【文档说明】山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测数学试题 含解析.docx，共(30)页，2.563 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-06972a15e5d3cbddbb54aad2c19c9cc1.html

以下为本文档部分文字说明：

青岛市2023年高三年级第一次适应性检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U=R，37Axx=，24Bxx=−，则下图中阴影部分表示的集合为（）A.23xx−

B.23xx−C.1,0,1,2−D.1,0,1,2,3−【答案】A【解析】【分析】求出集合B，根据集合的并集和补集运算易知阴影部分为()ABAð.【详解】2442426xxx−−−−，∴{26}Bxx=−∣.则{27}ABxx=−∣，图中阴影

部分为(){23}ABAxx=−∣ð.故选：A.2.已知复数z满足(1i)2z+=，则z的虚部为（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】A【解析】【分析】化简1iz=−，再求出1iz=+即得解.【详解】由(1i)2z+=，得2222(1i)1i1i1iz−===−+−，从而1iz=+，所以

z的虚部为1．故选：A3.在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点2π2πsin,cos33，则sin=（）A.32B.12−C.32−D.12【答案】B【解析】【分析

】根据三角函数特殊值求出点的坐标，由正弦函数定义即可求解.【详解】依题意，因为2π32π1sin,cos3232==−，所以终边经过的点为3,221−，所以终边在第四象限，所以22112sin23122−==−+−.故选：B.4.龙洗，是我国著名的文

物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）A.31824cmB.32739cmC.33618cmD.34512cm【答案】B【解析】

【分析】根据轴截面和相似关系，以及圆台体积即可求解.【详解】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC与FD于点G.根据题意，20cmAB=，10cmCD=，15cmAC=，6cmEC=，设cmCGx=，cmEFy=所以102015xx=+，610

yxx+=解得15x=，14y=，所以()()2231π14π10π14106872π2739cm3V=++=，故选：B.5.定义域为R的函数()fx满足：当)0,1x时，()31xfx=−，且对任意实数x，均有()()11fxfx++=，则()3log4f=（

）A.3B.2C.43D.23【答案】D【解析】【分析】由题意将所求转化到)0,1x即可得解.【详解】由()()11fxfx++=，得()()11fxfx+=−，则()()3334log41log411log3fff=−−=

−34log3421311133=−−=−+=.故选：D.6.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，直线3yx=与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形12AFBF为矩形，则C的离心

率为（）A.312+B.3C.31+D.51+【答案】C【解析】【分析】联立直线3yx=与C的方程，求出弦AB长，由12ABFF=求解即得.【详解】显然直线3yx=与12FF交于原点O，由双曲线对称性知，若四边形12AFBF是矩形，则12ABFF=，设点1122(,),(,

)AxyBxy，而12(,0),(,0)FcFc−由222231yxxyab=−=得22222(3)baxab−=，解得122222,33ababxxbaba=−=−−，则212224||1(3)

||3abABxxba=+−=−，则22423abcba=−，化简得4224630baba−−=，即22222()630bbaa−−=，220ba，解得22323ba=+，则2222142331ccbeaaa===+=+=+.故选：C.7.某次考试共有4道单选题，某学生对其中3

道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（）A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43【答案】C【解析】【分析】根据排列组合以及概率的乘法公

式即可求解.【详解】设事件A表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则223124C0.80.32CP==,若两个题目中一个有思路一个没有思路，则1113224CC0.80.250.1CP==，故12()0.

