【文档说明】安徽省重点高中联盟校（A10联盟）2025届高三第一次摸底考试数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1.020 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学试题第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z满足()1i2z+=，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限

D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算计算得到1iz=−，即可判断.【详解】由()1i2z+=可得，22(1i)1i1i2z−===−+，即复数z在复平面内对应的点为(1,1)Z−在第四象限.故选：D.2.在ABCV中，2,CDDBAEED==，则CE=（）A

.1163ABAC−B.1263ABAC−C.1536ABAC−D.1133ABAC−【答案】C【解析】【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，将待求向量用基向量AB和AC表示即得.【详解】如图所示，由题意，1112

()2223CECACDACCB=+=−+1115()2336ACABACABAC=−+−=−.故选：C.3.已知直线yax=与曲线()()lnfxxb=+相切于点()()0,0f，则ab+的值为（）A.

1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出切点为()0,0，进而求得1b=，得到()()ln1fxx=+，结合导数的几何意义，得到1a=，进而得到答案.【详解】由题意，直线yax=与曲线()()lnfxxb=+相切于点()()0,0f

，即切点()0,0，所以ln0b=，解得1b=，所以()()ln1fxx=+，则()11fxx=+，可得()01f=，即切线的斜率为1k=，所以1a=，所以2ab+=.故选：B.4.已知椭圆22:14xyC+=（0且4），则“C的

离心率22e=，是8=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据椭圆离心率定义，对参数的取值进行分类讨论，分别判断充分性和必要性即可.【详解】椭圆22:14xy

C+=（0且4），当C的离心率22e=，若04，有4224e−==，解得2=，即充分性不成立；当8=时，得椭圆22:184xyC+=，此时离心率为84222822e−===，即必要性成立.所以“C的离心率2

2e=，是8=”的必要不充分条件.故选：B.5.若1为函数()()()21fxxxa=−−的极大值点，则实数a的取值范围是（）A.(),0−B.(),1−C.()1,+D.()()0,11,+

【答案】C【解析】为【分析】根据题意，求得()()()1321fxxxa=−−−，结合1x=是函数()fx的一个极大值点，得出不等式2113a+，即可求解.【详解】由函数()()()21fxxxa=−−，可得()()()1321fxx

xa=−−−，令()0fx=，可得1x=或213ax+=，因为1x=是函数()fx的一个极大值点，则满足2113a+，解得1a，所以实数a的取值范围为()1,+.故选：C.6.若sin140tan403−=，则实数的值为（）A.2−

B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式和化切为弦将已知式化成sin40cos40sin403cos40=+，再运用二倍角公式和辅助角公式化简即可求得的值.【详解】由sin140tan403−=化简得

，sin40sin403cos40−=，即sin40cos40sin403cos40=+，即1sin802sin(4060)2sin802=+=，因sin800，解得4=.故选：D.7.设函数()fx的定义

域为R，且()1fx+是奇函数，()23fx+是偶函数，则()5f=（）A.0B.1−C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根据函数性质，结合“赋值法”求函数值.【详解】因为函数()1fx+为奇函数，所以()()11fxfx−+=−+，令0x=得：()()11ff=−()

10f=；因为()23fx+为偶函数，所以()()2323fxfx−+=+，令1x=得：()()15ff=，所以()50f=.故选：A8.已知O为坐标原点，抛物线2:2Cyx=的焦点为F，2OMONOF=−=−，过点M的

直线l与C交于A，B两点，且()01MAMB=，直线BN与C的另一个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足3ANPMkk=，则AB=（）A.132B.13C.152D.15【答案】A【解析】【分析】由题意得(1,0),(1,0)MN−，则可设直线:1lxmy=−，直线:1BNxny=

+，分别与抛物线方程联立，设112233(,),(,),(,)AxyBxyPxy，由韦达定理可得31yy=−，31xx=，结合3ANPMkk=，可解得11,xy的值，从而可得m的值，再利用弦长公式即可求解.【详解】由题意得1(,0)

2F，2OMONOF=−=−，(1,0),(1,0)MN−，设直线:1lxmy=−，直线:1BNxny=+，联立221yxxmy==−，得2220ymy−+=，设112233(,),(,),(,)AxyBxyP

xy，则12122,2yymyy+==，联立221yxxny==+，得2220yny−−=，则23232,2yynyy+==−，则31yy=−，则31xx=，故311131,111ANPMyyykkxxx===−

−++，由3ANPMkk=，得1111311yyxx−=−+，解得21111,212xyx===，则11132xmy+==，故()22121213142ABmyyyy=++−=.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷一枚质量均匀的骰子两次．记事件A=“第一次抛出的点数是1”，事件B=“两次抛出的点数不同”，事件C=“两次抛出的点数之和是8”，事件D=“两次抛出的点数之和

