【文档说明】十年（2015-2024）高考真题分项汇编 数学 专题16 导数及其应用小题综合 Word版含解析.docx，共(48)页，2.976 MB，由小赞的店铺上传

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专题16导数及其应用小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1导数的基本计算及其应用（10年4考）2020·全国卷、2018·天津卷2016·天津卷、2015·天津卷1.掌握基本函数的导数求解

，会导数的基本计算，会求切线方程，会公切线的拓展，切线内容是新高考的命题热点，要熟练掌握2.会利用导数判断函数的单调性及会求极值最值，会根据极值点拓展求参数及其他内容，极值点也是新高考的命题热点，要熟

练掌握3.会用导数研究函数的零点和方程的根，会拓展函数零点的应用，会导数与函数性质的结合，该内容也是新高考的命题热点，要熟练掌握4.会构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系，该内容也是新高考的命题热点，要熟练掌握5.要会导数及其性质的综考点2求切线方程及其应用（10年10考）2024·全

国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅱ卷2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·江苏卷、2019·全国卷2019·

天津卷、2019·全国卷、2019·全国卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷2018·全国卷、2017·全国卷、2016·全国卷2016·全国卷、2015·全国卷、2015·陕西卷2015·陕西卷考点3公切线问题（10年3考）2024·全国新Ⅰ卷、2016·全国卷、

2015·全国卷考点4利用导数判断函数单调性及其应用（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷2019·北京卷、2017·山东卷、2016·全国卷2015·陕西卷、2015·福建卷、2015·全国卷考点5求极值与最值及其应用（10年

5考）2024·上海卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅰ卷、2018·全国卷2018·江苏卷考点6利用导数研究函数的极值点及其应用（10年5考）2022·全国新

Ⅰ卷、2022·全国乙卷、2021·全国乙卷、2017·全国卷、2016·四川卷考点7导数与函数的基本性质结合问题（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅱ卷、2017·山东卷、2015·四川卷合应用，加强复习考点8利用导数研究函数

的零点及其应用（10年6考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2021·北京卷、2018·江苏卷、2017·全国卷、2015·陕西卷考点9利用导数研究方程的根及其应用（10年3考）2024·全国甲卷、2021·北京卷、2015·安徽卷2015·全国卷、2

015·安徽卷考点10构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系（10年3考）2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷考点01导数的基本计算及其应用1．（2020·全国·高考真题）设函数e()xfxxa=+．若(1)4ef=，则

a=．【答案】1【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221xxxexaeexafxxaxa+−+−==++，

则：()()()()12211111eaaefaa+−==++，据此可得：()241aeea=+，整理可得：2210aa−+=，解得：1a=.故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思

想等知识，属于中等题.2．（2018·天津·高考真题）已知函数f(x)=exlnx，()'fx为f(x)的导函数，则()'1f的值为．【答案】e【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】由函数的解析式可得：11()lnlnxxxfxexeexxx=+=+，则11(1)ln11fee=+=，即()'1f的值为e，故答案为e.点睛：本题主要考查导数的运算法则，基

本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．（2016·天津·高考真题）已知函数()(2+1)e,()xfxxfx=为()fx的导函数，则(0)f的值为.【答案】3【详解】试题分析：()(2+3),(0)3.xfxx

ef==【考点】导数【名师点睛】求函数的导数的方法：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）复合函数：确定复合关系

，由外向内逐层求导；（5）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．4．（2015·天津·高考真题）已知函数()()ln,0,fxaxxx=+，其中a为实数，()fx为()fx的导函数，若()13f=，则a的值为．【答案】3【详解】试题分析：'()lnfxaxa=

+，所以'(1)3fa==．考点：导数的运算．【名师点睛】(1)在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误．②不能正确运用求导公式和求导法则．(2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量．②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函

数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．考点02求切线方程及其应用1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数()2e2sin1xxfxx+=+，则曲线()yfx=在点()0,1处的切线与两坐

标轴所围成的三角形的面积为（）A．16B．13C．12D．23【答案】A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()

()222e2cos1e2sin21xxxxxxfxx++−++=，则()()()()()002e2cos010e2sin000310f++−++==，即该切线方程为13yx−=，即31yx=+，令0x=，则1y=，令0y=，则13x=-，故该切线与两坐标轴所围成的三角

形面积1111236S=−=.故选：A.2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线e1xyx=+在点e1,2处的切线方程为（）A．e4yx=B．e2yx=C．ee44yx=+D．e3e24yx=+【答案】C【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切

点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线e1xyx=+在点e1,2处的切线方程为()e12ykx−=−，因为e1xyx=+，所以()()()22e1ee11xxxxxyxx=++−=+，所以1e|4xky===所以()ee124

yx−=−所以曲线e1xyx=+在点e1,2处的切线方程为ee44yx=+.故选：C3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）曲线ln||yx=过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】1eyx=1eyx=−【分析】分0x和0x两种情况，当0x时设切点为()00,lnxx

，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x，即可求出切线方程，当0x时同理可得；【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分0x和0x两种情况，当0x时设切点

为()00,lnxx，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x，即可求出切线方程，当0x时同理可得；解：因为lnyx=，当0x时lnyx=，设切点为()00,lnxx，由1yx

=，所以001|xxyx==，所以切线方程为()0001lnyxxxx−=−，又切线过坐标原点，所以()0001lnxxx−=−，解得0ex=，所以切线方程为()11eeyx−=−，即1eyx=；当0x时()lny

x=−，设切点为()()11,lnxx−，由1yx=，所以111|xxyx==，所以切线方程为()()1111lnyxxxx−−=−，又切线过坐标原点，所以()()1111lnxxx−−=−，解得1ex=−，所以切线方程为()11eeyx−=+−，即1eyx=−；故答案

为：1eyx=；1eyx=−[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当0x时lnyx=，设切点为()00,lnxx，由1yx=，所以001|xxyx==，所以切线方程为()0001lnyxxxx−=−，又切线过坐标

原点，所以()0001lnxxx−=−，解得0ex=，所以切线方程为()11eeyx−=−，即1eyx=；因为lnyx=是偶函数，图象为：所以当0x时的切线，只需找到1eyx=关于y轴的对称直线1eyx=−即可.[方法三]：因为lnyx=，当0x时lnyx=，设切点为()

00,lnxx，由1yx=，所以001|xxyx==，所以切线方程为()0001lnyxxxx−=−，又切线过坐标原点，所以()0001lnxxx−=−，解得0ex=，所以切线方程为()11eeyx−=−，即1eyx=；当0x时()lnyx=−，设切点为()()11,lnxx−，由

1yx=，所以111|xxyx==，所以切线方程为()()1111lnyxxxx−−=−，又切线过坐标原点，所以()()1111lnxxx−−=−，解得1ex=−，所以切线方程为()11eeyx−=+−，

即1eyx=−；故答案为：1eyx=；1eyx=−.4．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线()exyxa=+有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】()(),40,−−+【分析】设出切点横坐标0x，

利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.【详解】∵()exyxa=+，∴(1)exyxa=++，设切点为()00,xy,则()000exyxa=+,切线斜率()001exkxa=++,切线方程为：

()()()00000e1exxyxaxaxx−+=++−,∵切线过原点，∴()()()00000e1exxxaxax−+=++−,整理得：2000xaxa+−=,∵切线有两条，∴240aa=+,解得4a<-或0a,∴a的取值范围是()(),40,−−+,故答案为：()(),40,

−−+5．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线2x1yx2−=+在点()1,3−−处的切线方程为．【答案】520xy−+=【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当=1x

−时，=3y−，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522xxyxx+−−==++，所以1|5xy=−=．故切线方程为520xy−+=．故答案为：520xy−+=．6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数12()1,0,0xfxexx=−，函数()fx的图象在点(

)()11,Axfx和点()()22,Bxfx的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则||||AMBN取值范围是．【答案】()0,1【分析】结合导数的几何意义可得120xx+=，结合直线方程及两点间距离公式可得1211xeAxM=+，222

1xeBxN=+，化简即可得解.【详解】由题意，()1011,0,xxxexfxeex=−−−=，则()0,,0xxxfxeex−=，所以点()11,1xAxe−和点()22,1xBxe−，12,xxAM

BNkeke=−=,所以12121,0xxeexx−=−+=，所以()()111111,0:,11xxxxeexxeAMeyMx−+=−−−+，所以()112221111xxxexexAM+=+=，同理2

