【文档说明】十年（2015-2024）高考真题分项汇编 数学 专题16 导数及其应用小题综合 Word版含解析.docx，共(48)页，2.976 MB，由小赞的店铺上传

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专题16导数及其应用小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1导数的基本计算及其应用（10年4考）2020·全国卷、2018·天津卷2016·天津卷、2015·天津卷1.掌握基本函数的导数求解，会导数的基本计算，会求切线方程，会公切线的拓展，切线内容是新高

考的命题热点，要熟练掌握2.会利用导数判断函数的单调性及会求极值最值，会根据极值点拓展求参数及其他内容，极值点也是新高考的命题热点，要熟练掌握3.会用导数研究函数的零点和方程的根，会拓展函数零点的应用，会导数与函数性质的结合，该内容也是新高考的命题热点，要熟练掌握

4.会构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系，该内容也是新高考的命题热点，要熟练掌握5.要会导数及其性质的综考点2求切线方程及其应用（10年10考）2024·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅱ卷2

022·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·江苏卷、2019·全国卷2019·天津卷、2019·全国卷、2019·全国卷2018·全国卷、2018·全国卷

、2018·全国卷2018·全国卷、2017·全国卷、2016·全国卷2016·全国卷、2015·全国卷、2015·陕西卷2015·陕西卷考点3公切线问题（10年3考）2024·全国新Ⅰ卷、2016·全国卷、2015·全国卷考点4利用导数判断函数单调性及其应用（10年6考

）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷2019·北京卷、2017·山东卷、2016·全国卷2015·陕西卷、2015·福建卷、2015·全国卷考点5求极值与最值及其应用（10年5考）2024·上海卷、2023·全国新Ⅱ卷、2

022·全国乙卷2022·全国甲卷、2021·全国新Ⅰ卷、2018·全国卷2018·江苏卷考点6利用导数研究函数的极值点及其应用（10年5考）2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷、2021·全国乙卷、2017·全国卷、2016·四川卷考点7导数与

函数的基本性质结合问题（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅱ卷、2017·山东卷、2015·四川卷合应用，加强复习考点8利用导数研究函数的零点及其应用（10年6考）2024·全国新Ⅱ卷、2

023·全国乙卷、2021·北京卷、2018·江苏卷、2017·全国卷、2015·陕西卷考点9利用导数研究方程的根及其应用（10年3考）2024·全国甲卷、2021·北京卷、2015·安徽卷2015·全国

卷、2015·安徽卷考点10构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系（10年3考）2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷考点01导数的基本计算及其应用1．（2020·全国·高考真题）设函数e()xfxxa=

+．若(1)4ef=，则a=．【答案】1【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221xxxexaeexafxxaxa+−+−==++，则：()()()()1

2211111eaaefaa+−==++，据此可得：()241aeea=+，整理可得：2210aa−+=，解得：1a=.故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.2．（2018·天津·高考真题）已

知函数f(x)=exlnx，()'fx为f(x)的导函数，则()'1f的值为．【答案】e【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由函数的解析式可得：11()lnlnxxxfxexeexxx=+=+，则11(1)ln11fee

=+=，即()'1f的值为e，故答案为e.点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．（2016·天津·高考真题）已知函数()(2+1)e

,()xfxxfx=为()fx的导函数，则(0)f的值为.【答案】3【详解】试题分析：()(2+3),(0)3.xfxxef==【考点】导数【名师点睛】求函数的导数的方法：（1）连乘积的形式：先展开

化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；（5）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求

导．4．（2015·天津·高考真题）已知函数()()ln,0,fxaxxx=+，其中a为实数，()fx为()fx的导函数，若()13f=，则a的值为．【答案】3【详解】试题分析：'()lnfxaxa=+，所以'(1)3fa==．考点：导数的运算．【名师点睛】(1)在解答过程中常见的

错误有：①商的求导中，符号判定错误．②不能正确运用求导公式和求导法则．(2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量．②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外

向内逐层求导，必要时可换元处理．考点02求切线方程及其应用1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数()2e2sin1xxfxx+=+，则曲线()yfx=在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．16B．13C．12D．23【答案】A【分析】借助导数的几何意

义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()()222e2cos1e2sin21xxxxxxfxx++−++=，则()()()()()002e2cos010e2sin000310f++−++==，即该切线方程为13yx−=，即

31yx=+，令0x=，则1y=，令0y=，则13x=-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S=−=.故选：A.2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线e1xyx=+在点e1,2处的切线方程为（）A．e4yx=B．e2yx=C．ee44yx=+D．

e3e24yx=+【答案】C【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线e1xyx=+在点e1,2处的切线方程为()e12ykx−=−

，因为e1xyx=+，所以()()()22e1ee11xxxxxyxx=++−=+，所以1e|4xky===所以()ee124yx−=−所以曲线e1xyx=+在点e1,2处的切线方程为ee44yx=+.故选：C

3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）曲线ln||yx=过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】1eyx=1eyx=−【分析】分0x和0x两种情况，当0x时设切点为()00,lnxx，求出函数的导函数，即可求出切线的斜

率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x，即可求出切线方程，当0x时同理可得；【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分0x和0x两种情况，当0x时设切点为()00,lnxx，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线

方程，再根据切线过坐标原点求出0x，即可求出切线方程，当0x时同理可得；解：因为lnyx=，当0x时lnyx=，设切点为()00,lnxx，由1yx=，所以001|xxyx==，所以切线方程为()0001lnyxxxx−=−，又切线过坐标原点，所以()

0001lnxxx−=−，解得0ex=，所以切线方程为()11eeyx−=−，即1eyx=；当0x时()lnyx=−，设切点为()()11,lnxx−，由1yx=，所以111|xxyx==，所以切线方程为()()1111lnyxxxx−−=−，又切线过坐标原点，所以(

)()1111lnxxx−−=−，解得1ex=−，所以切线方程为()11eeyx−=+−，即1eyx=−；故答案为：1eyx=；1eyx=−[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当0x时lnyx=，设切点为()00,lnxx，由1yx=，所以001|xxyx==，所以切

线方程为()0001lnyxxxx−=−，又切线过坐标原点，所以()0001lnxxx−=−，解得0ex=，所以切线方程为()11eeyx−=−，即1eyx=；因为lnyx=是偶函数，图象为：所以当0x时的切线，只需找到1eyx=关于y轴的对称直线1eyx=

−即可.[方法三]：因为lnyx=，当0x时lnyx=，设切点为()00,lnxx，由1yx=，所以001|xxyx==，所以切线方程为()0001lnyxxxx−=−，又切线过坐标原点，所以()0001

lnxxx−=−，解得0ex=，所以切线方程为()11eeyx−=−，即1eyx=；当0x时()lnyx=−，设切点为()()11,lnxx−，由1yx=，所以111|xxyx==，所以切线方程为(

)()1111lnyxxxx−−=−，又切线过坐标原点，所以()()1111lnxxx−−=−，解得1ex=−，所以切线方程为()11eeyx−=+−，即1eyx=−；故答案为：1eyx=；1eyx=−.4．（2022

·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线()exyxa=+有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】()(),40,−−+【分析】设出切点横坐标0x，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求

得a的取值范围.【详解】∵()exyxa=+，∴(1)exyxa=++，设切点为()00,xy,则()000exyxa=+,切线斜率()001exkxa=++,切线方程为：()()()00000e1exxyxaxaxx−+=++−,

∵切线过原点，∴()()()00000e1exxxaxax−+=++−,整理得：2000xaxa+−=,∵切线有两条，∴240aa=+,解得4a<-或0a,∴a的取值范围是()(),40,−−

+,故答案为：()(),40,−−+5．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线2x1yx2−=+在点()1,3−−处的切线方程为．【答案】520xy−+=【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．

【详解】由题，当=1x−时，=3y−，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522xxyxx+−−==++，所以1|5xy=−=．故切线方程为520xy−+=．故答案为：520xy−+=．6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数12()1,0,0xfxexx=

−，函数()fx的图象在点()()11,Axfx和点()()22,Bxfx的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则||||AMBN取值范围是．【答案】()0,1【分析】结合导数的几何意义可得120xx+=，结合直线方程及两点间距离公式可得1211xeAxM=+，2221xeBxN

