【文档说明】《精准解析》福建省南平市2021-2022学年高二下学期期末质量检测数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.193 MB，由小赞的店铺上传

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南平市2021—2022学年第二学期高二期末质量检测数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形

码的“准考证号、姓名”.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效.第I卷（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合250Axxx=−，0,1,2,3,5B=，则AB=（）A.2,3B.1,2,3C.0,1,2,3D.0,1,2,3,5【答案】B【解析】【分析】解出集合A，利用交集定义可求得集合A

B.【详解】因为25005Axxxxx=−=，因此，1,2,3AB=.故选：B.2.若命题p：1x，eln1xx−，则命题p的否定为（）A.1x，eln1xx−B.1x，eln1xx−C

.1x，eln1xx−D.1x，eln1xx−【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】存在命题的否定是全称命题，命题p的否定是：1x，eln1xx−．故选：D．.的3.若函数()2log,03

1,0xxxfxx=−，则14ff=（）A.10−B.8C.89−D.109−【答案】C【解析】【分析】先求14f，再求14ff【详解】因为()2log,031,0xxxfxx=−，所以

22211loglog2244f−===−，所以()21823149fff−=−=−=−，故选：C4.设向量()2,0a=，()1,1b=，则a与b的夹角等于（）A.4B.2C.34D.56【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可

【详解】设a与b的夹角为，因为()2,0a=，()1,1b=，所以22cos24011abab===++，因为[0,]，所以4=，故选：A5.若3.10.3m=，0.33.1n=，0.3log3.1p=，则m，n，p的大小关系为（）A.mnpB.npmC.pmn

D.pnm【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，借助中间量0,1可得出答案.【详解】由指数函数的单调性可得3.1000.30.31=，即01m0.30.1133.1=，即1n，由对数函数的单调性可得0

.30.3log3.1log10p==所以pmn故选:C6.若tan2=，则sin2coscos3sin+=−（）A.45−B.43−C.45D.43【答案】A【解析】【分析】由商数关系化为正切，然后代入已知计算．【详解】s

in2costan2224cos3sin13tan1325+++===−−−−，故选：A．7.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，若碳14含量P与死亡

年数t之间的函数关系式为12taP=（其中a为常数）.若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的85%，则可推断该文物属于（）参考数据：2log0.850.23=−参考时间轴：A.宋代B.唐代C.汉代D.战国时期【答案】B【解析】【分析】根据半衰期的定义可求5730

12tP=，进而结合对数的公式即可求解.【详解】由题意可知：经过5730年衰减为原来的一半，所以573012tP=，故5730=0.8512t，因此122log0.85log0.855730t==−，由此解得1317.91318t=，20221

318=704−，由此可推断该文物属于唐代，故选：B8.若函数()()2sin104fxx=−+在区间0,1上有且仅有3个零点，则12f的取值范围为（）A(12,2−

B.(0,12+C.)12,0−D.)0,12+【答案】A【解析】【分析】由01x可求得4x−的取值范围，结合已知条件可得出关于的不等式，求出的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求得12f的取值范围.【详解】因为0，当01x时，444x−

−−，由()2sin104fxx=−+=，可得2sin42x−=−，因为函数()fx在区间0,1上有且仅有3个零点，则713444−，解得722，则334242−，所以，21sin242

−−，所以，(12sin112,2224f=−+−.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，

部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于1212xx+的展开式，下列结论正确的是（）A.所有二项式系数和为122B.所有项的系数和为123C.二项式系数最大的项为第6项D.常数项为第6项【答案】AB【解析】【分析】利用二项式系数和公

式判断A；利用赋值法判断B；利用二项式系数的性质判断C；利用二项展开式的通项判断D.【详解】对于A，所有二项式系数和为：012121212121212CCCC2++++=，A正确；对于B，令1x=，则所有项的系数和为123，B正确；对于C，由二项式系数的性质可知二项式系数最大

项为612C，此时应为第7项，C错误；对于D，由二项展开式的通项公式得：()12122112121C22CrrrrrrrTxxx−−++==，令1220r−+=，解得6r=，常数项应为第7项，D错误.故选：AB.10.甲、乙两个袋子中各装有10