7”，则（）A.A与D相互独立B.B与D相互独立C.()2|15PCB=D.()13PCD=【答案】AC【解析】【分析】根据独立事件的概率公式可判断AB的正误，根据条件概率的计算公式可求()|PCB，从而可判断C的正误，根据互斥事件的概率公式可

求()PCD，故可判断D的正误.【详解】对于A，由题设有()161666PA==，()61666PD==，()166PAD=，故()()()PADPAPD=，故,AD相互独立，故A正确.对于A，由题设有()655666PB==，()61666P

BD==，故()()()PBDPBPD，故,BD不相互独立，故B错误.对于C，()()()4236|5156PPBCPBCB===，故C正确.对于D，由题设,CD互斥，故()()()511166636PCDPCPD=+=+=，故D错误，故

选：AC.10.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E为棱1DD的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥111BADP−的体积为定值B.直线1//BE平面1ABDC.当11APAC⊥时，1APAC⊥D.直线1BE与平面11CDDC所成角的正弦值为23【答案】

AD【解析】【分析】对于A，将三棱锥111BADP−转换成111PABD−后易得其体积为定值；对于B，建系后，证明1BE与平面1ABD的法向量不垂直即可排除B项；对于C，设出(,,0)Pmn，利用110ACAP=证得mn=，

再计算1ACAP，结果不为0，排除C项；对于D，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】对于A，如图1，因111111111111113326BADPPABDABDVVS−−====,故A正确；对于B，如图2建立空间直角

坐标系，则111(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,0,)2DBABE,于是，111(1,1,0),(1,0,1),(1,1,)2DBDABE===−−−，设平面1ABD的法向量为(,,)nxyz=，则100nDBxynDAxz=+==+=，故

可取(1,1,1)n=−−r，由1111(1,1,1)(1,1,)110222nBE=−−−−−=−++=知n与1BE不垂直，故直线1BE与平面1ABD不平行，即B错误；对于C，由上图建系，则1(0,1,1)(1,0,0)(1,1,1

)AC=−=−,(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)AC=−=−,因P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点,不妨设(,,0)Pmn，则,[0,1]mn，1(1,,1)APmn=−−，由题意，11(1,1,1)(1,,1)110ACAPmnmnnm=−−−=−+−=−=，即m

n=，于是(,,0)Pmm，此时1(1,1,0)(1,,1)110ACAPmmmm=−−−=−+=，故1AP与AC不垂直，即C错误；对于D，由图知平面11CDDC的法向量可取为(1,0,0)m=

，因11(1,1,)2BE=−−−，设直线1BE与平面11CDDC所成角为，则111||12sin|cos,|33||||12BEmBEmBEm====，故D正确.故选：AD.11.已知点(),Amn在圆22

:4Oxy+=外，过点A作直线AM，AN与圆O相切，切点分别为M，N，若60MAN=，则（）A.8mnB.221498mn+C.391,17mn+−D.当,0mn时，742mn+【答案】ACD【解析】

【分析】根据相切关系可得2216mn+=，根据不等式即可判断AD，利用不等式的乘“1”法即可判断B，根据三角换元即可结合三角函数的性质求解C.【详解】由于AM，AN与圆O相切，且60MAN=，故120MON=,60MOA=

，由2MO=,得4AO=，故22164mn+=，符合题意，故22162mnmn+=，即8mn，当且仅当228mn==等号成立，故A正确，()22222222222222141141414955216161616nmnmmnmnmnmnm

n+=++=+++，当且仅当223223nm==时等号成立，B错误，令4sin,4cosmn==，则π394sin43cos98sin91,173mn+−=+−=+−，C正确，当

,0mn时,()2222162162mnmnmnmnmnmn+=++=++=+，由于8mn，故521621628422mnmn+=++==，由于522222mnmn++，故742mn+，当且仅当22mn==等号成立，故D正确，故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量()2~2,3N，若()()321PaPa−=+，则实数a的值为________．【答案】2【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由题意得，32122

aa−++=，解得2a=．故答案为：213.已知函数()πsin6fxx=+，()fx为()fx的导函数，()fx在π0,2上单调递减，则正实数的取值范围为__________．【答案】50,3【解析】【分析】求导，即

可根据余弦函数的单调性求解.【详解】由题意得，()πcos6xxf=+，由π0,2x，则ππππ,6662x++，若()fx在π0,2上单调递减，只需πππ62+，解得503故答案为：50,314.定义

