因为1pq−，且()13nnccn+，故1pqcc−，即()14164633pqqp−−−−，故1464101230333pqqp

qq−−−−=8430820308122333qqqqqqqqc+−+−−==，即当5q时，2pqcc.又0rc，故2prqccc+，故pqrccc､､不成等差数列.综上所述，有序数组(),,pqr为()2,4,6或()3,4,6【点

睛】本题主要考查了根据递推公式求解通项公式的方法，同时也考查了数列中的恒成立问题，以及整数类的存在性问题，需要根据题意逐步分析是否满足条件，并且适当用放缩的方法证明不等式，属于难题