=+，化简即可得解.【详解】由题意，()1011,0,xxxexfxeex=−−−=，则()0,,0xxxfxeex−=，所以点()11,1xAxe−和点()22,1xBxe−，12,xxAMBNkeke=−=,所以12121,0xxeexx−=−+=，

所以()()111111,0:,11xxxxeexxeAMeyMx−+=−−−+，所以()112221111xxxexexAM+=+=，同理2221xeBxN=+,所以()1111212222122221110,1111xxxxxxxexeeee

eeNxAMB−===++++++=.故答案为：()0,1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120xx+=，消去一个变量后，运算即可得解.7．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）若过点(),ab

可以作曲线exy=的两条切线，则（）A．ebaB．eabC．0ebaD．0eab【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；

解法二：画出曲线xye=的图象，根据直观即可判定点(),ab在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线xye=上任取一点(),tPte，对函数xye=求导得exy=，所以，曲线xye=在点P处的切线方程为()ttyeext−=−，即()1ttyexte=+−，由题意可知，

点(),ab在直线()1ttyexte=+−上，可得()()11tttbaeteate=+−=+−，令()()1tftate=+−，则()()tftate=−.当ta时，()0ft，此时函数()ft单调递增，当ta时，()0ft，此时函数()ft单调递减，所以，()()maxaft

fae==，由题意可知，直线yb=与曲线()yft=的图象有两个交点，则()maxabfte=，当1ta+时，()0ft，当1ta+时，()0ft，作出函数()ft的图象如下图所示：由图可知，当0abe

时，直线yb=与曲线()yft=的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线xye=的图象如图所示，根据直观即可判定点(),ab在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0abe.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中

学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.8．（2020·全国·高考真题）若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都

相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+12C．y=12x+1D．y=12x+12【答案】D【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线yx=上的切点为()

00,xx，则00x，函数yx=的导数为12yx=，则直线l的斜率012kx=，设直线l的方程为()00012yxxxx−=−，即0020xxyx−+=，由于直线l与圆2215xy+=相切，则001145xx=+，两边平方并整理得2005410xx−−=，解得01x=，015

x=−（舍），则直线l的方程为210xy−+=，即1122yx=+.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.9．（2020·全国·高考真题）函数43()2fxxx=−的图像在点(1(1))f，处的切线方程为（）A．21

yx=−−B．21yx=−+C．23yx=−D．21yx=+【答案】B【分析】求得函数()yfx=的导数()fx，计算出()1f和()1f的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】()432fxxx=−，()3246fxx

x=−，()11f=−，()12f=−，因此，所求切线的方程为()121yx+=−−，即21yx=−+.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题10．（2020·全国·高考真题）曲线ln1yxx=++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程

为.【答案】2yx=【分析】设切线的切点坐标为00(,)xy，对函数求导，利用0|2xy=，求出0x，代入曲线方程求出0y，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln1,1xyyxxyx=++=+，0000

1|12,1,2xxyxyx==+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)yx−=−，即2yx=.故答案为：2yx=.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.11．（2019·江苏·

高考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是.【答案】(e,1).【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点()00,A

xy，则00lnyx=.又1yx=，当0xx=时，01yx=，点A在曲线lnyx=上的切线为0001()yyxxx−=−，即00ln1xyxx−=−，代入点(),1e−−，得001ln1exx−−−=−，即00ln

xxe=，考查函数()lnHxxx=，当()0,1x时，()0Hx，当()1,x+时，()0Hx，且()'ln1Hxx=+，当1x时，()()'0,HxHx单调递增，注意到()Hee=，故00lnxxe=

存在唯一的实数根0xe=，此时01y=，故点A的坐标为(),1Ae.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是

曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．12．（2019·全国·高考真题）已知曲线elnxyaxx=+在点()1,ae处的切线方程为2yxb=+，则A．,1aeb==−B．,1aeb==C．1,1aeb−==D．1,1aeb−==−【答案】

D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b．【详解】详解：ln1,xyaex=++1|12xkyae===+=，1ae−=将(1,1)代入2yxb=+得

21,1bb+==−，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．13．（2019·天津·高考真题）曲线cos2xyx=−在点()0,1处的切线方程为.【答案】220xy+−=【分析】利用导数值

确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．【详解】1'sin2yx=−−，当0x=时其值为12−，故所求的切线方程为112yx−=−，即220xy+−=．【点睛】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(

x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组0010010()'()yfxyyfxxx=−=−得切点(x0，y

0)，进而确定切线方程．14．（2019·全国·高考真题）曲线23()exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为．【答案】30xy−=.【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21

)3()3(31),xxxyxexxexxe=+++=++所以，/0|3xky===所以，曲线23()exyxx=+在点(0,0)处的切线方程为3yx=，即30xy−=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢

”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．15．（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A．10xy−−−=B．2210xy−−−=C．2210xy+−

+=D．10xy+−+=【答案】C【分析】先判定点(,1)−是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当x=时，2sincos1y=+=−，即点(,1)−在曲线2sincosyxx=+上．2cossi

n,yxx=−2cossin2,xy==−=−则2sincosyxx=+在点(,1)−处的切线方程为(1)2()yx−−=−−，即2210xy+−+=．故选C．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线

的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出

切线方程．16．（2018·全国·高考真题）设函数()()321fxxaxax=+−+．若()fx为奇函数，则曲线()yfx=在点()00，处的切线方程为()A．2yx=−B．yx=−C．2yx=D．yx=

【答案】D【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a=，进而得到()fx的解析式，再对()fx求导得出切线的斜率k，进而求得切线方程.详解：因为函数()fx是奇函数，所以10a−=，解得1a=，所以3()fxxx=+，2()31xf'x=+，所以'(0)1,(

0)0ff==，所以曲线()yfx=在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)yffx−=，化简可得yx=，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()yfx=在某个点00(,())xfx处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不

存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()fx，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.17．（2018·全国·高考真题）曲线()1exyax=+在点()01，处的切线的斜率为2−，则=a．【答案】3−【分析】求导，利用导数的几何

意义计算即可．【详解】解：()y1xxaeaxe=++则()f012a=+=−所以3a=−故答案为-3.【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．18．（2018·全国·高考真题）曲线2lnyx=在点()1

,0处的切线方程为．【答案】22yx=−【分析】求导2()fxx=，可得斜率(1)2kf==，进而得出切线的点斜式方程.【详解】由()2lnyfxx==，得2()fxx=，则曲线2lnyx=在点(1,0)处的切线的斜率为(1)2kf==，则所求切线方程为02

(1)yx−=−，即22yx=−.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.19．（2018·全国·高考真题）曲线2ln(1)yx=

+在点(0,0)处的切线方程为．【答案】2yx=【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【详解】2222101ykyxx====++【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“

在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.20．（2017·全国·高考真题）曲线21yxx=+在点（1，2）处的切线方程为．【答案】1yx=+【详

解】设()yfx=，则21()2fxxx=−，所以(1)211f=−=，所以曲线21yxx=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)yx−=−，即1yx=+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)Pxy是曲线()yfx=上的一点

，则以P为切点的切线方程是000()()yyfxxx−=−．若曲线()yfx=在点00(,())Pxfx处的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx=．21．（2016·全国·高考真题）已知()fx为偶函

数，当0x时，1()exfxx−−=−，则曲线()yfx=在点(1,2)处的切线方程是.【答案】2yx=【详解】试题分析：当0x时，0x−，则1()exfxx−−=+．又因为()fx为偶函数，所以1()()exfxfxx−=−=+，所以1()e1xfx

−=+，则(1)2f=，所以切线方程为22(1)yx−=−，即2yx=．【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x时，函数()yfx=，则当0x时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()fx

为偶函数，则当0x时，函数的解析式为()yfx=−；若()fx为奇函数，则函数的解析式为()yfx=−−．22．（2016·全国·高考真题）已知()fx为偶函数，当0x时，()ln()3fxxx=−+，则曲线()yfx=在点(1,3)−处的切线方程是．【答案】21yx=−−【详解

】试题分析：当0x时，0x−，则()ln3fxxx−=−．又因为()fx为偶函数，所以()()ln3fxfxxx=−=−，所以1()3fxx=−，则切线斜率为(1)2f=−，所以切线方程为32(1)yx+=−−，即21yx=−−．【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知

识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x时，函数()yfx=，则当0x时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()fx为偶函数，则当0x时，函数的解析式为()yfx=−；若()fx为奇函数，则函数的解析式为()yfx=−−．23．（2015·全国·高考真题）已知函数

