【文档说明】甘肃省民乐县第一中学2021届高三下学期5月第一次月考数学（理）试题 含答案.docx，共(20)页，934.679 KB，由小赞的店铺上传

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民乐县第一中学2021届高三下学期5月第一次月考理科数学试卷一、单选题1．如图，复数12izi+=在复平面内对应的点为（）A．EB．FC．GD．H2．已知集合11Axx=−，集合24Bxx=，则AB=（）A．22−,B．1,1−C．1,0,1−D．1,1−3．割

补法在我国古代数学著作中称为“出人相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现.如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（）A．14B．13C．15D．124．已知函数()()21xfxxx

e=++，则()fx在(0())0f，处的切线方程为（）A．10xy++=B．10xy−+=C．210xy++=D．210xy−+=5．函数()22()6log||fxxx=−的图像大致为（）A．B．C．D．6．设,lm是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（）A

．若,lmm⊥，则l⊥B．若,llm⊥⊥，则//mC．若,//llm⊥，则m⊥D．若//,//lm，则//lm7．执行如图所示的程序框图，若输入6N=，则输出的S=（）A．56B．67C

．78D．898．双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，P是双曲线C上一点，2PFx⊥轴，123tan4PFF=，则双曲线的渐近线方程为（）A．20xy=B．20xy=C．30xy=D．30xy=9．2020年11月

，兰州地铁2号线二期开通试运营．甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字，每人只能去一个地方，西站十字一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A．60B．65C．70D．7510．已知函数()coscosf

xxx=+，则下列说法正确的是（）A．函数()fx是最小正周期为π的偶函数B．函数()fx的图象关于直线π2x=对称C．函数()fx的最小值为2−D．函数()fx在区间π,02−上单调递增11．在三棱锥PABC−中，底面

ABC是等腰三角形，120BAC=，2BC=，PA⊥平面ABC，若三棱锥PABC−的外接球的表面积为8，则该三棱锥的体积为A．29B．229C．23D．42912．已知函数22log,0,()44,0.xxf

xxxx=−−+若函数()()gxfxm=−有四个不同的零点1234,,,xxxx，则1234xxxx的取值范围是（）A．(0,4)B．(4,8)C．(0,8)D．(0,)+第II卷（非选择题）请点击修改第II卷

的文字说明二、填空题13．设向量()12a=−，，若单位向量．．．．b满足()3aab⊥−，则ab=vv__________．14．()()532xxa−+的展开式的各项系数和为32，则该展开式中4x的系数是______.15．AB

C内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinsin()23sinsin2BaCACcA+=，则角B的值为__________；若6ac+=，ABC的面积为23，则边长b的值为__________．16．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广

，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为___________.三、解答题17．如图，在四棱锥PABCD

−中，O是AD边的中点，PO⊥底面,1ABCDPO=．在底面ABCD中，//,,1,2BCADCDADBCCDAD⊥===．（1）求证：//AB平面POC；（2）求二面角BAPD−−的余弦值．18．在数列na中，11a=，23a=，且对任意的

N*，都有2132nnnaaa++=−.（Ⅰ）证明数列1n+naa−是等比数列；并；（Ⅱ）设12nnnnbaa+=，求数列na的通项公式和数列nb的前n项和为nS19．人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从TB(1TB=1024GB)级别跃升到PB(1PB=1024TB)，E

B(1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1024EB)级别.国际数据公司(IDC)研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49ZB，2009年数据量为0.8ZB，2010年增长到1.2ZB，2011年数据量更是高达1.82ZB.下表是国际

数据公司(IDC)研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：ZB)及相关统计量的值：年份201420152016201720182019序号x123456年数据量y6.68.616.121.633.041.0xy

z()621iixx=−()621iizz=−()()61iiixxyy=−−()()61iiixxzz=−−3.521.152.8517.5813.82125.356.73表中lniizy=，6116iizz==.（1）根据上表数据

信息判断，方程21cxyce=(e是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y关于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程(2c精确到0.01).（2）有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，

并说明理由.参考数据：4.5695.58e，4.5897.51e，回归方程yabx=+中，斜率最小二乘法公式为()()()1122211nniiiiiinniijixxyyxynxybxxxnx===