：如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()*122,,,,kAAAkkN，且12kAAAU=UULU，那么称无序子集组12,,,kAAA构成集合U的一个k划分．已

知集合106xIxx−=−N，则集合I的所有划分的个数为___________．【答案】51【解析】【分析】化简集合，再由新定义及组合知识分类求解即可.【详解】由题意得，N161,2,3,4,5|Ixx==，共有5个元素，则

2划分有1255CC15+=个，3划分有15512432CCC2C25+=个，4划分有25C10=个，5划分有1个，所以共有划分的个数为51个．故答案；51四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在ABCV中，内角,,AB

C满足()sinsinsinBABC+−=．（1）求A；（2）若ABCV的外接圆半径为2，且1coscos6BC=−，求ABCV的面积．【答案】（1）π3A=（2）433【解析】为【分析】（1）根据两角和差正弦化简后可得1cos2A=，故可求A；（2）根据三角变换可

得1sinsin3BC=，故可求面积.【小问1详解】在ABCV中，πCAB=−−，∴()sinsinCAB=+，∵()sinsinsinBABC+−=，∴()()sinsinsinBABAB+−=+，则sinsin

coscossinsincoscossinBABABABAB+−=+化简得sin2cossinBAB=．又sin0B，∴1cos2A=，又∵0πA，∴π3A=．【小问2详解】∵π3A=，∴2π3BC+=，∴()1cos2BC+=−．即1coscossinsin2

BCBC−=−，又1coscos6BC=−，∴111sinsin263BC=−=记内角,,ABC的对边分别为,,abc，∵ABCV的外接圆半径2R=，∴由正弦定理可得21sinsin2243bcbcBCRRR=

==，∴163bc=，∴1116343sin22323ABCSbcA===.16.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，四边形11BCCB是边长为2正方形，CABCBA=，()1,01BCACBMBA⊥=．（1）求

AB的长；的的（2）若二面角1BBCM−−的正切值为2，求的值．【答案】（1）22AB=（2）12=【解析】【分析】（1）证明⊥BC平面11ACCA，则有BCAC⊥，由2CACB==，求得22AB=；（2）以C为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角1BBCM−−的余弦

值，可求出的值．【小问1详解】三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，则1CC⊥平面ABC，CB平面ABC，所以1CCCB⊥．又1BCAC⊥，111CCACC=，11,CCAC平面11AC

CA，所以⊥BC平面11ACCA，因为AC平面11ACCA，所以BCAC⊥，而CABCBA=，故2CACB==，故22AB=．【小问2详解】由1CC⊥平面ABC，BCAC⊥，以C为原点，1,,CACBCC的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如

图所示的空间直角坐标系Cxyz，因为12CACBCC===，所以()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2CABB，故()2,2,0BA=−，因为1)0(BMBA=，故()2,22,0M−．易知()1,0,0m=是平面1

BCB的法向量．因为()()12,22,0,0,2,2CMCB=−=．设𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)是平面1CMB的法向量、所以100nCMnCB==即()2220220xyyz

+−=+=，取1x=−，得,yz=−=，所以()1,,n=−−，因为二面角1BBCM−−的正切值为2，故余弦值为33，则213cos,31321mnmnmn−===−+，解得12=.17.已知O为坐标原点，12,FF分别是

双曲线()2222:10,0xyEabab−=的左、右焦点，直线4:3lyx=与E交于A，B两点，220FAFB=﹒（1）求E的离心率；（2）M为E上一点（不在x轴上），过2F作12FMF平分线的垂线，垂足为N，若1ON=，求12AFF的面积．【答案】（1）5（2）4【解析】【分析】（

1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可；（2）结合图形特征，再应用面积公式计算.【小问1详解】由题意得，直线43yx=与双曲线两交点A，B关于原点对称，不妨设点A在第一象限，由220FAFB=，得22FAFB⊥，设

()2,0Fc，则24,tan3OAcAOF==，所以2243sin,cos55AOFAOF==，则34,55Acc，将其代入双曲线方程，得222291612525ccab−=，即()2222291612525ccaca−=−，化简得222169251eee−=−

，即42950250ee−+=，因为1e，所以25e=，则5e=，即双曲线E的离心率为5．【小问2详解】因为点2F关于12FMF的平分线MN的对称点G在1MF或1MF的延长线上，所以1122FGMFMFa=−=

，又ON是21FFG的中位线，所以ONa=，因为1ON=，所以1a=，因为5e=，所以双曲线E的方程为2214yx−=，所以5c=，则3545,55A．又12||225FFc==，所以121

4525425AFFS==△．18.已知函数()2sinfxxx=−．（1）若函数()Fx与()fx的图象关于点π,12对称，求()Fx的解析式；（2）当0,πx时，()fxm，求实数m的取值范围；（3）判

