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第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)下面四种说法,其中正确的是()A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mbB.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-naC.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,

则a=bD.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n答案AB解析由向量数乘的运算律,得A,B均正确.对于C,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.2.已知向量�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a+2b,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=5a+3b,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=-3a+b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线答案A解析∵向量𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=

2a+4b,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a+2b,∴𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,即A,B,D三点共线.3.已知在△ABC中,向量𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=λ(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)(λ∈R),则点P的轨迹经过△ABC的()A.

垂心B.内心C.外心D.重心答案D解析设D为BC中点,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2λ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,即点P在中线AD所在直线上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.4.若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=5e,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=-7e,且|

𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,则四边形ABCD的形状是.答案等腰梯形解析由已知得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-57𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,因此𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|≠|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|,所以四边形

ABCD是梯形.又因为|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,所以四边形ABCD是等腰梯形.5.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为.答案-13解析由向量共线可得a+λb=k(b-3a),即a+λb=

kb-3ka,∴(1+3k)a=(k-λ)b.∵a,b不共线,∴{1+3𝑘=0,𝑘-𝜆=0,解得λ=-13.6.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b.(1)用

a,b分别表示向量𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗;(2)求证:B,E,F三点共线.(1)解∵𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=12(a+b),∴𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=13(a+b).∵𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=1

2b,∴𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-a+12b.(2)证明由(1)知𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-a+12b,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=-a+13(

a+b)=-23a+13b=23(-𝑎+12𝑏),∴𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗.∴𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗与𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗共线.又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.7.(1)已知

a=3i+2j,b=2i-j,求(13𝑎-𝑏)-a-23b+(2b-a);(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.解(1)原式=13a-b-a+23b+2b-a=(13-1-1)a+(-1+23+2)b=-53a+53b.∵a=3i+2j

,b=2i-j,∴原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=(-5+103)i+(-103-53)j=-53i-5j.(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加,得11x=a+2b

,∴x=111a+211b.∴y=3x-b=3(111𝑎+211𝑏)-b=311a-511b.关键能力提升练8.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,若实数λ满足𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,则λ的值为()A.2B.32C.3D.6答案C解析𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-2�

�𝐴⃗⃗⃗⃗⃗.又𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,即𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-3𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗=-λ𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,∴λ=3.9.(2020辽宁营口期末)已知D为△ABC所在平面内一点,3𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=()A.-13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+43𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗C.43

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D.14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗答案A解析因为D为△ABC所在平面内一点,3𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗+13(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=-13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+43𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.故选A.10.(2021福建福州期中)如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上运

动(包含点C,不包含点B),且𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=m𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+n𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗(m,n∈R),则1𝑚+2𝑛的最小值是()A.3B.3+2√2C.4D.4+2√2答案C解析因为点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),则𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(0<λ≤1),

则𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+λ(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+λ-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗

⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=1-12λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以m=1-12λ,n=λ,则1𝑚+2𝑛=11-12𝜆+2𝜆=22-𝜆+2𝜆=12-𝜆+1𝜆[(2-λ)+λ]=2+𝜆2-𝜆+2-𝜆𝜆≥2+2√2-𝜆𝜆·𝜆2-𝜆=4

,当且仅当2-𝜆𝜆=𝜆2-𝜆,即λ=1时等号成立.故1𝑚+2𝑛的最小值为4.故选C.11.(多选题)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和

重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个选项正确的是()A.GH=2OGB.𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0C.AH=2ODD.

S△ABG=S△BCG=S△ACG答案ABCD解析在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示.对于B,根据三角形的重心性质得𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,选项B正确;对于A

,C,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,∴𝐺𝐻𝑂𝐺=𝐴𝐻𝑂𝐷=𝐴𝐺𝐷𝐺=2,∴GH=2OG,AH=2OD,选项A,C正确;对于D,过点G作GE⊥BC,垂足为E,∴△DEG∽△

DNA,则𝐺𝐸𝐴𝑁=𝐷𝐺𝐷𝐴=13,∴△BGC的面积为S△BGC=12×BC×GE=12×BC×13×AN=13S△ABC;同理,S△AGC=S△AGB=13S△ABC,选项D正确.12.在平行四边形ABCD中,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12

𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,若𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,其中λ,μ∈R,则λ+μ=.答案75解析由平面向量的加法运算,有𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.因为𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=

λ𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=λ(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)+μ(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗)=λ(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)+μ(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗)=(𝜆3+𝜇)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+(𝜆+𝜇2)𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(𝜆3+𝜇)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+(𝜆+𝜇2)𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,即1-𝜆3-μ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=λ+𝜇2-1𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.

∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗不共线,∴{𝜆3+𝜇=1,𝜆+𝜇2=1,解得{𝜆=35,𝜇=45,故λ+μ=75.13.已知M是△ABC所在平面内的一点,若满足6𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-2�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是.答案3解析记2𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∵𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗-2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=

2𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,S△ABC=32S△ABN.又S△ABM=12S△ABN,∴S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.14.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=

a,𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=b.(1)用向量a与b表示向量𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗;(2)若𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=35𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,判断C,D,E是否共线,并说明理由.解(1)∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=b,点A是BC

的中点,∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-a.∴𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-a-b.(2)C,D,E不共线.理由如下,假设存在实数λ,使𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.∵𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=a+b+35(-b)=a

+25b,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗)=2a+13(-a+b)=53a+13b,∴a+25b=λ(53𝑎+13𝑏),∴{53𝜆=1,1

3𝜆=25,此方程组无解,∴不存在实数λ,满足𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.∴C,D,E三点不共线.学科素养创新练15.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=35AF,设𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b,试用a,b表

示𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗.解因为𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b-a,𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=13(b-a),所以𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=23a

+13b.因为𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12(a+b),所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=85𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=45(a+b),