320.10.42PAPP=+=+=,故选：C8.已知函数()31sin2fxxx=−，若π0,12，()()sincosaf=，()()sinsinbf=，12cf=−−，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.bacC.acbD.cab

【答案】A【解析】【分析】利用奇函数得到1122cff=−−=，再判断()()sinsin1cossin2，利用二次求导判断()fx在1,12上单调递增，从而可判断abc.【详解】因为()()3311()sin()(sin)22fxxx

xxfx−=−−−=−−=−，所以()fx在R上是奇函数.所以1122cff=−−=对()31sin2fxxx=−求导得，()213cos2fxxx=−令()213cos2gxxx=−

，则()16sin2gxxx=+当112x时，()0gx，所以()gx在1,12上单调递增，则112x时，()131131cos10242242gxg=−−，即()0fx¢>，所以()fx

在1,12上单调递增.因为π0,12，所以1cossin2，因为sin10sin2yx=在()0,+上单调递增，所以()()sinsincossin.令(

)lnln2hxxx=+，则()ln1hxx=+所以当10ex时，()()0,hxhx单调递减；当1ex时，()()0,hxhx单调递增.所以()1111lnln2ln2eeeehxh=+=−，而e2e，即1e2e，所以1ln2e，即1ln20e−.所

以lnln2xx−，即12xx，则()sin1sin2所以()()sinsin1cossin2所以()()()()sinsin1cossin2fff，即abc.故选：A【

点睛】关键点睛：构造函数()lnln2hxxx=+，判断()sin1sin2.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选

对的得2分，有选错的得0分．9.在812xx−的展开式中,下列说法正确的是()A.常数项是1120B.第四项和第六项的系数相等C.各项的二项式系数之和为256D.各项的系数之和为256【答案】AC【解析】【分析】根据二项式定理

,812xx−的通项公式为()88218C21kkkkkTx−−+=−,对于A,令4k=进行判断;对于B,令3k=和5k=计算判断即可;对于C,因为8n=,所以各项的二项式系数之和为82256=可进行判断;对于D,令1x=即可进行判断.【详解】根据二项式定理,812xx

−的通项公式为()88218C21kkkkkTx−−+=−,对于A,常数项为()4448C211120−=,故A正确;对于B,第四项的系数为()33838C211792−−=−,第六项的系数为()55858C21448−−=−,故B错误;对于C,因为8n=,所以各项的二项式系

数之和为82256=,故C正确;对于D,令1x=,各项的系数之和为1,故D错误.故选:AC.10.下列说法正确是（）A.若直线a不平行于平面，a，则内不存在与a平行的直线B.若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则∥C.设l，m，n为直线，m，

n在平面内，则“l⊥”是“lm⊥且ln⊥”的充要条件D.若平面⊥平面1，平面⊥平面1，则平面与平面所成的二面角和平面1与平面1所成的二面角相等或互补【答案】AB【解析】【分析】对于选项ABC，可根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定

理进行判定；对于选项D，可在长方体中寻找特殊平面进行排除.【详解】选项A，若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线a与平面平行，与条件相矛盾，故选项A正确；选项B，由面面平行的判定定理可知选项B正确；选项C，当直线,mn不相交时，由线面垂直的判

定定理知：lm⊥且ln⊥时，得不到l⊥，故选项C错误；选项D，当11//，⊥时，可满足题设条件，此时平面与平面所成的二面角为90,平面1与平面1所成的二面角为0，故选项D错误.故选：AB11.

1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃

子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是()A.若第n只猴子分得nb个桃子(不含吃的),则()15412,3,4,5nnbbn−=−=B.若第n只猴子连吃带分

共得到na个桃子,则()1,2,3,4,5nan=为等比数列C.若最初有3121个桃子,则第5只猴子分得256个桃子(不含吃的)D.若最初有k个桃子,则4k+必有55的倍数【答案】ABD【解析】【分析】设最初有

1c个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为23456,,,,ccccc，则()()()11114111,255nnnnccccn−−−=−−−=−,若第n只猴子分得nb个桃子(不含吃的),则()()()

11111,1255nnnnbcbcn+−=−=−,根据nc与1nc+关系即可判断A的正误;由A构造等比数列即可判断B的正误;根据B求出数列nb的通项公式,将13121c=代入求解即可判断C;根据题意,1234554aaaaabk+++++=,又()1,2,3,4,5nan=为等

