【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题2.4 基本不等式-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(13)页，43.756 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.4基本不等式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022春•韩城市期末）函数𝑓(𝑥)=5𝑥+20𝑥(𝑥＞0)的最小值为（）A．10B．15C．20D．25【解题思路】利用基本不等式

化简即可求解．【解答过程】解：由题意f（x）＝5x+20𝑥≥2√5𝑥×20𝑥=20，当且仅当5x=20𝑥，即x＝2时取等号，此时取得最小值为20，故选：C．2．（3分）（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1

+xy，则下列结论中，正确的是（）A．x+y≤1B．x+y≥2C．x2+y2≥1D．x2+y2≤2【解题思路】由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（𝑥+𝑦2）2，x2+y2﹣1＝xy≤𝑥2+𝑦22，分别求出x+

y与x2+y2的取值范围即可．【解答过程】解：对于A，B，由x2+y2＝1+xy可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（𝑥+𝑦2）2，即14(𝑥+𝑦)2≤1，∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B错，对于C

，D，由x2+y2＝1+xy可得，x2+y2﹣1＝xy≤𝑥2+𝑦22，∴x2+y2≤2，故C错，D对，故选：D．3．（3分）（2022春•黄陵县校级期末）下列函数中，最小值为2的是（）A．𝑦=𝑥+1𝑥B．y＝x2﹣2x+4C．�

�=𝑥2+1𝑥2D．𝑦=√𝑥2+2+1√𝑥2+2【解题思路】选项A，利用排除法，当x＜0时，y＜0；选项B，由配方法，可得y≥3；选项C，利用基本不等式，可得解；选项D，采用换元法，令t=√𝑥2+2≥√2，则y＝t+1�

�，再结合对勾函数的图象与性质，得解．【解答过程】解：选项A，当x＜0时，y＜0，即A不符合题意；选项B，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3≥3，即B不符合题意；选项C，y＝x2+1𝑥2≥2√𝑥2⋅1𝑥2

=2，当且仅当x2=1𝑥2，即x＝±1时，等号成立，即C符合题意；选项D，令t=√𝑥2+2≥√2，则y＝t+1𝑡在[√2，+∞）上单调递增，所以y≥√2+1√2=3√22，当且仅当t=√2时，等号成立，即D不符合题意．

故选：C．4．（3分）（2022秋•哈尔滨月考）设a＞0，b＞0，若a+3b＝5，则(𝑎+1)(3𝑏+1)√𝑎𝑏的最小值为（）A．9√3B．2C．6√2D．4√3【解题思路】由已知结合基本不等式即可求解．【解答过程】解：a＞0，b＞0，a+3b

＝5，则(𝑎+1)(3𝑏+1)√𝑎𝑏=3𝑎𝑏+𝑎+3𝑏+1√𝑎𝑏=3√𝑎𝑏+6√𝑎𝑏≥2√3√𝑎𝑏⋅6√𝑎𝑏=6√2，当且仅当3√𝑎𝑏=6√𝑎𝑏且a+3b＝5，即a＝2，b＝1时取等号．故选：C．5．（3分）（2022秋•南关

区校级月考）已知正实数a，b满足4𝑎+𝑏+1𝑏+1=1，则a+2b的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【解题思路】根据a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4𝑎+𝑏+1𝑏+1）﹣1，结合基本不等式求解即可．【解答过程】解：∵正实数a，b

满足4𝑎+𝑏+1𝑏+1=1，∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4𝑎+𝑏+1𝑏+1）﹣1＝5+4(𝑏+1)𝑎+𝑏+𝑎+𝑏𝑏+1−1≥5+2√4(𝑏+1)𝑎+𝑏⋅𝑎+𝑏𝑏+1−1＝8，当且仅当a+b＝2（b+1）时等号成立，故选：B

．6．（3分）（2021秋•泽普县校级月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径

AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A．𝑎+𝑏2≥√𝑎𝑏(𝑎＞0，𝑏＞0)B．√𝑎2+𝑏22≥√𝑎𝑏(𝑎＞0，𝑏＞0)C．𝑎+𝑏2≤√�

�2+𝑏22(𝑎＞0，𝑏＞0)D．2𝑎𝑏𝑎+𝑏≤√𝑎𝑏(𝑎＞0，𝑏＞0)【解题思路】利用数形结合计算出OF，OC，再在Rt△OCF中，利用勾股定理得CF，再由CF≥OF，可解．【解答过程】解：由图形可知：OF=12𝐴𝐵=12(𝑎+𝑏

)，OC=12(𝑎+𝑏)−𝑏=12(𝑎−𝑏)，在Rt△OCF中，由勾股定理得：𝐶𝐹2=√𝑂𝐶2+𝑂𝐹2=√12(𝑎2+𝑏2)，又CF≥OF，∴√12(𝑎2+𝑏2)≥12(𝑎+𝑏)，（a，b＞0），故选：C．7．（3分）（2022春•营口期末）十六世纪

中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且1𝑎+1𝑏＞t恒成立，则实数t的取值范围是（）A．t≤1B．t＜1C．t

≤2D．t＜2【解题思路】利用“乘1法”，可得1𝑎+1𝑏＞1，从而得解．【解答过程】解：1𝑎+1𝑏=14（a+b）（1𝑎+1𝑏）=14（2+𝑎𝑏+𝑏𝑎）≥14（2+2）＝1，当且仅当𝑎𝑏=𝑏𝑎，即a＝b＝2时，等号成立，因为a≠b，所

以1𝑎+1𝑏＞1，又1𝑎+1𝑏＞t恒成立，所以t≤1．故选：A．8．（3分）（2021秋•李沧区校级月考）若x＞0，y＞0，且2𝑥+1𝑦=1，x+2y＞m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣8＜m＜1B．m＜﹣8或m＞1C．m＜﹣

1或m＞8D．﹣1＜m＜8【解题思路】根据题意，分析可得x+2y＝（x+2y）（2𝑥+1𝑦）＝4++4𝑦𝑥+𝑥𝑦，由基本不等式的性质求出x+2y的最小值，再由二次不等式的解法，解可得m的取值范围．【解答过程】解：

根据题意，x＞0，y＞0，且2𝑥+1𝑦=1，则x+2y＝（x+2y）（2𝑥+1𝑦）＝4+4𝑦𝑥+𝑥𝑦≥4+2√4𝑦𝑥⋅𝑥𝑦=8，当且仅当x＝2y＝4时等号成立，即x+2y的最小

值为8，若x+2y＞m2+7m恒成立，必有m2+7m＜8，解可得﹣8＜m＜1．即m的取值范围为（﹣8，1）．故选：A．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•滦南县校级月考）下列函数最小值为2的是（）A．y＝x+1𝑥B．y=𝑥2+2√𝑥2+1C．y＝x2+

1𝑥2D．y=√𝑥(4−𝑥)【解题思路】对于AD可以利用特殊值法判断；对于BC利用基本不等式判断即可．【解答过程】解：对于A，当x＝﹣1时，y＝﹣2，A错误．对于B，y=𝑥2+2√𝑥2+1=𝑥2+1+1√𝑥2+1=√𝑥2+1+1√𝑥2+1≥2√(𝑥2+1)⋅1𝑥

2+1=2，当且仅当√𝑥2+1=1√𝑥2+1，即x＝0时取得等号，B正确．对于C，y＝x2+1𝑥2≥2√𝑥2⋅1𝑥2=2，当且仅当x2=1𝑥2，即x＝±1时取得等号，C正确．对于D，当x＝0

时，很显然最小值不是2，D错误．故选：BC．10．（4分）（2021秋•建华区校级期中）若正数a，b满足a+b＝1，则13𝑎+2+13𝑏+2的可能取值为（）A．67B．47C．27D．14【解题思路】构造17×（3

a+2+3b+2）×（13𝑎+2+13𝑏+2），运用1的巧妙代换，结合基本不等式求解．【解答过程】解：∵a+b＝1，∴3a+2+3b+2＝7，∴13𝑎+2+13𝑏+2=17×（3a+2+3b+2）×（13