断函数()()()11gxxfx=++在π,2+的零点个数，并说明理由．【答案】（1）()π22sinFxxx=+−−（2）π3,3−+（3）零点个数为1，理由见解析【解析】【分析】（1）结合函

数的对称中心求出函数解析式；（2）根据给定区间恒成立求参转化为最值问题；（3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果.【小问1详解】由题意得，()()()()2π22sinπππ22sinFxfxxxxx=−−=−−+−=+−−．【小问2详解】由题

意得，()2co,πs1,0fxxx=−，令()'0fx=，解得π3x=，所以当π0,3x时，()0fx；当π,π3x时，()0fx′，所以()fx在π0,3上单调递增，在π,π3上单调递减，

所以()fx的最大值为3π3π3f=−，由于0,πx时，()fxm，所以实数m的取值范围为π3,3−+【小问3详解】令()0gx=，则()()12sin10xxx+−+=，整理得12sin01xxx−+=+，令()12sin1hxxxx

=−++，则()()212cos11hxxx=−−+，当π,π2x时，()0hx．所以()hx在π,π2上单调递减，又()πππ1π1112sin20,π2sinπππ0ππ2222π1π11122hh=−+=−

+=−+=−+++++，所以由零点存在性定理得，()hx在π,π2上存在唯一零点．当)π,x+时，()12sin2π101hxxxx=−+−++，此时函数无零点．综上所述，()hx在π,2+上存在唯一零点，即

函数()gx在π,2+上的零点个数为1．19.定义：从数列na中随机抽取m项按照项数从小到大的顺序依次记为12,,,mkkkaaa()12mkkk，将它们组成一个项数为m的新数列nb，其中()1,2,,iikbaim==，若数列nb为递增数列，则称数列n

b是数列na的“m项递增衍生列”；（1）已知数列na满足42,1,3,52,2,4,6nnnnan−===，数列nb是na的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的nb﹔（2）已知数列na是项数为m的等比数列，其中3m，若数列nb为1

，16，81，求证：数列nb不是数列na的“3项递增衍生列”；（3）已知首项为1的等差数列na的项数为14，且141105iia==，数列nb是数列na的“m项递增衍生列”，其中114m

．若在数列nb中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m的最大值．【答案】（1）nb为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】（1）先列出数列{𝑎𝑛}的前6项，根据“3项递增衍生列”，可列出满足条件的所有数列

{𝑏𝑛}.（2）利用“反证法”证明数列{𝑏𝑛}不是数列{𝑎𝑛}的“3项递增衍生列”.（3）先明确数列{𝑎𝑛}的各项，再根据“m项递增衍生列”的概念分析数列{𝑏𝑛}的构成特点，可求数列{𝑏�

�}的最大项数.【小问1详解】由题意得，数列{𝑎𝑛}为1，8，3，4，5，2，若{𝑏𝑛}是数列{𝑎𝑛}的“3项递增衍生列”，且1345，则{𝑏𝑛}为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5﹒【小问2详解】设等

比数列{𝑎𝑛}的公比为q．假设数列{𝑏𝑛}是数列{𝑎𝑛}的“3项递增衍生列”，则存在1231kkkm，使1231,16,81kkkaaa===，所以31212131,kkkkkkkkaaqaaq−−==，则312116,8

1kkkkqq−−==，所以()3116221log81log81log3*log16qqkkkk−===−．因为*2131,kkkk−−N，所以3121kkkk−−为有理数，但2log3为无理数，所以（*）式不可能成立．综上，数列{𝑏𝑛}不是数列{𝑎𝑛}的“3项

递增衍生列”．【小问3详解】设等差数列{𝑎𝑛}的公差为d．由14111491105iiaad==+=，又11a=，所以1d=，故数列{𝑎𝑛}为1，2，3，4，5，L，14﹒令iikba=，因为数列{𝑎𝑛}中各项均为正整数，故313kkaa−﹔（若312kkaa−=，则123,,k

kkaaa，成等差数列）同理533kkaa−，且5331kkkkaaaa−−，所以513kkaa−，同理957kkaa−，且9551kkkkaaaa−−，所以9115kkaa−，这与已知条件矛盾，所以8ik，此时可以构造数列{𝑏𝑛}为1，2，4，5，10，11，1

3，14，其中任意三项均不构成等差数列．综上所述，m的最大值为8．【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解决关键有两点：一是紧抓新数列的定义，如题目中“m项递增衍生列”条件的使用，是解题的入手点；二是应用数列

的单调性或等差等比通项特性等重要性质构造等量或不等关系解决问题.的