=−−−==−−，aybx=−$$.20．已知抛物线()21:20Cypxp=的焦点F是椭圆222:21Cxy+=的一个顶点.（1）求抛物线1C的方程；（2）若点()1,2P，M、N为抛物线1C上的不同两点，且PM

PN⊥，问：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.21．已知函数()2lnfxxxx=−++，()()2e1xgxmxxm=−−R．（1）求出函数()fx的单调区间及以()()1,1f为切点的切线方程；

（2）若对于任意的()0,x+，()()gxfx恒成立，求出实数m的最小值．22．在平面直角坐标系xOy中以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sincos=，直线l的参数方程

为3,21.2xatyt=+=（t为参数），其中0a，直线l与曲线C相交于M、N两点.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点(),0Pa满足111PMPN+=，求a的值.23．已知函数()24fxxx=−++.（1）求不等式()8fx的解集；（2）若a，b

，c为正实数，函数()fx的最小值为t，且满足22abct++=，求222abc++的最小值.参考答案1.【答案】D【分析】化简122izii+==−，可得到复平面对应的点，即可得解.【详解】由122izii+==−，其复平面对应点坐标为(2,1

)−，故对应在第四象限，故选：D.2.【答案】B【详解】由24x得22x−，所以[2,2]B=−，所以[1,1]AB=−.故选：B3.【答案】A【详解】易知，“盈”的面积等于“虚”的面积，从而三角形面积等于矩形面积，而“虚”占矩形面积的百分数即“盈”占

三角形的百分数.“盈”与“虚”的交界点在三角形腰的中点上，易知，“虚”占矩形面积的四分之一，故“盈”占三角形面积的四分之一.故选：A.4.【答案】D【详解】解：()()21xfxxxe=++，求导得：()()()()2221132xxxfxxexxexxe=++=++++，()0

2f=，又()01f=，()fx在(0())0f，处的切线方程为21yx=+，即210xy−+=.故选：D.5.【答案】B【详解】因为()()()2222()6log||6log||()fxxxxxfx−=−−−=−=，且定义域为()

(),00,−+关于原点对称，所以函数()fx为偶函数，所以排除C，D；又因为当x→+时，y→+，所以排除A.故选：B.6.【答案】C【详解】lm⊥，m，则,l可能平行，故A不正确；,llm⊥⊥，则m，可能平行，可能线在面内；l⊥，//l

m，由线面平行的性质可得m⊥，故C正确；//l，//m，l与m可能平行、相交、异面，故D不正确.故选：C.【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角

、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7.【答案】B【详解】初始值6,0,1NSk===，第一步：1101,6122Sk=+=−，进入循环；第二

步：111111112,(1)11,262232233kSk=+==−+=−+−=−=，进入循环；第三步：111213,(1)1,363344kSk=+==−+=−=，进入循环；第四步：11131

4,(1)1,464455kSk=+==−+=−=，进入循环；第五步：111415,(1)1,565566kSk=+==−+=−=，进入循环；第六步：1116516,(1)1,666777kSk=+==−+=−==，结束循环，输出67S=.故选：B.【点睛】关键

点点睛：该题主要考查程序框图，只需分析框图的作用，逐步执行即可，属于常考题型.8.【答案】C【详解】由题设，2(,0)Fc，由2PFx⊥轴，知2(,)bPca，∴2212123tan24PFbPFFFFac===，又222bca=−，∴222320caca−−=，得(2)

(2)0caca+−=，又0ca，得2ca=，∴3ba=，又渐近线方程为byxa=，即3yx=等价于30xy=.故选：C.9.【答案】B【详解】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字．每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人

一共有333381=种情况，若西站十字没人去，即四位同学选择了兰州老街、西固公园．每人有2种选择方法，则4人一共有222216=种情况，故西站十字一定要有人去有811665−=种情况，即西站十字一定有人去的游览方案有65

种；故选：B．10.【答案】D【详解】由()()()coscoscoscosfxxxxxfx−=−+−=+=，可知函数()fx为偶函数，由()02f=，()π0f=可知π不是函数()fx的周期：由()02f=，()π0f=可知，函数()fx的图象不关于直线π2x=对称：由()co

s11fxx−−，可知2−不是函数()fx的最小值；当π02x−时，()coscos2cosfxxxx=+=，此时函数()fx单调递增．故选：D．【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性、奇偶性、对称性、最值和单调性，属于中档题.11.【答案】B