()31fxaxx=++的图像在点()()1,1f的处的切线过点()2,7，则=a.【答案】1【详解】试题分析：()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)fxaxfafalyaaxa=+=+=+−+=+−−+(31)(21)1aa=+−=.考点：1、导

数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先求导可得()()2'31'131,(1)2:(2)(31

)(1)7(2)fxaxfafalyaaxa=+=+=+−+=+−−+(31)a=+•(21)1a−=.24．（2015·陕西·高考真题）设曲线xye=在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yxx=上点处的切线垂直，则的坐标为．【答案】【详解】设00(,)Pxy.对

y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线1(0)yxx=上点P处的切线斜率为－1，由02011xxyx==−=−，得01x=，则01y=，所以P的坐标为(1，

1)．考点：导数的几何意义．25．（2015·陕西·高考真题）函数xyxe=在其极值点处的切线方程为.【答案】1ye=−【详解】()()(1)xxyfxxefxxe===+，令()01fxx==−，此时1(1)fe−=−函数xyxe=在其极值点处的切线方程为1ye=−考点：：导

数的几何意义.考点03公切线问题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）若曲线exyx=+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)yxa=++的切线，则=a.【答案】ln2【分析】先求出曲线exyx=+在()0,

1的切线方程，再设曲线()ln1yxa=++的切点为()()00,ln1xxa++，求出y，利用公切线斜率相等求出0x，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由exyx=+得e1xy=+，00|e12xy==+=，故曲线exyx=+在()0,1处的切

线方程为21yx=+；由()ln1yxa=++得11yx=+，设切线与曲线()ln1yxa=++相切的切点为()()00,ln1xxa++，由两曲线有公切线得0121yx==+，解得012x=−，则切点为11,ln22a

−+，切线方程为112ln21ln222yxaxa=+++=++−，根据两切线重合,所以ln20a−=，解得ln2a=.故答案为：ln22．（2016·全国·高考真题）若直线ykxb=+是曲线ln2yx=+的切线，也是曲线ln(1)yx=+的切线，则b=．【

答案】1ln2−【详解】试题分析：对函数ln2yx=+求导得1yx=，对ln(1)yx=+求导得11yx=+，设直线ykxb=+与曲线ln2yx=+相切于点111(,)Pxy，与曲线ln(1)yx=

+相切于点222(,)Pxy，则1122ln2,ln(1)yxyx=+=+，由点111(,)Pxy在切线上得()1111ln2()yxxxx−+=−，由点222(,)Pxy在切线上得2221ln(1)()1yxxxx−+=−+，这两条直线表示同一条

直线，所以，解得11111,2,ln211ln22xkbxx====+−=−.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线

方程为y−y0＝f′（x0）（x−x0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．3．（2015·全国·高考真题）已知曲线lnyxx=+在点()1,1处的切线与曲线()221yaxax=+++相切,则a=．【答案】8【详解】试题分析：函数lnyxx=+在(1

,1)处的导数为111|1|2xxyx===+=，所以切线方程为；曲线2(2)1yaxax=+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛

】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到

切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．考点04利用导数判断函数单调性及其应用1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)fxxx=−−，则（）A．3x=是()fx的极小值点B．当01x时，()2

()fxfxC．当12x时，4(21)0fx−−D．当10x−时，(2)()fxfx−【答案】ACD【分析】求出函数()fx的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数()fx在()1,3上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A

，因为函数()fx的定义域为R，而()()()()()()22141313fxxxxxx=−−+−=−−，易知当()1,3x时，()0fx，当(),1x−或()3,x+时，()0fx函数()fx在(),1−上单调递增

，在()1,3上单调递减，在()3,+上单调递增，故3x=是函数()fx的极小值点，正确；对B，当01x时，()210xxxx−=−，所以210xx，而由上可知，函数()fx在()0,1上单调递增，所以()()2fxfx，错误；对C，当12x时，1213x−，而由上

可知，函数()fx在()1,3上单调递减，所以()()()1213ffxf−，即()4210fx−−，正确；对D，当10x−时，()()()()()()222(2)()12141220fx

fxxxxxxx−−=−−−−−−=−−，所以(2)()fxfx−，正确；故选：ACD.2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数()elnxfxax=−在区间()1,2上单调递增，则a的最小值为（）．A．2eB．eC．1e−D．2e−【答案】C【分析】根据()1e0xfxax=−在(

)1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，()1e0xfxax=−在()1,2上恒成立，显然0a，所以1exxa，设()()e,1,2xgxxx=，所以()()1e0xgxx=+，所以()gx在()1,2上单调

递增，()()1egxg=，故1ea，即11eea−=，即a的最小值为1e−．故选：C．3．（2023·全国乙卷·高考真题）设()0,1a，若函数()()1xxfxaa=++在()0,+上单调递增，则a的取值范围是.【答案】51,1

2−【分析】原问题等价于()()()ln1ln10xxfxaaaa=+++恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得()1lnln1xaaaa+−+，由右侧函数的单调性可得实数a的二次不等式，求解二次不等式后可确定

实数a的取值范围.【详解】由函数的解析式可得()()()ln1ln10xxfxaaaa=+++在区间()0,+上恒成立，则()()1ln1lnxxaaaa++−，即()1lnln1xaaaa+−+在区间()0,+

上恒成立，故()01ln1ln1aaaa+=−+，而()11,2a+，故()ln10a+，故()ln1ln01aaa+−即()1101aaa+，故5112a−，结合题意可得

实数a的取值范围是51,12−.故答案为：51,12−.4．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．【答案】-1;(

,0−.【分析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.【详解】若函数()xxfxeae−=+为奇函数,则()()(),xxxxfxfxeaeeae−−−=−+=−+，()()10xxaee−++=对任意的x恒成立.若函数()xxfxea

e−=+是R上的增函数,则()'0xxfxeae−=−恒成立,2,0xaea.即实数a的取值范围是(,0−【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.5．（2017

·山东·高考真题）若函数()exfx(e=2.71828L,是自然对数的底数)在()fx的定义域上单调递增,则称函数()fx具有M性质,下列函数中具有M性质的是A．()2xfx−=B．()2fxx=C．()-3xfx=D．()co

sfxx=【答案】A【详解】对于A,令()e2xxgx−=,11()e(22ln)e2(1ln)022xxxxxgx−−−=+=+,则()gx在R上单调递增,故()fx具有M性质,故选A.【名师点睛】(1)确定函数单调区间的

步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x

)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．6．（2016·全国·高考真题）若函数()1sin2sin3fxxxax=−+在R上单调递增，则a的取值

范围是A．1,1−B．11,3−C．11,33−D．11,3−−【答案】C【详解】试题分析：()21cos2cos03fxxax=−+…对xR恒成立，故()

2212cos1cos03xax−−+…，即245coscos033axx−+…恒成立，即245033tat−++…对1,1t−恒成立，构造()24533fttat=−++，开口向下的二次函数()ft的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()1103{1

103fafa−=−=+……，解得1133a−剟．故选C．【考点】三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、

余弦函数的有界性.7．（2015·陕西·高考真题）设()sinfxxx=−，则()fx=A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数【答案】B【详解】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是

增函数，故答案为B．考点：函数的奇偶性和单调性．8．（2015·福建·高考真题）若定义在R上的函数()fx满足()01f=−，其导函数()fx满足()1fxk，则下列结论中一定错误的是（）A．11fkkB．111fkk−C．1

111fkk−−D．111kfkk−−【答案】C【详解】试题分析：令()g()xfxkx=−，则()'()0gxfxk=−，因此1111g()(0)(0)1111111kkgfffkkkkkk−−=−−−−−−，所以选C.考点：利

用导数研究不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()fxfx构造()()xfxgxe=，()()0fxfx+构造()()xgxefx=，()()xfxfx构造()()fxgxx

=，()()0xfxfx+构造()()gxxfx=等9．（2015·全国·高考真题）设函数'()fx是奇函数()fx（xR）的导函数，(1)0f−=，当0x时，'()()0xfxfx−，则使得()0fx成立的x的取值范围是A．(,1)(0,1)−−B．(1,

0)(1,)-??C．(,1)(1,0)−−−D．(0,1)(1,)+【答案】A【详解】构造新函数()()fxgxx=,()()()2'xfxfxgxx−=，当0x时()'0gx.所以在()0,+上()()fxgxx=单减，又