个大小相同的小球，其中甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件1A、2A和3A分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件B表示从乙袋中取出的球是红球，则下列结论正确的是（

）A.()411PB=B.()()23||PBAPBA=C.事件B与事件1A相互独立D.1A、2A、3A是两两互斥的事件【答案】BD【解析】【分析】利用全概率公式可判断A选项；直接写出()2PBA、()3PBA，可判断B选项；利用独立事件的定义可判断C选项；利用互斥事件的定义

可判断D选项.【详解】对于AB选项，()112PA=，()215PA=，()3310PA=，()1511PBA=，()()23411PBAPBA==，由全概率公式可得()()()()()()()112233PBPAPBAPAPBAPAPBA=++151434921151110112

2=++=，A错B对；对于C选项，因为()()()()()111115521122PABPAPBAPAPB===，C错；对于D选项，因为12AA=，13AA=，23AA=，故1A、2A、3A是两两互斥的事件，

D对.故选：BD.11.若0m，0n，函数()4logyxmn=++的图象过点()3,1，则下列结论正确的是（）A.2mn+B.14mnC.122mn−D.2212mn+【答案】CD【解析】【分析】利用对数函

数过()3,1可得1mn+=，利用基本不等式可依次判断ABD；根据指数函数单调性可判断C.【详解】因为()4logyxmn=++过点()3,1，所以34++=mn，即1mn+=，又0m，0n，所以01m，0

1n，对于A，()()2222+=+++=mnmnmnmn（当且仅当mn=时取等号），2+mn，A错误；对于B，2124+=mnmn（当且仅当mn=时取等号），B错误；对于C，(

)121222−−−−==mmmnm，因为01m，所以1211−−m，所以121222−−m，即122mn−，C正确；对于D，()222212121222++=+−=−−=m

nmnmnmnmn（当且仅当mn=时取等号），D正确.故选：CD12.若函数()21sincoscos42fxxxx=−++，则（）A.()fx是偶函数B.()fx的单调递增区间是(),Z44kkk−++C.把函数()yfx=的图象上所有点向

右平移6个单位长度，得到函数()ygx=的图象，则()ygx=的图象关于直线512x=对称D.若函数()()()212,2hxfxx=+−与1xyx+=图象的交点为11(,)xy，22(,)xy，…，(),mmxy，则

()18miiixy=+=【答案】BCD【解析】【分析】由二倍角公式、诱导公式化简函数()fx，利用正弦函数奇偶性判断A，利用正弦函数单调性判断B，由平移变换得出()gx的表达式，代入512x=求值后判断C，作出()hx和1xyx+=的图象，可确定它们在[2,2]−

上交点个数，再结合对称性可求得()1miiixy=+，从而判断D．【详解】1111()sin2cos(2)sin2sin2sin222222fxxxxxx=−+=+=，()sin(2)sin2()fxxxfx−=−=−=−，()fx为奇函数，A错；由22222kxk−

+得44kxk−+，即函数增区间(),Z44kkk−++，B正确；把函数()yfx=的图象上所有点向右平移6个单位长度，得到函数()ygx=的图象，sin2()sin(2)6)

3(gxxx=−=−，55()sin(2)112123g=−=，所以512x=是()gx图象的一条对称轴，C正确；()2sin21hxx=+，由2sin2yx=是奇函数，知()hx的图象关于(

0,1)对称，又111xyxx+==+的图象也关于点(0,1)对称，所以()hx，1xyx+=图象的交点关于(0,1)对称，作出()yhx=和1xyx+=的图象，由图象可知它们在[2,2]−上有8个

交点，是所以()1114280mmmiiiiiixyxy===+==++=．D正确．故选：BCD．第II卷（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()()21mfxmx=−是幂函数，则实数m=______.【答案】1【解析】【分析】根据幂函数定义