𝑎+2+13𝑏+2）=27+17(3𝑏+23𝑎+2+3𝑎+23𝑏+2)，∵a，b都是正数，∴3𝑏+23𝑎+2＞0，3𝑎+23𝑏+2＞0，由基本不等式可知3𝑏+23𝑎+2+3𝑎+23𝑏+2≥2√3𝑏+23𝑎+2⋅3𝑎+23𝑏+2=2，∴13𝑎+2+

13𝑏+2≥27+27=47，当且仅当a+b＝1，3𝑏+23𝑎+2=3𝑎+23𝑏+2时，即a＝b=12时，取等号．∴13𝑎+2+13𝑏+2的最小值为47．故选：AB．11．（4分）（2021秋•烟台期末）已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，则错误的是（）A．xy的取

值范围是[1，9]B．x+y的取值范围是[2，+∞）C．x+4y的最小值是3D．x+2y的最小值是4√2−3【解题思路】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：因为x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，所以x+y＝3﹣xy≥2√𝑥𝑦

，当且仅当x＝y＝1时取等号，解得，0＜√𝑥𝑦≤1，即0＜xy≤1，所以xy的取值范围为（0，1]，A错误；又xy＝3﹣（x+y）≤(𝑥+𝑦2)2，且仅当x＝y＝1时取等号，解得，x+y≥2，故B正确，又x+y＝3﹣xy＜3；由x+y+xy﹣3＝0，得x=3−�

�𝑦+1＞0，所以0＜y＜3，1＜y+1＜4，所以x+4y=3−𝑦𝑦+1+4y＝4（y+1）+4𝑦+1−5＞3，此时等号无法取得，C错误；x+2y=3−𝑦𝑦+1+2y＝2y−𝑦+1−4𝑦+1=2（y+1）+4𝑦+1−3≥2√(2𝑦+2)⋅

4𝑦+1−3＝4√2−3，当且仅当2y+2=4𝑦+1，即y=√2−1时取等号，此时x+2y取得最小值4√2−3，D正确．故选：AC．12．（4分）（2021秋•呼兰区校级期中）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，若𝑚𝑚−1≤𝑥+2𝑦𝑥𝑦对任意的

x＞0，y＞0恒成立，则实数m的可能取值为（）A．14B．98C．127D．2【解题思路】先结合基本不等式求出𝑥+2𝑦𝑥𝑦的最小值，然后由不等式恒成立转化为𝑚𝑚−1≤（𝑥+2𝑦𝑥𝑦）min，解不等式可求m的范围，结合选项可判断．【解答过程】解

：因为x＞0，y＞0，且2x+y＝2，所以𝑥+2𝑦𝑥𝑦=1𝑦+2𝑥=12（1𝑦+2𝑥）（2x+y）=12（5+2𝑥𝑦+2𝑦𝑥）≥12(5+2√2𝑥𝑦⋅2𝑦𝑥)=92，当且仅当2𝑥𝑦=2𝑦𝑥且2x+y＝2，即x＝y=

23时取等号，若𝑚𝑚−1≤𝑥+2𝑦𝑥𝑦对任意的x＞0，y＞0恒成立，则𝑚𝑚−1≤92，整理得7𝑚−9𝑚−1≥0，解得m≥97或m＜1，结合选项可知，ACD符合题意．故选：ACD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13

．（4分）（2021秋•石鼓区校级月考）已知x＞2，x+𝑎𝑥−2（a＞0）最小值为3．则a＝14．【解题思路】先变形得到x+𝑎𝑥−2=x﹣2+𝑎𝑥−2+2，再利用基本不等式求最值．【解答过程】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴x+𝑎𝑥−2=x﹣2+𝑎𝑥−2+2≥2

√𝑎+2，当且仅当x﹣2=𝑎𝑥−2，即x＝2+√𝑎时取等号，∴x+𝑎𝑥−2（a＞0）最小值为2√𝑎+2，∵x+𝑎𝑥−2（a＞0）最小值为3，∴2√𝑎+2＝3，∴a=14，故答案为：14．14．（4分）（2022秋•新罗区校级月考）已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，