()10f=，即()10g=.所以()()0fxgxx=可得01x,此时()0fx，又()fx为奇函数，所以()0fx在()(),00,−+上的解集为：()(),10,1−−.故选A.点睛：本题主要考

查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xfxfx−，想到构造()()fxgxx=.一般：（1）条件含有()()fxfx+，就构造()()xgxefx=,（2）若()()fxfx−，就构造()()

xfxgxe=，（3）()()2fxfx+，就构造()()2xgxefx=，（4）()()2fxfx−就构造()()2xfxgxe=，等便于给出导数时联想构造函数.考点05求极值与最值及其应用1．（2024·上海·高考真题）已知函数()fx的定义域为R，定义集合()()()

0000,,,Mxxxxfxfx=−R，在使得1,1M=−的所有()fx中，下列成立的是（）A．存在()fx是偶函数B．存在()fx在2x=处取最大值C．存在()fx是严格增函数D．存在()fx在=1x−处取到极小值【答案】B【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以

及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数()2,1,111,1xfxxxx−−=−即可判断.【详解】对于A，若存在()yfx=是偶函数,取01[1,1]x=−,则对于任意(,1),()(1)xfxf−,而(1)(1)ff−=,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数

()2,1,,11,1,1,xfxxxx−−=−满足集合1,1M=−，当1x−时，则()2fx=−，当11x−时，()1,1fx−，当1x时，()1fx=，则该函数()fx的最大值是()2f，则

B正确；对C，假设存在()fx，使得()fx严格递增，则M=R，与已知1,1M=−矛盾，则C错误；对D，假设存在()fx，使得()fx在=1x−处取极小值，则在1−的左侧附近存在n，使得()()1fnf−，这与已知集合M的

定义矛盾，故D错误；故选：B.2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若函数()()2ln0bcfxaxaxx=++既有极大值也有极小值，则（）．A．0bcB．0abC．280bac+D．0ac【答案】BCD【分析】求出函数()fx的导数()fx，由已知可

得()fx在(0,)+上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.【详解】函数2()lnbcfxaxxx=++的定义域为(0,)+，求导得223322()abcaxbxcfxxxxx−−=−−=，因为函数()fx

既有极大值也有极小值，则函数()fx在(0,)+上有两个变号零点，而0a，因此方程220axbxc−−=有两个不等的正根12,xx，于是21212Δ80020bacbxxacxxa=++==−，即有280bac+，0

ab，0ac，显然20abc，即0bc，A错误，BCD正确.故选：BCD3．（2022·全国乙卷·高考真题）函数()()cos1sin1fxxxx=+++在区间0,2π的最小值、最大值分别为（）A．ππ22−，B．3ππ22

−，C．ππ222−+，D．3ππ222−+，【答案】D【分析】利用导数求得()fx的单调区间，从而判断出()fx在区间0,2π上的最小值和最大值.【详解】()()()sinsin1cos1cosfxxxxxxx

=−+++=+，所以()fx在区间π0,2和3π,2π2上()0fx¢>，即()fx单调递增；在区间π3π,22上()0fx，即()fx单调递减，又()()02π2ff==，ππ222f=

+，3π3π3π11222f=−++=−，所以()fx在区间0,2π上的最小值为3π2−，最大值为π22+.故选：D4．（2022·全国甲卷·高考真题）当1x=时，函数()lnbfxaxx=+取得

最大值2−，则(2)f=（）A．1−B．12−C．12D．1【答案】B【分析】根据题意可知()12f=−，()10f=即可解得,ab，再根据()fx即可解出．【详解】因为函数()fx定义域为()0,+，所以依题可知，()12f=−，()10f

=，而()2abfxxx−=，所以2,0bab=−−=，即2,2ab=−=−，所以()222fxxx=−+，因此函数()fx在()0,1上递增，在()1,+上递减，1x=时取最大值，满足题意，即有(

)112122f=−+=−．故选：B.5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）函数()212lnfxxx=−−的最小值为.【答案】1【分析】由解析式知()fx定义域为(0,)+，讨论102x、112x

、1x，并结合导数研究的单调性，即可求()fx最小值.【详解】由题设知：()|21|2lnfxxx=−−定义域为(0,)+，∴当102x时，()122lnfxxx=−−，此时()fx单调递减；当112x时

，()212lnfxxx=−−，有2()20fxx=−，此时()fx单调递减；当1x时，()212lnfxxx=−−，有2()20fxx=−，此时()fx单调递增；又()fx在各分段的界点处连续，∴综上有：01x时，()fx单调递减，1x时，()fx单调递增；∴()(1)1

fxf=故答案为：1.6．（2018·全国·高考真题）已知函数()2sinsin2fxxx=+，则()fx的最小值是．【答案】332−【分析】方法一：由()()14cos1cos2fxxx=+−，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数

的最小值.【详解】［方法一］：【通性通法】导数法()22()2cos2cos22cos22cos14cos2cos2fxxxxxxx=+=+−=+−2(cos1)(2cos1)xx=+−．令()0fx，得1cos2x，

即()fx在区间ππ2π,2π()33kkk−+Z内单调递增；令()0fx，得1cos2x，即()fx在区间π5π2π,2π()33kkk++Z内单调递减．则minπ33[()]2π32fxfk−=−=．故答案为：332−.［方法二］：三元基本不等式的

应用因为()2sin2sincos2sin(1cos)fxxxxxx=+=+，所以2223()4sin(1cos)4(1cos)(1cos)fxxxxx=+=−+4(33cos)(1cos)(1cos)(1cos)3xxxx=−+++444(33cos)

(1cos)(1cos)(1cos)432734324xxxx−++++++==．当且仅当33cos1cosxx−=+，即1cos2x=时，取等号．根据()()fxfx−=−可知，()fx是奇函数，于是min

333333(),,[()]222fxfx−=−，此时31sin,cos22xx=−=．故答案为：332−.［方法三］：升幂公式＋多元基本不等式2()sinsin22sin(1cos)4sincos2cos222xxxfxxxxx=+=+=，322622()64sincos6

4sin1sin2222xxxxfx==−422223sin1sin1sin1sin64272222344xxxx+−+−+−=，当且仅当223sin1sin22

xx=−，即1sin22x=时，2max27()4fx=．根据()()fxfx−=−可知，()fx是奇函数，于是min333333(),,[()]222fxfx−=−．故答案为：332−.［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放缩2()sinsin22sin(

1cos)4sincos2cos222xxxfxxxxx=+=+=2221224238tan8tan8tan3322221111tantan14tan2333232xxxxxx=−−=−++++，当且仅当213tan,tan23

23xx==−时等号成立．故答案为：332−.［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值设tan2t=，则()fx可化为2222242218()2211112ttttgtttttt−=+=+++++，当0=t时，()0gt=；当0t时，38()12gtttt=++，对分母求导后易知，当3t3

=−时，()gt有最小值332−．故答案为：332−.［方法六］：配方法()22()2sin2sincos2sin2sincos3sincos1fxxxxxxxxx=+=+++−2223233333cos2sinc

ossinsin2sin3322xxxxxx=+++++−2232333333(3cossin)sin33222xxx=+++−−，当且仅当3cossin0,3sin0,2xxx+=+=即π2π,3xkk=−Z时

，()fx取最小值332−．故答案为：332−.［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法因为()2sinsin2fxxx=+，所以()()()()+2π2sin+2πsin2+2π=2sinsin2fxxxxxfx=++

=，即函数()fx的一个周期为2π，因此0,2πx时，()fx的最小值即为函数的最小值．当0,πx时，()()2sinsin22sin1cos0fxxxxx=+=+，当π,2πx时，因为()22()2cos2cos22cos22c

os14cos2cos2fxxxxxxx=+=+−=+−2(cos1)(2cos1)xx=+−，令()0fx=，解得πx=或5π3x=，由()π0f=，()2π0f=，533π32f=−，所以()fx的最小值为332−．

故答案为：332−.【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；方法四：通过化同角以及化同名函数，

放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．7．（201

8·江苏·高考真题）若函数()()3221fxxaxaR=−+在()0,+内有且只有一个零点，则()fx在1,1−上的最大值与最小值的和为．【答案】3−【分析】方法一：利用导数判断函数()fx在(0,)+上的单调性，确定零点位置，求出参数a,再根据函数()fx在1,1