列方程求解可得.【详解】因为()()21mfxmx=−是幂函数，所以211m−=，解得1m=.故答案为：114.有一批同规格的产品，其中50%由甲厂生产，25%由乙厂生产，25%由丙厂生产，若甲、乙、丙三厂生产的产品次品率分别为2%，3%，4%.现从

这批产品中任取一件，则取到次品的概率为______.【答案】0.0275##11400【解析】【分析】利用全概率公式直接求解．【详解】解：设1A，2A，3A分别表示甲、乙、丙厂生产的产品，B表示取到次品，则11()2PA=，231()()4PAPA==，1(|)0.02PBA=，2(|)0.03

PBA=，3(|)0.04PBA=，从中任取一件产品取到次品的概率为：()112233()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA=++0.50.020.250.030.250.04=++

0.0275=，故答案为：0.0275．15.若函数()()211,1,26,1axxfxxaxx−+=−+的值域为R，则实数a的取值范围是______.【答案】)2,+【解析】【分析】分1a=，1a和1a三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的

性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.【详解】解：当1x时，()()222266fxxaxxaa=−+=−+−，当1a=时，1x，()()2222665fxxaxxaa=−+=−+−，1x

，()()111fxax=−+=，则此时函数()fx的值域不是R，故1a=不符合题意；当1a时，1x，()22627fxxaxa=−+−+，1x，()()11fxaxa=−+，则此时函数()fx的值域不是R，故1a不符合题意；当1a时，1x，()()22

222666fxxaxxaaa=−+=−+−−，1x，()()11fxaxa=−+，因为函数()()211,1,26,1axxfxxaxx−+=−+的值域为R，所以216aaa−，解得2a，综上所述实数a的取值范围是)2,+.故答案为

：)2,+.16.等腰直角ABC的斜边AB的端点分别在x，y的正半轴上移动（点C与原点O在AB两侧），2AB=，若点D为AB中点，则2OCOD−的取值范围是______.【答案】)0,2【解析】【分析】设π((0,))2OAB=，用的正余弦表示出点C，D坐标，结合向量模的坐标

表示及三角函数性质求解作答.【详解】如图，设π((0,))2OAB=，则(2cos,0),(0,2sin)AB，线段AB中点(cos,sin)D，π4OAC=+，2AC=，则有ππ(2

cos2cos(),2sin())44C−++，ππ(2cos(),2sin()2sin)442OCOD−++−−=，22ππ||[2cos(2)][2sin()2sin]44OCOD=−+++−−2π242sin()sin4sin4

=−++224(sincos)sin4sin22sin2=−++=−，由π(0,)2得0sin21，于是得20||2OCOD−，所以2OCOD−的取值范围是[0,2).故答案为：)0,2【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化

引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U=R，集合2430Mxxx=−+，22Nxx=−，2Pxaxa=+（1）求M

N，()UMNð（2）若PN，求实数a的取值范围.【答案】（1）23MNxx=−，()23UMNxx=ð（2）2,0a−【解析】【分析】（1）解一元二次不等式得集合M，按集合的交并补运算即可；（2）利用

集合间的包含关系，列不等式求解.【小问1详解】解：由2430Mxxx=−+得13Mxx=，所以23MNxx=−由22Nxx=−得22UNxxx=−或ð，所以()={|23}UMNxxð【小问2详解】解：根

据集合PN得222aa−+，解得2,0a−18.已知函数()221xfxa=−+为奇函数（a为常数）.（1）求a的值，并证明函数()fx的单调性；（2）解不等式()()()33log2log1fxfx+

【答案】（1）1，证明见解析（2）()0,1x【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义式求解a的值或者特殊函数值对称求解a，再利用单调性定义法证明函数()fx的单调性；（2）由（1）中()fx单调性，列不等式求解即可.【小问1详解】解：解法一：由()

221xfxa=−+为奇函数，得()()fxfx−=−即222121xxaa−−=−+++，222222221212121xxxxxa−=+=+=++++求得1a=解法二：由()221xfxa=−+为奇函数，得()00f=，即02021a−=+，求得1

a=，经检验：()2121xfx=−+为奇函数证明：12,xxR，且12xx有()()121222112121xxfxfx−−−++=−()()211211222121xxxx++−=+