比数列,判断D的正误.【详解】设最初有1c个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为23456,,,,ccccc,则()()()11114111,255nnnnccccn−−−=−−−=−,若第n只猴子分得nb个桃子(

不含吃的),则()()()11111,1255nnnnbcbcn+−=−=−,所以()()()11411411512555nnnncbbcn−+−−−=−==,即()15412,3,4,5nnbbn−=−=,故A正确;由A，()15412,3,4,5nnbbn−

=−=,则()()15141nnbb−+=+,即1nb+()1,2,3,4,5n=是等比数列,若第n只猴子连吃带分共得到na个桃子,则1nnab=+,所以()1,2,3,4,5nan=是以45为公比的等比数列,故B正确.由B知,1nb+()1,2,3,4,5

n=是等比数列,所以1144155nncb−++=,即1144155nncb−+=−,若最初有3121个桃子,即13121c=,所以45312144125555

b+=−=,故C错误;根据题意:()123455123455441aaaaabaaaaaak+++++=+++++−=,因为()1,2,3,4,5nan=以45为公比的等比数列,所以()551234

5555144144514aaaaaaaak−+++++−=+−=−,化简得554454ak+=,因为41554aa=,且1a为正整数,所以54N4a,即4k+必有55的倍数,故D正确.故选:ABD.12.已

知A、B是平面直角坐标系xOy中的两点，若()OAOB=R，()20OAOBrr=，则称B是A关于圆222xyr+=的对称点．下面说法正确的是（）A.点()1,1关于圆224xy+=的对称点是()2,2−−B.圆224xy+=上的任意一点A关于圆2

24xy+=的对称点就是A自身C.圆()()2220xybbb+−=上不同于原点O的点M关于圆221xy+=的对称点N的轨迹方程是12yb=D.若定点E不在圆22:4Cxy+=上，其关于圆C的对称点为D，A为圆C上任意一点，则ADAE为定值【答案】BCD【解析】【分析】利用题中定义可判断

AB选项；设点()00,Mxy，其中00x，设点(),Nxy，可得出220002xyby+=，根据题中定义并结合已知条件求出点N的轨迹方程，可判断C选项；证明出AODEOA∽，可得出ADOAAEOE=，可判断D选项.【详解】对于A选项，取点()1,1A，设点A关于圆224xy+=的对

称点为B，则存e使得，OBeOA=，可得224OAOBeOAe===，则2e=，所以，()22,2OBOA==，因此，点()1,1关于圆224xy+=的对称点是()2,2，A错；对于B选项，由题意可知2OA=，设点A关于圆224xy+=的对称点为点B，则存在

实数k，使得OBkOA=，所以，244OAOBkOAk===，可得1k=，即OBOA=，因此，圆224xy+=上的任意一点A关于圆224xy+=的对称点就是A自身，B对；对于C选项，设点()00,Mxy，其中00x

，设点(),Nxy，因为点M在圆()()2220xybbb+−=上，则()22200xybb+−=，可得220002xyby+=，由题意可知，存在实数m，使得ONmOM=，即00xmxymy==，所以，()222000221OMONmOMmxybmyby==+===，可

得12yb=，因此，点N的轨迹方程为12yb=，C对；对于D选项，设点()11,Exy，则22114xy+，设点()22,Dxy，在由题意可知，存在实数t，使得ODtOE=，且24ODOEtOE==，则0t，所以，OD、OE同向，且24O

DOEODOEOA===，所以，ODOAOAOE=，又因为AODEOA??，所以，AODEOA∽，所以，ADOAAEOE=为定值，D对.故选：BCD.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方

法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标0x、0y，然后代入点P的坐标()00,xy所满足的曲线方程，整理化

简可得出动点Q的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13

.已知()0,0O，()1,2A，()3,1B−，若向量mOA∥，且m与OB的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为______．【答案】()1,2−−【解析】【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解.【详解】根据题意可得：()1,2OA=，()3,1OB=−，设(),mxy=，因

