【文档说明】广东省湛江市第二十一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷含答案.doc，共(13)页，1.110 MB，由小赞的店铺上传

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12020-2021学年第二学期湛江市第二十一中学期中考试高二数学时间：120分钟满分150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．已知集合2823Axxx=−−，2430Bxxx=−+，则AB=（）A．(),3−B．()1,2C．()2,3D．()1,32．复数z满足(2)|34|zii−=+，则z=（）

A．2i+B．2i−C．105i+D．105i−3．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广

告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（）A．120种B．48种C．36种D．18种4．在等差数列na中，2122aa+=−，242aa+=，则5a=（）A．3

B．4C．5D．75．函数sin()xxxfxe−=的图像大致是（）A．B．C．D．6．“1a－”是“函数1()lnfxxaxx=++在)1,+上为单调函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件27．直线l与双曲线2

222:1(0,0)xyEabab−=的一条渐近线平行，且l过抛物线2:4Cyx=的焦点，交C于A，B两点，若||6AB=，则E的离心率为（）A．2B．3C．5D．528．已知()fx是定义在(,0)(0,)−+上的

奇函数，()fx¢是()fx的导函数，()10f，且满足()()ln0fxfxxx+，则不等式(1)()0xfx−的解集为（）A．(1,)+B．()0,1C．(,1)−D．(,0)(1,)−+二、多选题（本

大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知圆锥曲线C：2214xyb−=，若三个数1，2b，7成等差数列，则C的离心率为（）A．12B

．62C．22D．210．下列说法中正确的是（）A．设随机变量X服从二项分布16,2B，则()5316PX==B．已知随机变量X服从正态分布()22,N且()40.9PX=，则()020.4PX=C．

()()2323EXEX+=+；()()2323DXDX+=+D．已知随机变量满足()0Px==，()11Px==−，若102x，则()E随着x的增大而减小，()D随着x的增大而增大11．函数

()()()2sin0,0fxx=+的图象如图，把函数()fx的图象上所有的点向右平移6个单位长度，可得到函数()ygx=的图象，下列结论正确的是（）A．3=3B．函数()gx的最小正周期为C．函数()

gx在区间,312−上单调递增D．函数()gx关于点,03−中心对称12．关于函数()2lnfxxx=+，下列判断正确的是（）A．2x=是()fx的极大值点B．函数()yf

xx=−有且只有1个零点C．存在正实数k，使得()fxkx成立D．对两个不相等的正实数1x，2x，若()()12fxfx=，则()121ln42++fxx.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知m，n均为正数，()1,am=，()2,1bn=−，且b

a∥，则1mmn+的最小值为____________.14．()412122xxx−−的展开式中3x的系数为___________.15．一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为，则()E=______.1

6．已知(2,0),(0,1)AB是椭圆22221xyab+=的两个顶点，直线(0)ykxk=与直线AB相交于点D，与椭圆相交于,EF两点，若6EDDF=，则斜率k的值为______．四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，

本大题共6小题，共70分）17.（本题满分10分）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc．已知222sinsinsinsinsinBACAC−−=．（1）求B；（2）若3b=，当ABC的周长最大时，求它的面积．418．（本题满分12分

）已知数列na满足121nnaa−=+（*nN，2n），且11a=，1nnba=+．（1）证明：数列nb是等比数列；（2）求数列nnb的前n项和nT．19．（本题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD中，//ABC

D，2243ABCDAD===，将ADC沿着AC翻折，使得点D到点P，且26PB=．（1）求证：平面APC⊥平面ABC；（2）求直线AB与平面BCP所成角的余弦值．20．（本题满分12分）某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难

度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩，将数据分成7组：[160，180），[180，200），[200，22

0），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300].并整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求直方图中x的值；（2）用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成

绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间[220，260）内的个数为y，求y的分布列及数学期望E（y）；（3）若变量S满足P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）≈0.6827，且P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）≈0.9545，则称S近似服从正态分布N（μ，σ2），若该市高三考生的理综成绩近似

服从正态分布N（225，225），则给予这套试卷好评，否则差评，试问：这套试卷得到好评还是差评？21．（本题满分12分）已知椭圆C：22221xyab+=(0ab)的左焦点为()2,0−，且椭圆C经过点()0,1P，直线21ykxk=+−与椭圆C交于A，B两点（异于点P）．（1）求椭圆C