221xeBxN=+,所以()1111212222122221110,1111xxxxxxxexeeeeeeNxAMB−===++++++=.故答案为：()0,1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120xx+=，消

去一个变量后，运算即可得解.7．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）若过点(),ab可以作曲线exy=的两条切线，则（）A．ebaB．eabC．0ebaD．0eab【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法

二：画出曲线xye=的图象，根据直观即可判定点(),ab在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线xye=上任取一点(),tPte，对函数xye=求导得exy=，所以，曲线xye=在点P处的切线方程为()ttyeext−=−，即()1t

tyexte=+−，由题意可知，点(),ab在直线()1ttyexte=+−上，可得()()11tttbaeteate=+−=+−，令()()1tftate=+−，则()()tftate=−.当ta时，()0ft，此时函数()ft单

调递增，当ta时，()0ft，此时函数()ft单调递减，所以，()()maxaftfae==，由题意可知，直线yb=与曲线()yft=的图象有两个交点，则()maxabfte=，当1ta+时，()0ft，当1ta+时，()0ft，

作出函数()ft的图象如下图所示：由图可知，当0abe时，直线yb=与曲线()yft=的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线xye=的图象如图所示，根据直观即可判定点(),ab在曲线下方和x轴上

方时才可以作出两条切线.由此可知0abe.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.8．（2020·

全国·高考真题）若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+12C．y=12x+1D．y=12x+12【答案】D【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆

相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线yx=上的切点为()00,xx，则00x，函数yx=的导数为12yx=，则直线l的斜率012kx=，设直线l的方程为()00012yxxxx−=−，即0020xxyx−+=，由于直线l与圆2215xy+=相切，则00114

5xx=+，两边平方并整理得2005410xx−−=，解得01x=，015x=−（舍），则直线l的方程为210xy−+=，即1122yx=+.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.9．（2020·全国·高考真题）函数4

3()2fxxx=−的图像在点(1(1))f，处的切线方程为（）A．21yx=−−B．21yx=−+C．23yx=−D．21yx=+【答案】B【分析】求得函数()yfx=的导数()fx，计算出()1f和()1f的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】()432fxxx=−，(

)3246fxxx=−，()11f=−，()12f=−，因此，所求切线的方程为()121yx+=−−，即21yx=−+.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基

础题10．（2020·全国·高考真题）曲线ln1yxx=++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.【答案】2yx=【分析】设切线的切点坐标为00(,)xy，对函数求导，利用0|2xy=，求出0x，代入曲线方程求出0y，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切

点坐标为001(,),ln1,1xyyxxyx=++=+，00001|12,1,2xxyxyx==+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)yx−=−，即2yx=.故答案为：2yx=.【点睛】本题考查导数的几何意

义，属于基础题.11．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是.【答案】(e,1).【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标

.【详解】设点()00,Axy，则00lnyx=.又1yx=，当0xx=时，01yx=，点A在曲线lnyx=上的切线为0001()yyxxx−=−，即00ln1xyxx−=−，代入点(),1e−−，得001ln1exx

−−−=−，即00lnxxe=，考查函数()lnHxxx=，当()0,1x时，()0Hx，当()1,x+时，()0Hx，且()'ln1Hxx=+，当1x时，()()'0,HxHx单调递增，注意到()Hee=，故00l

nxxe=存在唯一的实数根0xe=，此时01y=，故点A的坐标为(),1Ae.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点

，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．12．（2019·全国·高考真题）已知曲线elnxyaxx=+在点()1,ae处的切线方程为2yxb=+，则A．,1aeb==−B．,1aeb==C．1,1aeb−==

D．1,1aeb−==−【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b．【详解】详解：ln1,xyaex=++1|12xkyae===+=，1ae−=将(1,1)代入2yxb=+得21,

1bb+==−，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．13．（2019·天津·高考真题）曲线cos2xyx=−在点()0,1处的切线方程为.【答案】220x

y+−=【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．【详解】1'sin2yx=−−，当0x=时其值为12−，故所求的切线方程为112yx−=−，即220xy+−=．【点睛】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步

骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组0010010()'()yfxyyfxxx=−=−

得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．14．（2019·全国·高考真题）曲线23()exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为．【答案】30xy−=.【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定

得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),xxxyxexxexxe=+++=++所以，/0|3xky===所以，曲线23()exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为3yx=，即30xy−=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易

因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．15．（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A．10xy−−−=B．2210xy−−−=C．2210xy+−+=D．10xy+−+=【答案】C【分

析】先判定点(,1)−是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当x=时，2sincos1y=+=−，即点(,1)−在曲线2sincosyxx=+上．2cossin,yxx=−2cossin2,xy==−=−则2sincosyxx=+在点

(,1)−处的切线方程为(1)2()yx−−=−−，即2210xy+−+=．故选C．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题

．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．16．（2018·全国·高考真题）设函数()()321fxxaxa

x=+−+．若()fx为奇函数，则曲线()yfx=在点()00，处的切线方程为()A．2yx=−B．yx=−C．2yx=D．yx=【答案】D【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a=，进而得到()fx的解析式，再对()fx求导得出切线的斜率k，进而求得切线方程.详解：

因为函数()fx是奇函数，所以10a−=，解得1a=，所以3()fxxx=+，2()31xf'x=+，所以'(0)1,(0)0ff==，所以曲线()yfx=在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)yffx−=，化简可得yx=，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()yfx=在某个点00(

,())xfx处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()fx，借助于导

数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.17．（2018·全国·高考真题）曲线()1exyax=+在点()01，处的切线的斜率为2−，则=a．【答案】3−【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：()y1xxaeaxe=++则()f012a=+=−所

以3a=−故答案为-3.【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．18．（2018·全国·高考真题）曲线2lnyx=在点()1,0处的切线方程为．【答案】22yx=−【分析】求导2()fxx=，可得斜率(1)2kf==，进而得出切线的点斜式方程.【详解】由()2lnyfxx

==，得2()fxx=，则曲线2lnyx=在点(1,0)处的切线的斜率为(1)2kf==，则所求切线方程为02(1)yx−=−，即22yx=−.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.1

9．（2018·全国·高考真题）曲线2ln(1)yx=+在点(0,0)处的切线方程为．【答案】2yx=【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【详解】2222101ykyxx====++【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处

的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.20．（2017·全国·高考真题）曲线21yxx=+在点（1，2）处的切线方程为．【答案】1yx=+【详解】设()yfx=，则21()2fxxx=−，所以(1)211f=−=

，所以曲线21yxx=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)yx−=−，即1yx=+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)Pxy是曲线()yfx=上的一点，则以P为切点的切线方程是000()()yyfxxx−=−．若曲线()

yfx=在点00(,())Pxfx处的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx=．21．（2016·全国·高考真题）已知()fx为偶函数，当0x时，1()exfxx−−=−，则曲

线()yfx=在点(1,2)处的切线方程是.【答案】2yx=【详解】试题分析：当0x时，0x−，则1()exfxx−−=+．又因为()fx为偶函数，所以1()()exfxfxx−=−=+，所以1()e1xfx−=+，则(1)2f=，所以切线方程为22(1)yx−=

−，即2yx=．【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x时，函数()yfx=，则当0x时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()fx为偶函数，则当0x时，函数的解析式为()yfx=−；若()fx为奇函数，则函数的解析

式为()yfx=−−．22．（2016·全国·高考真题）已知()fx为偶函数，当0x时，()ln()3fxxx=−+，则曲线()yfx=在点(1,3)−处的切线方程是．【答案】21yx=−−【详解】试题分析：当0x时，0x−，则()ln3fxxx−=−．又因为()

fx为偶函数，所以()()ln3fxfxxx=−=−，所以1()3fxx=−，则切线斜率为(1)2f=−，所以切线方程为32(1)yx+=−−，即21yx=−−．【考点】函数的奇偶性与解析式，导数

的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x时，函数()yfx=，则当0x时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()fx为偶函数，则当0x时，函数的解析式为()yfx=−；若()fx为奇函数，

则函数的解析式为()yfx=−−．23．（2015·全国·高考真题）已知函数()31fxaxx=++的图像在点()()1,1f的处的切线过点()2,7，则=a.【答案】1【详解】试题分析：()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)fxaxfafalyaax

a=+=+=+−+=+−−+(31)(21)1aa=+−=.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性