为向量mOA∥，且m与OB的夹角为钝角，所以123(1)03(1)yxxyyx=+−−所以0x，不妨令1,x=−所以2,y=−()1,2m=−−，故答案为：()1,2−−.14.已知O为坐标原点，在抛物线()220ypxp=

上存在两点E，F，使得OEF是边长为4的正三角形，则p=______．【答案】33【解析】【分析】根据抛物线的对称性以及边长可得()23,2E，进而代入抛物线方程即可求解.【详解】根据抛物线的对称性可知：由OEF为等边三角形，所以,EF关于坐标轴x对称，由4EO=,30AOx=，

所以()23,2E,将()23,2E代入可得34433pp==，故答案为：3315.湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园．已知90DAB=，45DBA=，30BAC=，60DBC=，22AB=千米，则CD=__

____千米．【答案】23【解析】【分析】在BAC中由正弦定理可得AC，在DAC△中由余弦定理可得CD.【详解】在三角形BAC中由正弦定理得sinsinABACACBABC=，所以22sin(18030456

0)sin(4560)AC=−−−+，即22sin45sin45cos6045cosin60sAC=+，所以4624AC=+，所以62AC=+，又90DAB=，45DBA=，所以ABD△为等腰直角三

角形，所以22ADAB==，在DAC△中由余弦定理得222cosCDACADACADDAC=+−()()()()22622226222cos903023=++−+−=，所以23CD=.故答案为：23.16.设函数()fx是定义在整数集Z上函数，且满足()01

f=，()10f=，对任意的x，yZ都有()()()()2fxyfxyfxfy++−=，则()3f=______；()()()()22222122023122023ffff+++=+++______．【答案】①.0②.11011

【解析】【分析】由()()()()2fxyfxyfxfy++−=结合已知函数值，通过代入特殊值计算()3f；推导出函数()fx周期4T=，通过已知函数值，分析()()()()22222122023122023ffff+++

+++中自变量的数据特征求值.【详解】令1xy==，2(2)(0)2(1)fff+=，∴()21f=−，的令2,1xy==，()()2(1(13))2ffff+=，∴()30f=，令1y=，则()()110fxfx++−=﹐即()()11fxfx+=−−，可

得()()2fxfx+=−，()()()24fxfxfx=−+=+，函数()fx周期4T=，(1)0f=，()21f=−，()30f=，()41f=，∴x为奇数时，()0fx=，n为奇数时，2n也为奇数，此时()20fn=；n为偶数时，2n为4的整数倍，此时()21f

n=.∴()()()22201010101011122023fff=++++++++=++，222(1)2212(1)1nnnnnn++=++=++，由Zn，则(1)nn+为偶数，记22(1)2(1)141nnnnnk++=++=+，Znk，()()()22

222222221220231242021202232023+++=+++++++1202112023134()101140925294()4093540kkkkkk=+=++++++++2031214()1023385kkk=++++()()()312021221220231023314

(850)kkfkff++++=+=++=，所以()()()()2222212202312202101311ffff+++++=+.故答案为：0；11011【点睛】思路点睛：由已知条件可得函数()fx周

期4T=，有(1)0f=，()21f=−，()30f=，()41f=，n为奇数时，2n也为奇数，此时()20fn=；n为偶数时，2n为4的整数倍，此时()21fn=，可求()()()222122023fff+++

的值，()222Z1422023nn+++=，可求()222122023f+++的值.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数()()22cossin20fxxx=+，1x，2x是()fx的两个相邻极值点，且满足12πxx−=．（

1）求函数()fx图象的对称轴方程；（2）若()13f=，求sin2．【答案】（1）ππ,Z4xkk=+（2）59−【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简()π2sin214fxx=++，结合周期即可求解()π2sin14fxx=++，整体法

即可求解对称轴，（2）根据余弦的二倍角公式即可求解.【小问1详解】()2π2cossin2cos2sin212sin214fxxxxxx=+=++=++，由12πxx−=可得周期T满足12T22πxx=−=,所以12=