−上的单调性确定函数最值，即可解出.【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法求导得2()62fxxax=−，当0a时，函数()fx在区间(0,)+内单调递增，且()(0)1fxf=，所以函数()fx在(0,)+内无零点；当0a时，函数()fx

在区间0,3a内单调递减，在区间,3a+内单调递增．当0x=时，(0)1f=；当x→+时，()fx→+．要使函数()fx在区间(0,)+内有且仅有一个零点，只需03af=

，解得3a=．于是函数()fx在区间[1,0]−上单调递增，在区间(0,1]上单调递减，maxmin[()](0)1,[()](1)4fxffxf===−=−，所以最大值与最小值之和为3−．故答案为：3−．［方

法二］：等价转化由条件知3221xax+=有唯一的正实根，于是3222112xaxxx+==+．令21()2,0gxxxx=+，则()333212()2xgxxx=−=−，所以()gx在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+内单调递增，且(1)3g=，当0x→时，()g

x→+；当x→+时，()gx→+．只需直线ya=与()gx的图像有一个交点，故3a=，下同方法一．［方法三］：【最优解】三元基本不等式同方法二得，3222111233axxxxxxxx=+=++=，当且仅当1x=时取等号，要满足条件只需3a=，下同方法一．［方法四］

：等价转化由条件知3221xax+=有唯一的正实根，即方程212xax+=有唯一的正实根，整理得()2120xaxx=−+，即函数()21gxx=与直线2yxa=−+在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线2yxa=−+与曲线21()gxx=相切时，满足题意，如图．设切点0201,xx

，因为32()gxx=−，于是3022x−=−，解得01,3xa==，下同方法一．【整体点评】方法一：利用导数得出函数在(0,)+上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；方法二：利用等价转化思想，函数在(0,)+上有唯一零点转化

为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解；方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；方法四：将函数在(0,)+上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．考点06利用导数研究

函数的极值点及其应用1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数3()1fxxx=−+，则（）A．()fx有两个极值点B．()fx有三个零点C．点(0,1)是曲线()yfx=的对称中心D．直线2yx=是曲线()yfx=的切线【答案】A

C【分析】利用极值点的定义可判断A，结合()fx的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231fxx=−，令()0fx¢>得33x或33x−，令()0fx得3333x−，所以()fx在

3(,)3−−，3(,)3+上单调递增，33(,)33−上单调递减，所以33x=是极值点，故A正确；因323()1039f−=+，323()1039f=−，()250f−=−，所以，函数()fx在3,3−−上有一个零点，当33x时，()303fxf

，即函数()fx在33,+上无零点，综上所述，函数()fx有一个零点，故B错误；令3()hxxx=−，该函数的定义域为R，()()()()33hxxxxxhx−=−−−=−+=−，则()hx是奇函数，(0,0)是()hx的对称中心，将()hx

的图象向上移动一个单位得到()fx的图象，所以点(0,1)是曲线()yfx=的对称中心，故C正确；令()2312fxx=−=，可得1x=，又()(1)11ff=−=，当切点为(1,1)时，切线方程为21yx=−，当切点为(1,1)−时，切线方程为23yx=+，故D错误.故选：AC.2．（2

022·全国乙卷·高考真题）已知1xx=和2xx=分别是函数2()2exfxax=−（0a且1a）的极小值点和极大值点．若12xx，则a的取值范围是．【答案】1,1e【分析】法一：依题可知，方程2ln2e0xaax−=的

两个根为12,xx，即函数lnxyaa=与函数eyx=的图象有两个不同的交点，构造函数()lnxgxaa=，利用指数函数的图象和图象变换得到()gx的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，

零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln2exfxaax−=，所以方程2ln2e0xaax−=的两个根为12,xx，即方程lnexaax=的两个根为12,xx，即函数lnxyaa=与函数eyx=的图象有两个不同的交点，因为12,xx分别是函数()22exfxax=−的极小值点和

极大值点，所以函数()fx在()1,x−和()2,x+上递减，在()12,xx上递增，所以当时()1,x−()2,x+，()0fx，即eyx=图象在lnxyaa=上方当()12,xxx时，()0fx，即eyx=图象在lnxyaa=下方1a，图象

显然不符合题意，所以01a．令()lnxgxaa=，则()2ln,01xgxaaa=，设过原点且与函数()ygx=的图象相切的直线的切点为()00,lnxxaa，则切线的斜率为()020lnxgxaa=，

故切线方程为()0020lnlnxxyaaaaxx−=−，则有0020lnlnxxaaxaa−=−，解得01lnxa=，则切线的斜率为122lnlnelnaaaa=，因为函数lnxyaa=与函数eyx=的图象有两个不同的

交点，所以2elnea，解得1eea，又01a，所以11ea，综上所述，a的取值范围为1,1e．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导()2ln2exfxaax−==0的两个根为12,xx因为12,xx分别是函数()22exfxax=−的极小值点和极大值点，所以

函数()fx在()1,x−和()2,x+上递减，在()12,xx上递增，设函数()()()g2lnxxfxaaex==−，则()()22ln2xxaae=−，若1a，则()x在R上单调递增，此时若()00fx=，则()fx在()0,

x−上单调递减，在()0,x+上单调递增，此时若有1xx=和2xx=分别是函数()22(0xfxaexa=−且1)a的极小值点和极大值点，则12xx，不符合题意；若01a，则()x在R上单调递减，此时若()00x

=，则()fx在()0,x−上单调递增，在()0,x+上单调递减，令()00x=，则02(ln)xeaa=，此时若有1xx=和2xx=分别是函数()22(0xfxaexa=−且1)a的极小值点和极大值点，且

12xx，则需满足()00fx，()()00002ln20lnxefxaaexexa=−=−，即001ln1lnxxaa，故()002lnlnln1lnxeaxaa==，所以11ea.【整体点

评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．3．（2021·全国乙卷·高考真题）设0a，若a为函数()()()2fxaxaxb=−−的极大

值点，则（）A．abB．abC．2abaD．2aba【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,ab所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若ab=，则()()3fxaxa=−为

单调函数，无极值点，不符合题意，故ab¹.()fx有a和b两个不同零点，且在xa=左右附近是不变号，在xb=左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在xa=左右附近都是小于零的.当a<0时，由xb，()0fx，画出()fx的图象如下图所示：由图可知b

a，a<0，故2aba.当0a时，由xb时，()0fx，画出()fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a，故2aba.综上所述，2aba成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形

结合的数学思想方法可以快速解答.4．（2017·全国·高考真题）若2x=−是函数21()(1)exfxxax−=+−的极值点，则()fx的极小值为．A．1−B．32e−−C．35e−D．1【答案】A【详解】由题可得()()()()1212121

21xxxfxxaexaxexaxae−−−=+++−=+++−，因为()20f−=，所以1a=−，()()211xfxxxe−=−−，故()()212xfxxxe−−=+，令()0fx，解得2x−或1x，所以()fx在()(),2,

1,−−+上单调递增，在()2,1−上单调递减，所以()fx的极小值为()()1111111fe−=−−=−，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在

(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．5．（2016·四川·高考真题）已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=A．–4B．–2C．4D．2【答案】D【详解】试题分析：()()()2

312322fxxxx==+−−，令()0fx=得2x=−或2x=，易得()fx在()2,2−上单调递减，在()2,+上单调递增，故()fx的极小值点为2，即2a=，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点

睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x是方程'()0fx=的解，但0x是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x附近，如果0xx时，'()0fx，0xx时'()0fx

，则0x是极小值点，如果0xx时，'()0fx，0xx时，'()0fx，则0x是极大值点.考点07导数与函数的基本性质结合问题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)fxxx=−−，则（）A．3x=是()fx的极小值点B．当01x时，()

2()fxfxC．当12x时，4(21)0fx−−D．当10x−时，(2)()fxfx−【答案】ACD【分析】求出函数()fx的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据

函数()fx在()1,3上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数()fx的定义域为R，而()()()()()()22141313fxxxxxx=−−+−=−−，易知当()1,3x时，()0fx，当(),1x−或()3,x+时，()0

fx函数()fx在(),1−上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,+上单调递增，故3x=是函数()fx的极小值点，正确；对B，当01x时，()210xxxx−=−，所以210xx