+由12xx得1211220xx++于是()()120fxfx−，所以，函数()yfx=在R上单调递增【小问2详解】解：由（1）得函数()yfx=在R上单调递增，由()()()33log2log1f

xfx+得332010log(2)log(1)xxxx++，解得()0,1x.19.某地区政府为了增加某种农产品的销售量，鼓励居民积极参与网络销售的活动，征集部分居民参与网络销售的意愿.（1）随机选取了部

分居民进行调查，被调查的男性居民30人，女性居民20人，其中男性居民不喜欢网络销售的占男性居民的23，女性居民不喜欢网络销售的占女性居民的14，依据0.005=的独立性检验，能否认为该地区居民喜欢网络销售与性别有关联？（2）若该地区通过网络销售的方式销售此农产品，日销售量y（千克）与网络

销售人数x（人）满足回归直线方程ybxa=+$$$，数据统计如表：网络销售人数x（人）23456日销售量y（千克）24294146t已知511405iiyy===，52190iix==，51889iiixy==，根据所给数据求t，并预测

当网络销售人数为10人时，该地区这种农产品的日销售量.附：（1）()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，nabcd=+++（2）临界值表：0.1000.0500.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82

8（3）最小二乘估计式：121ˆniiiniixynxybxnx==−=−，ˆaybx=−【答案】（1）喜欢网络销售与性别有关联（2）60，93.4千克【解析】【分析】（1）完善列联表，计算2，与临界值

比较可得；（2）根据题意求出线性回归直线方程，由y求出t，10x=代入回归方程得预测值．【小问1详解】结论假设为0H：喜欢网络销售与性别没有关联根据题意，列出的22列联表如下：是否喜欢性别喜欢不喜欢合计男性102030女性155

20合计252550根据列联表中的数据，经计算得到()220.005501052015258.3337.879252520303x−====，根据小概率值0.005=的独立性检验，我们推断

0H不成立，即认为喜欢网络销售与性别有关联，此推断犯错误概率不大于0.005【小问2详解】由表中数据可知，()12345645x=++++=511405iiyy===，∴60t=，∴12221889544089ˆ8.9905410niiiniixynxybxn

x==−−====−−，408.944.4aybx=−=−=，∴回归直线方程为8.94.4yx=+.当10x=时，8.9104.493.4y=+=所以当网络销售人数为10人时，该地区这种农产品的日销售量大约为93.4千克.20.某学校为

落实双减政策，丰富学生的课外活动，计划在校园内增加室外活动区域（如图所示ABC），如图，已知两教学楼以直线1l，2l表示，且12ll∥，ED是过道，A是1l，2l之间的一定点路口，并且点A到1l，2l的距离分别为2，6，B是直线2l上的动点，

连接AB，过点A作120BAC=，且使得AC交直线1l于点C（点B，C分别在DE的右侧），设ABD=（1）写出活动区域ABC面积S关于角的函数解析式()S；（2）求函数()S的最小值.【答案】（1）()()()333090sincos30S

=−；（2）43【解析】【分析】（1）结合三角函数在三角形中的应用，处理边角关系，可得出解析式()S；（2）利用三角恒等变换，转化为正弦型三角函数求最值即可.【小问1详解】解：依题意得

：点A到1l，2l的距离分别为2，6即6AD=，2AE=在RtABD△中，6AD=，ABD=，∴sinADAB=即6sinAB=，∴6sinAB=，∵120BAC=，∴18030EACBADBAC=−

−=−，在RtAEC中，2AE=，30EAC=−，cosAEEACAC=即()2cos30AC−=，()2cos30AC=−，∴1sin2ABCSABACBAC=△()162sin1202sincos30=−()()333090si

ncos30=−即()()()333090sincos30S=−；【小问2详解】解:由（1）知()()()333090sincos30S=−，设()()()sincos303090f=−()()sincos30f