则2a+b的最小值为4√2−3．【解题思路】利用已知关系式求出a=3−𝑏𝑏+1，则2a+b＝2×3−𝑏𝑏+1+b=6−2𝑏𝑏+1+𝑏=8−2(𝑏+1)𝑏+1+b=8𝑏+1+b﹣2=8𝑏+1+𝑏+1−3，然后利用基本不等式即可求解．【解答过程】解：因为ab

+a+b＝3，所以a=3−𝑏𝑏+1，则2a+b＝2×3−𝑏𝑏+1+b=6−2𝑏𝑏+1+𝑏=8−2(𝑏+1)𝑏+1+b=8𝑏+1+b﹣2=8𝑏+1+𝑏+1−3≥2√8𝑏+1⋅(𝑏+1)−3＝4√2−3，当且仅当8𝑏

+1=𝑏+1，即b＝2√2−1时取等号，此时最小值为4√2−3，故答案为：4√2−3．15．（4分）（2022•衡南县校级开学）直角三角形的斜边长为5时，其面积有最大（大或小）值，为254．【解题思路】先设直角边分别为x，y，则x2+y2＝25，然后结合基本不等式及三角形面积公式可求．【解答过

程】解：设两直角边分别为x，y，则x2+y2＝25，因为x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y=5√22时取等号，故xy≤252，故三角形面积S=12𝑥𝑦≤254．故答案为：大；254．16．（4分）（

2022秋•余姚市校级月考）有下列4个关于不等式的结论：①若x＜0，则x+1𝑥≤−2；②若x∈R，则𝑥2+2√𝑥2+1≥2；③若x∈R，则|𝑥+1𝑥|≥2；④若a＞0，则(1+𝑎)(1+1𝑎

)≥4．其中正确的序号是①②④．【解题思路】利用基本不等式逐个判断4个结论即可，注意“一正，二定，三相等”3个条件缺一不可．【解答过程】解：对于①，若x＜0，则﹣x＞0，∴x+1𝑥=−（﹣x+1−𝑥）≤﹣2√−𝑥⋅1−𝑥=−2，当且仅当﹣x=1−𝑥，即x＝﹣1时，等号成立，故①正确

，对于②，若x∈R，𝑥2+2√𝑥2+1=(√𝑥2+1)2+1√𝑥2+1=√𝑥2+1+1√𝑥2+1≥2√√𝑥2+1⋅1√𝑥2+1=2，当且仅当√𝑥2+1=1√𝑥2+1，即x＝0时，等号成立，故②正确，对于③，当x＝0时，x+1𝑥无意义，故③错误，对于④，若a＞0，

则（1+a）（1+1𝑎）＝1+1𝑎+a+1≥2√𝑎⋅1𝑎+2＝4，当且仅当a=1𝑎，即a＝1时，等号成立，故④正确，所以正确的序号是①②④，故答案为：①②④．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022•望花区校级开学）已知x∈（0

，+∞）．（1）求𝑦=𝑥+1𝑥的值域；（2）求𝑦=𝑥2+2𝑥+3𝑥的最小值，以及y取得最小值时x的值．【解题思路】（1）由题意利用基本不等式即可求解．（2）由已知可得y=𝑥2+2𝑥+3𝑥=2+（x+3𝑥），利用基本不等式即可求解．【解答过程】解：（1）因为x∈（

0，+∞），所以𝑦=𝑥+1𝑥≥2√𝑥⋅1𝑥=2，取等号条件：x=1𝑥，x2＝1．因为x∈（0，+∞），所以x＝1，所以函数𝑦=𝑥+1𝑥的值域为[2，+∞）．（2）y=𝑥2+2𝑥+3𝑥

=2+（x+3𝑥），因为x∈（0，+∞），所以x+3𝑥≥2√3，所以y＝2+（x+3𝑥）≥2+2√3，取等号条件：x=3𝑥，x2＝3，因为x∈（0，+∞），所以𝑥=√3，当𝑥=√3时，该函数取最小值2+2