，而由上可知，函数()fx在()0,1上单调递增，所以()()2fxfx，错误；对C，当12x时，1213x−，而由上可知，函数()fx在()1,3上单调递减，所以()()()1213ffxf

−，即()4210fx−−，正确；对D，当10x−时，()()()()()()222(2)()12141220fxfxxxxxxx−−=−−−−−−=−−，所以(2)()fxfx−，正确；故选：ACD.2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）

已知函数()fx的定义域为R，()()()22fxyyfxxfy=+，则（）．A．()00f=B．()10f=C．()fx是偶函数D．0x=为()fx的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例()0fx=即

可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数2ln,0()0,0xxxfxx==进行判断即可.【详解】方法一：因为22()()()fxyyfxxfy=+，对于A，令0xy==，(0)0(0)0(0)0fff=+=，故A正确

.对于B，令1xy==，(1)1(1)1(1)fff=+，则(1)0f=，故B正确.对于C，令1xy==−，(1)(1)(1)2(1)ffff=−+−=−，则(1)0f−=，令21,()()(1)()yfxfxxffx=−−=+−=，又函数()fx的定义域为

R，所以()fx为偶函数，故C正确，对于D，不妨令()0fx=，显然符合题设条件，此时()fx无极值，故D错误.方法二：因为22()()()fxyyfxxfy=+，对于A，令0xy==，(0)0(0)0(0

)0fff=+=，故A正确.对于B，令1xy==，(1)1(1)1(1)fff=+，则(1)0f=，故B正确.对于C，令1xy==−，(1)(1)(1)2(1)ffff=−+−=−，则(1)0f−=，令21,()()(1)()yfxfxxffx=−−=+−=，又函数

()fx的定义域为R，所以()fx为偶函数，故C正确，对于D，当220xy时，对22()()()fxyyfxxfy=+两边同时除以22xy，得到2222()()()fxyfxfyxyxy=+，故可以设2()ln(0)f

xxxx=，则2ln,0()0,0xxxfxx==，当0x肘，2()lnfxxx=，则()212ln(2ln1)xxxxxfxx=+=+，令()0fx，得120ex−；令()0fx¢>，得12ex−；故()f

x在120,e−上单调递减，在12e,−+上单调递增，因为()fx为偶函数，所以()fx在12,0e−−上单调递增，在12,e−−上单调递减，显然，此时0x=是()fx的极大值，故D错误.故选：ABC.3．

（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()()gxfx=，若322fx−，(2)gx+均为偶函数，则（）A．(0)0f=B．102g−=C．(1)(4)ff−=D．(1)(2)gg−=【答案】BC【分析】方法一

：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()fx，因为322fx−为偶函数，所以332222fxfx−=+即3322fxfx−=

+①，所以()()3fxfx−=，所以()fx关于32x=对称，则(1)(4)ff−=，故C正确；对于()gx，因为(2)gx+为偶函数，(2)(2)gxgx+=−，(4)()gxgx−=

，所以()gx关于2x=对称，由①求导，和()()gxfx=，得333333222222fxfxfxfxgxgx−=+−−=+−−=+，所以()()3

0gxgx−+=，所以()gx关于3(,0)2对称，因为其定义域为R，所以302g=，结合()gx关于2x=对称，从而周期34222T=−=，所以13022gg−==，()()()112ggg−==−，故B正确，D错误；若函数

()fx满足题设条件，则函数()fxC+（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定()fx的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()gx周期为2，关于2x=对称，故可设()()cosπgxx=，则()()1sinπ

πfxxc=+，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为322fx−，(2)gx+均为偶函数，所以332222fxfx−=+即3322fxfx−=+，(2)(2)gxgx+=−，所以()()

3fxfx−=，(4)()gxgx−=，则(1)(4)ff−=，故C正确；函数()fx，()gx的图象分别关于直线3,22xx==对称，又()()gxfx=，且函数()fx可导，所以()()30,32ggxgx

=−=−，所以()(4)()3gxgxgx−==−−，所以()(2)(1)gxgxgx+=−+=，所以13022gg−==，()()()112ggg−==−，故B正确，D错误；若函数()fx满足题设条件，则函数()fxC+（C为常数）也满足题设条件，所以

无法确定()fx的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．

4．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():fx．①()()()1212fxxfxfx=；②当(0,)x+时，()0fx；③()fx是奇函数．【答案】()4fxx=（答案不唯一，()()2*n

xNfnx=均满足）【分析】根据幂函数的性质可得所求的()fx.【详解】取()4fxx=，则()()()()44421121122xfxfxxxxfxx===，满足①，()34fxx=，0x时有()0fx¢>，满足②，()3

4fxx=的定义域为R，又()()34fxxfx−=−=−，故()fx是奇函数，满足③.故答案为：()4fxx=（答案不唯一，()()2*nxNfnx=均满足）5．（2017·山东·高考真题）若函数

()xyefx=2.71828...e=（是自然对数的底数）在()fx的定义域上单调递增，则称函数()fx具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①=2xfx−（）②=3xfx−（）③3=fxx（）④2=2fxx+（）【答案】①④【详解】①()22xxxx

eefxe−==在R上单调递增，故()2xfx−=具有性质；②()33xxxxeefxe−==在R上单调递减，故()xfx−=不具有性质；③()3xxefxex=，令()3xgxex=，则()()32232xx

xgxexexxex=+=+，当2x−时，()0gx，当<2x−时，()0gx，()3xxefxex=在(),2−−上单调递减，在()2,−+上单调递增，故()3fxx=不具有性质；④()()2

2xxefxex=+，令()()22xgxex=+，则()()()2222110xxxgxexexex=++=++，()()22xxefxex=+在R上单调递增，故()22fxx=+具有性质

．【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．2.求可导函数

单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数

时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．6．（2015·四川·高考真题）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不

相等的实数x1，x2，设m＝1212()()fxfxxx−−，n＝1212()()gxgxxx−−，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a

，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中真命题有（写出所有真命题的序号）.【答案】①④【详解】对于①，因为f'（x）＝2xln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，当x1，x2＜

4时n＜0，②错误对于③，令f'（x）＝g'（x），即2xln2＝2x＋a记h（x）＝2xln2－2x，则h'（x）＝2x（ln2）2－2存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.因此，对任意的a，

m＝n不一定成立.③错误对于④，由f'（x）＝－g'（x），即2xln2＝－2x－a令h（x）＝2xln2＋2x，则h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，即h（x）是单调递增函数，当x→＋∞时，h（x）→＋∞当x→－∞时

，h（x）→－∞因此对任意的a，存在y＝a与函数h（x）有交点.④正确考点：本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.考点08利用导数研究函数的零点及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考

真题）（多选）设函数32()231fxxax=−+，则（）A．当1a时，()fx有三个零点B．当0a时，0x=是()fx的极大值点C．存在a，b，使得xb=为曲线()yfx=的对称轴D．存在a，使得

点()()1,1f为曲线()yfx=的对称中心【答案】AD【分析】A选项，先分析出函数的极值点为0,xxa==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()fx在(1,0),(0,),(,2)aaa−上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C

选项，假设存在这样的,ab，使得xb=为()fx的对称轴，则()(2)fxfbx=−为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的a，使得(1,33)a−为()fx的对称中心，则()(2)66fxfxa+−=−，据此进行计算判断，

亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A选项，2()666()fxxaxxxa=−=−，由于1a，故()(),0,xa−+时()0fx，故()fx在()(),0,,a−+上单调递增，(0,)xa时

，()0fx，()fx单调递减，则()fx在0x=处取到极大值，在xa=处取到极小值，由(0)10=f，3()10faa=−，则(0)()0ffa，根据零点存在定理()fx在(0,)a上有一个零点，又(1)130fa−=−−，3(2)410faa=+，则(1

)(0)0,()(2)0fffafa−，则()fx在(1,0),(,2)aa−上各有一个零点，于是1a时，()fx有三个零点，A选项正确；B选项，()6()fxxxa=−，a<0时，(,0),()

0xafx，()fx单调递减，,()0x+时()0fx，()fx单调递增，此时()fx在0x=处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的,ab，使得xb=为()fx的对称轴，即存在这样的,ab使得()(2)fxfbx=−，即32322312(2)3(2)1xaxb

xabx−+=−−−+，根据二项式定理，等式右边3(2)bx−展开式含有3x的项为303332C(2)()2bxx−=−，于是等式左右两边3x的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,ab，使得xb=为