的方程；（2）证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值，并求出该定值．522．（本题满分12分）已知函数()()lnfxxaxa=−R.（1）若()fx存在极值，求a的取值范围；（2）当1a=−时，求证：()1xf

xxe−.6参考答案一、单项选择题1．A2．B3．C4．C5．B6．A7．B8．D8【详解】()()1[()ln]ln0fxxfxfxxx=+，()()lngxfxx=在()0,+为减函数，而()10g=，∴在()0,1上ln0x，()0gx；

在()1,+上ln0x，()0gx；而(1)0f，∴在(0,+)上()0fx，又函数()fx为奇函数，∴在(),0-?上()0fx.不等式()()10xfx−等价于()10xfx或()10

xfx，∴()(),01,x−+.故选：D.二、多项选择题9．BC10．ABD11．BC12．BD12、【详解】A.函数的定义域为()0,+，函数的导数()22212xfxxxx−=−+=，∴在()0,2上，()0fx，函数单调递减，()2,

+上，()0fx，函数单调递增，∴2x=是()fx的极小值点，即A错误；B.()2lnyfxxxxx=−=+−，∴22221210xxyxxx−+−=−+−=，函数在()0,+上单调递减，且()112ln1110f−=+−=，()221ln22ln210f−=+−=−，∴

函数()yfxx=−有且只有1个零点，即B正确；C.若()fxkx，可得22lnxkxx+，令()22ln+=xgxxx，则()34lnxxxgxx−+−=，令7()4lnhxxxx=−+−，则()lnhxx=−，∴在()0,1x

上，函数()hx单调递增，()1,x+上函数()hx单调递减，∴()()10hxh，∴()0gx，∴()22lnxgxxx=+在()0,+上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得()fxkx恒成立，即C不正确；D.令()0,2t，则()20,2t−，22t+

，令()()()()2222ln222=+−−=++−−+−gtftftttt()242ln2ln42+−=+−−ttttt，则()()()()()222222222448222416424244−−−−++−−=+=+=+−−−−ttttttgtttttt()22280

4−−tt，∴()gt在()0,2上单调递减，则()()00gtg=，令12xt=−，由()()12fxfx=，得22xt+，则12224xxtt+−++=，当24x时，124xx+显然成立，∴

对任意两个正实数1x，2x，且21xx，若()()12fxfx=，则124xx+，所以()()1214ln42+=+fxxf.故D正确.故选：BD.三、填空题13、414、4015、9716、38或2316【详解】由题可知，该椭圆的方程为2214xy+=，直线AB

，EF的方程分别为22,xyykx+==，设()()()001122,,,,,DxyExkxFxkx，其中12xx，联立方程()222211444xykxykx+=+==，故212214xx

k=−=+，由6EDDF=，知()()01200212215106,677714xxxxxxxxk−=−=+==+，由点D在直线AB上，则00022212xkxxk+==+，8所以221022421225603714kkkkk−

+===++或38故答案为：23或38四、解答题17、【详解】（1）由正弦定理得：222bacac−−=，······················2分2221cos22acbBac+−==−，·····························

·4分()0,B，23B=；··································5分；（2）由余弦定理得：()()222222cos29bacacBacacacacac=+−=+−+

=+−=，···········6分()2292acacac+=+−（当且仅当ac=时取等号），·················8分23ac+，当3ac==时，ABC周长取得最大值，·············9分此时13333sin2224ABC

SacB===.································10分18、（Ⅰ）证明：∵当2n时，121nnaa−=+，······························1分∴()1112221nnnaaa−−+=+=+．······················

··················2分∴12nnbb−=，1112ba=+=．···············································3分∴数列nb是以2为首项，公比为

2的等比数列．···························4分（Ⅱ）解：1122nnnbb−==··············································5分∵()231122232122nnnTnn−=++++−

+，①····················7分∴()23412122232122nnnTnn+=++++−+，②····················8分①−②：23411222222nnnTn+−=+++++−，····················

····10分9∴()11222221212nnnnTnn++−=−+=+−−．·································12分19、（1）证明：由等腰梯形2243ABCDAD===，得60ABC=．又2ABBC=，所以A

CBC⊥．····························1分又23PCBC==，26PB=，则222CBCPPB+=，所以BCCP⊥．·········2分又ACCPC=，所以BC⊥平面APC，···································3分所以平面AP