√3．18．（6分）（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求1𝑎+2𝑏的最小值；（2）求a2+4b2+5ab的最大值．【解题思路】（1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出；（2）利用a＝2﹣2b将a2+4b2+5ab＝﹣2（

b−12）2+92，再利用二次函数求最大值即可得出．【解答过程】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+2b＝2，∴1𝑎+2𝑏=12(𝑎+2𝑏)(1𝑎+2𝑏)=12(1+2𝑎𝑏+2𝑏𝑎+4)≥12(5+

2√2𝑎𝑏⋅2𝑏𝑎)=92，当且仅当2𝑎𝑏=2𝑏𝑎，即a＝b时等式成立，∴1𝑎+2𝑏的最小值为92．（2）∵a＞0，b＞0，a+2b＝2，∴a＝2﹣2b＞0，可得0＜b＜1，a2+4b2+5ab＝（2﹣2

b）2+4b2+5（2﹣2b）b＝﹣2b2+2b+4＝﹣2（b−12）2+92，当b=12时，a2+4b2+5ab有最大值为92．19．（8分）（2022春•福田区校级期末）若a＞0，b＞0，a+b＝1

．求证：（1）4𝑎+1𝑏≥9；（2）√2𝑎+1+√2𝑏+1≤2√2．【解题思路】（1）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可证明；（2）利用基本不等式的结论(𝑚+𝑛2)2≤𝑚2+𝑛22即可证明．【解答过程】证明：（1

）因为a＞0，b＞0，a+b＝1，所以4𝑎+1𝑏=（4𝑎+1𝑏）（a+b）＝5+4𝑏𝑎+𝑎𝑏≥5+2√4𝑏𝑎⋅𝑎𝑏=9，当且仅当4𝑏𝑎=𝑎𝑏且a+b＝1，即b=13，a=23时取等号，故4𝑎+1𝑏≥9；（2

）因为（√2𝑎+1+√2𝑏+12）2≤2𝑎+1+2𝑏+12=2，当且仅当√2𝑎+1=√2𝑏+1且a+b＝1，即a＝b=12时取等号，所以√2𝑎+1+√2𝑏+1≤2√2．20．（8分）（2021秋•洛阳期中）如图，

某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（1）若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为18m，求1𝑥+2𝑦

的最小值．【解题思路】（1）由题意得，xy＝18，所用篱笆总长x+2y≥2√2𝑥𝑦，从而可求；（2）由题意x+2y＝18，1𝑥+2𝑦=118（1𝑥+2𝑦）（x+2y）展开后利用基本不等式可求．【解答过程】解：（1）由题意得，xy＝18，则所用篱笆总长x+2y≥2√2𝑥𝑦=12

，当且仅当x＝2y且xy＝18，即y＝3，x＝6时取等号，此时所用篱笆总长最小；（2）由题意x+2y＝18，所以1𝑥+2𝑦=（1𝑥+2𝑦）（x+2y）×118=118（5+2𝑦𝑥+2𝑥𝑦）≥118（5+2√2𝑦𝑥⋅2𝑥𝑦）=12，当且仅当2𝑦

𝑥=2𝑥𝑦且x+2y＝18，即x＝y＝6时取等号，此时最小值为12．21．（8分）（2022春•河南期末）观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足a+b＝1，求1𝑎+2𝑏的最小值．解：∵a+b＝1，∴1𝑎+2𝑏=(𝑎+

𝑏)(1𝑎+2𝑏)=3+𝑏𝑎+2𝑎𝑏≥3+2√𝑏𝑎⋅2𝑎𝑏=3+2√2，当且仅当𝑏𝑎=2𝑎𝑏，结合a+b＝1得𝑎=√2−1，𝑏=2−√2时等号成立，∴1𝑎+2𝑏的

最小值为3+2√2．请类比以上方法，解决下面问题：（1）已知正实数x，y满足1𝑥+1𝑦=1，求x+4y的最小值；（2）已知正实数x，y满足x+y＝1，求12𝑥+1+2𝑦+1的最小值．【解题思路】（1）类比已知解题方法，将x+4y变为𝑥+4𝑦=(𝑥+4𝑦)(1𝑥+1𝑦)，展开后结