()fx的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33fa=−，若存在这样的a，使得(1,33)a−为()fx的对称中心，则()(2)66fxfxa+−=−，事实上，32322()(2)2312(

2)3(2)1(126)(1224)1812fxfxxaxxaxaxaxa+−=−++−−−+=−+−+−，于是266(126)(1224)1812aaxaxa−=−+−+−即126012240181266aaaa−=−=−=−，解得2a=，即存在2

a=使得(1,(1))f是()fx的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231fxxax=−+，2()66fxxax=−，()126fxxa=−，由()02afxx==，于是该三次函数

的对称中心为,22aaf，由题意(1,(1))f也是对称中心，故122aa==，即存在2a=使得(1,(1))f是()fx的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()fx

的对称轴为()(2)xbfxfbx==−；（2）()fx关于(,)ab对称()(2)2fxfaxb+−=；（3）任何三次函数32()fxaxbxcxd=+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0fx=的解，即,

33bbfaa−−是三次函数的对称中心2．（2023·全国乙卷·高考真题）函数()32fxxax=++存在3个零点，则a的取值范围是（）A．(),2−−B．(),3−−C．()4,1−−D．()3,0−【答案】B

【分析】写出2()3fxxa=+，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】3()2fxxax=++，则2()3fxxa=+，若()fx要存在3个零点，则()fx要存在极大值和极

小值，则a<0，令2()30fxxa=+=，解得3ax−=−或3a−，且当,,33aax−−−−+时，()0fx，当,33aax−−−，()0

fx，故()fx的极大值为3fa−−，极小值为3fa−，若()fx要存在3个零点，则0303afaf−−−，即2033320333aaaaaaaa

−−−+−−−++，解得3a−，故选：B.3．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg2fxxkx=−−，给出下列四个结论：①若0k=，()fx恰有2个零点；②存在负数k，使得()fx恰有1个零点；③存在负数k，使得(

)fx恰有3个零点；④存在正数k，使得()fx恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】由()0fx=可得出lg2xkx=+，考查直线2ykx=+与曲线()lggxx=的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k=时

，由()lg20fxx=−=，可得1100x=或100x=，①正确；对于②，考查直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−相切于点(),lgPtt−，对函数lgyx=−求导得1ln10yx=−，由题意可得2lg1ln10kttkt+=−=−

，解得100100lgetkee==−，所以，存在100lg0kee=−，使得()fx只有一个零点，②正确；对于③，当直线2ykx=+过点()1,0时，20k+=，解得2k=−，所以，当100l

g2eke−−时，直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−有两个交点，若函数()fx有三个零点，则直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−有两个交点，直线2ykx=+与曲线()lg1yx

x=有一个交点，所以，100lg220ekek−−+，此不等式无解，因此，不存在0k，使得函数()fx有三个零点，③错误；对于④，考查直线2ykx=+与曲线()lg1yxx=相切于点(),lgP

tt，对函数lgyx=求导得1ln10yx=，由题意可得2lg1ln10kttkt+==，解得100lg100teeke==，所以，当lg0100eke时，函数()fx有三个零点，④正确.故答案为：①②④.

【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结

合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．4．（2018·江苏·高考真题）若函数()()3221fxxaxaR=−+在()0,+内有且只有一个零点，则()fx在1,1−上的最大值与最小值的和为．【答案】3−【分析】方法一：

利用导数判断函数()fx在(0,)+上的单调性，确定零点位置，求出参数a,再根据函数()fx在1,1−上的单调性确定函数最值，即可解出.【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法求导得2()62f

xxax=−，当0a时，函数()fx在区间(0,)+内单调递增，且()(0)1fxf=，所以函数()fx在(0,)+内无零点；当0a时，函数()fx在区间0,3a内单调递减，在区间,3a+内单调递增．当0x=时，(0)1

f=；当x→+时，()fx→+．要使函数()fx在区间(0,)+内有且仅有一个零点，只需03af=，解得3a=．于是函数()fx在区间[1,0]−上单调递增，在区间(0,1]上单调递减，maxmin[()](0)1,[()](1)4fxffxf

===−=−，所以最大值与最小值之和为3−．故答案为：3−．［方法二］：等价转化由条件知3221xax+=有唯一的正实根，于是3222112xaxxx+==+．令21()2,0gxxxx=+，则()333212()2xgxxx=−=−，所以()gx在区间(0,1)内单调递减，

在区间(1,)+内单调递增，且(1)3g=，当0x→时，()gx→+；当x→+时，()gx→+．只需直线ya=与()gx的图像有一个交点，故3a=，下同方法一．［方法三］：【最优解】三元基本不等式同方法二得，3222111233axxxxxxxx=+=++=，当且仅当1x=

时取等号，要满足条件只需3a=，下同方法一．［方法四］：等价转化由条件知3221xax+=有唯一的正实根，即方程212xax+=有唯一的正实根，整理得()2120xaxx=−+，即函数()21gxx=与直线2yxa

=−+在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线2yxa=−+与曲线21()gxx=相切时，满足题意，如图．设切点0201,xx，因为32()gxx=−，于是3022x−=−，解得01,3xa==，下同方法一．【整体点评】方法一：利用导数得出函数在(0,)+上

的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；方法二：利用等价转化思想，函数在(0,)+上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解；方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优

解；方法四：将函数在(0,)+上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．5．（2017·全国·高考真题）已知函数211()2()xxfxxxaee−−+=−++有唯一零点，则=aA．12−B．13C．12D．1【答案】

C【详解】因为()221111()2()1()1xxxxfxxxaeexaee−−+−−+=−++=−++−，设1tx=−，则()()()21ttfxgttaee−==++−，因为()()gtgt=−，所以函数()gt为偶函数，若函数()fx有

唯一零点，则函数()gt有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0=t时，()0gt=才满足题意，即1x=是函数()fx的唯一零点，所以210a−=，解得12a=.故选：C.【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存

在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.6．（2015·陕西·高考真题）对二次函数2()fxaxbxc=+

+（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A．1−是()fx的零点B．1是()fx的极值点C．3是()fx的极值D．点(2,8)在曲线()yfx=上【答案】A【详解】若选项A错误时，选项

B、C、D正确，()2fxaxb=+，因为1是()fx的极值点，3是()fx的极值，所以()()10{13ff==，即203ababc+=++=，解得：2{3baca=−=+，因为点()2,8在

曲线()yfx=上，所以，即()42238aaa+−++=，解得：5a=，所以10b=−，8c=，所以()25108fxxx=−+，因为()()()21511018230f−=−−−+=，所以1−不是

()fx的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．考点09利用导数研究方程的根及其应用1．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线33yxx=−与()21yxa=−−+在()0,+上有两

个不同的交点，则a的取值范围为．【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程，令()2331xxxa−=−−+，分离参数a，构造新函数()3251,gxxxx=+−+结合导数求得()gx单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331xxxa−=−−+，即3251

axxx=+−+，令()()32510,gxxxxx=+−+则()()()2325351gxxxxx=+−=+−，令()()00gxx=得1x=，当()0,1x时，()0gx，()gx单调递减，当()1,x+时，()0gx

，()gx单调递增，()()01,12gg==−，因为曲线33yxx=−与()21yxa=−−+在()0,+上有两个不同的交点，所以等价于ya=与()gx有两个交点，所以()2,1a−.故答案为：()2,1−2

．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg2fxxkx=−−，给出下列四个结论：①若0k=，()fx恰有2个零点；②存在负数k，使得()fx恰有1个零点；③存在负数k，使得()fx恰有3个零点；④存在正

数k，使得()fx恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】由()0fx=可得出lg2xkx=+，考查直线2ykx=+与曲线()lggxx=的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k=时，

由()lg20fxx=−=，可得1100x=或100x=，①正确；对于②，考查直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−相切于点(),lgPtt−，对函数lgyx=−求导得1ln10yx=−，由题意可得2lg1ln10kttkt+=−=−，解得100100lget

kee==−，所以，存在100lg0kee=−，使得()fx只有一个零点，②正确；对于③，当直线2ykx=+过点()1,0时，20k+=，解得2k=−，所以，当100lg2eke−−时，直

线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−有两个交点，若函数()fx有三个零点，则直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−有两个交点，直线2ykx=+与曲线()lg1yxx=有一个交点，所以，100lg220ekek−−+，此