较强，属于较难题型.首先求导可得()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)fxaxfafalyaaxa=+=+=+−+=+−−+(31)a=+•(21)1a−=.24．（2015·陕西·高考真题）设曲线xye=在点（

0,1）处的切线与曲线1(0)yxx=上点处的切线垂直，则的坐标为．【答案】【详解】设00(,)Pxy.对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线1(0)yxx=上点

P处的切线斜率为－1，由02011xxyx==−=−，得01x=，则01y=，所以P的坐标为(1，1)．考点：导数的几何意义．25．（2015·陕西·高考真题）函数xyxe=在其极值点处的切线方程为.【答案】1ye=−

【详解】()()(1)xxyfxxefxxe===+，令()01fxx==−，此时1(1)fe−=−函数xyxe=在其极值点处的切线方程为1ye=−考点：：导数的几何意义.考点03公切线问题1．（202

4·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线exyx=+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)yxa=++的切线，则=a.【答案】ln2【分析】先求出曲线exyx=+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln1yxa=++的切点为()()00,ln1xxa++，求出y，利用公切线斜率相等求出0x，表

示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由exyx=+得e1xy=+，00|e12xy==+=，故曲线exyx=+在()0,1处的切线方程为21yx=+；由()ln1yxa=++得11yx=+，设切线与曲线()ln1yxa=++相切的切点为()()00,ln

1xxa++，由两曲线有公切线得0121yx==+，解得012x=−，则切点为11,ln22a−+，切线方程为112ln21ln222yxaxa=+++=++−，根据两切线重合,所以ln20a−=，解得ln2a=.故答案为：ln22．（201

6·全国·高考真题）若直线ykxb=+是曲线ln2yx=+的切线，也是曲线ln(1)yx=+的切线，则b=．【答案】1ln2−【详解】试题分析：对函数ln2yx=+求导得1yx=，对ln(1)yx=+求导得11yx=+，设直线ykxb=+与曲线ln2yx=+相切于点111(

,)Pxy，与曲线ln(1)yx=+相切于点222(,)Pxy，则1122ln2,ln(1)yxyx=+=+，由点111(,)Pxy在切线上得()1111ln2()yxxxx−+=−，由点222(,)Pxy在切线上得2221ln(1)()1yxxxx−+=−+

，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln211ln22xkbxx====+−=−.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点P（x0

，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f′（x0）（x−x0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．3．（2015·全国·高考真题）已知曲线lnyxx=+在点()1,1处的切线与曲线()22

1yaxax=+++相切,则a=．【答案】8【详解】试题分析：函数lnyxx=+在(1,1)处的导数为111|1|2xxyx===+=，所以切线方程为；曲线2(2)1yaxax=+++的导函数的为，因与该曲线

相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，

令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．考点04利用导数判断函数单调性及其应用1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数2()(1)(

4)fxxx=−−，则（）A．3x=是()fx的极小值点B．当01x时，()2()fxfxC．当12x时，4(21)0fx−−D．当10x−时，(2)()fxfx−【答案】ACD【分析】求出函数()fx的导数，得到极值点

，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数()fx在()1,3上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数()fx的定义域为R，而()()()()()()22141313fxxxxxx=−−+−=−−，易知当()1,3x时，()

0fx，当(),1x−或()3,x+时，()0fx函数()fx在(),1−上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,+上单调递增，故3x=是函数()fx的极小值点，正确；对B，当01x时，()210xxxx−=−，所以210xx，而由上可知

，函数()fx在()0,1上单调递增，所以()()2fxfx，错误；对C，当12x时，1213x−，而由上可知，函数()fx在()1,3上单调递减，所以()()()1213ffxf−，即()4210fx−−，正确；对D，当10x−时，()()()()(

)()222(2)()12141220fxfxxxxxxx−−=−−−−−−=−−，所以(2)()fxfx−，正确；故选：ACD.2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数()elnxfxax=−在区间()1,2上单调递增，则a的最小值为（）．A．2eB．eC．

1e−D．2e−【答案】C【分析】根据()1e0xfxax=−在()1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，()1e0xfxax=−在()1,2上恒成立，显然0a，所以1exxa，设()()e

,1,2xgxxx=，所以()()1e0xgxx=+，所以()gx在()1,2上单调递增，()()1egxg=，故1ea，即11eea−=，即a的最小值为1e−．故选：C．3．（2023·全国乙卷·高考真题）设()0,1a

，若函数()()1xxfxaa=++在()0,+上单调递增，则a的取值范围是.【答案】51,12−【分析】原问题等价于()()()ln1ln10xxfxaaaa=+++恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得()1lnln

1xaaaa+−+，由右侧函数的单调性可得实数a的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a的取值范围.【详解】由函数的解析式可得()()()ln1ln10xxfxaaaa=+++在区间()0,+上恒成立，则()()1

ln1lnxxaaaa++−，即()1lnln1xaaaa+−+在区间()0,+上恒成立，故()01ln1ln1aaaa+=−+，而()11,2a+，故()ln10a+，故()ln1l

n01aaa+−即()1101aaa+，故5112a−，结合题意可得实数a的取值范围是51,12−.故答案为：51,12−.4．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+a

e−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．【答案】-1;(,0−.【分析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.【详解】若函数()xxfxeae−=+为奇函数,则()()()

,xxxxfxfxeaeeae−−−=−+=−+，()()10xxaee−++=对任意的x恒成立.若函数()xxfxeae−=+是R上的增函数,则()'0xxfxeae−=−恒成立,2,0xaea.

即实数a的取值范围是(,0−【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.5．（2017·山东·高考真题）若函数()exfx(e=2.71828L,是自然对数的底

数)在()fx的定义域上单调递增,则称函数()fx具有M性质,下列函数中具有M性质的是A．()2xfx−=B．()2fxx=C．()-3xfx=D．()cosfxx=【答案】A【详解】对于A,令()e2xxgx−=,11()e(2

2ln)e2(1ln)022xxxxxgx−−−=+=+,则()gx在R上单调递增,故()fx具有M性质,故选A.【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等

式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若

函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．6．（2016·全国·高考真题）若函数()1sin2sin3fxxxax=−+在R上单调递增，则a的取值范围是A．1,1−B．11,3−C．

11,33−D．11,3−−【答案】C【详解】试题分析：()21cos2cos03fxxax=−+…对xR恒成立，故()2212cos1cos03xax−−+…，即245cosc

os033axx−+…恒成立，即245033tat−++…对1,1t−恒成立，构造()24533fttat=−++，开口向下的二次函数()ft的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()1103{1103fafa−=−=+……，解得1133a−剟．故选C．【考点】三角变换及导数

的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.7．（2015·陕西·高考真题）设()sinfxx

x=−，则()fx=A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数【答案】B【详解】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B．考点：函数的奇偶性和单调性

．8．（2015·福建·高考真题）若定义在R上的函数()fx满足()01f=−，其导函数()fx满足()1fxk，则下列结论中一定错误的是（）A．11fkkB．111fkk−C．1111fkk−−D．111kfkk−−【答案】C【

详解】试题分析：令()g()xfxkx=−，则()'()0gxfxk=−，因此1111g()(0)(0)1111111kkgfffkkkkkk−−=−−−−−−，所以选C.考点：利用导数研究不等式【方法点睛】利用导数解

抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()fxfx构造()()xfxgxe=，()()0fxfx+构造()()xgxefx=，()()xfxfx构造()()fxgxx=，()()0xfxfx+构造(

)()gxxfx=等9．（2015·全国·高考真题）设函数'()fx是奇函数()fx（xR）的导函数，(1)0f−=，当0x时，'()()0xfxfx−，则使得()0fx成立的x的取值范围是A

．(,1)(0,1)−−B．(1,0)(1,)-??C．(,1)(1,0)−−−D．(0,1)(1,)+【答案】A【详解】构造新函数()()fxgxx=,()()()2'xfxfxgxx−=，当0x时()'0

gx.所以在()0,+上()()fxgxx=单减，又()10f=，即()10g=.所以()()0fxgxx=可得01x,此时()0fx，又()fx为奇函数，所以()0fx在()(),00,−+上