【详解】如图所示，将三棱锥补形为直三棱柱ABCPQR−，取,,CRAPBQ的中点,,EDF，则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，取ABC的外心'O，作'OO⊥平面ABC，与平面DEF交于点O，则O为外接球的球心，设球的半径为R，由球的表面积公式可得：248,

2RR==，由正弦定理可得：22'2sinsin120BAAORBXC===，则2'3AO=，则棱锥的高：2242222'2'2233PADAOOOAOA===−=−=，由正弦定理可得：22sin302,si

n30sin120sin1203ABABAC====该三棱锥的体积为111222222sin1203329333ABCVSAP===.本题选择B选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确

切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12.【答案】A【详解】函数()gx有四个不同的零点等价于函

数()fx的图象与直线ym=有四个不同的交点.画出()fx的大致图象，如图所示.由图可知(4,8)m.不妨设1234xxxx<<<，则12420xx−−，且124xx+=−.所以214xx=−−，所以()()

212111424(0,4)xxxxx=−−=−++，则3401xx，因为2324loglogxx=，所以2324loglogxx−=，所以12324loglogxx−=，所以341xx=，所以123412(0,4)xxxxxx=.故选：A13.【答案】53【详解

】由于()3aab⊥−，故()30aab−=，即23530aabab−=−=，解得53ab=.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查方程的思想，属于基础题.14.【答案】5【详解】()()()()5553322xxaxaxxa−+

=+−+，取1x=得到()5132a+=，故1a=.()51x+的展开式的通项式为：515rrrTCx−+=，分别取1r=和4r=得到系数为：145525CC−=.故答案为：5.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.【答案】

323【详解】由2sinsin()23sinsin2BaCACcA+=知：2sinsinsin()23sinsinsin2BACACCA+=，∵sinsin0AC，ACB+=−，∴2sin23sin2BB=，即22sincos23sin222BBB=，又022B，

故3tan23B=，∴26B=，即3B=.∵1sin232ABCSacB==△，即8ac=，而6ac+=，∴222()236acaacc+=++=，有2220ac+=，由余弦定理知：2222cos20812bacacB=+−=−=，则23b=.故答案为：3，23.【点睛】关键点点睛：

根据三角形内角的性质，正弦边角互化将已知等式化简求角的大小，应用三角形面积公式、余弦定理求边长.【答案】325【详解】如图：E，F在平面ABCD内的垂足分别为Q，G，则QG=FG=4，H为AB的中点，则GH=2，于

是FH=2225FGGH+=，FA=2220426FHHA+=+=.点G在DA边上的垂足为P，则AP=2.FP=2225FAAP−=，∴S△ABF=12AB·FH=12×4×25=45，S梯形ADEF=12(AD+EF)·FP=12(8+4)×25=125，所以茅草屋顶的面积为2×

(45+125)=325.故答案为：325【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还

要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.17.【答案】（1）证明见解析；（2）33．【详解】（1）由题意BCOA=，又//BCOA，所以BCOA是平行四边形，

所以//ABOC，又AB平面POC，OC平面POC，所以//AB平面POC；（2）,//BCODBCOD=，所以BCDO是平行四边形，所以//OBDC，OBCD=，而CDAD⊥，所以OBAD⊥，以,,OBODOP为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)B，(0,1,0)A−，

(0,0,1)P，(1,1,0)AB=，(0,1,1)=AP，设平面ABP的一个法向量为(,,)nxyz=，则00nABxynAPyz=+==+=，取1x=，则1,1yz=−=，即(1,1,1)n=−，易知平面APD的一个法向量是(1,0,0)m=，所以13cos,

313mnmnmn===，所以二面角BAPD−−的余弦值为33．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向

量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18.【详解】（Ⅰ）由2132nnnaaa++=−可得2112()nnnnaaaa+++−=−．又11a=，23a=，所以2120aa−=，故2112nnn

naaaa+++−=−.所以1{}nnaa+−是首项为2，公比为2的等比数列.所以12nnnaa+−=.所以1211()()nnnaaaaaa−=+−++−21222n=++++21n=−.（Ⅱ）因为

12(21)(21)nnnnb+=−−11(21)(21)(21)(21)nnnn++−−−=−−1112121nn+=−−−.所以12nnSbbb=+++223+1111111212121212121nn=−+−++−