，故()π2sin14fxx=++，令πππ,Z,42xkk+=+解得ππ,Z4xkk=+，故()fx的对称轴方程为ππ,Z4xkk=+【小问2详解】由()13f=得π1π22sin1sin4343++=+=−，由22ππ25cos212sin12

2439+=−+=−−=，所以π55cos2sin2sin2299+=−==−18.已知等差数列na的前n项和为nS，公差0d，2S，4S，54S

+成等差数列，2a，4a，8a成等比数列．（1）求nS；（2）记数列nb的前n项和为nT，22nnnnbTS+−=，证明数列1nnbS−为等比数列，并求nb的通项公式．【答案】（1）2nSnn=+（2）1

1121nnbnn−=−++【解析】【分析】（1）根据等比中项以及等差中项，结合等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，（2）根据22nnnnbTS+−=结合前n项和与通项之间的关系即可证明等比数列，由等比数列的定义即可求解

通项.【小问1详解】由2S，4S，54S+成等差数列，2a，4a，8a成等比数列可得()()()()11152412242811151042246422,237adadadSSSadaaaadadad++++=+++====+=++，()21222nnnSnnn−=+=

+【小问2详解】由22nnnnbTS+−=得()111332212,22211nnnnbTbbTTnnnn+−===+=+−++，故1121212nnbTnn++=+−++，两式相减可得11121211

111222121121nnnnnbbbbbnnnnnnnn+++−=+−−+−+=−+++++++，而1111nnnbbSnn−=−++，所以1nnbS−为公比为2的

等比数列，且首项为31122−=，故11121nnbnn−−+=+，进而11121nnbnn−=−++19.如图，在RtPAB中，PAAB⊥，且4PA=，2AB=，将PAB绕直角边PA旋转2π3到PAC△处，得到圆锥的一部分，点D是底面圆弧BC(不含端点)上的一个动点．（1

）是否存在点D，使得BCPD⊥？若存在，求出CAD的大小；若不存在，请说明理由；（2）当四棱锥PABDC−体积最大时，求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值．【答案】（1）存在，当D为圆弧BC的中点，此时π3CAD=；（2）1119．【解

析】【分析】（1）BC⊥面PAD即为所求，即BC⊥AD，此时易知D为圆弧BC的中点；（2）易知当四边形ABDC面积最大时，四棱锥的体积最大，设CAD=，根据ABDCCADBADSSS=+可求四边形ABDC面积最大时的大小.建立空间直角坐标系，求出此时各点

坐标，利用向量法即可求出平面PCD与平面PBD夹角的余弦值．【小问1详解】当D为圆弧BC的中点，即π3CAD=时，BCPD⊥，证明如下：∵D为圆弧BC的中点，∴π3CADBAD==，即AD为CAB的平分线，∵ACAB=，∴AD为等腰CAB△的高线，即ADBC⊥，∵,,,,PAA

BPAACABACAABAC⊥⊥=平面ABDC，∴PA⊥平面ABDC，∴PABC⊥，∵PAADA=，∴BC⊥面PAD，∴BCPD⊥．【小问2详解】由（1）得，PA为四棱锥PABDC−的高，∵4PA=，∴当底面积ABDCS取最大值时，四棱锥PABDC−体积最大.设CAD=，则2π2π,0,3

3BAD=−，112π22sin22sin223ABDCCADBADSSS=+=+−2ππ2sinsin23sin36=+−=+，∵250,,,3666

+，∴π3=时，πsin1,6ABDCS+=取最大值23，∴当四棱锥PABDC−体积最大时，π3CADBAD==，过A在平面ABDC内作直线AEAB⊥，交圆弧BC于点E，由题知,,AEABAP两两垂直，则以A为原点，分别以,,AEABAP

所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,0,0,4,0,2,0,3,1,0,3,1,0APBDC−，则()()()3,1,4,0,2,0,3,1,0PDCDDB=−==−，设平