的解集为：()(),10,1−−.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xfxfx−，想到构造()()fxgxx=.一般：（1）条件含有()()fxfx+，就构造()()xgxefx=,（2）若()()fxfx−，就构造()()xfxgxe

=，（3）()()2fxfx+，就构造()()2xgxefx=，（4）()()2fxfx−就构造()()2xfxgxe=，等便于给出导数时联想构造函数.考点05求极值与最值及其应用1．（2024·上海·高考真题）已知函数()fx的定义域为R，定义集合(

)()()0000,,,Mxxxxfxfx=−R，在使得1,1M=−的所有()fx中，下列成立的是（）A．存在()fx是偶函数B．存在()fx在2x=处取最大值C．存在()fx是严格增函数D．存在()fx在=1x−处取到极小值【答案】B【分析】对于ACD利用反证法并结合函数

奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数()2,1,111,1xfxxxx−−=−即可判断.【详解】对于A，若存在()yfx=是偶函数,取01[1,1]x=−,则对于任意(,1),()(1)xfxf−,而(1)(1)

ff−=,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数()2,1,,11,1,1,xfxxxx−−=−满足集合1,1M=−，当1x−时，则()2fx=−，当11x−时，()1,1fx−，当1x时，()1fx=，则该函数()fx的最大

值是()2f，则B正确；对C，假设存在()fx，使得()fx严格递增，则M=R，与已知1,1M=−矛盾，则C错误；对D，假设存在()fx，使得()fx在=1x−处取极小值，则在1−的左侧附近存在n，使得()()1fnf−，

这与已知集合M的定义矛盾，故D错误；故选：B.2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若函数()()2ln0bcfxaxaxx=++既有极大值也有极小值，则（）．A．0bcB．0abC．280bac+D．0ac

【答案】BCD【分析】求出函数()fx的导数()fx，由已知可得()fx在(0,)+上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.【详解】函数2()lnbcfxaxxx=++的定义域为(0,)+，求导得223322(

)abcaxbxcfxxxxx−−=−−=，因为函数()fx既有极大值也有极小值，则函数()fx在(0,)+上有两个变号零点，而0a，因此方程220axbxc−−=有两个不等的正根12,xx，于是21

212Δ80020bacbxxacxxa=++==−，即有280bac+，0ab，0ac，显然20abc，即0bc，A错误，BCD正确.故选：BCD3．（2022·全国

乙卷·高考真题）函数()()cos1sin1fxxxx=+++在区间0,2π的最小值、最大值分别为（）A．ππ22−，B．3ππ22−，C．ππ222−+，D．3ππ222−+，【答案】D【分析】利用导数求得()fx的单调区间，从而

判断出()fx在区间0,2π上的最小值和最大值.【详解】()()()sinsin1cos1cosfxxxxxxx=−+++=+，所以()fx在区间π0,2和3π,2π2上()0fx¢>，即()fx

单调递增；在区间π3π,22上()0fx，即()fx单调递减，又()()02π2ff==，ππ222f=+，3π3π3π11222f=−++=−，所以()fx在区间0,2π上的最小值

为3π2−，最大值为π22+.故选：D4．（2022·全国甲卷·高考真题）当1x=时，函数()lnbfxaxx=+取得最大值2−，则(2)f=（）A．1−B．12−C．12D．1【答案】B【分析】根据题意可知()12f=−

，()10f=即可解得,ab，再根据()fx即可解出．【详解】因为函数()fx定义域为()0,+，所以依题可知，()12f=−，()10f=，而()2abfxxx−=，所以2,0bab=−−=，即2,2ab=−=−，所以()

222fxxx=−+，因此函数()fx在()0,1上递增，在()1,+上递减，1x=时取最大值，满足题意，即有()112122f=−+=−．故选：B.5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）函数()21

2lnfxxx=−−的最小值为.【答案】1【分析】由解析式知()fx定义域为(0,)+，讨论102x、112x、1x，并结合导数研究的单调性，即可求()fx最小值.【详解】由题设知：()|21|2lnfxx

x=−−定义域为(0,)+，∴当102x时，()122lnfxxx=−−，此时()fx单调递减；当112x时，()212lnfxxx=−−，有2()20fxx=−，此时()fx单调递减；当1x时，()212lnfxx

x=−−，有2()20fxx=−，此时()fx单调递增；又()fx在各分段的界点处连续，∴综上有：01x时，()fx单调递减，1x时，()fx单调递增；∴()(1)1fxf=故答案为：1.6．（2018·全国·高考真题）已知函数()2sinsin2fxx

x=+，则()fx的最小值是．【答案】332−【分析】方法一：由()()14cos1cos2fxxx=+−，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值.【详解】［方法一］：【通性通法】导数法()22()2cos2cos22cos22cos

14cos2cos2fxxxxxxx=+=+−=+−2(cos1)(2cos1)xx=+−．令()0fx，得1cos2x，即()fx在区间ππ2π,2π()33kkk−+Z内单调递增

；令()0fx，得1cos2x，即()fx在区间π5π2π,2π()33kkk++Z内单调递减．则minπ33[()]2π32fxfk−=−=．故答案为：332−.［方法二］：三元基本不等式的

应用因为()2sin2sincos2sin(1cos)fxxxxxx=+=+，所以2223()4sin(1cos)4(1cos)(1cos)fxxxxx=+=−+4(33cos)(1cos)(1cos)(1cos)3xxxx=−+++444(33cos)(1cos)(1cos)(1co

s)432734324xxxx−++++++==．当且仅当33cos1cosxx−=+，即1cos2x=时，取等号．根据()()fxfx−=−可知，()fx是奇函数，于是min333333(),,[()]222fxfx

−=−，此时31sin,cos22xx=−=．故答案为：332−.［方法三］：升幂公式＋多元基本不等式2()sinsin22sin(1cos)4sincos2cos222xxxfxxxxx=+=+=，322622()64sincos64sin1sin2222xxxxfx==

−422223sin1sin1sin1sin64272222344xxxx+−+−+−=，当且仅当223sin1sin22xx=−，即1sin22x=时，2max27()4fx=．根据()()fxfx−=−可

知，()fx是奇函数，于是min333333(),,[()]222fxfx−=−．故答案为：332−.［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放缩2()sinsin22sin(1cos)4s

incos2cos222xxxfxxxxx=+=+=2221224238tan8tan8tan3322221111tantan14tan2333232xxxxxx=−−=−++++，当且仅当213tan

,tan2323xx==−时等号成立．故答案为：332−.［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值设tan2t=，则()fx可化为2222242218()2211112ttttgtttttt−=+=+

++++，当0=t时，()0gt=；当0t时，38()12gtttt=++，对分母求导后易知，当3t3=−时，()gt有最小值332−．故答案为：332−.［方法六］：配方法()22()2sin2sincos2sin2sincos3sincos1fxx

xxxxxxx=+=+++−2223233333cos2sincossinsin2sin3322xxxxxx=+++++−2232333333(3cossin)sin33222xxx=+++−−，当且仅当3cossin0,3s

in0,2xxx+=+=即π2π,3xkk=−Z时，()fx取最小值332−．故答案为：332−.［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法因为()2sinsin2fxxx=+，所以()()()()+2π2sin+2πsin2+2π=2sinsin2fxxxxxf

x=++=，即函数()fx的一个周期为2π，因此0,2πx时，()fx的最小值即为函数的最小值．当0,πx时，()()2sinsin22sin1cos0fxxxxx=+=+，当π,2πx时，因为()22()2cos2cos

22cos22cos14cos2cos2fxxxxxxx=+=+−=+−2(cos1)(2cos1)xx=+−，令()0fx=，解得πx=或5π3x=，由()π0f=，()2π0f=，533π32f=−，所以()fx的最小值为332−．故答案

为：332−.【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高

；方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；方法七：利用函数的周期性，缩小函数的

研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．7．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221fxxaxaR=−+在()0,+内有且只有一个零点，则()fx在1,1−上的

最大值与最小值的和为．【答案】3−【分析】方法一：利用导数判断函数()fx在(0,)+上的单调性，确定零点位置，求出参数a,再根据函数()fx在1,1−上的单调性确定函数最值，即可解出.【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法求导得2()62fxxax=−，当0a时，函数()fx在区间

(0,)+内单调递增，且()(0)1fxf=，所以函数()fx在(0,)+内无零点；当0a时，函数()fx在区间0,3a内单调递减，在区间,3a+内单调递增．当0x=时，(0)1f=；当x→+