−−−−−−+11=121n−−.19.【答案】（1）1.520.38xye+=；（2）见解析.【详解】（1）由21cxyce=，两边同时取自然对数得()2112lnlnlncxyceccx==+，设lnzy=，则12lnzccx=+.因为3.5x=，2.85z=，

()62117.58iixx=−=，()()616.7.iiixxzz=−−=，所以()()()12216.730.3817.58niiinijxxyzcxx==−−==−，12ln2.850.383.51.52czcx=−=−=.所以1.520.38lnzxy=+=，所以1.52

0.38xye+=；（2）令8x=，得1.520.3884.56ˆ95.581.825091yee+===.预计2021年全世界产生的数据规模会超过2011年的50倍.【点睛】关键点点睛：对于非线性回归方程的求解，一般要结合题意作变换，转化为线性回归方程来求解，同时也要注意相应

数据的变化.20.【答案】（1）24yx=；（2）过定点()5,2−.【详解】（1）把椭圆2C的方程化为标准方程是221112xy+=，椭圆的左、右顶点分别为()1,0−、()1,0，依题意12p=，解得2p=，所以抛物线

1C的方程为24yx=；（2）若直线MN与y轴垂直，则直线MN与抛物线1C只有一个交点，不合乎题意.设直线MN的方程为xmyn=+，与抛物线方程联立并化简得2440ymyn−−=.则216160mn=+，可得20mn+，设()11,Mxy

、()22,Nxy，则124yym+=，124yyn=−.因为PMPN⊥，()()()21111111221,21,2,244yyyPMxyyy−+=−−=−−=−，同理可得()()22222,24y

yPNy−+=−，所以，()()()()()()121212222222016yyyyPMPNyy−−++=+−−=，所以，()()()()12122222160yyyy−−+++=，显然12y且22y，所以，()()()1212

12221622048200yyyyyynm+++=+++=−++=，所以，25nm=+，所以，直线MN的方程为25xmym=++，即()250xmy−+−=，因此，直线MN过定点()5,2−.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探

路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定

点()00,xy，常利用直线的点斜式方程()00yykxx−=−或截距式ykxb=+来证明.21.【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+；切线方程为：0y=；（2）1．【详解】（1）函数()2lnfxxxx=−++的定义域为()0,

+，且()()()221112121xxxxfxxxxx+−+−++=−++==，当01x时，()0fx；当1x时，()0fx；()fx的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+．又()10f=，()10f=，

以()()1,1f为切点的切线方程为：0y=．（2）若对于任意的()0,x+，()()gxfx恒成立，可得221lnxmxexxxx−−−++，整理可得：ln1xxxmxe++．设函数()ln1xxxFxxe++=，则()()()21lnxxxxFxxe−+

+=．设()lnhxxx=+，则函数()hx在()0,+上单调递增，又1110hee=−，()110h=，存在01,1xe，使得()000ln0hxxx=+=，则当00xx时，()0hx，()0Fx

，函数()Fx单调递增；当0xx时，()0hx，()0Fx，函数()Fx单调递减，函数()Fx在点0xx=处取得最大值，根据()000ln0hxxx=+=，可得：00lnxx=−，则()()000001maxln00ln111

xxxxFxFxxxee++====，1m，实数m的最小值为1．【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题的求解，解题关键是能够利用分离变量的方式，将问题转化为m与()Fx最值之间大小关系的问题，利用导数求得()Fx的最值后即可得到结果.23

.【答案】（1）5,3−；（2）4【详解】由()24fxxx=−++，所以①()()454248xxxx−−−−−−+②()()4242248xxxx−−−−++③()()223248xxx

x−++综上所述：5,3x−所以不等式()8fx的解集为5,3−由（1）可知22,4()246,4222,2xxfxxxxxx−−−=−++=−+当4x−时，()min()46fxf=−=；当42x−时，()6fx=当2x时，()()min26

fxf==所以函数()fx的最小值为6，即6t=，所以226abc++=由a，b，c为正实数，则()()()2222222222212236abcabcabc++=++++++=所以2224abc++

，当且仅当221abc==时，取等号，故222abc++的最小值为4【点睛】思路点睛：第（1）问使用零点分段法讨论即可;第（2）问使用柯西不等式.