C⊥平面ABC．·············································4分（2）如图，取AB的中点E，连接DE，CE，AC，由四边形AECD为菱形，且60DAE=，得ACDE⊥，记垂足为O，··········5分由（1）知，平面APC⊥平面ABC，又POA

C⊥，所以PO⊥平面ABC．·······6分同理，EO⊥平面APC，所以OA，OE，OP两两垂直，如图，建立以OA，OE，OP为x，y，z轴正方向的空间直角坐标系．则6AC=，3PO=，所以()3,0,0A，()3,23,0B−，()

3,0,0C−，()0,0,3P，所以()3,23,3BP=−，()6,23,0AB=−，()0,23,0BC=−，··········8设平面CBP的法向量为()2,,nxyz=，所以2200BCn

BPn==，即23032330yxyz−=−+=，不妨设3z=，得10xy=−=所以平面CBP的一个法向量为()21,0,3n=−．························10分设直线AB与平面

BCP所成角为，63sincos,4432ABnABnABn====，·····················11分10∴22313cos1sin144=−=−=．······················

······12分20、（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，···········1分解得x＝0.0075；·····················································

···2分（2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）×20＝0.4，···························3分所以随

机变量y服从二项分布B～（3，0.4），···································4分故P（y＝k）＝C3k0.4k0.63﹣k，k＝0，1，2，3，故y的分布列为y0123P0.2160.4320.28

80.064··········································································7分则E（y）＝3×0.4＝1.2；····································

···········8分（3）记该市高三考生的理综成绩为z，由题意可知，P（210＜z＜240）≤P（200＜z＜240）＝20×（0.011+0.0125）＝0.47＜0.6827，···········10分P（

195＜z＜255）≤P（180＜z＜260）＝20×（0.0095+0.011+0.0125+0.0075）＝0.81＜0.9545，·························11分所以z不近似服从正态分布N（225，225），所以这套试卷得到差评.··············

·12分21、（1）由题意得：2,1cb==，·········································2分则2223abc=+=，······················

································3分∴椭圆C的方程为2213xy+=．···········································4分（2）设1122(

,),(,)AxyBxy，联立222113ykxkxy=+−+=，·················································5分11化简可得：22(31)6

(21)12(1)0kxkkxkk++−+−=，························6分因为直线21ykxk=+−与椭圆C交于,AB两点∴22[6(21)]4(31)[12(1)]0,kkkkk=−−+−

·····························7分化简得:23120kk−+，解得04k，由根与系数的关系得：1226(21)31kkxxk−+=−+，1221211()3kkxxk−=+，··············8分记直线PA，PB的斜率为,PA

PBkk，121221121122(11)PAPByyxyxyxxkxxkxx−−+−++=+=······························9分1212122(22())kxxkxxxx+−+=22212(1)6(21)313112(1)2223()1kkk

kkkkkkkk−−+−−+−+=·······································10分2(22)12(1)6(21)12(1)kkkkkkkk−=−−−−3(212(1)(21)6(12))kkkk

k−−=−−−2212126)1216(18kkkkk−+−=−−··········································11分66()61kk−=−1=．所以直线,PAPB的斜率之和为定值

1．································12分22、（1）函数()fx的定义域为()0,+，()11axfxaxx−=−=，··············································1分当0a时，对任意的0x，()0f

x，故()fx在()0,+上单调递增，()fx无极值；···························2分12当0a时，当10,xa时，()0fx，()fx单调递增；·······························

·3分当1,xa+时，()0fx，()fx单调递减.·······························4分故()fx在1xa=处取得极大值，无极小值.综上所述，若()fx存在极值，则a的取值

范围为()0,+.·······················5分（2）当1a=−时，()1ln1xxxefxxexx−−=−−−.设()2ln1hxxexx=−−−，其定义域为()0,+，则证明()

0hx即可.·······················································6分()()11xxhxxex+=+−，设()()uxhx=，则()()2120xux

xex=++，··············································7分故函数()hx在()0,+上单调递增.131022eh=−，()1220he=−.

()0hx=有唯一的实根01,12x，且001xex=，···························8分00lnxx=−.当00xx时，()0hx；当0xx时，()0h

x，··················································9分故函数()hx的最小值为()0hx.()()0000000ln1110xhxhxxexxxx=−−−=+−−=.····················11分()1xfxxe−

.························································12分13