面PCD的法向量为()111,,nxyz=，则00nPDnCD==，即111134020xyzy+−==，令13z=，得()4,0,3n=；设平面PBD的法向量为()222,,mxyz=，则00mPDmDB==

，即2222234030xyzxy+−=−+=，令23z=，得()2,23,3m=；设平面PCD与平面PBD的夹角为，则11cos19mnmn==，∴平面PCD与平面PBD夹角余弦值为1119．20.今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩

目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照)60,70，)70,80，)80,90，90,100分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，

估计该校学生测试成绩的中位数；（2）用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用()PXk=表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在90,100上的概率，求()PXk=取最大值时对应的k的值；（3）从测试成绩在

90,100的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互

独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望．的【答案】（1）82.5（2）2k=（3）分布列见解析；()45E=【解析】【分析】（1）根据题意，由中位数的意义列出方程，即可得到结果；（2）根据题意可

得，当()PXk=取最大值时，则()()()()11PXkPXkPXkPXk==+==−，然后求解，即可得到结果；（3）由题意可得，甲乙分别进入复赛的概率，然后求得()0,1,2P=的概率，即可得到分布列与期望.【小问1详解】因为前两个矩形的面积之和为()0.

010.03100.40.5+=，前三个矩形面积为()0.010.030.04100.80.5++=，所以中位数在()80,90之间，设中位数为x，则()()100.010.03800.040.5x++−=，解得82

.5x=，故中位数为82.5.【小问2详解】由题意可得，成绩在90,100上的概率为0.2，则不在90,100的概率为0.8，所以()10,0.2XB，即有()()()1010C0.20.8kkkPXk−==，0,1,2,,10

k=，当()PXk=取最大值时，则()()()()11PXkPXkPXkPXk==+==−，即()()()()()()()()1019110101011111010C0.20.8C0.20.8C0.

20.8C0.20.8kkkkkkkkkkkk−+−+−−−−，解得()()1010.211010.2k+−+，即1.22.2k，且kN，所以2k=.【小问3详解】由题意可知，从6道题中选4题

共有46C15=，因为甲能答对6道题中的4道题，故甲能进复赛的情况共有314424CCC9+=，所以甲能进复赛的概率为93155=，则甲不能进复赛的概率为32155−=；因为乙能答对6道题中的3道题，故乙能进复赛的情况共有3133CC3=,所以乙能进复赛的概率为31155=，则乙

不能进复赛的概率为14155−=；依题可得，的可能取值为0,1,2，所以()24805525P===，()3421141555525P==+=，()31325525P===，则分布列为:012P8251425325则()81434012

2525255E=++=.21.已知O为坐标原点，椭圆()2222:10xyCabab+=的左，右焦点分别为1F，2F，A为椭圆C的上顶点，12AFF△为等腰直角三角形，其面积为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l交椭圆C于P，

Q两点，点W在过原点且与l平行的直线上，记直线WP，WQ的斜率分别为1k，2k，WPQ△的面积为S．从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立．①22S=；②1212kk=−；③W为原点O．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答

案】（1）2212xy+=；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)根据椭圆的几何性质即可求出a、b、c，从而可得椭圆的标准方程；(2)(i)选②③为条件：设()()1122,,,PxyQxy，分l斜率存在和不存在两种情况讨论.l斜率存在时，设l为ykxt=+，由12

12kk=−可得121220xxyy+=(*)，联立直线l与椭圆的方程，得1212,xxyy，代入(*)可得k和t的关系，根据弦长公式求出|PQ|，根据点到直线距离公式求出O到l的距离d，根据12SPQd=即可求出S；(ii)选①③为条件：设()()1122,,,PxyQxy，分l斜率存