合基本不等式，即可求得答案；（2）将x+y＝1化为（2x+1）+（2y+2）＝5，将12𝑥+1+2𝑦+1变形为12𝑥+1+42𝑦+2，类比所给解题方法，结合基本不等式，求得答案．【解答过程】解：（1）由正实数x，y满足1𝑥+1𝑦=1得：𝑥

+4𝑦=(𝑥+4𝑦)(1𝑥+1𝑦)=5+4𝑦𝑥+𝑥𝑦≥5+2√4𝑦𝑥⋅𝑥𝑦=9．当且仅当4𝑦𝑥=𝑥𝑦，结合1𝑥+1𝑦=1得𝑥=3，𝑦=32时等号成立，∴x+4y的最小值为9．（2）正实数x，y满足x+y＝1，得

（2x+1）+（2y+2）＝5，∴12𝑥+1+2𝑦+1=12𝑥+1+42𝑦+2=15((2𝑥+1)+(2𝑦+2))(12𝑥+1+42𝑦+2)=1+15(2𝑦+22𝑥+1+4(2𝑥+1)2𝑦+2)≥1+25√

2𝑦+22𝑥+1⋅4(2𝑥+1)2𝑦+2=95当且仅当2𝑦+22𝑥+1=4(2𝑥+1)2𝑦+2，结合x+y＝1得𝑥=13，𝑦=23时等号成立，∴12𝑥+1+2𝑦+1的最小值为95．22．（8分）（2022春•润州区校级月考）（1）已知x＞0

，y＞0，且满足8𝑥+1𝑦=1．求x+2y的最小值；（2）当0＜𝑥＜14时，不等式1𝑥+11−4𝑥−𝑚≥0恒成立，求实数m的最大值；（3）已知a＞0，b＞0，求𝑎2𝑎+𝑏+2𝑏2𝑏+𝑎的最大值．【解题思路】（1）由已知把x+2y变形为(𝑥+2�

�)(8𝑥+1𝑦)，展开后用基本不等式求得最小值．（2）分离参数化为𝑚≤44𝑥+11−4𝑥恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解．（3）令2a+b＝u，2b+a＝v，u，v＞0，可得𝑎=2𝑢−𝑣3，𝑏=2�

�−𝑢3，代入所求式子化简整理，运用基本不等式可得所求最大值．【解答过程】解：（1）∵x＞0，y＞0，8𝑥+1𝑦=1，∴x+2y=(8𝑥+1𝑦)（x+2y）＝10+𝑥𝑦+16𝑦𝑥≥10

+2√𝑥𝑦⋅16𝑦𝑥=18，当且仅当{8𝑥+1𝑦=1𝑥𝑦=16𝑦𝑥，即{𝑥=12𝑦=3时，等号成立，∴（x+2y）min＝18．（2）不等式1𝑥+11−4𝑥−𝑚≥0恒成立化为𝑚≤44𝑥+11−4𝑥恒成立，∵

0＜𝑥＜14，∴1﹣4x＞0，∴44𝑥+11−4𝑥=(4𝑥+1−4𝑥)(44𝑥+11−4𝑥)=5+4𝑥1−4𝑥+4(1−4𝑥)4𝑥≥5+2√4𝑥1−4𝑥⋅4(1−4𝑥)4𝑥=5+4＝9，当且仅当4𝑥1−4𝑥=4(1−4𝑥)4𝑥，即𝑥=16时

，等号成立，∴m≤9，∴m的最大值为9．（3）解：令2a+b＝u，2b+a＝v，u，v＞0，可得𝑎=2𝑢−𝑣3，𝑏=2𝑣−𝑢3，∴𝑎2𝑎+𝑏+2𝑏2𝑏+𝑎=1𝑢⋅2𝑢−𝑣3+1𝑣⋅2⋅2𝑣−𝑢3=2−(𝑣3𝑢+2𝑢3𝑣)≤2−2√

𝑣3𝑢⋅2𝑢3𝑣=2−2√23，当且仅当𝑣=√2𝑢，上式取得等号，可得𝑎2𝑎+𝑏+2𝑏2𝑏+𝑎的最大值为2−2√23．