时，()fx→+．要使函数()fx在区间(0,)+内有且仅有一个零点，只需03af=，解得3a=．于是函数()fx在区间[1,0]−上单调递增，在区间(0,1]上单调递减，maxmin[()](0)1,[()](1)4fxffx

f===−=−，所以最大值与最小值之和为3−．故答案为：3−．［方法二］：等价转化由条件知3221xax+=有唯一的正实根，于是3222112xaxxx+==+．令21()2,0gxxxx=+，则()333212(

)2xgxxx=−=−，所以()gx在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+内单调递增，且(1)3g=，当0x→时，()gx→+；当x→+时，()gx→+．只需直线ya=与()gx的图像有一个交点，故3a=，下同方法一．［方法三］：【最优解】三元基本不等式同方法二得，

3222111233axxxxxxxx=+=++=，当且仅当1x=时取等号，要满足条件只需3a=，下同方法一．［方法四］：等价转化由条件知3221xax+=有唯一的正实根，即方程212xax+=有唯一的正实根，整理得()2120xaxx=−+，即函数()21gxx=与

直线2yxa=−+在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线2yxa=−+与曲线21()gxx=相切时，满足题意，如图．设切点0201,xx，因为32()gxx=−，于是3022x−=−，解得01,3xa==，下同方法一．【整体点评】方法一：利用导数得出函数在(0,)+上的单调性，确

定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；方法二：利用等价转化思想，函数在(0,)+上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解；方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而

求出参数，使问题得解，是该题的最优解；方法四：将函数在(0,)+上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．考点06利用导数研究函数的极值点及其应用1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数3()1fxxx

=−+，则（）A．()fx有两个极值点B．()fx有三个零点C．点(0,1)是曲线()yfx=的对称中心D．直线2yx=是曲线()yfx=的切线【答案】AC【分析】利用极值点的定义可判断A，结合()fx的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题

，()231fxx=−，令()0fx¢>得33x或33x−，令()0fx得3333x−，所以()fx在3(,)3−−，3(,)3+上单调递增，33(,)33−上单调递减，所以33x=是极值点，故A正确；因323()1039f−=+，323()1

039f=−，()250f−=−，所以，函数()fx在3,3−−上有一个零点，当33x时，()303fxf，即函数()fx在33,+上无零点，综上所

述，函数()fx有一个零点，故B错误；令3()hxxx=−，该函数的定义域为R，()()()()33hxxxxxhx−=−−−=−+=−，则()hx是奇函数，(0,0)是()hx的对称中心，将()hx的图象向上移动一个单位得到()fx的

图象，所以点(0,1)是曲线()yfx=的对称中心，故C正确；令()2312fxx=−=，可得1x=，又()(1)11ff=−=，当切点为(1,1)时，切线方程为21yx=−，当切点为(1,1)−时，切线方程为23yx=+，故

D错误.故选：AC.2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知1xx=和2xx=分别是函数2()2exfxax=−（0a且1a）的极小值点和极大值点．若12xx，则a的取值范围是．【答案】1,1e【分析】法一：依题可知，方程2

ln2e0xaax−=的两个根为12,xx，即函数lnxyaa=与函数eyx=的图象有两个不同的交点，构造函数()lnxgxaa=，利用指数函数的图象和图象变换得到()gx的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何

意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln2exfxaax−=，所以方程2ln2e0xaax−=的两个根为12,xx，即方程lnexaax=的两个根为12,xx，即

函数lnxyaa=与函数eyx=的图象有两个不同的交点，因为12,xx分别是函数()22exfxax=−的极小值点和极大值点，所以函数()fx在()1,x−和()2,x+上递减，在()12,xx上递增，所以当时()1,x−()2,x+，()0fx，即eyx=图

象在lnxyaa=上方当()12,xxx时，()0fx，即eyx=图象在lnxyaa=下方1a，图象显然不符合题意，所以01a．令()lnxgxaa=，则()2ln,01xgxaaa=，设过原点且与函数()ygx

=的图象相切的直线的切点为()00,lnxxaa，则切线的斜率为()020lnxgxaa=，故切线方程为()0020lnlnxxyaaaaxx−=−，则有0020lnlnxxaaxaa−=−，解得01lnxa=，

则切线的斜率为122lnlnelnaaaa=，因为函数lnxyaa=与函数eyx=的图象有两个不同的交点，所以2elnea，解得1eea，又01a，所以11ea，综上所述，a的取值范围为1,1e．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导()2ln2exf

xaax−==0的两个根为12,xx因为12,xx分别是函数()22exfxax=−的极小值点和极大值点，所以函数()fx在()1,x−和()2,x+上递减，在()12,xx上递增，设函数()()()g2lnxxfxaaex==−，则()()22ln2xxaae=−，若1a

，则()x在R上单调递增，此时若()00fx=，则()fx在()0,x−上单调递减，在()0,x+上单调递增，此时若有1xx=和2xx=分别是函数()22(0xfxaexa=−且1)a的极小值点和极大值点，则12

xx，不符合题意；若01a，则()x在R上单调递减，此时若()00x=，则()fx在()0,x−上单调递增，在()0,x+上单调递减，令()00x=，则02(ln)xeaa=，此时若有1xx=和2xx=分别是函数()22(0xf

xaexa=−且1)a的极小值点和极大值点，且12xx，则需满足()00fx，()()00002ln20lnxefxaaexexa=−=−，即001ln1lnxxaa，故()002lnlnln1lnxeaxaa==，所以11ea

.【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．3．（2021·全国乙卷·高考真题）设0a，若a为函数()()()2fxaxaxb

=−−的极大值点，则（）A．abB．abC．2abaD．2aba【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,ab所满足的

关系，由此确定正确选项.【详解】若ab=，则()()3fxaxa=−为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab¹.()fx有a和b两个不同零点，且在xa=左右附近是不变号，在xb=左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在xa=左右附近都是小于零的.当a<0时，由x

b，()0fx，画出()fx的图象如下图所示：由图可知ba，a<0，故2aba.当0a时，由xb时，()0fx，画出()fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a，故2aba.综上所述，2aba成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数

形结合的数学思想方法可以快速解答.4．（2017·全国·高考真题）若2x=−是函数21()(1)exfxxax−=+−的极值点，则()fx的极小值为．A．1−B．32e−−C．35e−D．1【答案】A【详解】由题

可得()()()()121212121xxxfxxaexaxexaxae−−−=+++−=+++−，因为()20f−=，所以1a=−，()()211xfxxxe−=−−，故()()212xfxxxe−−=+，令()0fx，解得2x−或1x，所以()fx在()

(),2,1,−−+上单调递增，在()2,1−上单调递减，所以()fx的极小值为()()1111111fe−=−−=−，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左

侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．5．（2016·四川·高考真题）已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=A．–4B．–2C．4D．2【答案】D【详解】试题

分析：()()()2312322fxxxx==+−−，令()0fx=得2x=−或2x=，易得()fx在()2,2−上单调递减，在()2,+上单调递增，故()fx的极小值点为2，即2a=，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中

，函数的极值点0x是方程'()0fx=的解，但0x是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x附近，如果0xx时，'()0fx，0xx时'()0fx，则0x是极小值点，如果0xx时，'()0fx

，0xx时，'()0fx，则0x是极大值点.考点07导数与函数的基本性质结合问题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)fxxx=−−，则（）A．3x=是()fx的极小值点B．当01x时，()2(

)fxfxC．当12x时，4(21)0fx−−D．当10x−时，(2)()fxfx−【答案】ACD【分析】求出函数()fx的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数()fx在()1,3上的值域即可判断C；直接

作差可判断D.【详解】对A，因为函数()fx的定义域为R，而()()()()()()22141313fxxxxxx=−−+−=−−，易知当()1,3x时，()0fx，当(),1x−或()3,x

+时，()0fx函数()fx在(),1−上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,+上单调递增，故3x=是函数()fx的极小值点，正确；对B，当01x时，()210xxxx−=−，所

以210xx，而由上可知，函数()fx在()0,1上单调递增，所以()()2fxfx，错误；对C，当12x时，1213x−，而由上可知，函数()fx在()1,3上单调递减，所以()()()12