在和不存在两种情况讨论.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：ykxt=+，联立直线和椭圆方程可得1212,xxxx+，根据弦长公式求出|PQ|，根据点到直线距离公式求出O到直线l的距离d，根据12SPQ

d=可得k和t的关系，表示出12yy，根据121212yykkxx=即可求出12kk；(iii)选①②为条件：设()()()112200,,,,,PxyQxyWxy，分l斜率存在和不存在两种情况讨论.当直

线l的斜率存在时，设()00,Wxkx，直线l的方程为：ykxt=+，联立直线和椭圆方程可得1212,xxxx+，根据弦长公式求出|PQ|，根据点到直线距离公式求出W到直线l的距离d，根据12SPQd=可得k和t的关系

，表示出12yy，根据121212yykkxx=即可求出W的坐标．【小问1详解】记122FFc=，由题意知：12,22AFAFaca===，∴122112AFFSa==，解得2a=，∴1,1bc==，∴椭圆C的标准方程

为：2212xy+=．【小问2详解】(i)选②③为条件：设()()1122,,,PxyQxy，当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限，则由1212kk=−，可得122k=，此时直线WP的方程为22yx=，与2212xy+=联立，解得21,2P

，∴22S=．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：ykxt=+，则12121212yykkxx==−，即121220xxyy+=，将ykxt=+代入2212xy+=得：()222124220kxktxt++

+−=，∴2121222422,1212kttxxxxkk−+=−=++，∴()()()2222121212122212tkyykxtkxtkxxktxxtk−=++=+++=+，∴22222222201212ttkkk−−+=++，即22122kt+=．()222

22212121221211422112ktPQkxxkxxxxkk+−=+−=++−=++，∵点O到直线l的距离21tdk=+，∴22222112222121221tktSkkk+−=+=++，综上，①成立．(ii)选①③为条件：设()(

)1122,,,PxyQxy，当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限，则由22S=，可得111112222Sxyxy===，又221112xy+=，解得221,,1,22PQ−

，∴1212kk=−；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：ykxt=+，将ykxt=+代入2212xy+=得：()222124220kxktxt+++−=，∴2121222422,1212kttxxxxkk−+=−=++，()22222212121221211422112ktPQk

xxkxxxxkk+−=+−=++−=++，∵点O到直线l的距离21tdk=+，∴2222222211212222122121221tktktSktkkk+−+−=+==+++，即22122kt+=，∵()()()2222121212122212tkyykxtkxtkxxkt

xxtk−=++=+++=+，∴2222221212222122221112222222212tkyytktkkktxxttk−−−+=====−−−−+．综上，②成立．(iii)选①②为条件：设()()()112200,,,

,,PxyQxyWxy，当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限，则()()110,,0,QxyWy−，∴111112222Sxyxy===，又221112xy+=，解得221

,,1,22PQ−，∴()()10102120111122yyyykkyxx−−−==−=−，∴00y=，∴()0,0W为坐标原点，满足题意；当直线l的斜率存在时，设()0

0,Wxkx，直线l的方程为：ykxt=+，将ykxt=+带入2212xy+=得：()222124220kxktxt+++−=，∴2121222422,1212kttxxxxkk−+=−=++，()2

2222212121221211422112ktPQkxxkxxxxkk+−=+−=++−=++，点W到直线l的距离21tdk=+，∴2222222211212222122121221tktktSktkkk+−+−=+==+++，即22122k

t+=，∵()()()2222121212122212tkyykxtkxtkxxktxxtk−=++=+++=+，()12121222212tyykxtkxtkxxtk+=+++=++=+，则由()()()()102012102012yk

xykxkkxxxx−−==−−−，即()()()()1020102020xxxxykxykx−−+−−=，得：()()2221201201201202220xxxxxxyykxyykx−+++−++=，即()()222220124420kxkt+

−−+=，∵2222122,4420ktkt+=−+=，∴00x=，即()0,0W．综上，③成立．22.已知函数()lnfxx=，圆()22:2Cxyb+−=．（1）若1b=，写出曲线()yfx=与圆C的一条公切线的方程(无需证明)；（2）若曲线()yfx=与圆C恰有三条公切线．(i)求b的取值