=−31sincossin22=+231cossinsin22=+31cos2sin244−=+311sin2cos2444=−+1311sin2cos222

24=−+()11sin23024=−+∵3090，∴30230150−∴()13,24f，∴()14,23f，∴()())3343,63Sf=∴函数()S的最小值43.21.某食品

厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为(490,495，(495,500，…，(510,515，由此得到样本的频率分

布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量和样本平均值x；（2）由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布()2,1.25N，其中近似为（1）中的样本平均值x，计算该批产品质量指标值499.25…的概率；（3）从该流水线上任

取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列和数学期望.附；若()2,Nx−，则()0.6827Pu−+，()220.9545P−+„，()330.9973P−+„【答案】（1）12（件），501.75（2）0.97725（

3）分布列见解析，35【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解；（2）根据正态分布的对称性即可求解；（3）根据二项分布的概率公式即可求解分布列以及期望.【小问1详解】由频率分布直方图可知，∵质量超

过505克的产品的频率为50.0550.010.3+=，∴质量超过505克的产品数量为400.312=（件）样本平均值()5492.50.03497.50.04502.50.07507.50.05512.50.01501.75x=++++=或者样本平均值492.5

0.15497.50.2502.50.35507.50.25512.50.05501.75x=++++=或者样本平均值492.56497.58502.514507.510512.52501.7

540x++++==【小问2详解】由题意可得501.75x==，1.25=则()()22499.25504.250.9545PP−+=剟，则该批产品质量指标值499.25…的概

率：()()1499.25504.25499.2510.977252PP−=−=„…或者()()499.25504.25499.250.50.977252PP=+=„…【小问3详解】根据用样本估

计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1234010=所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看二项分布.故，质量超过505克的件数Y可能的取值为0，1，2，且32,

10YB∴()2233C11010kkkPYk−==−，0,1,2k=∴()027490C10100PY===，()1237211C101050PY==

=，()222392C10100PY===，∴Y的分布列为Y012P4910021509100Y的均值为()492193012100501005EY=++=或者()332105EY==

22.ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在BC上，4=AD（1）若ADAC⊥，cos2sinCB=，求c；（2）若AD是BAC的角平分线，2π3BAC=，求ABC周长的最小值.【答案】（1）42；（2）1683+【解析】【分析】（1）利用三角

形之间的角度关系，结合正弦定理，即可求解边c的值；（2）由已知可得π3BADDAC==，利用三角形面积公式及4=AD，得()4bcbc+=，再结合函数或基本不等式求ABC周长的最小值即可.【小问1详解】解：∵ADAC⊥，∴2DAC=，2ADBC=+∵cos2sinCB=，∴s

insincos2sin2ADBCCB=+==在ABC中，由正弦定理得sinsinABADADBB=即4sin2sinABBB=∴42cAB==.【小问2详解】解:解法一：∵2π3BAC=，AD是BAC的角平分线，∴π3BADDAC=

=由ABCABDADCSSS=+得12π1π1πsinsinsin232323ABACABADACAD=+又4=AD，∴()4bcbc+=，ABC中，由余弦定理得222abcbc=++，则22abcbc=++设ABC的周长为l，2214labcbcbcbc=++

=+++由基本不等式得，()48bcbcbc+=，当且仅当bc=时等号成立，得64bc22113168344labcbcbcbcbcbc=++=+++++当且仅当8bc==时等号成立，所以ABC的

周长最小值为1683+解法二：∵2π3BAC=，AD是BAC的角平分线∴π3BADDAC==由ABCABDADCSSS=+得12π1π1πsinsinsin232323ABACABADACAD=+又4=AD，∴()4bcbc+=在ABC中，由余弦定理得

()222222116abcbcbcbcbcbc=++=+−=−设ABC的周长为l，2211164labcbcbcbc=++=−+在设bcx=，则211164lxxx=−+由基本不等式得，()48bcbcbc+=，当且仅当8bc==时等

号成立得64bc，即64x根据一次函数和二次函数的性质可得，当64x时，()211164fxxxx=−+单调递增.∴()()641683lfxf==+所以ABC的周长最小值为1683+.