不等式无解，因此，不存在0k，使得函数()fx有三个零点，③错误；对于④，考查直线2ykx=+与曲线()lg1yxx=相切于点(),lgPtt，对函数lgyx=求导得1ln10yx=，由题意可得2lg1ln10kttkt+=

=，解得100lg100teeke==，所以，当lg0100eke时，函数()fx有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题

，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．3．

（2015·安徽·高考真题）函数()32fxaxbxcxd=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．0a，0b，0c，0dB．0a，0b，0c，0dC．0a，0b，0c，0dD．0a，

0b，0c，0d【答案】A【分析】根据图象，由()0f确定0d，求导后，确定()232fxaxbxc=++有两个不相等的正实数根12,xx，结合函数单调性，韦达定理即可求出答案.【详解】由图象可知()00f

d=，()232fxaxbxc=++有两个不相等的正实数根12,xx，且()fx在()()12,,xx−+,上单调递增，在()12,xx上单调递减，所以121220,0,033bcaxxxxaa+=−=，所以0,0bc，综上：0a，0b，0c

，0d.故选：A4．（2015·全国·高考真题）设函数()(21)xfxexaxa=−−+，其中1a，若存在唯一的整数0x，使得0()0fx，则a的取值范围是（）A．3,12e−B．33,2e4−

C．33,2e4D．3,12e【答案】D【分析】设()()21xgxex=−，()1yax=−，问题转化为存在唯一的整数0x使得满足()()01gxax−，求导可得出函数()ygx=的极值，数形

结合可得()01ag−=−且()312gae−=−−，由此可得出实数a的取值范围.【详解】设()()21xgxex=−，()1yax=−，由题意知，函数()ygx=在直线yaxa=−下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21xgxex=+，当12x−时，()0gx；当12x

−时，()0gx.所以，函数()ygx=的最小值为12122ge−−=−.又()01g=−，()10ge=.直线yaxa=−恒过定点()1,0且斜率为a，故()01ag−=−且()31gaae−=−−−，解得31

2ae，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.5．（2015·安徽·高考真题）设30xaxb++=，其中,ab均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.（写出所有正确条件的编号）①3,3ab=−=−；②3,2ab=−=；③3,2

ab=−；④0,2ab==；⑤1,2ab==.【答案】1，3，4，5【详解】令3()fxxaxb=++，求导得2'()3fxxa=+，当0a时，'()0fx，所以()fx单调递增，且至少存在一个数使()0fx，至少存在一个数使()0fx，所以3()fxxaxb=++必有一个零点，

即方程30xaxb++=仅有一根，故④⑤正确；当a<0时，若3a=−，则2'()333(1)(1)fxxxx=−=+−，易知，()fx在(,1),(1,)−−+上单调递增，在[1,1]−上单调递减，所以()=(1)132fxfbb−=−++=+极大，()=(1)132fxfbb=−+=−极

小，要使方程仅有一根，则()=(1)1320fxfbb−=−++=+极大或者()=(1)1320fxfbb=−+=−极小，解得2b−或2b，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.考点：1函数零点与方程的根之间的

关系；2.函数的单调性及其极值.考点10构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知3111,cos,4sin3244abc===，则（）A．cbaB．bacC．abcD．acb

【答案】A【分析】由14tan4cb=结合三角函数的性质可得cb;构造函数()()21cos1,0,2fxxxx=+−+,利用导数可得ba,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan

2xxx故14tan14cb=，故1cb，所以cb；设21()cos1,(0,)2fxxxx=+−+，()sin0fxxx=−+，所以()fx在(0,)+单调递增，故1(0)=04

ff，所以131cos0432−，所以ba，所以cba，故选A[方法二]：不等式放缩因为当π0,,sin2xxx，取18x=得：2211131cos12sin1248832=−−=

，故ba1114sincos17sin444+=+，其中0,2，且14sin,cos1717==当114sincos1744+=时，142+=，及124=−此时14sincos417==，11cossin417==故11cos4

17=411sin4sin4417=，故bc所以ba，所以cba，故选A[方法三]：泰勒展开设0.25x=，则2310.251322a==−，2410.250.25cos1424!b=−+，241sin10.250.2544sin1143!5!4c

==−+，计算得cba，故选A.[方法四]：构造函数因为14tan4cb=，因为当π0,,sintan2xxxx，所以11tan44,即1cb，所以cb；设21()cos1,(0,)2fxxxx=+−+，()sin0fxxx=−+，所以()fx在(0,

)+单调递增，则1(0)=04ff,所以131cos0432−，所以ba,所以cba，故选：A．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为14tan4cb=，因为当π0,,sintan2

xxxx，所以11tan44,即1cb，所以cb；因为当π0,,sin2xxx，取18x=得2211131cos12sin1248832=−−=，故ba，所以cba．故选：A．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路

，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sintan2xxxx放缩，即可得出大小关系，属于最优解．2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）设0.110.1e,ln0.99abc==

=−，，则（）A．abcB．cbaC．c<a<bD．acb【答案】C【分析】构造函数()ln(1)fxxx=+−，导数判断其单调性，由此确定,,abc的大小.【详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)f

xxxx=+−−，因为1()111xfxxx=−=−++，当(1,0)x−时，()0fx，当,()0x+时()0fx，所以函数()ln(1)fxxx=+−在(0,)+单调递减，在(1,0)−上单调递增，所以1()(0)09ff=，所

以101ln099−，故110lnln0.999=−，即bc，所以1()(0)010ff−=，所以91ln+01010，故1109e10−，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xgxxxx=+−，则()()21e11()+1

e11xxxgxxxx−+=+=−−,令2()e(1)+1xhxx=−，2()e(21)xhxxx=+−，当021x−时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx=−单调递减，当211x−时，()0hx，函数2()e

(1)+1xhxx=−单调递增，又(0)0h=，所以当021x−时，()0hx，所以当021x−时，()0gx，函数()eln(1)xgxxx=+−单调递增，所以(0.1)(0)0gg=，即0.10.1eln0

.9−，所以ac故选：C.方法二：比较法解：0.10.1ae=，0.110.1b=−，ln(10.1)c=−−，①lnln0.1ln(10.1)ab−=+−，令()ln(1),(0,0.1],fxxxx=+−则1()1011xfxxx−=−=

−−，故()fx在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0ff=，即lnln0ab−，所以ab；②0.10.1ln(10.1)ace−=+−，令()ln(1),(0,0.1],xgxxexx=+−则()()()1111'11xxxxxegxxe

exx+−−=+−=−−，令()(1)(1)1xkxxxe=+−−，所以2()(12)0xkxxxe=−−，所以()kx在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0kxk，即()0gx，所以()gx在(0,0.1]上单调递增

，可得(0.1)(0)0gg=，即0ac−，所以.ac故.cab3．（2021·全国乙卷·高考真题）设2ln1.01a=，ln1.02b=，1.041c=−．则（）A．abcB．b<c<aC．

bacD．c<a<b【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数()()2ln1141fxxx=+−++,()()ln12141gxxx=+−++，利用导数分析其

在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】[方法一]：2ln1.01a=2ln1.01=()2ln10.01=+()2ln120.01

0.01=++ln1.02b=，所以ba；下面比较c与,ab的大小关系.记()()2ln1141fxxx=+−++，则()00f=，()()()214122114114xxfxxxxx+−−=−+=+++，由于()()2214122xxxxxx+−+=−

=−所以当0<x<2时，()21410xx+−+，即()141xx++，()0fx¢>，所以()fx在0,2上单调递增，所以()()0.0100ff=，即2ln1.011.041−，即ac；令

()()ln12141gxxx=+−++，则()00g=，()()()21412221214114xxgxxxxx+−−=−=++++，由于()2214124xxx+−+=−，在x>0时，()214120xx+−+，所以()0gx，即函数()gx在[0，

+∞)上单调递减，所以()()0.0100gg=，即ln1.021.041−，即b<c；综上，b<c<a，故选：B.[方法二]：令()21ln1(1)2xfxxx+=−−()()221-01xfxx=+−，即函数()fx在（1，+∞)上单调递减()()10.0410

,ffbc+=令()232ln1(13)4xgxxx+=−+()()()21303xxgxx−−+=，即函数()gx在（1，3)上单调递增()()10.0410,ggac+=综上，b<c<a，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，

关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.