范围；(ii)证明：曲线22:12yDx−=上存在点(),Tmn()0,0mn，对任意0x，()()1fmxfxnb=+−−．【答案】（1）10xy−−=；（2）(i)1b；(ii)证明见解析．【解析】【

分析】(1)根据导数的几何意义表示出f(x)的切线方程，再根据该切线与圆相切列出方程，取方程的特殊解即可得到一条共切线的方程；(2)(i)设曲线()yfx=与圆C公切线l的方程为ykxm=+，根据导数几何意义求出k和m的关系，

再根据圆的切线方程的几何性质得到关于k的方程，问题转化为讨论该方程有三个解的问题.构造函数，将问题转化为讨论函数有3个零点的问题.(ii)根据(i)中构造出的函数，结合图象即可证明．【小问1详解】设f(x)的切线的切

点为()00,lnxx，∵()1fxx=，∴切线斜率为()001kfxx==，∴切线方程为()0001lnyxxxx−=−，即0000ln0xxyxxx−−+=，当b＝1时，圆的圆心为()0,1，半径为2，当f(x)的切线也是圆的切线时，000020ln21xxxxx−−+=+，即

()200002ln21xxxx−+=+，易知01x=是该方程的一个根，此时切线方程为10xy−−=．【小问2详解】(i)设曲线()yfx=与圆C公切线l的方程为ykxm=+(显然，l斜率存在)，∵l

与曲线()yfx=相切，故()1fxkx==，∴切点为11,lnkk，11:lnlykxkk−=−，即:1lnlykxk=−−，即1lnmk=−−，∵l与圆C相切，∴221bmk−=+，即

22()220bmk−−−=，∴22(1ln)220bkk++−−=，令()22(1ln)22,0gxbxxx=++−−，则()()()221ln221ln4bxxbxgxxxx++−++=−=，设()()21ln2hxbxx=++−，则()()()1212

14xxhxxxx−+=−=，易证明：ln1xx−．①当1b时，∵()hx在10,2上单调递增，在1,2+上单调递减；∴()12hxh，∵11ln2022hb=+−，()()211e2e0bbh−−−−=−，()()2221l

n28380hbbbbbb=++−−；∴存在11e,2b−−，1,22b，使得()()0hh==．∴21ln2b++=，21ln2b++=，∴()gx在()0,上单调递减，在(),上单调递增，在(),+上单调递减；∵()424

220g=−−，且()()21(1)40ggb=+−，又∵()()231231e42e20bbgb−−−−=−−，且()()22223[1ln3]182161820gbbbbbb=++−−−−，∴存在()()()31123e,,,,,3bxxxb

−−，使得()()()1230gxgxgx===，∴当1b时，曲线()yfx=与圆C恰有三条公切线；②当10ln212b−时，∵()()1210,e0,1(1)402bhhhb−−=+−；∴存在111e,,,122b−−

，使得()()0hh==，∴()gx()0,上单调递减，在(),上单调递增，在(),+上单调递减；∴()424220g=−−，且()424220g=−−，∴()gx不可能存在三个零点；③

当1ln22b−时，102h；∴()hx在()0,+上单调递减，最多一个零点；∴()gx最多一个极值点，不可能有三个零点；综上，若曲线()yfx=与圆C恰有三条公切线，则b的取值范围为1b．(

ii)函数()22(1ln)22gxbxx=++−−的零点，即方程21ln22bxx++=+的解，即曲线1lnybx=++和曲线222221(0)2yyxxy=+−=交点的横坐标，在结合图象，

显然存在(),Tmn，使得1lnbmn++=成立，∴()()()ln1fmxfxmfxnb=+=+−−对任意0x恒成立．【点睛】本题属于导数的综合题，需要利用导数讨论方程根的个数问题（函数零点问题）.问题关键是熟练掌握利用导数分类讨论函数的单调性，判断函数的零点的个数.获

得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com