13ffxf−，即()4210fx−−，正确；对D，当10x−时，()()()()()()222(2)()12141220fxfxxxxxxx−−=−−−−−−=−−，所以(2)()fxfx−，正确；故选：ACD.2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数()f

x的定义域为R，()()()22fxyyfxxfy=+，则（）．A．()00f=B．()10f=C．()fx是偶函数D．0x=为()fx的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例()0fx

=即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数2ln,0()0,0xxxfxx==进行判断即可.【详解】方法一：因为22()()()fxyyfxxfy=+，对于A，令0xy==，(0)0(0)0(0)0fff=+=，故A正确.对于B，令1xy==，

(1)1(1)1(1)fff=+，则(1)0f=，故B正确.对于C，令1xy==−，(1)(1)(1)2(1)ffff=−+−=−，则(1)0f−=，令21,()()(1)()yfxfxxffx=−−=+−

=，又函数()fx的定义域为R，所以()fx为偶函数，故C正确，对于D，不妨令()0fx=，显然符合题设条件，此时()fx无极值，故D错误.方法二：因为22()()()fxyyfxxfy=+，对于A，令0xy==

，(0)0(0)0(0)0fff=+=，故A正确.对于B，令1xy==，(1)1(1)1(1)fff=+，则(1)0f=，故B正确.对于C，令1xy==−，(1)(1)(1)2(1)ffff=−+−=−，则(1)0f−=，令2

1,()()(1)()yfxfxxffx=−−=+−=，又函数()fx的定义域为R，所以()fx为偶函数，故C正确，对于D，当220xy时，对22()()()fxyyfxxfy=+两边同时除以22xy，

得到2222()()()fxyfxfyxyxy=+，故可以设2()ln(0)fxxxx=，则2ln,0()0,0xxxfxx==，当0x肘，2()lnfxxx=，则()212ln(2ln1)xxxxxfxx=+=+，令()0fx，得120ex−

；令()0fx¢>，得12ex−；故()fx在120,e−上单调递减，在12e,−+上单调递增，因为()fx为偶函数，所以()fx在12,0e−−上单调递增，在12,e−−上单调递减，

显然，此时0x=是()fx的极大值，故D错误.故选：ABC.3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()()gxfx=，若322fx−，(2)gx+均为偶函

数，则（）A．(0)0f=B．102g−=C．(1)(4)ff−=D．(1)(2)gg−=【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周

期性的关系研究对于()fx，因为322fx−为偶函数，所以332222fxfx−=+即3322fxfx−=+①，所以()()3fxfx−=，所以()fx关于32x=对称，则(1)(4

)ff−=，故C正确；对于()gx，因为(2)gx+为偶函数，(2)(2)gxgx+=−，(4)()gxgx−=，所以()gx关于2x=对称，由①求导，和()()gxfx=，得333333222222fxfxfxf

xgxgx−=+−−=+−−=+，所以()()30gxgx−+=，所以()gx关于3(,0)2对称，因为其定义域为R，所以302g=，结合()

gx关于2x=对称，从而周期34222T=−=，所以13022gg−==，()()()112ggg−==−，故B正确，D错误；若函数()fx满足题设条件，则函数()fxC+（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定()fx的函数值，故A

错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()gx周期为2，关于2x=对称，故可设()()cosπgxx=，则()()1sinππfxxc=+，显然A，D错误，选BC.故选：

BC.[方法三]：因为322fx−，(2)gx+均为偶函数，所以332222fxfx−=+即3322fxfx−=+，(2)(2)gxgx+=−，所以()()3fxfx−=，(4)

()gxgx−=，则(1)(4)ff−=，故C正确；函数()fx，()gx的图象分别关于直线3,22xx==对称，又()()gxfx=，且函数()fx可导，所以()()30,32ggxgx=−=−，所以()(4)()3gxgxgx−==−−，所以()

(2)(1)gxgxgx+=−+=，所以13022gg−==，()()()112ggg−==−，故B正确，D错误；若函数()fx满足题设条件，则函数()fxC+（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定()fx的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋

值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．4．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()

:fx．①()()()1212fxxfxfx=；②当(0,)x+时，()0fx；③()fx是奇函数．【答案】()4fxx=（答案不唯一，()()2*nxNfnx=均满足）【分析】根据幂函数的性质可得所求的()f

x.【详解】取()4fxx=，则()()()()44421121122xfxfxxxxfxx===，满足①，()34fxx=，0x时有()0fx¢>，满足②，()34fxx=的定义域为R，又()

()34fxxfx−=−=−，故()fx是奇函数，满足③.故答案为：()4fxx=（答案不唯一，()()2*nxNfnx=均满足）5．（2017·山东·高考真题）若函数()xyefx=2.71828...e=（是自然对数的

底数）在()fx的定义域上单调递增，则称函数()fx具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①=2xfx−（）②=3xfx−（）③3=fxx（）④2=2fxx+（）【答案】①④【详解】①()22xxxxeef

xe−==在R上单调递增，故()2xfx−=具有性质；②()33xxxxeefxe−==在R上单调递减，故()xfx−=不具有性质；③()3xxefxex=，令()3xgxex=，则()()32232xxxgxexexxex=

+=+，当2x−时，()0gx，当<2x−时，()0gx，()3xxefxex=在(),2−−上单调递减，在()2,−+上单调递增，故()3fxx=不具有性质；④()()22xxefxex=+，令()()22xgxex=+，则()()()22

22110xxxgxexexex=++=++，()()22xxefxex=+在R上单调递增，故()22fxx=+具有性质．【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查

学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．2.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f

′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f(x)在(a，b)上的单调性

，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．6．（2015·四川·高考真题）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1，x2，设m＝1212()()fxfxxx−−，n＝1212()()gxgxx

x−−，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中真命题有（写出所有真命题的序号

）.【答案】①④【详解】对于①，因为f'（x）＝2xln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f'（x）＝g'（x），即2xln2＝2x＋a记h（x）＝2xln2－2x，则h'（x）＝2x（ln2

）2－2存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误对于④，由f'（x）＝－g'（x），即2xln2＝－2x－a令h（x）＝2xln2＋2x，则h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，即h（x）是单调递增

函数，当x→＋∞时，h（x）→＋∞当x→－∞时，h（x）→－∞因此对任意的a，存在y＝a与函数h（x）有交点.④正确考点：本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.考点08利用导数研究函数的

零点及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数32()231fxxax=−+，则（）A．当1a时，()fx有三个零点B．当0a时，0x=是()fx的极大值点C．存在a，b，使得xb=为曲线()yf

x=的对称轴D．存在a，使得点()()1,1f为曲线()yfx=的对称中心【答案】AD【分析】A选项，先分析出函数的极值点为0,xxa==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()fx在(1,0),(0,),(,2)aaa−上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分

析；C选项，假设存在这样的,ab，使得xb=为()fx的对称轴，则()(2)fxfbx=−为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的a，使得(1,33)a−为()fx的对称中心，则()(2)66fxfxa+−=−，据此进行计算判断，亦可利用拐点

结论直接求解.【详解】A选项，2()666()fxxaxxxa=−=−，由于1a，故()(),0,xa−+时()0fx，故()fx在()(),0,,a−+上单调递增，(0,)xa时，()0fx，()

fx单调递减，则()fx在0x=处取到极大值，在xa=处取到极小值，由(0)10=f，3()10faa=−，则(0)()0ffa，根据零点存在定理()fx在(0,)a上有一个零点，又(1)130fa−=−−，3(2)410faa

=+，则(1)(0)0,()(2)0fffafa−，则()fx在(1,0),(,2)aa−上各有一个零点，于是1a时，()fx有三个零点，A选项正确；B选项，()6()fxxxa=−，a<0时，(,0),()0xafx，()fx单调

递减，,()0x+时()0fx，()fx单调递增，此时()fx在0x=处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的,ab，使得xb=为()fx的对称轴，即存在这样的,ab使得()(2)fxfbx=−，即32322312(2)3(2)1xaxbxabx

−+=−−−+，根据二项式定理，等式右边3(2)bx−展开式含有3x的项为303332C(2)()2bxx−=−，于是等式左右两边3x的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,ab，使得xb=为()fx的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33fa=

−，若存在这样的a，使得(1,33)a−为()fx的对称中心，则()(2)66fxfxa+−=−，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812fxfxxaxxaxaxaxa+−=−++−−−+=−+−+−，于是266(126)(1224)1812aax

axa−=−+−+−即126012240181266aaaa−=−=−=−，解得2a=，即存在2a=使得(1,(1))f是()fx的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231fxxax=−+，2()66f

xxax=−，()126fxxa=−，由()02afxx==，于是该三次函数的对称中心为,22aaf，由题意(1,(1))f也是对称中心，故122aa==，即存在2a=使得(1,(1))f是()fx的对称中

心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()fx的对称轴为()(2)xbfxfbx==−；（2）()fx关于(,)ab对称()(2)2fxfaxb+−=；（3）任何三次函数32()fxaxbxcxd=+++都有对称中心，对称中

心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0fx=的解，即,33bbfaa−−是三次函数的对称中心2．（2023·全国乙卷·高考真题）函数()32fxxax=++存在3个零点，则a的取值范围是（）A．(),2−−

B．(),3−−C．()4,1−−D．()3,0−【答案】B【分析】写出2()3fxxa=+，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】3()2fxxax=++，则2()3fxxa=+，若()fx要存在3个零点，则()fx要存在极大值和极小值，则a<0，令2

()30fxxa=+=，解得3ax−=−或3a−，且当,,33aax−−−−+时，()0fx，当,33aax−−−，()0fx，故()fx的极大值为3fa−−，极小值为3fa−，若()fx要存在3个

零点，则0303afaf−−−，即2033320333aaaaaaaa−−−+−−−++，解得3a−，故选：B.3．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg2fxxkx=

−−，给出下列四个结论：①若0k=，()fx恰有2个零点；②存在负数k，使得()fx恰有1个零点；③存在负数k，使得()fx恰有3个零点；④存在正数k，使得()fx恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】由()0fx=可得出lg2xkx=

+，考查直线2ykx=+与曲线()lggxx=的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k=时，由()lg20fxx=−=，可得1100x=或100x=，①正确；对于②，考查直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=

−相切于点(),lgPtt−，对函数lgyx=−求导得1ln10yx=−，由题意可得2lg1ln10kttkt+=−=−，解得100100lgetkee==−，所以，存在100lg0kee=−，使得()fx只有一个零点，②

正确；对于③，当直线2ykx=+过点()1,0时，20k+=，解得2k=−，所以，当100lg2eke−−时，直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−有两个交点，若函数()fx有三个零点，则直线2ykx=+与曲线(

)lg01yxx=−有两个交点，直线2ykx=+与曲线()lg1yxx=有一个交点，所以，100lg220ekek−−+，此不等式无解，因此，不存在0k，使得函数()fx有三个零点，③错误；对

于④，考查直线2ykx=+与曲线()lg1yxx=相切于点(),lgPtt，对函数lgyx=求导得1ln10yx=，由题意可得2lg1ln10kttkt+==，解得100lg100teeke=

=，所以，当lg0100eke时，函数()fx有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题

的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．4．（2018·

江苏·高考真题）若函数()()3221fxxaxaR=−+在()0,+内有且只有一个零点，则()fx在1,1−上的最大值与最小值的和为．【答案】3−【分析】方法一：利用导数判断函数()fx在(0,)+

上的单调性，确定零点位置，求出参数a,再根据函数()fx在1,1−上的单调性确定函数最值，即可解出.【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法求导得2()62fxxax=−，当0a时，函数()fx在区间(0,)+内单调递增，且()(0)1fxf

=，所以函数()fx在(0,)+内无零点；当0a时，函数()fx在区间0,3a内单调递减，在区间,3a+内单调递增．当0x=时，(0)1f=；当x→+时，()fx→+．要使函数()fx在区间(0,)+内有且仅有一个零点，只需03a

f=，解得3a=．于是函数()fx在区间[1,0]−上单调递增，在区间(0,1]上单调递减，maxmin[()](0)1,[()](1)4fxffxf===−=−，所以最大值与最小值之和为3−．

故答案为：3−．［方法二］：等价转化由条件知3221xax+=有唯一的正实根，于是3222112xaxxx+==+．令21()2,0gxxxx=+，则()333212()2xgxxx=−=−，所以()gx在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+内单调递增，且(1)3g=，当0x→时，

()gx→+；当x→+时，()gx→+．只需直线ya=与()gx的图像有一个交点，故3a=，下同方法一．［方法三］：【最优解】三元基本不等式同方法二得，3222111233axxxxxxxx=+=++=，当且仅当1x=时取

等号，要满足条件只需3a=，下同方法一．［方法四］：等价转化由条件知3221xax+=有唯一的正实根，即方程212xax+=有唯一的正实根，整理得()2120xaxx=−+，即函数()21gxx=与直线2yxa=−+在第一象限内有唯一的交

点．于是平移直线2yxa=−+与曲线21()gxx=相切时，满足题意，如图．设切点0201,xx，因为32()gxx=−，于是3022x−=−，解得01,3xa==，下同方法一．【整体点评】方法一：利用导数得出函数在(0,)+上的单调性，确定零

点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；方法二：利用等价转化思想，函数在(0,)+上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解；方法三：通过三元基本不等式确定取最

值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；方法四：将函数在(0,)+上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．5．（2017·全国·高考真题）已知函数211()2()xxfxxxaee−−+=−++有唯一

零点，则=aA．12−B．13C．12D．1【答案】C【详解】因为()221111()2()1()1xxxxfxxxaeexaee−−+−−+=−++=−++−，设1tx=−，则()()()21ttfxgttaee−==++

−，因为()()gtgt=−，所以函数()gt为偶函数，若函数()fx有唯一零点，则函数()gt有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0=t时，()0gt=才满足题意，即1x=是函数()fx的唯一零点，所以210a−=，解得12a=.故选：C.【点睛】利用函数零点的情况求参

数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.6．（2015·陕西·高考真题）对二次函数2()fxaxbxc=++（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其

中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A．1−是()fx的零点B．1是()fx的极值点C．3是()fx的极值D．点(2,8)在曲线()yfx=上【答案】A【详解】若选项A错误时，选项B、C、D正确，()2fxaxb=+，因为1是()fx的极值点

，3是()fx的极值，所以()()10{13ff==，即203ababc+=++=，解得：2{3baca=−=+，因为点()2,8在曲线()yfx=上，所以，即()42238aaa+−++=，解得：5a=，所以10b=−，8c=，所以()25108fxxx=−+，因为()()()215

11018230f−=−−−+=，所以1−不是()fx的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．考点09利用导数研究方程的根及其应用1．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线33yxx=

−与()21yxa=−−+在()0,+上有两个不同的交点，则a的取值范围为．【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程，令()2331xxxa−=−−+，分离参数a，构造新函数()3251,gxxxx=+−+结合导数求得()gx单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331xx

xa−=−−+，即3251axxx=+−+，令()()32510,gxxxxx=+−+则()()()2325351gxxxxx=+−=+−，令()()00gxx=得1x=，当()0,1x时，()0gx，()gx单调递减，当()1,x+时，()0gx，()

gx单调递增，()()01,12gg==−，因为曲线33yxx=−与()21yxa=−−+在()0,+上有两个不同的交点，所以等价于ya=与()gx有两个交点，所以()2,1a−.故答案为：()2,1−2．（2021·北京·高

考真题）已知函数()lg2fxxkx=−−，给出下列四个结论：①若0k=，()fx恰有2个零点；②存在负数k，使得()fx恰有1个零点；③存在负数k，使得()fx恰有3个零点；④存在正数k，使得()fx恰有3个零点．其中所有正

确结论的序号是．【答案】①②④【分析】由()0fx=可得出lg2xkx=+，考查直线2ykx=+与曲线()lggxx=的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k=时，由()lg20fxx=−=，

可得1100x=或100x=，①正确；对于②，考查直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−相切于点(),lgPtt−，对函数lgyx=−求导得1ln10yx=−，由题意可得2lg1ln10kttkt+=−=−，解得100

100lgetkee==−，所以，存在100lg0kee=−，使得()fx只有一个零点，②正确；对于③，当直线2ykx=+过点()1,0时，20k+=，解得2k=−，所以，当100lg2eke−−时，直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−有两个交点，

若函数()fx有三个零点，则直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−有两个交点，直线2ykx=+与曲线()lg1yxx=有一个交点，所以，100lg220ekek−−+，此不等式无解，因此，不存在0k，使得函数()fx有三个零点，③错误；对于④，考

查直线2ykx=+与曲线()lg1yxx=相切于点(),lgPtt，对函数lgyx=求导得1ln10yx=，由题意可得2lg1ln10kttkt+==，解得100lg100teeke==，所

以，当lg0100eke时，函数()fx有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函

数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．3．（2015·安徽·高考真题）函数()32fxaxbxcxd=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．0a，0b，0c

，0dB．0a，0b，0c，0dC．0a，0b，0c，0dD．0a，0b，0c，0d【答案】A【分析】根据图象，由()0f确定0d，求导后，确定()232fxaxbxc=++有两个不相等的正实数根12,xx，结

合函数单调性，韦达定理即可求出答案.【详解】由图象可知()00fd=，()232fxaxbxc=++有两个不相等的正实数根12,xx，且()fx在()()12,,xx−+,上单调递增，在()12,xx上单调递减，所以121220

,0,033bcaxxxxaa+=−=，所以0,0bc，综上：0a，0b，0c，0d.故选：A4．（2015·全国·高考真题）设函数()(21)xfxexaxa=−−+，其中1a，若存在唯一的整数0x，使得0()0fx，则

a的取值范围是（）A．3,12e−B．33,2e4−C．33,2e4D．3,12e【答案】D【分析】设()()21xgxex=−，()1yax=−，问题转

化为存在唯一的整数0x使得满足()()01gxax−，求导可得出函数()ygx=的极值，数形结合可得()01ag−=−且()312gae−=−−，由此可得出实数a的取值范围.【详解】设()()21xgxex=−，

()1yax=−，由题意知，函数()ygx=在直线yaxa=−下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21xgxex=+，当12x−时，()0gx；当12x−时，()0gx.所以，函数(

)ygx=的最小值为12122ge−−=−.又()01g=−，()10ge=.直线yaxa=−恒过定点()1,0且斜率为a，故()01ag−=−且()31gaae−=−−−，解得312ae，故选D.【点睛】本题

考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.5．（2015·安徽·高考真题）设30xaxb++=，其中,ab均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.（写出所有正确条件的编号）①3,3ab=−=−

；②3,2ab=−=；③3,2ab=−；④0,2ab==；⑤1,2ab==.【答案】1，3，4，5【详解】令3()fxxaxb=++，求导得2'()3fxxa=+，当0a时，'()0fx，所以()fx单调递增，且至少存在一个数使()0fx，至少存在一个数使()0fx，所以3()fx

xaxb=++必有一个零点，即方程30xaxb++=仅有一根，故④⑤正确；当a<0时，若3a=−，则2'()333(1)(1)fxxxx=−=+−，易知，()fx在(,1),(1,)−−+上单调递增，在[1,1]−上单调递减，所以()=(1)132fxfbb−=−++

=+极大，()=(1)132fxfbb=−+=−极小，要使方程仅有一根，则()=(1)1320fxfbb−=−++=+极大或者()=(1)1320fxfbb=−+=−极小，解得2b−或2b，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.考点：1函数零点与方程的根之

间的关系；2.函数的单调性及其极值.考点10构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知3111,cos,4sin3244abc===，则（）A．cbaB．bacC．abcD．acb【答案】A【分析】由14tan4cb=结合三角

函数的性质可得cb;构造函数()()21cos1,0,2fxxxx=+−+,利用导数可得ba,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan2xxx故14tan14cb=，故1cb，所以cb；设21()cos1,(0,)2f

xxxx=+−+，()sin0fxxx=−+，所以()fx在(0,)+单调递增，故1(0)=04ff，所以131cos0432−，所以ba，所以cba，故选A[方法二]：不等式放缩因为当

π0,,sin2xxx，取18x=得：2211131cos12sin1248832=−−=，故ba1114sincos17sin444+=+，其中0,2

，且14sin,cos1717==当114sincos1744+=时，142+=，及124=−此时14sincos417==，11cossin417==故11cos417=411sin4sin4417=，故bc

所以ba，所以cba，故选A[方法三]：泰勒展开设0.25x=，则2310.251322a==−，2410.250.25cos1424!b=−+，241sin10.250.2544sin1143!5!4c==−+，计算得cba，故选A.[方法四]：构造函数因为14tan4cb

=，因为当π0,,sintan2xxxx，所以11tan44,即1cb，所以cb；设21()cos1,(0,)2fxxxx=+−+，()sin0fxxx=−+，所以()fx在(0,)+单调递增，则1(0)=04ff,所以131cos0432−，所

以ba,所以cba，故选：A．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为14tan4cb=，因为当π0,,sintan2xxxx，所以11tan44,即1cb，所以cb；因为当π0,,sin2xxx

，取18x=得2211131cos12sin1248832=−−=，故ba，所以cba．故选：A．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sintan2x

xxx放缩，即可得出大小关系，属于最优解．2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）设0.110.1e,ln0.99abc===−，，则（）A．abcB．cbaC．c<a<bD．acb【答案】C【分析】构造函数()ln(1)fxxx=+−，导数判断其单调性，由此确

定,,abc的大小.【详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)fxxxx=+−−，因为1()111xfxxx=−=−++，当(1,0)x−时，()0fx，当,()0x+时()0fx，所以函数()ln(1)fxxx=+−在(0,)+单调递减，在(1,

0)−上单调递增，所以1()(0)09ff=，所以101ln099−，故110lnln0.999=−，即bc，所以1()(0)010ff−=，所以91ln+01010，故1109e10−，所以11011e109，故ab，设()eln(1)

(01)xgxxxx=+−，则()()21e11()+1e11xxxgxxxx−+=+=−−,令2()e(1)+1xhxx=−，2()e(21)xhxxx=+−，当021x−时，()0hx，函数2()e(1)+1xh

xx=−单调递减，当211x−时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx=−单调递增，又(0)0h=，所以当021x−时，()0hx，所以当021x−时，()0gx，函数()eln(1)xgxx

x=+−单调递增，所以(0.1)(0)0gg=，即0.10.1eln0.9−，所以ac故选：C.方法二：比较法解：0.10.1ae=，0.110.1b=−，ln(10.1)c=−−，①lnln0.1ln(10.1)ab−=+−，令()

ln(1),(0,0.1],fxxxx=+−则1()1011xfxxx−=−=−−，故()fx在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0ff=，即lnln0ab−，所以ab；②0.10.1ln

(10.1)ace−=+−，令()ln(1),(0,0.1],xgxxexx=+−则()()()1111'11xxxxxegxxeexx+−−=+−=−−，令()(1)(1)1xkxxxe=+−−，所以2()(12)0xkxxxe=−−，所以()kx在(0,0.1]上单调递

增，可得()(0)0kxk，即()0gx，所以()gx在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0gg=，即0ac−，所以.ac故.cab3．（2021·全国乙卷·高考真题）设2ln1.01a=，ln1.02b=，1.041c=−．则（）A．abcB

．b<c<aC．bacD．c<a<b【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数()()2ln1141fxxx=+−++,()()ln12141gxxx=+−++，利用导

数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】[方法一]：2ln1.01a=2ln1.01=()2ln10.01=+()2ln120.010.01=++ln1.02b=，

所以ba；下面比较c与,ab的大小关系.记()()2ln1141fxxx=+−++，则()00f=，()()()214122114114xxfxxxxx+−−=−+=+++，由于()()2214122xxxxxx+−+=−=−所以当0<x<2时，()21410x

x+−+，即()141xx++，()0fx¢>，所以()fx在0,2上单调递增，所以()()0.0100ff=，即2ln1.011.041−，即ac；令()()ln12141gxxx=+−++，则()00g=，()()()214

12221214114xxgxxxxx+−−=−=++++，由于()2214124xxx+−+=−，在x>0时，()214120xx+−+，所以()0gx，即函数()gx在[0，+∞)上单调递减，所以()(

)0.0100gg=，即ln1.021.041−，即b<c；综上，b<c<a，故选：B.[方法二]：令()21ln1(1)2xfxxx+=−−()()221-01xfxx=+−，即函数()fx在（1，+∞)上单调递减()()1

0.0410,ffbc+=令()232ln1(13)4xgxxx+=−+()()()21303xxgxx−−+=，即函数()gx在（1，3)上单调递增()()10.0410,ggac+=综上，b<c<a，故选：B.【

点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.